Tutoraggio Elettromagnetismo e Ottica – 2015 – 7 http://www.to.infn.it/∼nardi/Home/TutorEMO.html 50 51 Un interferometro per la misura degli indici di rifrazione dei gas `e schematizzato in figura. Esso `e costituito da una lente L1 che trasforma il fascio divergente di luce monocromatica (λ = 600 nm), proveniente da una sottile fenditura F illuminata, in un fascio parallelo; da due tubi uguali T1 e T2 a finestre trasparenti di lunghezza l = 50 cm; da due fenditure S1 ed S2 , parallele ad F , praticate su uno schermo opaco; da una lente L2 che focalizza su uno schermo Σ la figura di interferenza prodotta da S1 ed S2 . Fatto il vuoto nei due tubi, si osserva un sistema di frange di interferenza parallele alle fenditure, analogo a quello prodotto dal dispositivo di Young. T1 S1 Se si riempie lentamente T1 con un gas di indice di rifrazione n si osserva lo spostamento di N = 10 frange del sistema. Calcolare F n. Supponendo di poter apprezzare al pi` u lo spostamento di una frangia calcolare la variazione minima di n misurabile con questo S2 T2 strumento. L1 L2 Σ Una lente piano-convessa di raggio di curvatura R (incognito) `e appoggiata su una lastra di vetro perfettamente liscia. Un’onda piana monocromatica (λ = 632.8 nm) incide perpendicolarmente dall’alto. La luce attraversa la lente e viene parzialmente riflessa e parzialmente rifratta dalla faccia inferiore curva (la riflessione sulla faccia superiore piana `e trascurabile). La luce rifratta attraversa l’intercapedine d’aria tra la lente e la lastra d’appoggio e viene totalmente riflessa da quest’ultima. Osservando dall’alto si vedono delle frange di interferenza circolari (anelli di Newton), dovute allo spessore variabile dell’intercapedine r d’aria che si interpone tra la lente e la lastra. R (a) La macchia centrale `e chiara o scura? (b) Esprimere il raggio rm del massimo di intensit` a di ordine m in funzione di λ ed R, assumendo rm ≪ R. (c) Il sistema viene utilizzato per misurare il raggio di curvatura della lente. Sapendo che il raggio della m-sima frangia luminosa `e rm = 1.052 mm e quello della (m + 20)-esima `e rm+20 = 2.727 mm, calcolare R. 52 N sorgenti coerenti uguali sono poste a una distanza d l’una dall’altra e allineate lungo l’asse y. Determinare: (a) che relazione si deve avere tra d e λ per ottenere che la figura di interferenza abbia gli unici massimi principali a θ = 0 e θ = π nell’ipotesi che le sorgenti emettano in fase; (b) che sfasamento si dovrebbe avere tra le sorgenti per far s`ı che tutti i massimi principali cadano sull’asse y nell’ipotesi d = 12 λ; (c) il numero e la posizione angolare dei massimi principali e dei nodi per 5 sorgenti con distanza d = 21 λ ed uno sfasamento di 45◦ tra ogni sorgente e la successiva. Disegnare il diagramma polare dell’intensit` a. 53 Il dispositivo rappresentato in figura, noto come specchio di Lloyd, permette di ottenere una figura di interferenza sullo schermo Σ utilizzando i raggi emessi dalla sorgente S e dalla sua immagine virtuale S ′ creata dallo specchio AB (di lunghezza L). Determinare: y (a) le condizioni per l’interferenza costruttiva e distruttiva in S funzione dell’angolo θ nell’ipotesi d ≪ D; il punto B (estremo Σ dello specchio a ridosso dello schermo) `e chiaro o scuro? θ d O (b) per quale valore massimo di θ si pu` o osservare l’interferenza; A B (c) il numero di frange chiare e la loro posizione sullo schermo S′ D L per D = 20 cm, L = 5 cm, d = 2 mm e λ = 5500 ˚ A. 54 Nella fabbricazione di fili sottili si usa talvolta un laser per controllare lo spessore del filo prodotto. Il filo intercetta il fascio laser producendo una figura di diffrazione simile a quella formata da una fenditura singola di apertura pari al diametro del filo. Si supponga che un laser a He-Ne, con lunghezza d’onda di 632.8 nm, illumini il filo e proietti la figura di diffrazione su uno schermo posto a 2.65 m di distanza. Se il diametro richiesto per il filo `e di 1.37 mm, quale deve essere la distanza tra i due minimi del decimo ordine osservati sullo schermo? 55 Un reticolo `e illuminato da luce λ = 0.59 µm a incidenza normale. Si vedono, su uno schermo, 4 massimi di interferenza in corrispondenza di sin θ = 0, 0.25, 0.50, 0.75. Calcolare: (a) il passo del reticolo ; dθ ; (b) la dispersione massima D = dλ (c) la massima separazione angolare per il doppietto del sodio λ = 5890, 5896 ˚ A. 56 Un diaframma circolare, il cui diametro `e 0.60 m, oscilla ad una frequenza ν0 in una sorgente sonora subacquea per la ricerca di sottomarini. Lontano dalla sorgente l’intensit` a sonora `e distribuita secondo una figura di diffrazione corrispondente a un foro circolare uguale al diaframma. Trovare l’angolo tra la normale al diaframma e la direzione del primo minimo, sapendo che la velocit`a del suono in acqua `e di 1450 m/s, nei casi: (a) ν0 = 25 kHz; (b) ν0 = 1.0 kHz (frequenza udibile). 57 Un fascio di luce con λ = 514.5 nm (Argon) incide normalmente su un reticolo con N = 6000 righe/cm. Calcolare: (a) il pi` u elevato ordine di massimo principale; (b) la dimensione minima del reticolo per risolvere nel massimo del primo ordine il doppietto λ1 = 514.5 nm, λ2 = 514.6 nm. Risultati 50. n = 1.000012; δnmin = 1.2 · 10−6 51. (a) scura; (b) rm = q Rλ 2 (2m − 1) m = 1, 2, . . .; (c) R = 0.50 m 52. (a) d < λ; (b) φ = π; (c) un solo massimo principale a θ = −14.5◦ , nodi: θ = −40.5◦ , 8.63◦ , 33.4◦ , 71.8◦ (il segno degli angoli dipende dal segno assegnato alla fase; non c’`e simmetria ±θ !). 53. (a) frange chiare: d sin θ = λ(m + 21 ), scure: d sin θ = λm (m = 0, 1, 2, . . .), il punto B (θ = 0) `e scuro; (b) θmax = atan dL 2D(D+L) ; (c) 4 frange chiare, y = 0.0344 mm, 0.103 mm, 0.172 mm, 0.241 mm 54. 24.5 mm 55. (a) p = 2.36 µm; (b) Dmax = 1.9 rad/µm; (c) ∆θmax = 10−3 rad. 56. (a) 6.8◦ ; (b) non c’`e minimo. 57. (a) 3; (b) 8.6 mm