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Olimpiadi di Matematica Scuola Media
“Giochi di Archimede” 27 Novembre 2014”
QUESITO N.1 (Punti 0 - 20) - Inglese/Francese
“ At the restaurant”
At the restaurant “Al chiaro di luna”, on
Sundays, they prepare the following tourist
menù for their customers:
either roasted steak or ham
either fried potatoes or French beans
either chocolate icecream or creme-caramel
or apple-pie.
A meal consists of meat and vegetables and dessert. How many different meals can
you put together from the above mentioned menu?
Explain why.
“Au restaurant”
Le restaurant “Au clair de lune”, tous les dimanches, propose à ses clients le suivant
menu touristique:
bifteck grillé ou jambon
frites ou haricots verts
glace au chocolat ou crème caramel ou tarte aux sommes.
Un repas est compose par un plat de viande avec de la garniture et du dessert.
Combien de repas on peut composer avec le menu susmentionné?
Expliquer le pourquoi.
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Giochi di Archimede 27 Novembre 2014
Soluzioni
Quesito N.1(Punti 0-30): Risposta 12.
Soluzione: Il ristorante propone ai suoi clienti 2 primi, 2 contorni e 3 dessert. Quindi ogni avventore può
scegliere il suo pasto in 12 modi diversi: 2x2x3= 12
Quesito N.2 (Punti 10). La risposta corretta è (D).
Per verificarlo immaginiamo di costruire, per ogni studente, una parola di 5 lettere ottenuta scrivendo, nell’ordine in cui
li ha fatti, le versioni che gli sono capitate nei 5 compiti in classe. Ad esempio, associare ad uno studente la parola
AABAB significa che gli sono capitate la versione A nel primo e nel secondo compito in classe, la versione B nel terzo,
la versione A nel quarto e la B nel quinto. Dire che, comunque si prendano due studenti, vi è almeno un compito in cui
hanno svolto una versione diversa tra le due possibili A e B, equivale a dire che ad ogni studente viene associata una
parola diversa. Basterà contare quante sono le parole di 5 lettere fatte solo con lettere A e B. Poiché ognuno dei 5
caratteri di cui è costituita la parola può assumere 2 valori, il numero totale di tali parole è: 2·2·2·2·2 = 32.
Quesito N.3 (Punti 5). La risposta corretta è (A).
Le città umbre fanno parte delle città italiane mentre le regioni italiane non c’entrano nulla, quindi il diagramma che
esprime correttamente la relazione è il primo.
Quesito N.4 (Punti 5). La risposta corretta è (E). Per la proprietà del prodotto di potenze aventi
la stessa base, e per la potenza di una potenza, il numeratore vale 2135 mentre il denominatore, dopo aver portato il 16 in
base 2, vale 2120 ed applicando la proprietà del quoziente si ricava 215.
Quesito N.5 (Punti 10). La risposta corretta è (C). Lanciando contemporaneamente due dadi si
ottengono 36 possibili casi (tutte le coppie di numeri ottenute abbinando ogni numero del primo dado con ogni numero
del secondo). Eliminando le coppie con numeri uguali e quelle che contengono 1, tra le restanti solo 12 coppie sono di
numeri primi tra loro (MCD = 1) e cioè: (2,3), (3,2), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5). P =1/3.
Quesito N.6 (Punti 5). La risposta corretta è (A). L’asta sarà in equilibrio se 50·18 = 900= 25·15
in quanto il peso di 25Kg dista 15 cm dal centro. Tenendo conto che 900>25·15, l’asta pende a sinistra per cui, per
equilibrarla, occorre aggiungere a destra un peso pari a 900= x·15 (da cui x = 60) di 60 - 25 = 35 Kg.
Quesito N.7 (Punti 10). La risposta corretta è (B). Chi ha cambiato il numero di telefono può
aver scelto quale cifra cambiare in 5 modi diversi, in ciascuno dei quali la cifra scelta può essere stata cambiata in 9
modi diversi. Il numero iniziale potrebbe quindi essere stato cambiato in 5·9 = 45 modi diversi.
Quesito N.8 (Punti 10). La risposta corretta è (A). Si noti che il numero totale di banane da
consegnare deve essere divisibile sia per 432 (il numero di Pirati) che per 600 (il numero delle Sirene). Quindi la
minima quantità possibile è il minimo comune multiplo di 432 e 600, cioè 10.800 che corrisponde a 25 banane a Pirata.
Quesito N.9 (Punti 10). La risposta corretta è (B). Indichiamo con A il matematico che mente il
lunedì, martedì e mercoledì, e con B quello che mente giovedì, venerdì e sabato. La conversazione non può essere
avvenuta di lunedì perché B, che non mente né di lunedì né di domenica, avrebbe mentito. Per un motivo analogo la
conversazione non può essere avvenuta né di martedì né di mercoledì. In modo simile possiamo escludere il venerdì, il
sabato, e la domenica perché A, che in questi giorni non mente, non direbbe la verità. L’unico giorno possibile è il
giovedì, in cui in effetti la conversazione può essere avvenuta: A afferma il vero (il giorno precedente ha mentito) e B
afferma il falso (il giorno precedente non ha mentito) e questo è compatibile con le ipotesi del problema.
Quesito N.10 (Punti 10). La risposta corretta è (E). Poiché Andrea ottiene TRE+TRE= SEI e la
corrispondenza tra lettere e numeri è biunivoca, ne segue che i due numeri che lui somma sono uguali ad uno stesso
numero, che chiamiamo N. Proviamo con degli esempi che nessuna delle affermazioni contenute nelle risposte (A), (B),
(C), (D) è necessariamente vera. Scegliendo N = 325 (somma 750, E = 5) si vede che (A) e (D) non sono verificate; se
scelgo N = 175 (somma 350, S = 3) (B) non è verificata; se scelgo N = 162 (somma 324, E = 2) (C) non è verificata.
Quesito N.11 (Punti da 0 a 20; la risposta è 9. In
base ai dati del problema, dobbiamo scrivere
2014 come somma di due potenze distinte tra loro. Poiché 211 = 2048 > 2014, dobbiamo usare potenze con esponente
≤ 10; poiché inoltre 2014 è pari, e tutte le potenze di 2, tranne 20 = 1, sono pari, possiamo escludere 1.
Dunque dobbiamo scrivere 2014 come somma di alcuni tra i numeri: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, prendendo
ciascuno di loro al più una volta. In effetti questo è possibile in uno ed un solo modo, che è il seguente: 2014 = 1024 +
+ 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2. Gli addendi necessari per ottenere 2014 in questo modo sono 9 che è
anche la risposta del problema.
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Quesito N.1 Traduzione e risoluzione).
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U.M.I. - I. I. S. “Pitagora - Calvosa” Castrovillari
OLIMPIADI DI MATEMATICA SCUOLA MEDIA
“Giochi di Archimede” 27 Novembre 2014
Istruzioni
1) Non sfogliate questo fascicolo finchè l’insegnante non dice di farlo.
2) I quesiti che sottoponiamo sono a risposta multipla dal n.2 al n.10. Ogni domanda è seguita da cinque
risposte indicate con le lettere A, B, C, D, E.
3) Ciascuna delle domande ammette una sola risposta corretta: la lettera corrispondente alla risposta esatta
dovrà, per ogni quesito, essere riportata in fondo a questa pagina nella relativa finestrella.
4) Ogni risposta esatta vale il numero di punti indicato nel testo, ogni risposta errata vale 0 punti , ogni
problema lasciato senza risposta vale 0 punti.
5) Il quesito n.1 vale da 0 a 30 punti, di cui la metà per la traduzione ; il quesito n.11 vale da 0 a 20 punti.
Il procedimento del n.1 va illustrato su foglio a parte, preceduto dalla traduzione in italiano del testo in lingua
straniera, mentre il n.11 va svolto sullo stesso foglio della traccia.
6) Durante la prova NON E’ AMMESSO L’USO DI CALCOLATRICI TASCABILI, mentre, trattandosi di
lavoro di gruppo è lecita, tra gli allievi componenti la classe, ogni utile forma di collaborazione o strategia.
7) In caso di classi bilingue il quesito n.1 può essere tradotto da una delle due lingue indifferentemente.
8) Quando l’insegnante darà il via potrete cominciare a lavorare. Avrete 2 ore di tempo. Buon lavoro!
CLASSE : _________________________ SCUOLA ___________________________________
Indirizzo:____________________________________ Città:_______________________________
Risposte ai quesiti da 2 a 10
2
3
4
5
6
7
8
PUNTEGGIO (da riempirsi a cura dell’insegnante)
Valutazione esercizi da 2 a 10
Valutazione esercizio n.1
Valutazione esercizio n.11
PUNTEGGIO TOTALE
1
9
10
Quesito N. 2 (Punti 10). L’insegnante di
matematica della classe IB, nei compiti in classe, ha
l’abitudine di preparare due test diversi (A e B) e di far svolgere a metà
degli studenti il test A e all’altra metà il test B. Alla fine del Quadrimestre
nota con piacere che nessuno studente è mai stato assente durante i compiti
in classe e che, inoltre, comunque si prendano due studenti, c’è almeno uno
dei 5 compiti in classe in cui hanno svolto test diversi. Quanti sono al più i
ragazzi?
(A) 28
(B) 22
(C) 30
(D) 32
(E) 26
Quesito N. 3 (Punti 5). Indicare il diagramma che esprime la relazione logica tra gli insiemi: Città
italiane, Città umbre, Regioni italiane.
(A)
(B)
(C)
Quesito N. 4 (Punti 5).
(D)
(E)
Calcolare:
(2·22·23·24·25)9
(16·162·163·164·165)2
(A) 213
(B) 2
(C) 225
(D) 216
(E) 215
Quesito N. 5 (Punti 10). Si
lanciano contemporaneamente due dadi regolari. Dire qual è la
probabilità che i due numeri estratti siano diversi, diversi da 1,e primi
tra loro.
(A) 11
36
(C) 1
3
(B) 8
15
(D) 17
36
(E) 13
36
Quesito N. 6 (Punti 5). Un’asta, lunga un metro, è vincolata al centro. A 35 cm dall’estremità di
destra reca un peso di 25 Kg, mentre all’estremità opposta reca un peso di 18 kg. Per equilibrarla occorre
aggiungere un peso di:
(A) 35 Kg a destra
(B) 35 Kg a sinistra
(C) 15 Kg a destra
(D) 18 Kg a destra
(E) Nessuna delle precedenti
3
18 Kg
25 Kg
Quesito N. 7(Punti 10).
Marco deve telefonare ad un amico il cui numero di telefono è : 06108 che
si è premurato di appuntare su un’agenda. Il giorno dopo viene a sapere
che nel frattempo una cifra è stata cambiata, non si sa quale. Qual è
il numero minimo di tentativi che deve fare per essere sicuro di parlare
con il suo amico?
(A) 5
Quesito N. 8(Punti 10).
(B) 45
(C) 10
(D) 9
(E) 25
L’isola delle Sirene ha sconfitto l’isola dei Pirati e, come bottino di guerra,
ha diritto ad un certo numero di banane.
La Legge della Pirateria stabilisce che le banane siano ripartite tra le
Sirene in modo che ciascuna ne riceva lo stesso numero.
Stabilisce anche che i Pirati mettano insieme il bottino consegnando
ciascuno la stessa quantità di banane.
Sapendo che i Pirati sono 432 e le Sirene sono 600, dire qual è il
minimo numero di banane che ogni Pirata deve consegnare, affinchè
le Sirene siano in grado di ripartirselo in parti uguali.
(A) 25
(B) 50
(C) 10
(D) 600
(E) 75
Quesito N. 9 (Punti 10). In una conversazione tra due matematici il primo dice al secondo: “Ieri
ho mentito”. L’altro risponde: “Anch’io ieri ho mentito”. Sapendo che
uno dei due mente il lunedì, il martedì e il mercoledì (e solo in questi
giorni), mentre l’altro mente il giovedì, il venerdì ed il sabato (e solo in
questi giorni), in quale giorno della settimana è avvenuta la conversazione?
(A) lunedì
(B) giovedì
(C) domenica
(D) una tale conversazione non può essere avvenuta
(E) non è possibile determinare il giorno in modo univoco
Quesito N. 10 (Punti 10).
Andrea scrive la somma di due numeri a tre cifre con il relativo risultato.
Poi sostituisce a ciascuna cifra una lettera, facendo corrispondere lettera
uguale a cifra uguale e usando lettere diverse per cifre diverse. In questo
modo ottiene: TRE + TRE = SEI. Allora:
(A) la lettera E corrisponde necessariamente ad un numero pari
(B) la lettera S corrisponde necessariamente ad un numero pari
(C) la lettera E corrisponde necessariamente a un numero dispari > 4
(D) la lettera E corrisponde necessariamente ad un numero pari < 5
(E) nessuna delle precedenti affermazioni è vera
4
QUESITO N. 11 (Punti 0 - 20).
“I quaderni di Alberto”
Alberto va in cartoleria per comprare dei quaderni e li
vuole tutti di colori diversi. In cartoleria ci sono 2014
quaderni di vari colori.
Per ciascun colore il numero di quaderni è una
potenza di 2, diversa da colore a colore.
Quanti quaderni può comprare al massimo Alberto?
5

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