remastered - Università degli Studi di Messina

Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
SULLE ONDE ECCEZIONALI IN M.F.D.
CON EQUAZIONE DI STATO GENERALIZZATA
`
E SULLA FORMULAZIONE DI UN CRITERIO DI ECCEZIONALITA
G IOVANNI C RUPI
S UMMARY. The possible character of exceptionality of the discontinuity waves has been
studied in M.F.D. with equation of state depending, a priori, also on electromagnetic field
vectors. The influence of the generalized equation of state has been precised. Furthermore, it has been found the possibility of expressing the exceptionality condition by a
criterion which makes clear the connection between the classical procedure of determining
the wave–fronts and the one of verifying their possible character of exceptionality.
In una precedente Nota [1] ho avuto occasione di illustrare le ragioni fisiche che suggeriscono di assumere in M.F.D. un’equazione di stato dipendente anche da grandezze elettromagnetiche ed ho, tra l’altro, studiato l’influenza di tale assunzione sulla propagazione
dei fronti d’onda di discontinuit`a compatibili col seguente sistema differenziale:

dB


= (B · grad)v − B div v,


 dt

 d%
+ % div v = 0,
(1)
 dt



dv
1
∂ψ


%
= −%(e) v ∧ B + (rot B) ∧ B − (Si grad Bi + Gi grad vi ) −
grad %,
dt
µ
∂%
dove
p = ψ(%, D1 , D2 , D3 , B1 , B2 , B3 ),
(2)
∂ψ
∂ψ
Si =
+ εEilm vl
,
(3)
∂Bi
∂Dm
∂ψ
Bm ,
Di = −εEilm vl Bm ,
(4)
Gi = εEilm
∂Dl
essendo Eilm il noto pseudotensore di Ricci.
Nel sistema (1) con B e` stata indicata l’induzione magnetica, con v la velocit`a della
generica particella fluida, con p la pressione, con % la densit`a di massa, con %(e) la densit`a
spaziale di carica elettrica, con µ la permeabilit`a magnetica e con ε la costante dielettrica
del mezzo.
Alle equazioni (1) si e pervenuti nella citata Nota [1] nello schema di un processo termodinamicamente isotermico in un fluido non viscoso, omogeneamente costituito, elettricamente conduttore e dotato di conducibilit`a σ → ∞. Inoltre, la densit`a di corrente di
spostamento si e` supposta trascurabile rispetto a quella di conduzione.
Nel corso degli sviluppi della [1], nella parte riguardante la ricerca dei fronti d’onda,
mi sono preminentemente occupato, soffermandomi su alcuni casi particolari, del calcolo
effettivo delle velocit`a normali di propagazione allo scopo di cogliere i contributi eventuali
della equazione di stato generalizzata nella forma (2).
233
234
G. C RUPI
In questi ultimi anni sono stati pubblicati interessanti lavori [2, 3] sulle variet`a caratteristiche dei sistemi differenziali in cui si danno, tra l’altro, delle condizioni che assicurano che un fronte d’onda di discontinuit`a non evolva in onda d’urto (condizioni di
eccezionalit`a).
E` nell’indirizzo di tali ricerche che mi sono proposto di riesaminare il problema delle
variet`a caratteristiche del sistema differenziale (1).
Nei nn. 1, 2, dopo aver ritrovato le equazioni a cui soddisfano i vettori caratteristici
delle discontinuit`a, si procede al calcolo effettivo delle velocit`a normali di avanzamento
dei fronti d’onda in casi pi`u generali di quelli considerati in [1].
Il n. 3 e` stato dedicato all’analisi delle onde compatibili col sistema (1) e propagantisi
con la velocit`a di Alfv´en. Tra l’altro, e` stato provato che l’equazione di stato generalizzata
(2), nonostante influisca sulla struttura dei vettori caratteristici delle discontinuit`a, non
altera n´e la natura eccezionale di tali onde n´e, ovviamente, la loro velocit`a radiale.
Nel n. 4, introdotto il concetto di discontinuit`a condizionata, e` stato dimostrato che
la condizione di eccezionalit`a pu`o essere formulata mediante un criterio che evidenzia la
connessione tra i procedimenti classici di ricerca dei fronti d’onda e l’accertamento del
loro eventuale carattere di eccezionalit`a.
Infine, i nn. 5, 6, applicando la condizione di eccezionalit`a nella forma del criterio
introdotto nel n. 4, sono stati dedicati alla ricerca di eventuali condizioni di eccezionalit`a
delle onde associate alle velocit`a di propagazione che si hanno nei due casi particolari in
cui si presuppone trascurabile Bn , oppure Gn .
Con riferimento a tali onde sono stati calcolati anche i vettori velocit`a radiale, sottolineando i contributi caratteristici dell’equazione di stato generalizzata.
1. – Sia
ϕ(t, x1 , x2 , x3 ) = 0
(5)
l’equazione di un eventuale fronte d’onda di discontinuit`a, cio`e una superficie che al generico istante t separa la regione in cui e` in atto un processo magneto–fluidodinamico governato dalle (1) dal resto del mezzo. Con x1 , x2 , x3 si indicano le coordinate cartesiane
ortogonali e con t il tempo in un sistema inerziale di riferimento S(O, x1 , x2 , x3 , t).
Indicheremo, come si fa usualmente [3], il salto delle derivate prime rispetto a ϕ premettendo l’operatore δ alla grandezza, cio`e
∂v
∂v
∂v
=
−
,
(6)
δv =
∂ϕ
∂ϕ ϕ=0+
∂ϕ ϕ=0−
∂B
δB =
,
(7)
∂ϕ
∂%
δ% =
.
(8)
∂ϕ
Applicando l’operatore δ ad ambo i membri delle (1), si trae

W δ B = Bn δ v − Bδ vn ,



 W δ% + %δ v = 0,
n
(9)

∂ψ
1


δ % n,
 %W δ v = (n ∧ δ B) ∧ B − Si δ Bi + Gi δ vi +
µ
∂%
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dove si e` posto
W = −λ + vn ,
(10)
grad ϕ
n=
,
(11)
| grad ϕ|
∂ϕ/∂t
−λ =
.
(12)
| grad ϕ|
Com’`e noto, n indica il versore della normale nel generico punto del fronte d’onda
orientato positivamente nel senso in cui il fronte avanza, λ indica la velocit`a normale di avanzamento del generico punto del fronte d’onda rispetto al sistema inerziale di
riferimento.
Eliminando dalla (9)3 le quantit`a δ B e δ %, dopo le (9)1 e (9)2 , si ottiene il seguente
sistema lineare ed omogeneo in δvk :
(Aik − ζδik )δvk = 0,
(13)
dove
Aik = Bn Bi nk + ni Mk ,
(14)
ζ = −µ%W 2 + Bn ,
(15)
con
Mk = −ηnk + Bn (Bk + µSk ) + µW Gk ,
(16)
∂ψ
.
(17)
η = B 2 + µSq Bq + %µ
∂%
Affinch´e il sistema (13) ammetta soluzioni distinte dall’identica, dev’essere
det kAik − ζδik k = 0,
(18)
cio`e
ζ 3 − I (1) ζ 2 + I (2) ζ − I (3) = 0,
(19)
dove con I (1) , I (2) ed I (3) sono stati, rispettivamente, indicati gli invarianti principali della
matrice Aik .
Si
 trova facilmente che
 I (1) = Bn2 + Mn ,


(20)
I (2) = Bn (Bn Mn − Bi Mi ),


 (3)
I = 0,
e, quindi, le radici della (19), cio`e gli autovalori della matrice Aik , sono:

ζ = 0,





B 2 + Mn
1√
ζ= n
−
∆,
(21)
2
2


2

√
1
B + Mn


+
∆,
ζ= n
2
2
dove si e` posto
∆ = (Bn2 − Mn )2 + 4Bn Bi Mi .
(22)
Ovviamente, le ζ, date da (21)2 e (21)3 , sono reali se
∆ ≥ 0.
(23)
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G. C RUPI
Ci soffermiamo a mettere in evidenza alcuni casi in cui la condizione (23) e` certamente
verificata.
Invocando le (16) e (17), la (22) assume la forma
2
∂ψ B 2
ω Gn
B 2 ∂ψ
∆=
+
+ −
W
−4 n
,
(24)
∂%
%µ
%
%
%µ ∂%
dove
ω = Bi Si − Bn Sn = Bt St ,
(25)
∂ψ
Bm ni .
(26)
Gn = εEilm
∂Di
Da (24) si trae che la (23) e` sicuramente verificata nei seguenti due casi:
a) Bn = 0;
b) ω = 0, Gn = 0.
Inoltre, per motivi di continuit`a, la (23) pu`o presumersi soddisfatta anche per ω 6= 0 e
Gn 6= 0, purch´e
 2

ω ∂ψ + B ,


 %
∂%
%µ
s
(27)

Gn ∂ψ B 2



+
.
% ∂%
%µ
Notiamo, a conclusione del presente numero, che le (21), dopo la (15) e la (16), si
possono riguardare come equazioni nella incognita W .
2. – Dalla (21)1 , dopo la (15), si trae
|Bn |
W = ±√ .
(28)
%µ
Inoltre, si trova facilmente che le (21)2 e (21)3 , dopo le (15) e (16), conducono, separatamente, all’equazione in W
W 4 + αW 3 − βW 2 + γ = 0,
(29)
dove

 α = Gn ,



%




B2
∂ψ ω
β=
+
+ ,
(30)

%µ
∂%
%




B 2 ∂ψ


γ = n
.
%µ ∂%
A parte il diverso procedimento e le notazioni, la (28) e la (29) coincidono, sostanzialmente, con i risultati gi`a ottenuti nella Nota [1].
Ricordiamo, per`o, che negli sviluppi della [1] le radici della (29) sono state calcolate, a
meno dei termini in ω/%, solo nei due casi particolari in cui Bn = 0 (γ = 0) e Gn = 0
(α = 0), mentre sui modi di propagazione connessi alle radici dell’equazione completa
(29) sono state fatte soltanto considerazioni a carattere qualitativo.
In questo numero ci proponiamo di ricercare le W in condizioni meno restrittive di
quelle assunte in [1]. Pi`u precisamente, sar`a abbandonata l’ipotesi a priori che i termini in
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√
ω/% siano trascurabili e, a meno di termini di ordine superiore al primo in α/ β, si proceder`a anche al calcolo delle quattro velocit`a di propagazione soddisfacenti all’equazione
completa (29).
Osserviamo che la (29) e` suscettibile di essere scritta nella seguente forma adimensionale
ν 4 + α? ν 3 − ν 2 + γ ? = 0,
(31)
con
α
γ
W
α? = √ ,
γ? = 2 .
ν=√ ,
β
β
β
Subordinatamente all’ipotesi (27), si ha
α? 1,
(32)
(33)
e, quindi, nasce l’idea di ricercare le radici della (31) approssimate ai termini di primo
ordine in α? .
In tale approssimazione e` lecito porre
ν = ν0 + ν1 α? ,
(34)
dove ν0 e ν1 sono dei valori numerici indipendenti da α? .
Sostituendo la (34) nella (31) e trascurando i termini di ordine superiore al primo in α? ,
si deduce che ν0 e ν1 vanno concepiti come soluzioni del sistema
( 4
ν0 − ν02 + γ ? = 0,
(35)
(4ν02 − 2)ν1 + ν03 = 0.
Le radici dell’equazione biquadratica (35)1 sono reali e distinte se
∆? = 1 − 4γ ? > 0.
(36)
La condizione espressa dalla (36) e` certamente verificata nello schema dell’ipotesi (27)1 .
E` appena necessario osservare che, essendo γ ? > 0, segue
0 < ∆? < 1.
(37)
Dalla (35)1 si deducono le quattro radici reali e distinte
q
q

√ ? 1
√
1
(1)

1
+
2
γ
+
1 − 2 γ?,
=
−
ν

0


2
2

q
q


√
√
1
1

(2)

 ν0 =
1 + 2 γ? −
1 − 2 γ?,
2 q
2 q
(38)
√ ? 1
√ ?
1

(3)


ν
=
−
1
+
2
γ
−
1
−
2
γ
,

0

2
2


q
q

√
√

1
1
(4)
ν =
1 + 2 γ? +
1 − 2 γ?.
0
2
2
(i)
In corrispondenza alle ν0 (i = 1, 2, 3, 4) elencate in (38), da (35)2 si traggono i
(i)
seguenti valori per ν1 :
√

1 − 1 − 4γ ?
(1)
(2)

 ν1 = ν1 =
√
,

4 1 − 4γ ?
(39)
√
?


 ν1(3) = ν1(4) = − 1 +√ 1 − 4γ .
4 1 − 4γ ?
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Adesso, inserendo le (38) e (39) nella (34), dopo le (32), restano stabilite le formule:

!
q
q

α
β
1
√
√

(1)

−1
− β+2 γ+ β−2 γ + p
,
W =


2 − 4γ

2
4
β



!

q

q

1
β
α
√
√

(2)

W = −
− β+2 γ+ β−2 γ + p
−1
,


2
2
4
β − 4γ
!
(40)
q
q


1
β
α
√
√

(3)

W =−
β+2 γ+ β−2 γ − p
,
−1


2
4

β 2 − 4γ



!

q
q

 (4)
α
1
β
√
√


−1
β+2 γ+ β−2 γ − p
,

W = 2
2
4
β − 4γ
che danno le cercate
radici della (29), approssimate a meno di termini di ordine superiore
√
al primo in α/ β.
Tali radici, com’`e noto, sono suscettibili di essere interpretate come velocit`a normali di
avanzamento di fronti d’onda rispetto al fluido mobile e, pertanto, alludono a quattro modi
distinti di propagazione.
Vogliamo ora procedere alla ricerca delle radici della (29) in altri due casi particolari.
I) Sia Bn = 0.
In tal caso la (28) si riduce a
W = 0,
(41)
mentre la (29) conduce alle
 (1)
W = W (2) = 0,



s



2
2

 W (3) = − Gn + Bt + ∂ψ + ω − Gn ,
4%2
%µ
∂%
%
2%

s




Bt2
∂ψ ω Gn
G2n


 W (4) =
+
+
+ −
.
4%2
%µ
∂%
%
2%
(42)
Le (42) si deducono facilmente, dopo aver osservato che per Bn = 0 le (30)2 e
(30)3 si particolarizzano nelle
Bt2
∂ψ ω
+
+ ,
%µ
∂%
%
γ = 0.
β=
(43)
(44)
Le (41) e (42)1 non hanno rilevanza in un problema di propagazione ondosa
perch´e alludono a superficie materiali che si appoggiano sempre alle stesse particelle fluide, mentre le (42)2 e (42)3 alludono a due fronti d’onda che si propagano
in seno al fluido con velocit`a distinte.
E` facile verificare che se nelle (42)2 e (42)3 si trascura il termine in ω, allora
si ritrovano le due velocit`a di propagazione stabilite in [1], sempre nell’ipotesi
Bn = 0.
II) Sia Gn = 0.
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239
In tal caso dalla (30)1 si trae che
α = 0,
(45)
e, quindi, la (29) si specializza in un’equazione biquadratica che conduce alle
seguenti radici

s

2

B2
∂ψ
ω
∂ψ
ω
B2
B2
1

(1,2) 2



+
+ −
+
+
−4 n
(W
) =


2
%µ
∂%
%
%µ
∂%
%
%µ


s
2



B2
∂ψ
ω
∂ψ
ω
1  B2
B2
(3,4) 2


−4 n
+
+
+
+
+
(W
)
=


2 %µ
∂%
%
%µ
∂%
%
%µ

∂ψ 
,
∂%

∂ψ 
,
∂%
(46)
che, per la presenza dei termini in ω, sono pi`u generali di quelle stabilite in [1].
Risulta, inoltre, evidente che nel caso in esame (Gn = 0) la (28) conserva
immutata la sua struttura.
3. – In questo numero sar`a dimostrato che il contributo delle grandezze elettromagnetiche nella formulazione dell’equazione di stato (2) non altera il carattere di eccezionalit`a
[3] delle onde associate alla velocit`a di Alfv´en (28), nonostante la struttura dei vettori
caratteristici delle discontinuit`a ne risulti chiaramente influenzata.
Da (13), tenendo presenti le (14), (15), (16), (17) e (28), si trae
r
µ
δ v = kn ∧ Bn B + µBn S ±
|Bn |G ,
(47)
%
essendo k un fattore di proporzionalit`a.
Da (9)1 e (9)2 , dopo la (47) e la (28), si deduce
r
√
%µ
µ
Bn n ∧ Bn B + µBn S ±
|Bn |G ,
(48)
δB = ±
|Bn |
%
δ % = 0.
(49)
Nelle (47) e (48) i termini in S e G traducono, evidentemente, i contributi dell’equazione
di stato generalizzata nella forma (2).
Inoltre, dopo la (10), dalla (28) si trae la seguente formula
|Bn |
λ = vn ± √
(50)
%µ
per la velocit`a normale di avanzamento delle onde di Alfv´en.
Dalla (50) segue per derivazione che

∂λ


= n,



∂v


 ∂λ
n
= ±(sign Bn ) √ ,
(51)
∂B
%µ




 ∂λ
1 |Bn |


=± √ .

∂%
2% %µ
I fattori caratteristici delle discontinuit`a (47), (48) e (49) forniscono un insieme di sette
quantit`a scalari e possono essere interpretate in uno spazio a sette dimensioni S7 come
componenti di un unico vettore:
d = (δ v, δ B, δ %).
(52)
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240
G. C RUPI
Analogamente, accanto al vettore d, sempre in S7 , si pu`o introdurre il gradiente della
velocit`a di avanzamento (50):
∂λ ∂λ ∂λ
∇λ ≡
,
,
.
(53)
∂v ∂B ∂%
Adattando al nostro caso quanto e` noto [3], la condizione di eccezionalit`a per un fronte
d’onda associato ad una velocit`a d’avanzamento β e` espressa dall’annullarsi del prodotto
scalare
∂λ
∂λ
∂λ
·δv+
·δB+
δ %.
(54)
∇λ · d =
∂v
∂B
∂%
Questa condizione, nel caso in esame delle onde di Alfv´en, risulta verificata. Infatti,
sostituendo nella (54) le (47), (48), (49) e (51) si trova
∇λ · d = 0.
(55)
Resta cosi dimostrato che le onde di Alfv´en compatibili col sistema (1) non evolvono in
onde d’urto.
A conclusione di questo numero procediamo al calcolo della velocit`a radiale delle onde
di Alfv´en, compatibili col sistema (1),
B
Λ = v ∓ (sign Bn ) √ .
(56)
%µ
La (56) si ricava inserendo la (50) nella nota formula generale [3]
∂λ
∂λ
Λ = λn +
−
· n n.
(57)
∂n
∂n
4. – Per costruire il risultato espresso con la (55), ed in particolare per pervenire al calcolo effettivo sia di λ, data dalla (50), che delle discontinuit`a (47), (48) e (49), compatibili
col sistema (9), si e` seguito un procedimento diverso da quello adottato in [3], evitando
l’uso sistematico dell’algoritmo matriciale. Per tale via non e` stato necessario n´e ricercare
λ direttamente come autovalore di una matrice a sette righe e sette colonne, cui saremmo
stati condotti applicando il metodo generale illustrato in [3], e n´e si e` dovuto introdurre d
come autovettore destro.
Adesso, operando una sintesi delle linee fondamentali del procedimento seguito ed introducendo la nozione di discontinuit`a condizionata della derivata rispetto a ϕ di λ(v, B, %),
si pu`o dare alla condizione di eccezionalit`a (55) una formulazione concisa ed interessante per le sue evidenti connessioni con i metodi usuali di ricerca dei fronti d’onda di
discontinuit`a.
La derivata di λ(v, B, %) rispetto a ϕ e` data da
∂λ ∂v
∂λ ∂B ∂λ ∂%
∂λ
=
+
+
,
(58)
∂ϕ
∂v ∂ϕ ∂B ∂ϕ
∂% ∂ϕ
e, quindi, applicando ad ambo i membri della (58) l’operatore δ si trae
∂λ
∂λ
∂λ
δλ =
δv+
δB+
δ %,
(59)
∂v
∂B
∂%
la quale esprime che la discontinuit`a della derivata prima di λ(v, B, %) rispetto a ϕ e` legata alle discontinuit`a delle derivate prime dei suoi argomenti come il differenziale di una
funzione ai differenziali delle sue variabili.
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241
∂λ
l’espressione che com∂ϕ
pete alla δ λ, data da (59), se le discontinuit`a δ v, δ B e δ % sono compatibili col sistema
(9), cio`e se sono state calcolate risolvendo il sistema omogeneo (9) dopo aver inserito la λ
in esame nei suoi coefficienti. La (55), invocando le (54) e (59), e` suscettibile della forma:
Conveniamo, ora, di chiamare discontinuit`a eondizionata di
δ λ = 0,
(60)
e questa, appunto, ci suggerisce di formulare la condizione di eccezionalit`a mediante il
seguente criterio: condizione sufficiente affinch´e un fronte d’onda associato ad una velocit`a
∂λ
sia nulla.
di avanzamento λ sia eccezionale e` che la “discontinuit`a condizionata” di
∂ϕ
L’interpretazione data alla (60) col criterio ora enunciato, tra l’altro, ci permette di evidenziare, restando nell’ambito di una visione classica, la connessione tra i metodi usuali
di ricerca dei fronti d’onda [4], [5, pp. 55–57] e l’indagine sul loro eventuale carattere di
eccezionalit`a.
Nei due numeri successivi illustreremo la (59) su due casi particolari.
5. – In questo numero saranno ricercate le eventuali condizioni di eccezionalit`a per le
onde associate alle velocit`a di propagazione (41) e (42), relative al caso Bn = 0.
I fronti d’onda associati alle velocit`a (41) e (42) si appoggiano sempre alle medesime
particelle fluide e, usualmente, vengono indicate come onde materiali.
In tal caso, dalla (10), si trae che
λ = vn ,
(61)
e, inoltre, si pu`o dedurre dalle (9) solo che
2
B
δ
+ p = 0.
(62)
%µ
Questa condizione, a meno della dipendenza di p dal campo elettromagnetico, presupposta
con la (2), coincide sostanzialmente con quella riportata dallo Shih-I Pai [6].
Volgiamo ora l’attenzione ai fronti d’onda associati alle velocit`a (42)2 e (42)3 che, per
brevit`a, indicheremo con
√
Gn
,
(63)
W (s) = (−1)s θ −
2%
dove s = 3, 4 e
G2
∂ψ ω
B2
θ = n2 + t +
+ .
(64)
4%
%µ
∂%
%
Dalla (13), dopo le (14), (15), (16), (17) e (63), si trae che
δ v = k (s) n,
(65)
(3)
(4)
dove per s = 3 si ha la δ v associata a W e per s = 4 quella associata a W . I parametri
k (3) e k (4) vanno riguardati come fattori di proporzionalit`a. Da (9)1 e (9)2 , invocando la
(65) e ricordando che nel caso in esame Bn = 0, si ricava:
k (s)
δ B = − (s) B,
(66)
W
k (s)
δ % = − (s) %.
(67)
W
Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
242
G. C RUPI
Inoltre, dalla (10) si deduce che le velocit`a normali di avanzamento rispetto al sistema
inerziale delle onde associate alle (63) sono
√
Gn
λ = vn − (−1)s θ −
,
(68)
2%
e, quindi,
 (s)
1 ε ∂ψ

 ∂λ = n − (−1)s √
∧ B,


∂v

2 θ % ∂D





∂λ(s)
ε
∂ψ
(−1)s εGn
∂ψ
2


√
=
n
∧
−
n∧
+
B
 ∂B
2%
∂D
2%2
∂D %µ
2 θ
(69)

∂
∂ψ
1
∂ψ
∂ψ
1


+
+
B
·
+
εv
∧
·
B
+
S
,


∂B ∂%
%
∂B
∂D
%




s
2
2
(s)
2


Bt
∂ ψ
ω
1 ∂ω
Gn
 ∂λ = − Gn − (−1)

√
− 2+
.
− 3− 2 +
∂%
2%2
2%
% µ
∂%2
%
% ∂%
2 θ
Adesso, applicando l’operazione di discontinuit`a condizionata, indicata nella (58), ad
ambo i membri della (68), dopo le (65), (66), (67) e (69), si trova
k (s)
Gn
(−1)s Gn
3 Bt2
ω
δ λ = (s) −
(1 + (−1)s ) + √
+
+
2
2%
2%
2
%µ
%
W
θ
(70)
2
2
∂ψ 1
∂ ψ
1 ∂ω
1 ∂ ψ 1 ∂ω
+
+ Bi
+
Bi + % 2 +
.
∂%
2 ∂%∂Bi
2% ∂Bi
2 ∂%
2 ∂%
Fissato il valore di s, ad es. s = 3, le onde associate alia velocit`a W (3) , data dalla
(63), hanno carattere eccezionale se la ψ(%, D, B) pu`o essere interpretata come integrale
dell’equazione differenziale che si ottiene eguagliando a zero il secondo membro della
(70). Analoga conclusione vale per s = 4. In ogni altro caso le onde associate alle velocit`a
di propagazione (63) possono evolvere in onde d’urto.
Applicando la (57) si trova, dopo la (68), la seguente formula per le velocit`a radiali
associate alle (63):
β
1
Gn
Λ = v − (−1)s √ n +
1 − (−1)s √
G.
(71)
2%
θ
2% θ
I contributi nella (70) e nella (71) dell’equazione di stato generalizzata (2) figurano
attraverso i termini in Gn ed ω. Trascurando tali contributi, le (70) e (71) si particolarizzano
rispettivamente nelle:
(−1)s k (s) 1
3 Bt2
∂ψ 1 ∂ 2 ψ
√
δλ =
+
+
%
,
(72)
∂%
2 ∂%2
W ?(s)
θ? 2 %µ
Λ = v − W ?(s) n,
?(s)
(73)
?
dove con W
e θ sono stati indicati gli aspetti particolari delle (63) e (64) per Gn = 0
e ω = 0.
E` appena necessario osservare che nel caso di un’equazione di stato di tipo classico
p = ψ(%) si possono avere fronti d’onda con carattere eccezionale se la ψ(%) e` suscettibile
di essere interpretata come soluzione dell’equazione che si deduce eguagliando a zero il
secondo membro della (72).
Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
S ULLE ONDE ECCEZIONALI IN M.F.D. CON EQUAZIONE DI STATO GENERALIZZATA . . .
243
6. – In questo numero saranno ricercate le eventuali condizioni di eccezionalit`a delle
onde associate alle velocit`a (46), relative al caso Gn = 0.
Invocando le (30)2 e (30)3 , la (46)1 si pu`o porre nella forma:
2
2
1p 2
β
W (1) = W (2) = −
β − 4γ,
(74)
2
2
da cui
W (1) = W (2) = ±τ,
(75)
dove r
β
1p 2
β − 4γ.
(76)
−
τ=
2
2
Dalla (13), dopo le (14), (15), (16), (17) e (75), si trae
Bn
2
δ v = k%µ
B−τ n ,
(77)
%µ
e, quindi, dalle (9)1 e (9)2 , dopo la (77), si ricava


 δ B = ±k%µτ (B − Bn n),
(78)
k%2 µ Bn2
2

−τ .
δ% = ∓
τ
%µ
Inoltre, inserendo la (75) nella (10), si deduce per le velocit`a di avanzamento delle onde
associate alle (46)1 , la seguente formula
β = vn ∓ τ,
(79)
e, quindi, dopo le (76), (30)2 e (30)3 , per derivazione si ricava
!


∂λ
ε
β
∂ψ


=n∓
1− p
∧ B,


2 − 4γ
∂v
4τ
%
∂D

β





∂λ
1
2B
∂2ψ
1

2

p
=
∓
+
+
S
−τ

t


∂B
%µ
∂%∂B %
2τ β 2 − 4γ



Bn2 ∂ 2 ψ
2Bn ∂ψ
(80)
n
+
,
+


%µ ∂%
%µ ∂%∂B





∂λ
B2
1
∂2ψ
ω
1 ∂ω
2


−τ − 2 +
=∓ p
− 2+


∂%
% µ
∂%2
%
% ∂%

2τ β 2 − 4γ





B2 ∂2ψ
1 ∂ψ


+ n
.
−
%µ ∂%2
% ∂%
Adesso, applicando ad ambo i membri della (79) l’operatore di discontinuit`a condizionata, indicato in (59), dopo le (77), (78) e (80) si deduce
2
p
k
Bn
∂2ψ
B2
2
p
δλ =
−τ
2 β 2 − 4γ −
· Bt +
%µ
∂%∂B
%µ
2 β 2 − 4γ
2
2
(81)
2
2
2
2
2Bt
∂ ψ ∂ω
1 Bn
∂ ψ ∂ψ
Bn
Bt
ω
−
−% 2 −
+ 2
% 2 −
+
2
+
.
%µ
∂%
∂%
τ %µ
∂%
∂%
%µ
%µ
%
A questo punto si pu`o concludere che se la ψ(%, D, B) pu`o essere concepita come
un integrale dell’equazione di:fferenziale che si ottiene ponendo uguale a zero il secondo
Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
244
G. C RUPI
membro della (81), allora le onde associate alle velocit`a (46)1 sono eccezionali. Per ogni
altra struttura di ψ(%, D, B) tali onde possono evolvere in onde d’urto.
Inserendo nella (56) l’espressione di λ data dalla (79), dopo le (76), (30)2 e (30)3 , si
ottiene per la velocit`a radiale la seguente struttura:
τ
2
Bn ∂ψ
1
p
(Bn St + Sn Bt ) − p
Bt .
(82)
Λ = v ∓ τn ∓
2
2% β 2 − 4γ
β − 4γ %µ ∂%
Osserviamo, infine, che l’equazione di stato nella forma generalizzata, come in (2), oltre
ad influire sui valori di α, β e τ , provoca nella (82) la presenza dei termini in Sn ed St .
Omettiamo la discussione relativa ai fronti d’onda associati alle velocit`a di propagazione
(46)2 perch´e per essi, evidentemente, valgono ancora conclusioni analoghe a quelle gi`a
esposte negli sviluppi del presente numero.
Riferimenti bibliografici
[1] G. Crupi. Osservazioni sulle equazioni della magneto–fluidodinamica e conseguenze relative alla
propagazione dei fronti d’onda. Rend. Ist. Lomb. Sc., A 95, 199–214, 1961.
[2] P. D. Lax. Contributions to the theory of partial differential equations. Princeton University Press, 1954.
[3] G. Boillat. La propagation des ondes. Gauthier–Villars, Paris, 1965.
[4] T. Levi–Civita. Caract´eristiques des syst`emes differentiels et propagation des ondes. Librairie Alcan, Paris,
1932.
[5] A. Signorini. Lezioni di Fisica Matematica. Eredi Veschi, Roma, 1959.
[6] Shih–I Pai. Magnetogasdynamics and Plasma Dynamics. Springer–Verlag, Wien, 1962.
Giovanni Crupi. Sulle onde eccezionali in M.F.D. con equazione di stato generalizzata e sulla formulazione di un
criterio di eccezionalit`a. Annali di Matematica Pura e Applicata, Serie 4, IC, 317–331, 1974.
Universit`a degli Studi di Messina
Istituto di Matematica
Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi

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