Esercizio 1
Sia X1 , . . . , X5 un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari
a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2.
1a) Calcolare gli estremi dell’intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del
campione osservato.
1b) Supponendo che la varianza non sia nota e che la varianza campionaria è s2 = 1.5, calcolare gli estremi dell’intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione
osservato.
1c) Verificare con livello di significatività α = 5% l’ipotesi H0 : µ = 0 contro l’ipotesi H1 :
µ 6= 0.
1d) Supponendo che la varianza non sia nota e che la varianza campionaria sia s2 = 1.5,
verificare con livello di significatività α = 1% l’ipotesi H0 : µ = 0 contro l’ipotesi H1 : µ >
0.
1e) Supponendo nota la varianza, al fine di verificare le seguenti ipotesi:
H0 : µ = 0.25,
H1 : µ > 0.25
è stata proposta la seguente regione critica
R : {(x1 , . . . , x5 ) : x ≥ 1.5}
Calcolare la probabilità di errore di primo tipo.
Soluzione 1
1a) (2 − 1.64 ∗
1b) (2 − 2.132
√1 ; 2 + 1.64 ∗ √1 ) = (1.267; 2.733)
5
5
√
√
√1.5 ) = (0.832; 3.167)
;
2
+
2.132
∗
∗ √1.5
5
5
1c) La zona di rifiuto è z ≥ |1.96| . La statistica z è
2−0
z = q = 4.472
1
5
quindi si rifiuta H0 .
1d) La zona di rifiuto è t(4) > 3.747. La statistica t è
2−0
t= q
= 3.651
1.5
5
quindi si accetta H0 .
√
1e) P (R|H0 ) = P (X ≥ 1.5|µ = 0.25) = P (Z ≥ 1.5−0.25
) = 1 − φ(2.79) = 1 − 0.9974 = 0.0026.
1/5
Esercizio 2
Da una popolazione X normale con media µ e varianza σ 2 viene estratto il seguente campione
(1, 4, 5, 10, 30).
1
2a) Supponendo che la varianza σ 2 non sia nota, calcolare gli estremi dell’intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.
2b) Supponendo che la varianza σ 2 non sia nota, verificare con livello di significatività α =
1% l’ipotesi H0 : µ = 13 contro l’ipotesi H1 : µ 6= 13.
2c) Supponendo nota la varianza σ 2 = 9, calcolare gli estremi dell’intervallo di confidenza
per µ al 95% in corrispondenza del campione osservato
2d) Supponendo nota la varianza σ 2 = 9, verificare con livello di significatività α = 5%
l’ipotesi H0 : µ = 13 contro l’ipotesi H1 : µ > 13.
2e) Considerando nota la varianza σ 2 = 9 e dato il sistema di ipotesi con livello di significatività α = 5% l’ipotesi H0 : µ = 13 contro l’ipotesi H1 : µ = 16, calcolare la potenza del
test.
Soluzione 2
x = 10,
2a) (10 − 2.132 ∗
11.6404
√
; 10
5
+ 2.132 ∗
s = 11.6404
11.6404
√
)
5
= (−1.0986; 21.0986)
2b) La zona di rifiuto è t(4) > 4.604 ∪ t(4) < −4.604. La statistica t è
t=
10 − 13
11.6404
√
5
= −0.5763
quindi si accetta H0 .
2c) (10 − 1.96 ∗
√3 ; 10
5
+ 1.96 ∗
√3 )
5
= (7.3704; 12.6296)
2d) La zona di rifiuto è z > 1.64. La statistica z è
z=
10 − 13
√3
5
= −2.2361
quindi si accetta H0 .
2e) La potenza del test è π = P (T ∈ R|H1 ) = P (X > xα |H1 ). Si ha che il valore critico
xα = 13 + 1.64 ∗ √35 = 15.2 e quindi la potenza è
P (Z >
15.2 − 16
√ ) = 1 − 0.2755 = 0.7245.
3/ 5
Esercizio 3
Da un’indagine effettuata tra gli iscritti alla facoltà di economia risulta che su 1200 intervistati
48 hanno la maturità scientifica, 36 la maturità classica.
3a) Proporre uno stimatore pˆS per la proporzione di iscritti con maturità scientifica e calcolarne la stima. Calcolare la stima anche per la proporzione pˆC di coloro che hanno la
maturità classica.
3b) Calcolare l’intervallo di confidenza al 90% per la proporzione pS di iscritti con maturità
scientifica.
2
3c) Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la proporzione pC di iscritti con maturità
classica.
3d) Ad un livello di significatività del 10% accettereste o rifiutereste l’ipotesi nulla che la proporzione pS di iscritti con maturità scientifica sia uguale al 4% contro l’ipotesi l’alternativa
che sia diversa dal 4%?.
3e) Ad un livello di significatività del 5% accettereste o rifiutereste l’ipotesi nulla che la proporzione pC di iscritti con maturità classica sia uguale al 4% contro l’ipotesi l’alternativa
che sia diversa dal 4%?
Soluzione 3
3a) pˆS =
48
1200
= 0.04,
pˆC =
36
1200
= 0.03
3b) Intervallo di confidenza
per pS .
q
q
0.04∗0.96
1200 )
= (0.0307; 0.0493)
3c) Intervallo di confidenza
per pC .
q
q
0.03∗0.97
1200 )
= (0.020348; 0.039652)
(0.04 − 1.64 ∗
(0.03 − 1.96 ∗
0.04∗0.96
1200 ; 0.04
0.03∗0.97
1200 ; 0.03
+ 1.64 ∗
+ 1.96 ∗
3d) H0 : pS = 0.04, H1 : pS 6= 0.04.
La zona di rifiuto è (z > 1.64 ∪ z < −1.64). La statistica z sotto H0 è
0.04 − 0.04
z=q
=0
(0.04∗0.96)
1200
quindi si accetta H0 .
3e) H0 : pC = 0.04, H1 : pC 6= 0.04.
La zona di rifiuto è (z > 1.96 ∪ z < −1.96). La statistica z sotto H0 è
0.03 − 0.04
= −1.7678
z=q
(0.04∗0.96)
1200
quindi si accetta H0 .
Esercizio 4
Da un’indagine effettuata tra gli stranieri residenti in Grecia risulta che su 1200 intervistati 48
sono italiani e 36 sono spagnoli.
4a) Proporre uno stimatore pˆI non distorto per la proporzione di italiani residenti in Grecia e
calcolarne la stima. Calcolare la stima anche per la proporzione pˆS di spagnoli residenti
in Grecia.
4b) Calcolare l’intervallo di confidenza al 90% per la proporzione pI di italiani residenti in
Grecia.
4c) Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la proporzione pS di spagnoli residenti in
Grecia.
4d) Ad un livello di significatività del 10% accettereste o rifiutereste l’ipotesi nulla che la
proporzione pI di italiani residenti in Grecia sia uguale al 4% contro l’ipotesi l’alternativa
che sia diversa dal 4%?.
3
4e) Ad un livello di significatività del 5% accettereste o rifiutereste l’ipotesi nulla che la proporzione pS di spagnoli residenti in Grecia sia uguale al 4% contro l’ipotesi l’alternativa
che sia diversa dal 4%?
Soluzione 4
4a) pˆI =
48
1200
= 0.04,
pˆI =
36
1200
= 0.03
4b) Intervallo di confidenza
per pI .
q
q
0.04∗0.96
1200 )
= (0.0307; 0.0493)
4c) Intervallo di confidenza
per pS .
q
q
0.03∗0.97
1200 )
= (0.020348; 0.039652)
(0.04 − 1.64 ∗
(0.03 − 1.96 ∗
0.04∗0.96
1200 ; 0.04
0.03∗0.97
1200 ; 0.03
+ 1.64 ∗
+ 1.96 ∗
4d) H0 : pI = 0.04, H1 : pI 6= 0.04.
La zona di rifiuto è (z > 1.64 ∪ z < −1.64). La statistica z sotto H0 è
0.04 − 0.04
z=q
=0
(0.04∗0.96)
1200
quindi si accetta H0 .
4e) H0 : pS = 0.04, H1 : pS 6= 0.04.
La zona di rifiuto è (z > 1.96 ∪ z < −1.96). La statistica z sotto H0 è
0.03 − 0.04
z=q
= −1.7678
(0.04∗0.96)
1200
quindi si accetta H0 .
Esercizio 5
Le votazioni degli esami di Statistica in due corsi di laurea diversi possono essere rappresentati
da due variabili casuali normali X e Y rispettivamente come media µX e µY e con varianza
2 e σ 2 . Al primo appello nei due corsi di laurea si sono presentati due campioni casuali
σX
Y
indipendenti di studenti che hanno superato l’esame riportando i seguenti voti:
x = (18, 25, 30, 19, 23),
y = (26, 18, 18, 30, 21, 20).
2 , calcolare gli estremi dell’intervallo di confidenza per µ al 99% in
5a) Non essendo nota σX
X
corrispondenza del campione osservato.
2 = 22, verificare l’ipotesi che H : µ
5b) Supponendo nota la varianza σX
0
X = 25 contro
l’ipotesi H1 : µX < 25 ad un livello di significatività α = 5%.
5c) Supponendo nota la varianza σY2 = 24, calcolare gli estremi dell’intervallo di confidenza
per µY al 95% in corrispondenza del campione osservato.
5d) Non essendo nota σY2 , verificare l’ipotesi che H0 : µY = 20 contro l’ipotesi H1 : µY > 20
ad un livello di significatività α = 10%.
2 = 22 e σ 2 = 24, verificare con livello di significatività
5e) Supponendo note le varianze σX
Y
α = 10% l’ipotesi H0 : µX − µY = 0 contro l’ipotesi H1 : µX − µY 6= 0.
4
Soluzione 5
x = 23,
5a) (23 − 4.604 ∗
√
23.5
√
; 23
5
s2X = 23.5,
y = 22.17,
+ 4.604 ∗
√
23.5
√
)
5
s2Y = 23.4
= (13.02; 32.98)
5b) La zona di rifiuto è z < −1.64. La statistica z è
z=
23 − 25
22
5
= −0.95
quindi si accetta H0 .
5c) (22.17 − 1.96 ∗
√
√24 ; 22.17
6
+ 1.96 ∗
√
√24 )
6
= (18.25; 26.09)
5d) La zona di rifiuto è t5 > 1.476 . La statistica t è
z=
22.17 − 20
q
23.4
6
= 1.10
quindi si accetta H0 .
5e) La zona di rifiuto è |z| < 1.64. La statistica z è
23 − 22.17
z= q
= 0.29
22
24
+
5
6
quindi si accetta H0 .
Esercizio 6
Si considerino due popolazioni X e Y che rappresentano la durata (in minuti) di due differenti
tipi di lampadine e si supponga che X e Y siano indipendenti e normalmente distribuite con
valori attesi µX e µY . Si considerano due campioni estratti da X e da Y , (X1 , X2 , . . . , X15 ) e
(Y1 , Y2 , . . . , Y12 ) che hanno dato luogo alle realizzazioni:
15
X
i=1
xi = 5625,
15
X
12
X
(xi − x)2 = 216000,
i=1
i=1
yi = 4344,
12
X
(yi − y)2 = 144000
i=1
6a) Supponendo nota varianza σY2 = 15000, calcolare gli estremi dell’intervallo di confidenza
per µY al 99% in corrispondenza del campione osservato.
2 non sia nota, calcolare gli estremi dell’intervallo di con6b) Supponendo che la varianza σX
fidenza per µX al 99% in corrispondenza del campione osservato.
2 e σ 2 non sono note, ma sono uguali, verificare con livello
6c) Supponendo che le varianze σX
Y
di significatività α = 10% l’ipotesi H0 : µX − µY = 0 contro l’ipotesi H1 : µX − µY 6= 0.
2 = 12000 e σ 2 = 15000 sono note, calcolare gli estremi
6d) Supponendo che le varianze σX
Y
dell’intervallo di confidenza per µX − µY al 99% in corrispondenza del campione osservato.
2 = 12000 e σ 2 = 15000 sono note, verificare con livello di
6e) Supponendo che le varianze σX
Y
significatività α = 10% l’ipotesi H0 : µX − µY = 0 contro l’ipotesi H1 : µX − µY > 0.
5
Soluzione 6
x = 375,
6a) (362 − 2.57 ∗
6b) (375 − 2.977
y = 362,
s2p = 14400,
√
√
15000
15000
√
√
;
362
+
2.57
∗
)=
12
12
√
√
15429
15429
√
∗ √
;
375
+
2.977
∗
)
15
15
s2X = 15429,
s2Y = 13091
(271.1368; 452.8632)
= (279.5223; 470.4777)
6c) La zona di rifiuto è t(25) > 1.708 ∪ t(25) < −1.708. La statistica t è
t= √
375 − 362
14400
q
1
15
+
= 0.2797
1
12
quindi si accetta H0 .
6d) [(375−362)−2.57∗
q
12000
15
+
q
15000
12 ; (375−362)+2.57∗
12000
15
+
6e) La zona di rifiuto è z > 1.28 . La statistica z è
z=q
375 − 362
12000
15
+
quindi si accetta H0 .
6
15000
12
= 0.2871
15000
12 ]
= (−103.3617; 129.3617)
© Copyright 2024 ExpyDoc
