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Prova scritta di Elettrotecnica
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica
Pisa 04/07/2014
1)
Allievo: ...................................................Matricola: ……………….……
Determinare il circuito equivalente di Thevenin del bipolo in figura.
E1  100V
E2  50V
Vth  275V
R  50 
Rth  75 
J1  1 A
J2  2A
2)
Per il doppio bipolo in figura determinare i parametri della rappresentazione ibrida H.
R3
L  2 mH
C  0.2 mF
 4
  1000 rad s
3)
h11   1.8  j 2 
h21   0.4
h12  2  j 2.4
h22   j 0.2  1
Il circuito di figura si trova in regime stazionario per t<0. Determinare l'andamento temporale della tensione
Vc(t) per t > 0.
R 5 
C  2 mF
4)
Vc  t   u  t  10  2.7639e 38.197 t  7.2361e 261.80 t  V
Determinare le autoinduttanze e la mutua induttanza del circuito magnetico in figura. Considerando i valori di I1
e I2 nella tabella dei dati (regime stazionario) determinare il flusso al traferro indicato in figura e l'energia W
immagazzinata negli induttori mutuamente accoppiati. Determinare quindi la corrente I2(t) su un resistore di
R=100ohm collegato all'avvolgimento 2 nel caso in cui I1  t   2 2 cos 1000t  A .
Tabella dei dati
I1  10 A; I 2  30 A
N1  1500
N 2  1200
g  0.1mm;
d  10cm ; L  20cm
S fe  20 cm2
 fe1  1000
L1  7.377 H
L2  4.721 H
M  5.9015 H
t  -0.06885 Wb
W  722.93 J
I 2  t   3.535cos 1000t  0.021 A
 fe 2  1500
0  4 107 H m
NOTA: RIPORTARE I RISULTATI NEI RIQUADRI E CONSEGNARE UN SOLO
FOGLIO PROTOCOLLO CON LO SVOLGIMENTO (vedi retro)
Svolgimento
Esercizio 1
Per determinare la resistenza di Thevenin si considera il seguente bipolo passivo, ottenuto
disattivando i generatori indipendenti.
Il resistore evidenziato in rosso risulta in parallelo ad un corto circuito, per cui su di esso non
scorre corrente. Si considera quindi il seguente bipolo.
I due resistori in alto risultano collegati in parallelo, quindi sostituendo il resistore equivalente
parallelo si ha
Per cui la resistenza vista risulta
Rth=R+R/2 = 50+25=75
Per determinare la tensione di Thevenin, si procede con il calcolo della tensione a vuoto. Si applica
il metodo delle correnti di maglia secondo l'albero e i versi di riferimento indicati nella seguente
figura.
 E1  2 RI y  RJ1

 E2  RI x
Da cui si ottiene
E1  RJ1 100  50 1

 I y  2 R  2  50 A  0.5 A
,

 I  E2  50 A  1A
 x R 50
in quanto sistema di equazioni risulta disaccoppiato e di immediata risoluzione.
La tensione di Thevenin del bipolo, Vth=VAE, può essere determinata scrivendo la circuitazione
alla maglia ABCDEA
VAE  VAB  VBC  VCD  VDE
dato che VAB  R  J1  I y  , VBC  E2 , VCD  R  J 2  J1  e VDE  0 , si ha
Vth  R  J1  I y   E2  R  J 2  J1   0  [50 1.5  50  50  3]V  [75  50  150]V  275V
Esercizio 2
Parametri ibridi
Reattanze del circuito
V1  h11 I1  h12 V2

 I 2  h21 I1  h22 V2
X L   L  2
X C  1 C  5
Si considera il circuito ausiliario per il calcolo di h11 e h21 (prima prova), in cui si cortocircuita la
porta 2, V  0, e si pone un generatore di corrente I sulla porta 1.
2
1
Il circuito ha 3 maglie e 2 generatori di corrente. Una maglia è composta dal parallelo LC quindi è
possibile chiudere questo parallelo e ottenere 2 maglie. In questo caso le correnti di maglia sono
note e non è necessario scrivere equazioni per risolvere il circuito. Si determinano direttamente le
tensioni e le correnti utilizzando i partitori e le leggi di Kirchhoff.
La corrente Ix risulta
Ix  I1   I2 .
(1)
L'induttore ed il condensatore sono collegati in parallelo, per cui applicando il partitore di
corrente, e sostituendo la (1) si ha che
I2   Ix
jX L
j2
2
   I1   I2 
  I1   I2 
jX L  jX C
j 2  j5
3
da cui
3I2   I1   I2  2
e quindi
2 I1
2
I2 
  I1
3  2
5
Si ottiene quindi h21 
(2)
I2
I

1 V2  0
2
 0.4
5
Per determinare h11 si esprime la tensione V1 come
V1  RIx  I2   jX C 
Quindi, sostituendo la (1) si ha
V1  R  I1   I2   I2  jX C 
mentre sostituendo la (2) si ha
2  2

V1  R  I1   I1   I1  jX C 
5  5

da cui si ottiene
h11 
V1
I
1 V2  0
2 2
 
2
2 

 R 1      jX C   3 1  4   j  5    1.8  j 2 
5 5
5
5 

 
Si considera il circuito ausiliario per il calcolo di h12 e h22 (seconda prova), in cui si apre la porta 1,
I  0, e si pone un generatore di tensione V sulla porta 2.
1
2
La circuitazione alla maglia composta dall'induttore, il condensatore e il generatore V2 è la
seguente:
V2  I2   jX C    I2  Ix  jX L
La corrente Ix è data da
Ix   I2
(3)
quindi sostituendo
V2  I2   jX C    I2   I2  jX L
V2  I2   jX C  jX L  j  X L 
.
V2  I2   j 5  j 2  j8 
V  j 5 I
2
2
Quindi anche
1
I2  V2
j5
(4)
Si ha immediatamente
h22 
I2
V

2 I1  0
1
  j 0.2  1
j5
la tensione V1 può essere espressa come
V1  RIx  I2   jX C   V2
da cui sostituendo la (3)
V1  R  I2  I2   jX C   V2
Sostituendo la (4) infine
1
1
V1  R  V2  V2   jX C   V2
j5
j5
Per cui h12 
V1
V2
 R
I1  0
1
1
1
1
12
  jX C   1  3  4   j 5   1   j  2  2  j 2.4
5
j5 j5
j5 j5
Esercizio 3
Per t<0 il circuito è a regime in continua. Si determinano le condizioni iniziali a t=0- (le tensioni
sui condensatori e le correnti negli induttori). Il circuito equivalente è il seguente.
Per cui le tensioni sui condensatori all'istante t=0-.
V1C  0   RJ 0  E0  5  2  10V  0V
V2C  0   2 RJ 0  E0   2  5  2  10V  10V
Per t>0 si considera il circuito L-trasformato, in cui si L-trasformano le forme d'onda dei
generatori indipendenti e si considerano le impedenze operatoriali e i generatori di condizione
iniziale per gli elementi reattivi.
10
, per cui, nel circuito, si
s
10
inverte il verso di riferimento del generatore e si considera E  s   . Il generatore di corrente
s
risulta disattivato. Per cui il circuito L-trasformato è il seguente:
Il generatore di tensione E  t  risulta un gradino di -10V, E  s   
La grandezza da determinare è la tensione VAB, ai capi di tre rami in parallelo. Si utilizza il
teorema si Millmann per cui la tensione VAB è determinata come
E  s  V2C  0 
1

R
s
R  1 sC
VAB  s  
1
1
 sC 
R
R  1 sC

Si porta questa espressione in forma razionale fratta.
E  s  V2C  0  sC

s
sCR  1
VAB  s   R
1
sC
 sC 
R
RsC  1
10  sCR  1  10 RsC
 sCR  1 Rs
VAB  s  
RsC  1  sCR  RsC  1  sCR
R  RsC  1

VAB  s  
VAB  s  
VAB  s  
10  sCR  1  10 RsC
s  RsC  1  sCR  RsC  1  sCR 
10  sCR  1  10 RsC
s  RsC  1  sCR  RsC  1  sCR 
20 RCs  10
s  R C 2 s 2  3RCs  1
2
10
s
20 RC
20 RC
VAB  s   2 2
3
1 
RC  2
ss 
s 2 2 
RC
RC 

E quindi
VAB  s   2000
s  50
.
s  s  300s  10000 
2
Fattorizzando il denominatore si ottiene
VAB  s   2000
s  50
s  s  38.1966  s  261.8034 
Esprimendo VAB  s  in fratti semplici
VAB  s  
A
B
C


s  s  38.1966   s  261.8034 
Dove utilizzando il teorema dei residui, si ottiene
A  10
B  2.7639
C  7.2361
La tensione nel dominio del tempo risulta quindi
VAB  t   u  t  10  2.7639e 38.1966t  7.2361e 261.8034t  V
Esercizio 4
Il circuito equivalente al circuito magnetico di figura è il seguente
Dove le riluttanze indicate valgono
L
RL1 
S 0  fe1
RL 2 
L
S 0  fe 2
d
Rd 1 
S 0  fe1
Rd 2 
d
S 0  fe 2
Rd 1 g 
Rg 
 53052 H -1
 39789 H -1
 26526 H -1
dg
 39749 H -1
S 0  fe1
g
S 0
 39789 H -1
Ad esempio
20 102
RL1 
 79577 H 1
4
7
20 10  4 10 1000
La riluttanza equivalente serie risulta
Rtot  RL1  RL 2  Rd 2  Rd 2  Rd 1  Rg  Rd 1 g  305007 H 1
Per cui le autoinduttanze risultano
L1 
N12
 7.377 H
Rtot
L2 
N 22
 4.721 H
Rtot
M
N1 N 2
 5.9015 H
Rtot
Il flusso al traferro risulta
t 
N1 I1  N 2 I 2
 -0.06885 Wb
Rtot
Mentre l'energia media immagazzinata
W
1
1
L1 I1  L2 I 2  MI1 I 2  722.93 J
2
2
La mutua ha contribuito negativo in quanto i campi generati dai generatori di tensione magnetica
hanno versi discordi.
Per quanto riguarda la corrente che passa su un resistore posto sul secondario nel caso in cui nel
primario scorra una corrente sinusoidale data si considera il circuito elettrico composto dagli
induttori mutuamente accoppiati
Si ha quindi, scrivendo l'equazione alla maglia di I2
0  I2  R  j L2   j MI1
j MI1
I2 
 2.499  j 0.053 A
R  j L2
In quanto I1  2 A (modulo del fasore coincide con valore efficace)
per cui

 0.053  
2 2.4992 +0.0532 cos 1000t  arctan 
 A
 2.499  

I 2  t   3.535cos 1000t  0.021 A
I2 t  

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