testo scritto 15gen2014

Analisi Matematica 2
Ingegneria Civile/Ambientale
Non scrivere
nella tabella a fianco
COGNOME
1
2
3
15 gennaio 2014
4
NOME
Matr.
1A
3
Esercizio 1. Si consideri
la curva
γ : [0, 3π]→ R definita da γ(t) = (t cost, 2t sint,t) e si consideri il campo
di vettori F(x, y, z) = 0, 0, 2x+y
.
z
i3p Si rappresenti la curva con un disegno.
ii2p Si rappresenti il vettore F(γ(t)) nei punti t = π e t = 2π.
5p
iii
Z
Si calcoli il lavoro del campo F lungo la curva γ, cio`e l’integrale
F(γ(t)) · γ0 (t)dt.
[0,3π]
1B
3
Esercizio 1. Si consideri
γ : [0, 3π]→ R definita da γ(t) = (2t cost,t sint,t) e si consideri il campo
la curva
di vettori F(x, y, z) = 0, 0, 2x+y
.
z
i3p Si rappresenti la curva con un disegno.
ii2p Si rappresenti il vettore F(γ(t)) nei punti t =
π
2
e t = 32 π.
iii5p Si calcoli il lavoro del campo F lungo la curva γ, cio`e l’integrale
Z
F(γ(t)) · γ0 (t)dt.
[0,3π]
1C
3
Esercizio 1. Si consideri
la curva
γ : [0, 3π]→ R definita da γ(t) = (t cost, 2t sint,t) e si consideri il campo
di vettori F(x, y, z) = 0, 0, x−2y
.
z
i3p Si rappresenti la curva con un disegno.
ii2p Si rappresenti il vettore F(γ(t)) nei punti t = π e t = 2π.
5p
iii
Z
Si calcoli il lavoro del campo F lungo la curva γ, cio`e l’integrale
F(γ(t)) · γ0 (t)dt.
[0,3π]
1D
3
Esercizio 1. Si consideri
γ : [0, 3π]→ R definita da γ(t) = (2t cost,t sint,t) e si consideri il campo
la curva
di vettori F(x, y, z) = 0, 0, x−2y
.
z
i3p Si rappresenti la curva con un disegno.
ii2p Si rappresenti il vettore F(γ(t)) nei punti t =
π
2
e t = 32 π.
iii5p Si calcoli il lavoro del campo F lungo la curva γ, cio`e l’integrale
Z
[0,3π]
F(γ(t)) · γ0 (t)dt.
2A
Esercizio 2. Sia E il parallelogramma individuato dalle rette di equazioni
x − 2y = 0 , x − 2y = −8 , x + 2y = 4 , x + 2y = 16 .
i2p Si disegni l’insieme E e si trovino le coordinate dei vertici.
ii2p Si scriva una parametrizzazione affine ψ dell’insieme E a partire dal quadrato standard [0, 1] × [0, 1].
iii1p Si calcoli il determinante
jacobiano di ψ.
Z
iv5p Si calcoli l’integrale
xdxdy.
E
2B
Esercizio 2. Sia E il parallelogramma individuato dalle rette di equazioni
x − 2y = 0 , x − 2y = −8 , x + 2y = 4 , x + 2y = 16 .
i2p Si disegni l’insieme E e si trovino le coordinate dei vertici.
ii2p Si scriva una parametrizzazione affine ψ dell’insieme E a partire dal quadrato standard [0, 1] × [0, 1].
iii1p Si calcoli il determinante
jacobiano di ψ.
Z
iv5p Si calcoli l’integrale
ydxdy.
E
2C
Esercizio 2. Sia E il parallelogramma individuato dalle rette di equazioni
−x − 2y = 0 , −x − 2y = −8 , −x + 2y = 4 , −x + 2y = 16 .
i2p Si disegni l’insieme E e si trovino le coordinate dei vertici.
ii2p Si scriva una parametrizzazione affine ψ dell’insieme E a partire dal quadrato standard [0, 1] × [0, 1].
iii1p Si calcoli il determinante
jacobiano di ψ.
Z
iv5p Si calcoli l’integrale
xdxdy.
E
2D
Esercizio 2. Sia E il parallelogramma individuato dalle rette di equazioni
−x − 2y = 0 , −x − 2y = −8 , −x + 2y = 4 , −x + 2y = 16 .
i2p Si disegni l’insieme E e si trovino le coordinate dei vertici.
ii2p Si scriva una parametrizzazione affine ψ dell’insieme E a partire dal quadrato standard [0, 1] × [0, 1].
iii1p Si calcoli il determinante
jacobiano di ψ.
Z
iv5p Si calcoli l’integrale
ydxdy.
E
1
3A Esercizio
Si consideri il campo di vettori F(x, y) = (x2 + y2 ) 3 (x, y) e l’insieme
3.
Ω = {(x, y) x2 + y2 < R2 , y > 0 , y > x}.
i1p Si descriva e si rappresenti con un disegno l’insieme Ω.
ii1p Si scriva il versore ν(x, y) normale al bordo di Ω, diretto verso l’esterno, e lo si rappresenti sul disegno
di Ω.
iii2p Si calcoli la divergenza
Z del campo di vettori F(x, y).
iv3p Si calcoli l’integrale
v3p Si calcoli l’integrale
divF(x, y)dxdy.
ZΩ
F · νds e si verifichi che e` uguale all’integrale della divergenza di F su Ω.
∂Ω
1
3B Esercizio
Si consideri il campo di vettori F(x, y) = (x2 + y2 ) 3 (x, y) e l’insieme
3.
2
Ω = {(x, y) x + y2 < R2 , x < 0 , x < −y}.
i1p Si descriva e si rappresenti con un disegno l’insieme Ω.
ii1p Si scriva il versore ν(x, y) normale al bordo di Ω, diretto verso l’esterno, e lo si rappresenti sul disegno
di Ω.
iii2p Si calcoli la divergenza
Z del campo di vettori F(x, y).
iv3p Si calcoli l’integrale
v3p Si calcoli l’integrale
divF(x, y)dxdy.
ZΩ
F · νds e si verifichi che e` uguale all’integrale della divergenza di F su Ω.
∂Ω
2
3C Esercizio
Si consideri il campo di vettori F(x, y) = (x2 + y2 ) 3 (x, y) e l’insieme
3.
Ω = {(x, y) x2 + y2 < R2 , y > 0 , y > x}.
i1p Si descriva e si rappresenti con un disegno l’insieme Ω.
ii1p Si scriva il versore ν(x, y) normale al bordo di Ω, diretto verso l’esterno, e lo si rappresenti sul disegno
di Ω.
iii2p Si calcoli la divergenza
Z del campo di vettori F(x, y).
iv3p Si calcoli l’integrale
v3p Si calcoli l’integrale
divF(x, y)dxdy.
ZΩ
F · νds e si verifichi che e` uguale all’integrale della divergenza di F su Ω.
∂Ω
2
3D Esercizio
Si consideri il campo di vettori F(x, y) = (x2 + y2 ) 3 (x, y) e l’insieme
3.
Ω = {(x, y) x2 + y2 < R2 , x < 0 , x < −y}.
i1p Si descriva e si rappresenti con un disegno l’insieme Ω.
ii1p Si scriva il versore ν(x, y) normale al bordo di Ω, diretto verso l’esterno, e lo si rappresenti sul disegno
di Ω.
iii2p Si calcoli la divergenza
Z del campo di vettori F(x, y).
iv3p Si calcoli l’integrale
v3p Si calcoli l’integrale
divF(x, y)dxdy.
ZΩ
∂Ω
F · νds e si verifichi che e` uguale all’integrale della divergenza di F su Ω.
2
2
4A Esercizio 4. Si consideri la funzione f (x, y) = ex −2y .
ii1p Si descriva e si rappresenti l’insieme D+
1 dei punti in cui f (x, y) > 1.
ii2p Si descrivano e si rappresentino gli insiemi di livello Et = { f (x, y) = t} della funzione f .
iii2p Si scriva il gradiente ∇ f (x, y) e si scriva l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto
P = (1, 1, f (1, 1)).
iv5p Si calcolino i valori massimi e minimi della funzione f sulla circonferenza C di raggio 1 e centro nel
punto P = (1, 0) e si dica in quali punti di C vengono presi il valore massimo e il valore minimo.
2
2
4B Esercizio 4. Si consideri la funzione f (x, y) = e−x +2y .
ii1p Si descriva e si rappresenti l’insieme D+
1 dei punti in cui f (x, y) > 1.
ii2p Si descrivano e si rappresentino gli insiemi di livello Et = { f (x, y) = t} della funzione f .
iii2p Si scriva il gradiente ∇ f (x, y) e si scriva l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto
P = (1, 1, f (1, 1)).
iv5p Si calcolino i valori massimi e minimi della funzione f sulla circonferenza C di raggio 1 e centro nel
punto P = (1, 0) e si dica in quali punti di C vengono presi il valore massimo e il valore minimo.
2
2
4C Esercizio 4. Si consideri la funzione f (x, y) = e2x −y .
ii1p Si descriva e si rappresenti l’insieme D+
1 dei punti in cui f (x, y) > 1.
ii2p Si descrivano e si rappresentino gli insiemi di livello Et = { f (x, y) = t} della funzione f .
iii2p Si scriva il gradiente ∇ f (x, y) e si scriva l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto
P = (1, 1, f (1, 1)).
iv5p Si calcolino i valori massimi e minimi della funzione f sulla circonferenza C di raggio 1 e centro nel
punto P = (1, 0) e si dica in quali punti di C vengono presi il valore massimo e il valore minimo.
2
2
4D Esercizio 4. Si consideri la funzione f (x, y) = e−2x +y .
ii1p Si descriva e si rappresenti l’insieme D+
1 dei punti in cui f (x, y) > 1.
ii2p Si descrivano e si rappresentino gli insiemi di livello Et = { f (x, y) = t} della funzione f .
iii2p Si scriva il gradiente ∇ f (x, y) e si scriva l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto
P = (1, 1, f (1, 1)).
iv5p Si calcolino i valori massimi e minimi della funzione f sulla circonferenza C di raggio 1 e centro nel
punto P = (1, 0) e si dica in quali punti di C vengono presi il valore massimo e il valore minimo.

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