Asintoti
Una retta r è detta asintoto della curva y = f (x) se quest’ultima si avvicina indefinitamente alla retta senza toccarla. Per
questo si dice anche che l’asintoto è la tangente all’infinito della funzione.
La ricerca degli asintoti è utile per capire come si comporta la funzione nei punti di discontinuità e per valori di x
che tendono all’infinito: tracciando, infatti, la retta che accompagna la curva all’infinito, possiamo tracciare con buona
approssimazione anche la curva stessa.
Si distinguono tre tipi di asintoti: verticali, orizzontali e obliqui.
1
Asintoti verticali
La ricerca degli eventuali asintoti verticali si effettua solo se la funzione ha dei punti di discontinuità, ossia se studiando il
dominio si trovano dei valori di x in corrispondenza dei quali la funzione non esiste. Questo significa che se la funzione
è definita per ogni x ∈ R o se è definita in uno o più intervalli chiusi (intervalli che hanno gli estremi inclusi), si può
immediatamente concludere che non esistono asintoti verticali per la curva.
Se invece la funzione ha un punto di discontinuità, ad esempio x = c, si può dire che la retta x = c è un asintoto verticale
per la curva se si ha:
lim f (x) = ±∞
x→c−
o
lim f (x) = ±∞
x→c+
ossia il limite per x che tende al punto di discontinuità, deve dare per risultato ±∞. Se sia il limite sinistro (x → c− ) che
il limite destro (x → c+ ) sono infiniti, allora l’asintoto si dice completo; nel caso, invece, in cui solo uno dei due limiti è
infinito, allora l’asintoto si dice destro o sinistro a seconda dei casi.
Negli esempi ed esercizi che seguono, si tralasciano i calcoli riguardanti eventuali simmetrie, intersezioni con gli assi
cartesiani e studio del segno, in quanto non sono utili per la ricerca degli asintoti. Lo studio del dominio è, invece, sempre
necessario.
Esempio:
y=
x2 − 4
x+1
si pone: x + 1 , 0
=⇒
x , −1
Quindi D = R − {−1}.
Dallo studio del dominio si è ottenuto che x = −1 è un punto di discontinuità per la funzione, quindi si studia come si
comporta la curva man mano che la x si avvicina al tale punto provenendo da sinistra (cioè per valori più piccoli di −1) e
da destra (cioè per valori più grandi di −1):
lim −
x→−1
x2 − 4 −3
= − = +∞
x+1
0
x2 − 4 −3
= + = −∞
x→−1 x + 1
0
Dato che entrambi i limiti tendono all’infinito, si può concludere che la retta x = −1 è un asintoto verticale completo della
curva.
lim +
Per stabilire il segno del risultato e capire da dove provengono lo 0− e lo 0+ che si trovano al denominatore dei limiti,
basta immaginare di sostituire al posto della x un valore un po’ più piccolo di −1 nel caso del limite sinistro, ad esempio
−1, 1, e un valore un po’ più grande nel caso del limite destro, ad esempio −0, 9, e osservare il segno che assumono in
questo modo il numeratore e il denominatore della funzione. In questo caso il numeratore resta sempre negativo e vicino
a −3, mentre il denominatore assume segno negativo nel primo caso (−1, 1 + 1 = −0, 1) e segno positivo nel secondo
(−0, 9 + 1 = +0, 1); il risultato della frazione è, quindi, positivo nel caso del primo limite sinistro (−/− = +) e negativo
nel caso del secondo limite destro (−/+ = −).
Graficamente, si tratteggia una retta verticale passante per il punto x = −1 e si disegna un piccolo arco in alto a sinistra
di tale retta per indicare che, quando la curva si avvicina a −1 da sinistra, essa va verso +∞, e un piccolo arco in basso a
destra per indicare che, quando ci si avvicina a −1 da destra, la curva va verso −∞:
1
x = −1
y
−1
2
x
0
Asintoti orizzontali
La ricerca degli eventuali asintoti orizzontali permette di capire come si comporta la funzione al tendere della x a +∞ o
a −∞, quindi all’estrema destra e sinistra dell’asse cartesiano. Lo studio si effettua solo se, in base al dominio, ha senso
calcolare i limiti per x → ±∞ e quindi se il dominio è un insieme illimitato superiormente (ad esempio D = [2, +∞[) o
inferiormente (ad esempio D =] − ∞, 3[) o è illimitato da entrambe le parti (ad esempio D =] − ∞, −1[, ]3, +∞[ oppure
D = R). Se, invece, il dominio è un intervallo limitato (ad esempio D =] − 1, 1]) si può immediatamente concludere che
non esistono asintoti orizzontali, in quanto la funzione non esiste agli estremi degli assi cartesiani.
In generale, si può dire che la retta y = k è un asintoto orizzontale per la curva se si ha:
lim f (x) = k
x→±∞
ossia il limite per x che tende a ∞ deve dare per risultato un numero finito. Se sia il limite per x → +∞ che quello per
x → −∞ hanno lo stesso risultato k, allora la retta y = k è un asintoto completo; se, invece, i due limiti hanno risultati
diversi, allora si hanno due diversi asintoti orizzontali, uno destro e uno sinistro.
Esempio:
y = e−x sin2 x
Il dominio è D = R.
Non essendoci punti di discontinuità, non ci sono asintoti verticali.
Si ricercano gli eventuali asintoti orizzontali:
lim e−x sin2 x = 0
x→+∞
in quanto, ricordando il grafico della funzione esponenziale, se x tende a −∞, l’esponenziale tende a 0; il limite di sin2 x
non esiste perché il suo valore oscilla tra −1 e +1 a seconda del valore che assume l’angolo x, ma in questo caso poco
importa visto che si tratta comunque di un numero moltiplicato per 0 (il valore di e−∞ ), quindi il risultato del limite è 0.
Quindi la retta y = 0 è asintoto orizzontale destro per la funzione.
lim e−x sin2 x
x→−∞
→
non esiste
perché la parte esponenziale ha come risultato +∞ e la parte goniometrica non esiste quindi, a differenza del limite
precedente, non si può stabilire il risultato. Quindi non esiste l’asintoto orizzontale sinistro.
Graficamente si disegna un piccolo arco a destra vicino alla retta y = 0, ossia all’asse delle x, per indicare che, più ci si
sposta verso destra, e più la curva si appiattisce lungo tale retta:
y
x
0
2
3
Asintoti obliqui
Lo studio degli asintoti obliqui si fa solo nel caso in cui non esiste l’asintoto orizzontale destro, o quello sinistro o
entrambi, ossia se almeno uno dei due limiti calcolati per x → ±∞ dà per risultato ±∞.
In tal caso vuol dire che, se esiste un asintoto per la curva, questo è una retta obliqua che ha un’equazione del tipo:
y = mx + q
ossia l’equazione di una generica retta r.
Ciò che bisogna calcolare sono, quindi, i due parametri m e q in base alle seguenti formule:
m = lim
x→±∞
f (x)
x
q = lim [ f (x) − mx]
x→±∞
Perché l’asintoto obliquo esista, è necessario che entrambi i precedenti limiti esistano e abbiano per risultato un numero
finito. In tal caso, i due valori trovati per m e q vanno sostituiti all’interno dell’equazione generica della retta. Se anche
solo uno dei due limiti non esiste o, se esiste, ha risultato infinito, si conclude che la curva non ha asintoti obliqui visto
che non è possibile trovare due numeri finiti da sostuire nell’equazione della retta.
Se i valori di m e q trovati per x → +∞ e per x → −∞ sono gli stessi, allora la retta obliqua trovata è un asintoto completo
per la curva; in caso contrario, è possibile trovare due rette oblique diverse che si distinguono, quindi, in asintoto destro e
sinistro per la curva.
Esempio:
s
x3
y=
x−2
Si calcola il dominio:
x3
≥0
x−2
N:
x3 ≥ 0
D:
x−2>0
=⇒
+
–
+
N
x≥0
D
=⇒
x>2
0
2
da cui segue che x ≤ 0, x > 2. Quindi D =] − ∞, 0], ]2, +∞[.
Dallo studio del dominio si osserva che il punto x = 2 è un punto di discontinuità per la funzione; in corrispondenza di
tale numero, quindi, si ricerca l’eventuale presenza di un asintoto verticale:
s
r
x3
8
= +∞
=
lim
x→2+
x−2
0+
La retta x = 2 è quindi un asintoto verticale destro per la curva.
Si osservi che è errato calcolare il limite per x che tende a 2− in quanto, a sinistra di 2 la funzione non esiste, come si
nota dal dominio; non ha quindi senso chiedersi come si comporta la funzione man mano che si avvicina a tale punto
provenendo da sinistra.
Si ricercano gli eventuali asintoti orizzontali (nell’esempio è possibile usare la regola di De L’Hospital, indicata con il
H
simbolo =):
s
r
x3 H
3x2
lim
= lim
= +∞
x→+∞
x − 2 x→+∞
1
s
r
x3 H
3x2
= lim
= +∞
lim
x→−∞
x − 2 x→−∞
1
Dato che entrambi i limiti hanno per risultato l’infinito, si conclude che non esistono asintoti orizzontali né a destra né a
sinistra.
Si ricercano, quindi, gli eventuali asintoti obliqui (per il calcolo della m si è usata la regola di De L’Hospital, per la q si è
usata prima la regola della razionalizzazione e poi la messa in evidenza):
s
s
r
r
x3
1
x3
x H
1
= lim
m1 = lim
· = lim
= lim
=1
x→+∞
x − 2 x x→+∞ x2 (x − 2) x→+∞ x − 2 x→+∞ 1
3
√
√
#
" √
#
#
" √ 3
√
√
x3
x
x x
x x−x x−2
x ( x − x − 2)
− x = lim √
− x = lim
= lim
=
− x = lim √
√
√
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x−2
x−2
x−2
x−2
x−2
√
√
√
√
x ( x − x − 2)
x+ x−2
x(x − x + 2)
2x
·
= lim √
= lim √
=
√
√
√
√
√
√
√
x→+∞
x→+∞
x−2
x+ x−2
x − 2 ( x + x − 2)
x − 2 ( x + x − 2)
2x
2x
2x
= lim
= lim r
=
√
r
r
r
r x→+∞
x→+∞
√
2 √
x−2
x−2
2 √
2
2
· x 1+ √
x 1−
1+ 1−
x· 1− · x 1+
x 1−
x
x
x
x
x
x
2
2
2
= √
r
r
√ = =1
2
1
(1
+
1)
2
2
1−
1+ 1−
x
x
s
"
q1 = lim
x→+∞
= lim
x→+∞
= lim
x→+∞
= lim
x→+∞
Sostituendo i valori appena trovati di m1 e q1 all’interno dell’equazione y = mx + q, segue che la retta y = x + 1 è un
asintoto obliquo destro per la curva.
Analogamente si trova:
s
s
r
r
x3
1
x3
x H
1
= − lim
· = − lim
= − lim
= −1
m2 = lim
2
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x−2 x
x−2
1
x (x − 2)
Si osserva che x è un numero negativo visto che tende a −∞ pertanto, quando lo si porta sotto radice al secondo passaggio,
per le proprietà sui radicali, il segno meno resta fuori.
Per calcolare q2 non è possibile rifare gli stessi passaggi fatti per q1 in quanto, al secondo passaggio, si avrebbero due
radici quadrate con radicando negativo e questo non è possibile. Per questo si pone la sostituzione t = −x. Il limite
diventa:
s
s
s
√
√
"
#
"
#
"
#
" √3
#
x3
−t3
t3
t
t t−t t+2
q2 = lim
+ x = lim
− t = lim
− t = lim √
− t = lim
=
√
x→−∞
t→+∞
t→+∞
t→+∞
t→+∞
x−2
−t − 2
t+2
t+2
t+2
√
√
√
√
√
√
t ( t − t + 2)
t+ t+2
t(t − t − 2)
t ( t − t + 2)
= lim
· √
= lim √
=
= lim
√
√
√
√
√
t→+∞
t→+∞
t→+∞
t+2
t+2
t+ t+2
t + 2 ( t + t + 2)
−2t
−2t
−2
= lim r = lim
= lim r
=
√
r
r
r
t→+∞
t→+∞
t→+∞
√
2 √
t+2
2 √
t+2
2
2
t 1+
· t 1+ √
1+ 1+
t· 1+ · t 1+
1+
t
t
t
t
t
t
−2
−2
= √
= −1
√ =
2
1 (1 + 1)
Segue che la retta y = −x − 1 è un asintoto obliquo sinistro per la curva. Graficamente:
y
=
x+
1
y
=
−x
−
1
1
0
−1
2
x=2
y
4
x
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