Esercizi di Variabile complessa - 7
Indichiamo con H i semipiano complesso
H = {z ∈ C tali che Im(z) > 0}.
Il gruppo P SL(2; R) = SL(2; R)/{±1} agisce su H mediante trasformazioni
lineari fratte:
az + b
a b
:z→
c d
cz + d
e questi sono tutti e soli i biolomorfismi di H. Indichiamo inoltre con ∆ il disco
unitario aperto:
H = {z ∈ C tali che |z| < 1}.
Abbiamo visto a lezione che
ψ(z) = i
`e un biolomorfismo
1+z
1−z
∼
ψ:∆−
→H
che manda 0 ∈ ∆ in i ∈ H e che il gruppo dei biolomorfismi di ∆ che fissano 0
`e il gruppo delle rotazioni
z → α z,
con |α| = 1.
1. Determinare esplicitamente il sottogruppo di P SL(2; R) dei biolomorfismi
di H che fissano i.
2. Abbiamo visto a lezione che P SL(2; R) agisce transitivamente su H. Tale
azione `e anche 2-transitiva?
1
© Copyright 2024 ExpyDoc
