Le coniche fra storia e leggenda

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Eratostene di Cirene
Teone di Smirne
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Scoppia una terribile epidemia di peste
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Il problema di Delo
Una delegazione visita l'oracolo di Delo per chiedere la fine
dell’epidemia. L’oracolo risponde che, per placare l'ira degli dei, si
deve raddoppiare il volume dell'altare a essi dedicato, a forma di
cubo. I delegati fanno immediatamente costruire un altare, sempre a
forma di cubo, e con il lato doppio del primo… ma la peste continua.
Che cosa avevano sbagliato?
Volume V
Volume 8V
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Oggi, con il linguaggio dell’algebra, scriviamo la risposta così:
Cubo iniziale:
spigolo a, volume V = a3
Cubo di lato doppio:
spigolo 2a , volume V’ = (2a)3 = 8a3 = 8V
E, con il linguaggio dell’algebra, descriviamo anche il problema
rimasto insoluto: raddoppiare il volume del cubo. Per semplicità,
scegliamo il cubo iniziale con spigolo 1 e scriviamo:
Cubo iniziale:
spigolo 1, volume V = 13 = 1
Cubo richiesto:
spigolo x, volume V” = 2
Così, per avere la lunghezza x dello spigolo, risolviamo l’equazione:
x 3 = 2 " x = 3 2 # 1,26
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Ma i matematici dell’antica Grecia non conoscevano il linguaggio
dell’algebra e, per risolvere problemi geometrici, usavano due soli
strumenti: il compasso per disegnare cerchi e la riga per disegnare rette.
Riga non graduata
Compasso
Nasce così il problema della duplicazione del cubo: costruire con
riga e compasso un segmento che è lo spigolo di un cubo con
volume doppio di un cubo dato.
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Da V secolo a.C. negli antichi testi cominciano a comparire tentativi di
soluzione del problema.
E i tentativi continuano fino al 1837, quando il matematico francese
Pierre Wantzel pubblica una definitiva dimostrazione: è impossibile
risolvere con riga e compasso il problema della duplicazione del cubo.
Menecmo
(380 – 320 a.C)
Pierre Wantzel
(1814 – 1848)
Una delle più antiche e famose ‘duplicazioni del cubo’ è
dovuta a Menecmo e segna l’origine delle coniche.
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Due soluzioni date da Menecmo, presentate con il
liguaggio dell’algebra e i grafici della geometria analitica.
A intersezione di due parabole
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x= y
2
y = x2
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A intersezione di una parabola
e un’iperbole
y = x2
xy = 2
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Come si calcolano le coordinate dei punti di
intersezione fra due coniche?
Quante sono al massimo intersezioni tra 2 coniche?
La prossima attività di gruppo è dedicata a rispondere a
questa e ad altre domande.
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo è
data una scheda di lavoro da completare.
Avete 30 minuti di tempo
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Intersezioni di due coniche
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Rispondere alle domande
Perché il sistema?
Perché risolvere un sistema di due equazioni in due
incognite x e y vuol dire ‘trovare tutte le coppie ordinate
di numeri reali che soddisfano entrambe le equazioni’
È lo stesso ragionamento seguito per calcolare le coordinate
dei punti di intersezione di una conica con una retta.
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Rispondere alle domande
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Intersezioni di coniche ‘in movimento’
File: Coniche_Geogebra_Presenta2
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Intersezioni di coniche e sistemi
Le coniche sono secanti
nei punti A, B, C, D
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Intersezioni di coniche e sistemi
Le coniche sono:
- tangenti nel punto A;
- secanti nei punti B e C.
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Intersezioni di coniche e sistemi
Le coniche sono
tangenti nel punto A
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Intersezioni di coniche e sistemi
Le coniche sono
esterne
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Intersezioni di coniche:
soluzioni esatte e approssimate
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Ecco qualche altra tappa significativa della lunga storia delle coniche
Apollonio (262 a. C. – 190 a. C.)
E’ un grande studioso di geometria e sistematore della teoria delle
coniche. La sua opera, vasta e difficile, ci è quasi interamente giunta.
E’ il primo a dimostrare che è possibile ottenere tutte e tre le sezioni
coniche intersecando un cono con un piano e variando l'inclinazione
di tale piano. E’ anche il primo ad attribuire i nomi di ellipsis,
hyperbola , parabola .
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Le coniche tra ricerca teorica e applicazioni
Archimede (287- 212 a.C) e Diocle (240 – 180 a.C)
In questi due matematici e scienziati troviamo le radici degli
studi applicativi sulle coniche, in particolare sulla riflessione
della luce in specchi sferici e parabolici.
Diocle
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Archimede
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Le coniche tra ricerca teorica e applicazioni"
Cartesio (1596 – 1650)
Lo studio matematico delle coniche iniziato storicamente per via
geometrica è stato poi sviluppato e approfondito da Cartesio nella
sua opera “La Geometria” (1637), che introduce la Geometria
Analitica. Cartesio espone la scoperta che le equazioni in due
variabili descrivono luoghi geometrici, cioè insiemi di punti del
piano che verificano determinate proprietà. Le curve cartesiane che
verificano un’equazione algebrica di secondo grado sono proprio
le coniche di Apollonio, e questo è il motivo per cui le coniche
vengono anche dette curve del secondo ordine.
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Le coniche tra ricerca teorica e applicazioni"
Galileo (1564 – 1642 )
Galileo scopre e sperimenta la traiettoria parabolica dei proiettili
lanciati sulla Terra.
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Le coniche tra ricerca teorica e applicazioni"
Keplero (1571 – 1630 ) e Newton (1642 – 1727)
Keplero e Newton trovano tutte le coniche come traiettorie di un
corpo (pianeta, cometa, …) che si muove nel sistema solare.
La traiettoria dipende dalle condizioni iniziali. Nel caso di orbite
ellittiche si parla di traiettoria chiusa (ad esempio la Terra intorno al
Sole). Nel caso di orbite iperboliche e paraboliche si parla di orbite
aperte (ad esempio una cometa intorno al Sole).
Animazione ‘Coniche e moto dei corpi celesti’
Keplero
Newton
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