Uitwerkingen versie 2014.

Exact competentiegericht
Statistiek voor het laboratorium Uitwerkingen versie juli-2014
T.J. Kleintjes
1
Opgave 1.1
Precisie en juistheid
Precisie en juistheid bij het schieten
A
B
nauwkeurig en juist
onnauwkeurig en juist
D
C
nauwkeurig en onjuist
onnauwkeurig en onjuist
Opgave 1.2
Precisie en juistheid van metingen
- nauwkeurig en juist  D
- nauwkeurig en onjuist  C
- onnauwkeurig en juist  B
- onnauwkeurig en onjuist  A
Opgave 1.3
Hoe nauwkeurig is een meting bij een bepaalde meetmethode?
a
v = 135 ± 3 km/h
3
100 %  2,2 %
relatieve onnauwkeurigheid =
135
v = 135 km/h ± 2,2 %
b
132
135
3
Opgave 1.4
2
138
3
Meer metingen doen: duplo en triplo (meetonnauwkeurigheid
bekend)
15
100 %  11,9 %
a
relatieve onnauwkeurigheid =
126
Uitwerkingen
2014 © Vervoortboeken
2  nauwkeuriger dus absolute
15
 10,6 afgerond 11 mg/L
onnauwkeurigheid =
2
b
De meting wordt
c
Aantal metingen (n)
1
15
 10,6
2
onnauwkeurigheid  11 (afgerond)
onnauwkeurigheid =
2
3
4
…..
onnauwkeurigheid
± 15
± 11
±9
±8
±5
15
15
 5  n   3  n  32  9
5
n
d
Opgave 1.5
126  129  127
 127,3
3
De meting wordt 3  nauwkeuriger dus absolute
15
 8,66 afgerond 9 mg/L
onnauwkeurigheid =
3
Zoutgehalte = 127 ± 9 mg/L
Zoutgehalte = 127 mg/L ± 7,1 %
gemiddelde =
Meetonnauwkeurigheid onbekend
a
32
33
34
35
b
w = hoogste waarde– laagste waarde =
35,5 – 32,8 = 2,7 g/100g
33,2  32,8  35,5
 33,8 g/100g
gemiddelde =
3
verschil = 35,5 – 33,8 = 1,7 g/100g
de spreiding = 1,7 g/100g
1,7
 100%  5,0%
de spreiding in % =
33,8
vetgehalte = 33,8 ± 1,7 g/100 g
vetgehalte = 33,8 g/100 g ± 5,0 %
c
d
e
f
g
1.1
3
R1
R2
bijvoorbeeld 100, 97 en 103
bijvoorbeeld 200, 100 en 300
Uitwerkingen
2014 © Vervoortboeken
R3
R4
R5
die kun je niet vergelijken, omdat het gemiddelde
verschilt
nee
omdat de relatieve onnauwkeurigheid rekening houdt met
de gemiddelde waarde
Opgave 1.6
Het suikergehalte van cola
gemiddelde waarde = 8,9 g/100 mL
spreiding (absolute onnauwkeurigheid) = 9,3 – 8,9 = 0,4 g/100
mL
spreiding in % (relatieve onnauwkeurigheid) =
0,4
 100%  4,5%
8,9
suikergehalte = 8,9 ± 0,4 g/100 mL
Opgave 1.7
Bacteriën tellen
gemiddelde waarde per plaat = 51 KVE
onnauwkeurigheid = 65 – 51 = 14 KVE
14
100%  27,5%
onnauwkeurigheid in % =
51
KVE waarde = 51 ± 14 KVE
104 keer verdund dus
KVE waarde = 51104 ± 14104 KVE/mL
betere notatie: KVE waarde = (51 ± 14)104 KVE/mL
relatief KVE waarde = 51104 KVE/mL ± 27,5%
Opgave 1.8
Juistheid van een meting bepalen
a
b
c
Opgave 1.9
Het ℮-teken
a
4
je moet de werkelijke waarde van het controlemonster
weten
gemiddelde = 24,3 mg/L (controlemonster niet
meenemen!!)
spreidingsbreedte = 24,3 – 24,0 = 0,3 mg/L
absolute onnauwkeurigheid = 0,3
0,3
 100%  1,2%
relatieve onnauwkeurigheid =
24,3
ja, het gemeten controlemonster valt binnen de opgegeven
grenzen, dus er is geen reden om aan te nemen dat de
meting niet juist zou zijn
Van 100 tot 200  4,5 % van 200 g = 9 g
Uitwerkingen
2014 © Vervoortboeken
b
c
d
2
of van 200 tot 300  9 g
tussen 191 g en 209 g
Van 100 tot 200  4,5 % van 175 mL = 7,9 mL
9
9 mL van 265 mL =
 100%  3,4%
265
Meetresultaten verschillen. Hoe komt dat?
Opgave 2.1
Toevallige meetfout door de waarnemer
1,55 cm
2 cijfers achter de komma
Opgave 2.2
Meer streepjes is nauwkeuriger?
boven 1,8 cm
1 decimaal
onder 1,86 cm
2 decimalen
Opgave 2.3
Afleesonnauwkeurigheid bij glaswerk
middelste maatcilinder:3,0 mL afleesonnauwkeurigheid 0,1 mL
rechter maatcilinder: 0,34 mL afleesonnauwkeurigheid 0,01 mL
buret: 46, 55 mL afleesonnauwkeurigheid 0,02 of 0,03 mL
Opgave 2.4
De schaalverdeling bepaalt hoe goed je kunt aflezen
a
de thermometer links heeft als kleinste schaaldeel 0,1 C en
de thermometer rechts heeft als kleinste schaaldeel 1 C
b
links 32,35 C en rechts 32,4 C
c
links 0,02 C en rechts 0,2 C
d
de thermometer links
2.1
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
5
4 significante cijfers
er is een schatting gemaakt tussen de streepjes van 23,1
en 23,2 dus het kleinste schaaldeel is 0,1 C
het laatste cijfer
4 significante cijfers
ongeveer 0,05 mL
nee, de relatieve onnauwkeurigheid wordt dan veel te
groot
het is eigenlijk niet fout, want je kunt het niet beter met
de beschikbare middelen
Uitwerkingen
2014 © Vervoortboeken
Opgave 2.5
Toevallige fout bij aflezen van grafieken
a
bij 21,3 C max. vochtigheid = 18,5 ± 0,2 g/m3 (of 0,3)
bij 21,3 C max. vochtigheid = 18,5 g/m3 ± 1,08 %
bij 6,7 C max. vochtigheid = 7,5 ± 0,2 g/m3 (of 0,3))
bij 6,7 C max. vochtigheid = 7,5 g/m3 ± 2,67 %
7,5
b
relatieve vochtigheid =
100%  40,5 %
18,5
c
totale onnauwkeurigheid = 1,08 % + 2,67 % = 3,75 %
absolute onnauwkeurigheid = 3,75 % van 40,5 % = 1,52 %
relatieve vochtigheid = 40,5 ± 1,5 % (absoluut)
relatieve vochtigheid = 40,5 % ± 3,75 % (relatief)
Opgave 2.7
Systematische fout bij een liniaal
a
het nulpunt ligt niet gelijk met de zijkant van het kaartje
b
ongeveer 0,5 cm
c
de fout precies bepalen en alle meetwaarden corrigeren
Opgave 2.8
Systematische fouten
a
niet waterpas zetten
b
niet goed kalibreren (ijken)
c
niet op nul stellen
d
bij de verkeerde temperatuur gebruiken
Opgave 2.9
Systematische fout: de instrumentonnauwkeurigheid
a
Hygrometer
waarde = 66,5 %
afleesonnauwkeurigheid 0,2-0,5 %
instrumentonnauwkeurigheid 1,0 % (1 schaaldeel = 2%) 
½ schaaldeel = 1 %)
Universeelmeter
waarde = 14,19 V
afleesonnauwkeurigheid 0 V (!!)
instrumentonnauwkeurigheid 0,01 V (1 schaaldeel=0,01 V)
b
waarde = 28,1 C
afleesonnauwkeurigheid 0,1-0,2 C
instrumentonnauwkeurigheid 0,5 C (1 schaaldeel = 1C
 ½ schaaldeel = 0,5 C)
c
volume = 42,24 mL
afleesonnauwkeurigheid 0,02-0,03 mL
instrumentonnauwkeurigheid 0,05 mL
(1 schaaldeel = 1mL  ½ schaal = 0,5 mL)
6
Uitwerkingen
2014 © Vervoortboeken
Opgave 2.10
Wat doe je met twee onnauwkeurigheden?
a
Als je door het aflezen er bijv. 0,2 C naast kunt zitten en
het instrument wijkt maximaal 0,5 C af, dan kun je
maximaal 0,7 C ernaast zitten
b
74,0 C
c
Ongeveer 0,2 C
d
2  2 C = 4 C
e
Maximaal 4 C + 0,2 C = 4,2 C
f
g
h
i
Opgave 2.11
gecombinee rde onnauwkeurigheid  4 2  0,2 2  4,0
T = 74  4 C
4
100%  5,4%
relatieve onnauwkeurigheid =
74
De grootste afwijking is 4 C, dus dat is hetzelfde
Twee onnauwkeurigheden 1
spreiding totaal  spreiding1  spreiding 2
2
12  82  bio log ische spreiding 2
2
2
bio log ische spreiding  122  82  8,9 %
Opgave 2.12
Twee onnauwkeurigheden 2
spreiding totaal  spreiding1  spreiding 2
2
0,45  0,302  fout analist 2
2
2
0,452  0,302  fout analist 2 2
fout analist 2  0,452  0,302  0,335
Opgave 2.13
Verschilmeting
a
V = Vbegin – Veind = 35,18 – 11,56 = 23,62 mL
b
Dat betekent dat alle metingen maximaal 0,05 mL kunnen
afwijken
c
Het verschil blijft dan precies hetzelfde dus 23,62 mL
d
De onnauwkeurigheid in de resultaat is dan 2  de
afleesonnauwkeurigheid, dus 0,04 mL
e
Bij een verschilmeting met één instrument hoef je alleen
rekening te houden met de afleesonnauwkeurigheid
Opgave 2.14
Instrumentonnauwkeurigheid in de manual
a
resolution = 0,1 C (of F)
7
Uitwerkingen
2014 © Vervoortboeken
2.2
b
accuracy = 0,2 C (of 0,4 F)
c
115,8  0,2 C  afwijking in % =
R8
R9
R10
R11
R12
R13
R14
Nee, het is de maximale afwijking die de thermometers
onderling kunnen verschillen
Worstcase betekent slechtste geval
Dat ze maximaal 0,5 C verschillen
schatting van de fout: ongeveer 1,3
Hier is een verandering opgetreden waardoor het
gemiddelde is verschoven en er een systematische
afwijking is ontstaan
Een toevallige fout zal soms boven en soms onder de
werkelijke waarde liggen, dus de precisie wordt daardoor
beïnvloed.
Door een systematische fout ligt de gevonden waarde
gemiddeld altijd boven of onder de werkelijke waarde,
dus de juistheid wordt daardoor beïnvloed.
Opgave 2.15
Een moderne thermometer
a
hij meet de temperatuur d.m.v. infraroodstraling, hij
werkt dus op afstand (contactloos)
b
T > 100 ºC dus 3 % of reading betekent 3 % van de
afgelezen waarde = 3 % van 342 C = 10,26 C en dat
is groter dan 3C, dus het is 10,26 C en dat is afgerond
10 ºC
c
je hoeft niet te schatten, de aflezing is digitaal
Opgave 2.16
Andere foutbronnen
a
door niet loodrecht kijken wordt een verkeerde waarde
afgelezen
b bij alle meters met wijzerplaten.
c
A leest 54 cm3 af
B leest 50 cm3 af
C leest 40 cm3 af
d A zit er 8% naast, B nul % en C zit er liefst 20% naast
3
Opgave 3.1
8
0,2
 100 %  0,17 %
115,8
Spreiding van data (meetresultaten)
Steekproef en populatie
a
Dat is praktisch onmogelijk en ook veel te duur
Uitwerkingen
2014 © Vervoortboeken
b
3.1
aselect betekent dat een keuze wordt gemaakt op basis
van willekeurigheid dus dat elk individu uit de
populatie even veel kans maakt om gekozen te worden.
(wikipedia)
representatief betekent dat de steekproef ongeveer
dezelfde samenstelling heeft als de populatie (dus
mannen – vrouwen, leeftijdsopbouw, etcetera)
c random
d
R1 je kiest steeds de beste leerlingen uit iedere klas bij een
steekproef over de cijferverdeling van het
biologieproefwerk
R2 je onderzoekt het gemiddelde inkomen van Nederlanders
en ondervraagt alleen mensen in een villawijk
R3
populatie
steekproef
R4
Opgave 3.2
Bij het bevolkingsonderzoek naar baarmoederhalskanker
worden alle vrouwen van 30 t/m 60 jaar onderzocht, het
gaat hier namelijk om de individuele gezondheid
Spreidingsbreedte en centrummaten
a zo’n analyse is altijd een steekproef
b w = max – min = 14,8 – 13,7 = 1,1 m%
c
13,5
d
9
15
14
14,5
15
mediaan ligt tussen meetwaarde 5 (= 14,0) en 6 (= 14,1)
dus 14,05 m%
13,5
f
14,5
gemiddelde = 14,1 m%
13,5
e
14
14
14,5
15
Er zijn twee modussen: 13,9 en 14,5
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
13,5
Opgave 3.3
3.2
14
14,5
15
Lichaamslengte
a gemiddelde = 178,8
mediaan = 179,5
er is geen modus
R5
verschil met gemiddelde
167
-11,8
175
-3,8
176
-2,8
184
5,2
182
3,2
179
0,2
188
9,2
180
1,2
173
-5,8
184
5,2
178,8
R6
0,0
Zie boven., het gemiddelde van de verschillen is nul.
Dat is niet zo verrassend want het is juist een
eigenschap van de gemiddelde waarde
R7
gemiddelde
som van de
negatieve
afwijkingen
som van de
positieve
afwijkingen
???
b
Opgave 3.4
10
mediaan
helft van de
waarnemingen
helft van de
waarnemingen
???
de mediaan ligt vlakbij het gemiddelde dus er geen
sprake van een scheve verdeling
Examenscore
a de notatie is heel compact, hier staan 35 meetwaarden.
b gemiddelde = 71,4; mediaan = 71; modus = 75 (3 x)
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
Opgave 3.5
Boxplot
a
b
Opgave 3.6
er is een symmetrische verdeling. Het gemiddelde en de
mediaan zijn vrijwel gelijk
Percentielen
a
4 5 6 8
5 3 4 5 6 9
6 2 3 5 6 6 9 9
7 0 1 1 3 3 4 5 5 5 7 8
8 1 2 3 6 9
9 3 5 7 8
34 meetwaarden, 60 % van 34 = 20,4, dus het 60e
percentiel is de 21ste meetwaarde = 74
b de mediaan en het bovenste kwartiel
3.3
R8
R9
R10
R11
Opgave 3.7
11
Goed of fout:
 niet juist, dat geldt voor de mediaan
 dat kan, we zagen dat al eerder
het gemiddelde wordt sterk beïnvloed, de mediaan niet
(de middelste blijft de middelste)en de modus en de
frequentie ook niet
Een smal kwartiel in een boxplot komt overeen met een
hoog / laag blok in een histogram.
Geef in de boxplot aan waar (ongeveer) het gemiddelde
ligt
Histogram
Bovenstaand histogram loopt van 155,6 cm tot 179,6 cm.
De klassenbreedte is de breedte van 1 kolom uitgedrukt (in dit
geval) in cm.
a Hoeveel klassen zijn er gebruikt?
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
gewoon tellen, dus 7
179,6  155,6
 3, 43
b klassenbreedte 
7
c aantal klassen  2 n  2 40  12,6  13
d
dat is bijna twee keer zoveel als in het histogram van
het programma
e
maximum = 195,8 cm
minimum = 155,6 cm
als we kiezen voor 12 klassen, wordt de klassenbreedte:
195,8  155,6
klassenbreedte 
 3,35 cm
12
het is slim om dan af te ronden op 3,4 cm
f de verdeling is symmetrisch
3.4
R12
Het inkomen in Nederland is niet symmetrisch
verdeeld:
hij is rechts-scheef verdeeld
modaal is afgeleid van modus, het meest voorkomende,
dus dat is ongeveer 16.00 euro
Opgave 3.8
12
Spreidingsmaat
a
A is minder precies, de meetwaarden liggen gemiddeld
verder van de gemiddelde waarde
b
Daar komt altijd nul uit
d
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
variatieco ëfficiënt 
σ n1
7,3
 100 % 
 100 %  24,3 %
30
x
dat is heel hoog
d
Berekening gemiddelde afwijking meting B
nummer meting gemiddelde
verschil
verschil2
i
xi
xi - x
(xi - x )2
x
1
33
30
3
9
2
20
30
-10
100
3
24
30
-6
36
4
31
30
1
1
5
30
30
0
0
6
40
30
10
100
7
27
30
-3
9
8
36
30
6
36
9
29
30
-1
1
n=9
x = 30
 (xi - x ) = 0 (xi - x )2 = 292
 ( xi  x) 2
292
 36,5  6,0
n 1
8
σ
6
variatieco ëfficiënt  n1  100 % 
 100 %  20 %
30
x
e meting B is preciezer dan meting A
 n1 
3.5
13

R14 Het is eigenlijk niet één formule maar een voorschrift om
in een aantal stappen en bewerkingen de uitkomst te
vinden
R15 De standaarddeviatie bij een steekproef is groter
R16 Een steekproef geeft veel meer onzekerheid dan een hele
populatie
R17 Een tabel maken en alle meetwaarden verwerken volgens
het voorschrift dat deze formule voorstelt
R18 Je deelt dan door 49 i.p.v. 50, dat geeft een klein verschil.
125
125
 1,60 en  n 
 1,58
Voorbeeld  n1 
49
50
R19 Fout, de meetwaarden zijn meer verspreid
R20 nul
R21 Bij ziekenhuis 1 moet je altijd 30 minuten wachten. Bij
ziekenhuis 2 is er een kans dat je meteen aan de beurt
bent, maar een even grote kans dat je een uur moet
wachten, dus…..
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
R22 De linker meting ligt wel erg ver van de andere af, hier
kan iets fout gegaan zijn, je moet eerst onderzoeken of de
meting een uitschieter is
R23 Het is wel een maat maar niet precies hetzelfde, een
andere steekproef geeft vast en zeker een andere waarde.
Je kunt dit verhelpen door de steekproef heel groot te
maken.
Opgave 3.9
Bloedonderzoek
x = 0,436 L/L
n-1 = 0,04643 L/L
variatiecoëfficiënt = 10,6 %
Opgave 3.10
Kleine meetseries
a
3,34  0,22 g/L (= de spreiding)
b
n-1 = 0,31 g/L
de afwijking is groter dan we eerst hadden aangenomen
c
3,34  0,31 g/L
d
gemiddelde = 3,33
maximale afwijking = 3,56 – 3,30 = 0,23
n-1 = 0,22
bij 3 metingen zijn de spreiding en de standaarddeviatie
ongeveer gelijk
Opgave 3.11
Herhaalbaarheid
a n-1 = 0,001527 molL-1
b variatiecoëfficiënt = 1,52 %
c ----
Opgave 3.12
Reproduceerbaarheid
a n-1 = 0,01013 molL-1
b variatiecoëfficiënt = 9,26 %
c
de reproduceerbaarheid is slechter dan de
herhaalbaarheid van de ene analist. Ze werken niet
allemaal even nauwkeurig.
d
Het verschil lijkt wel veel te groot
Opgave 3.13
Gebruik van Excel
a
b
4
14
Uitschieters bepalen en afronden
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
Opgave 4.1
Uitschieters: de Dixons-test of Q-test
a
het vermoeden bestaat dat 3,7 een uitschieter is, het
verschil met de dichtstbijzijnde waarde is 1,2
b
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
3,7 lijkt zo een uitschieter
c 3,7 - 2,5 = 1,2
d w = 3,7 - 1,7 = 2,0
e
verdachte waarneming  naastligge nde waarneming 1,2
Qtest 

 0,6
w
2,0
f
Kritische waarden voor het bepalen van één uitschieter
(Dixons-test of Q-test)
n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Qkritisch 0,94 0,76 0,64 0,56 0,51 0,47 0,44 0,41 0,39
n
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Qkritisch 0,37 0,35 0,34 0,33 0,32 0,31 0,30 0,29 0,28
n
21
22
23
24
25
30
35
40
45
Qkritisch 0,29 0,29 0,28 0,28 0,28 0,26 0,25 0,24 0,23
g
0,6 > 0,41 dus 3,7 is inderdaad een uitschieter
h eerst 3,7 weglaten
nieuwe verdachte = 1,7 dus 2,1 - 1,7 = 0,4
w = 2,5 - 1,7 = 0,8
verdachte waarneming  naastligge nde waarneming 0,4
Qtest 

 0,5
w
0,8
opzoeken in tabel Qkritisch = 0,44
0,5 > 0,44 dus 1,7 is ook een uitschieter
Opgave 4.2
15
Nitraatgehalte
1ste verdachte = 2,5
2,5 - 1,9 = 0,6
w = 2,5 - 1,1= 1,4
verdachte waarneming  naastligge nde waarneming 0,6
Qtest 

 0,43
w
1,4
opzoeken in tabel Qkritisch = 0,41
0,43> 0,43 dus 2,5 is net een uitschieter
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
nieuwe verdachte = 1,1 dus 1,1 - 1,4 = 0,3
w = 1,9 - 1,1 = 0,7
verdachte waarneming  naastligge nde waarneming 0,3
Qtest 

 0,43
w
0,7
opzoeken in tabel Qkritisch = 0,44
0,43 < 0,44 dus 1,1 is geen uitschieter!!
Opgave 4.3
4.1
Waar ligt de eerste uitschieter (oplossen van een vergelijking)?
a
b ( x  23,5)  0,94  x  24,2
0,94 x  22,09  x  24,2
 2,11
 0,06 x  2,11  x 
 35,2 !!!!
 0,06
c waarschijnlijk niet
R1
R2
R3
R4
R5
Opgave 4.4
16
zie vorige opgave
dat hangt af van: het aantal waarnemingen dat in het
rechter gedeelte ligt
Qtest 
verdachte naastliggende
w

7,4
 0,49
15
in de tabel zien we dat bij totaal 8 waarnemingen er een
uitschieter is
als er rechts maar 1 waarde zou liggen was die
waarschijnlijk wel een uitschieter; doordat de andere er
dichtbij ligt wordt verdachte - naastliggende te klein
waarschijnlijk zijn beide rechtse metingen uitschieters
Uitschieters: de boxplot
a
waarschijnlijk alle waarden vanaf 79,0 zijn uitschieters,
dat zijn er 16
b
c
ja
d 150 waarnemingen: mediaan is nr 75 dus mediaan = 69,5
KO ligt tussen 37 en 38 dus KO = 66,5
KB ligt tussen 112 en 113 dus KB = 71,65
ΔK = 1,5  (KB - KO) = 1,5  (71,65 - 66,5) = 1,5  5,15
= 7,725
KO - ΔK = 66,5 - 7,725 = 58,775
KB + ΔK =71,65 + 7,725 = 79,375
onderkant: geen uitschieters
bovenkant: alles vanaf 79,375 dus 15 uitschieters,
ongeveer zoals we al vermoedden
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
Opgave 4.5
Uitschieters: gebruik van SPSS
volgens SPSS geen uitschieters
Opgave 4.6
Afrondingsregels
a
5,237
b
Opgave 4.7
w
5,247  5,228

 0,005
2 n
2 3
ligt tussen 0,001 en 0,01 dus afronden op 0,001 dus 3
decimalen.
 is niet bekend: b 
Afronden oefenen
a x = 149,907 g/L
n-1 = 0,11394 g/L
b b = 12  = 12 ×0,11394 = 0,056 afronden op 0,01
x = 149,91 g/L
n-1 = 0,11 g/L
c
Chloor in bleekloog (g/L)
1
149,85
2
149,97
3
150,03
4
149,78
5
Normaalverdeling
Opgave 5.1
IQ
a Het bestaat uit een groot aantal staafjes
b
streepjes tellen: tussen 100 en 120 liggen 20 streepjes,
dus klassenbreedte = 1
c gemiddelde = mediaan = modus = 100
d
50 %
e
die zijn er waarschijnlijk wel maar die aantallen zijn te
klein om hier weer te geven
f
ongeveer 84
g
100 - 84 = 16
h onderkant: 100 - 2 ×16 = 68
bovenkant: 100 + 2 ×16 = 132
Opgave 5.2
17
Vuistregels normaalverdeling
a
34 % + 34 % = 68 %
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
b
68 % + 13,6 + 13,6 % = 95,2 %
c
95,2 % + 2,1 + 2,1 = 99,4 %
d -e
2,2 % (= 2,1 + 01) ligt op de onderste 2 grens
82,4 – 54 = 2 dus  = 14,2 kg
f
g
h
Opgave 5.3
5.1
Significantie
a
Boven en onder 2 standaarddeviatie ligt samen 4,8 %.
Als we dat afronden tot 5 % hebben we precis de
grenzen te pakken. Een zwangerschap is significant te
lang na
266 + 210 = 286 dagen
b
286 dagen is 286/7 = 40 weken en 6 dagen
c
significant laag IQ onder 100 – 32 = 68
significant hoog IQ boven 100 + 32 = 132
R1
R2
Opgave 5.4
Welke van de volgende zaken zouden volgens jou een
normaalverdeling kunnen hebben? Leg uit waarom.
 de lengte van alle studenten op de schoolvoor LMP
wel
 het gewicht van alle vrouwelijke studenten wel
 de leeftijd van alle studenten niet
 de geboortedata van alle studenten niet
 het aantal uren dat iedere student per week aan de
studie besteedt wel
 de tijdsduur van mobiele telefoongesprekken van
studenten wel
 het aantal uren dat een student TV kijkt wel
de meest spitse en dus hoge normaalverdeling
Kansrekening
a
allebei
1
6
 16 
1
3
b
18
110,8 kg
13,6 %
1
6
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
c
d
e
De kans om geen 5 te gooien, dus om een 1, 2 3, 4 of 6
te gooien is 1  16  56
Omdat je dan veel vaker moet gooien.
1
 500  83 keer , het gaat over kansen, niet over
6
zekerheid
f
g
h
i
twee P(x = kop) = 0,5
50 %
met totaal 36 mogelijke worpen krijg je 11 verschillende
uitkomsten
j
van de 36 geeft 12 punten, dus 361
150
 0,0012
k 125.000
19
Opgave 5.5
Kansrekening en medische testen
a
1 % van de baby’s heeft het syndroom, dat zijn er dus
0,0110.000 = 100
b
90 % kans dat de testuitslag positief is, dus dat zijn er
0,9100 = 90
c
dat zijn er 10.000 – 100 = 9.900
d
1 % kans op vals positief, dus dat zijn 0,01  9900 = 99
e
totaal 90 + 99 = 189
f
Kans =
werkelijk aantal positief
100
100% 
100%  52,9%
totaal gemeten positief
189
g
dat is een beroerde test
h de kans wordt dan 9,17%, een onzinnige test dus
Opgave 5.6
Kansrekening en normaalverdeling
a
dat is 1 rechts van het gemiddelde; 50 + 34,1 = 84,1 %
is kleiner dan 188 cm, dus 100 – 84,1 = 15,9 % is langer
dan 188 cm
b
dat is 15,9 % van 60.000 = 9540 mannen
c
0,159 (15,9 %)?
d
P(lengte >188) = 0,159
e
2 links van het gemiddelde, dus 2,2 % ofwel P(l <164
cm) = 0,022
f
84,1 = 50 + 34,1 %, dus 84,1 % en dat ligt bij 1 links
van het gemiddelde, dus P(l >172 cm) = 0,841
g
196 cm = +2
204 cm = +3 daartussen ligt 2,1 %
P(196 cm < l < 204 cm) = 0,021
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
h moeilijk in te schatten, de lijn loopt niet recht
Opgave 5.7
Standaard normaalverdeling
a
50 + 34,1 = 84,1 %
b
100 – 0,1 – 0,5 = 99, 4 %
c
moeilijk in te schatten, de lijn loopt niet recht
d
99,38 %
e
100 – 99,38 = 0,62 %
f --
Opgave 5.8
Hartslag
a Z
x

90  70
 2,00
10

tabel P(Z <90) = 0,9772 = 97,72 %
P(Z >90) = 1 - 0,9772 = 0,0228 dus 2,28 %
5.2
R3
We moeten uitrekenen hoe groot de kans is om bij een
steekproef een man aan te treffen met een hartslag minder
dan 55. Dat is het blauwe gebied in de tekening
linksonder.
tabel P(Z <1,5) = 0,9332 = 93,32 %
P(Z >1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668 = 6,68 %
6,68 %
b
gebied links van 75: Z 
69,15 %
gebied links van 65: Z 
x

x

75  70
 0,5 geeft
10

65  70
 0,5 geeft
10

100 – 69,15 = 30,85 %
daartussen ligt: 69,15 – 30,85 = 38,3 %
20
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
Opgave 5.9
Standaard normaalverdeling en metingen
5 % van 23,5 mg/L = 1,175 afgerond 1,2 mg/L
x   25  23,5
Z

 1,25

1,2
Z-tabel: P(Z <1,25) = 0,8944
P(Z >1,25) = 1 – 0,8944 = 0,1056 (of 10,95 %)
Opgave 5.10
Standaard normaalverdeling en microbiologische metingen
a gehalte = 100  100 = 10.000 = 104 KVE
b
logwaarde gehalte = log(104)= 4,0
onderste 2 grens 4 – 2  0,15 = 3,70
bovenste 2 grens 4 + 2  0,15 = 4,30
c
103,70 KVE < gehalte <104,30 KVE
5012 KVE < gehalte < 19.952 KVE
d
De gevonden gemiddelde waarde ligt niet midden tussen
de uiterste waarden
Opgave 5.11
Lampen
a
de kans is 0,00621 ofwel 0,621%
b
21
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
0,621 % van de lampen brandt langer dan 900 uur
Opgave 5.12
5.3
Opgave 5.13
22
Kwaliteitscontrole bij de bakker
x   450  436
Z

 1,27 en dat geeft 0,8980, dus
a

11
89,80 % van de broden ligt beneden de 450 g. Hij levert
te weinig waar voor zijn geld
b
Uit het histogram blijkt dat we maar de helft van een
normaalverdeling zien. Het is dus zeer waarschijnlijk
dat de bakker de broden voor deze klant netjes heeft
uitgezocht. De andere klanten krijgen dan nog meer
broden die te weinig wegen.
R4
R5
Goed
–1,5
Chipszakken vullen
a
9 gram dus tussen 191 en 209 g
b
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
c
6
We kijken alleen aan de onderkant (teveel vindt de
consument niet erg, de fabrikant wel): 1,22 % van de
productie voldoet niet aan de norm
0,1 % is 3 , het gemiddelde moet dan 3  4 = 12 g
verder liggen dus 191 + 12 = 203 g
Van steekproef naar populatie
Opgave 6.1
Steekproeven
a
met slechts drie mannen zegt dit natuurlijk bijzonder
weinig over de hele populatie.
b
waarschijnlijk is dat al een iets betere schatting.
c
hoe groter de steekproef hoe betrouwbaarder meestal
het resultaat.
d
De gemiddeldes liggen dicht bij elkaar maar de
standaarddeviatie wordt kleiner als het aantal samples
per steekproef groter wordt.
e
De nauwkeurigheid neemt dus toe met het aantal
samples.
f
de beste schatting van de gemiddelde lengte van de
populatie mannen boven de 20 is 180,7 cm
g
het 99 % betrouwbaarheidsinterval hoort bij een kans
van 0,995 (99% ligt tussen 0,005 en 0,995); dit levert
een Z-waarde van 2,575.
180,7  2,575 1,5    180,7  2,575 1,5
176,8 cm < μ < 184,6 cm
Het 99 % betrouwbaarheidsinterval is dus groter dan
het 95 % betrouwbaarheidsinterval
h
180,7 1,96  2,5    180,7  1,96  2,5
dus bij 10 samples 175,8 cm < μ < 185,6 cm
en bij 50 samples 177,8 cm < μ < 183,6 cm
bij een grotere steekproef wordt de schatting
nauwkeuriger
Opgave 6.2
Standaardfout en populatie
a
23
SE 
n
n
  n  SE  n
10  3 samples
 n  SE  n  4,2  3  7,3
10  10 samples
 n  SE  n  2,5  10  7,9
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
10  25 samples
b
Opgave 6.3
6.1
Ze verschillen heel weinig. De laatste zal wel het meest
betrouwbaar zijn.
Het klopt heel behoorlijk. Als je alles herhaalt komt er
toch ook niet steeds weer hetzelfde uit.
Kan het niet met wat minder steekproeven?
R1
Bij de lengtemeting heb natuurlijk mensen met allemaal
verschillende lengtes, maar ook de meting zelf is niet
nauwkeurig.
De spreiding in de resultaten van de zoutmeting wordt
allen bepaald door de onnauwkeurigheid van mijn
meetmethode. Het monster is overal gelijk. Het heeft
maar één onbekend) zoutgehalte.
De populatie is de verzameling van alle mogelijke
metingen.
R2
R3
a
b
c
d
e
f
24
 n  SE  n  1,5  25  7,5
meting zoutgehalte x = 15,1 mg/L en n-1 = 0,2 mg/L
 n= 2,5 % van 15,1 mg/L = 0,38 mg/L
Bereken de standaardfout SE.

0,38
SE  n  SE 
 0,22
n
3
Bereken het 95 % betrouwbaarheidsinterval voor de
werkelijke waarde van het zoutgehalte.
15,1  1,96  0,22    15,1  1,96  0,22
14,67 mg/L    15,53 mg/L
Je kunt de steekproef groter maken dus meer metingen
aan hetzelfde monster doen.
Nee, want het 99 % betrouwbaarheidsinterval is groter
dan het 95 % interval. Het aantal metingen verandert
namelijk niet door een andere berekening. De
steekproef blijft even (on)nauwkeurig.
Reken uit hoe groot de steekproef minstens moet zijn
om een afwijking van maximaal 2 % te krijgen.
2 % afwijking betekent 2 % van 15,1 = 0,302
dus 1,96 × SE = 0,302
0,302
SE 
 0,15
1,96


0,38
SE  n  n  n 
 2,53
SE 0,15
n
n  2,532  6,4
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
afgerond n =7
je moet dus nog 4 meting extra doen.
Opgave 6.4
Simulatie van steekproeven uit een populatie
a 5
b afwijking = 16 – 13,18 = 2,82
afwijking =
c 8  5 = 40
2,82
 100 %  17,6 %
16
0,10
 100 %  0,625 % het gemiddelde van
16
d
afwijking =
d
de steekproef komt steeds dichter bij die van de
populatie te liggen
Die is 2,38

SE  n   n  SE  n  2,38  5  5,32
f
n
Hoe meer metingen je doet, hoe beter dit gaat kloppen
Opgave 6.5
Betekenis van het betrouwbaarheidsinterval
a
10 steekproeven
b
9 van de 10 dus 90 %
c
15 van de 20 dus 75 %
d --
Opgave 6.6
Schatting van het populatiegemiddelde bij een kleine
steekproef
a
Tabel: 95%; tweezijdig; n =5 dus v = 4  t = 2,78
b


x  t  n1    x  t  n1
n
1,53  2,78 
n
0,18
0,18
   1,53  2,78 
5
5
BI: 1,31 g/kg < μ < 1,75 g/kg
c
De maximale waarde van 1,0 kg valt buiten het
betrouwbaarheidsinterval, dus het gehalte is te hoog
6.2
R4
R5
R6
25
een kleiner gebied kun je met minder zekerheid
voorspellen dat de werkelijke waarde erin ligt
zie vorige vraag
bij eenzelfde betrouwbaarheid (bijv. 95 %) wordt het
interval kleiner want n wordt groter
, bovendien
wordt de t-waarde kleiner, dus ook daardoor wordt het
interval kleiner
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
Opgave 6.7
Schatting van het populatiegemiddelde bij een grote steekproef
a
n =200, dus v = n – 1 = 199, tabel: t = 1,64
118
118
   x  1,64 
200
200
1594  14    1594  14
x  1,64 
€ 1580 <  < € 1608
b
118
118
   x  1,64 
190
190
1594  14    1594  14
x  1,64 
€ 1580 <  < € 1608 en dat blijft door de afronding
hetzelfde
Opgave 6.8
BI bij controles - Koloniegetalbepaling
a gemiddelde


x  t  n1    x  t  n1
n
75  2,78 
b
Opgave 6.9
n
12
12
   75  2,78 
5
5
BI: 60 KVE/g < μ < 90 KVE/g
Ja, het hele interval ligt onder de 100 dus het kiemgetal
is niet te hoog
Controle - Zout in mineraalwater
a
Tabel: 95%; tweezijdig; n =25 dus v = 24  t = 2,06
gemiddelde:


x  t  n1    x  t  n1
n
n
12
12
130  2,06 
   130  2,06 
25
25
b
BI: 125 mg/L < μ < 135 mg/L
Geef een schatting voor de standaarddeviatie van de
populatie.
schatting SE = n-1 =12 mg/L
c
26
n
  n  SE  n  12  25  60 mg/L
n
x   150  130
Z

 0,33

60
Z-tabel: P(Z <0,33) = 0,6293
P(Z >0,33) = 1 – 0,6293 = 0,3707
Dus 37,1 % van de flessen zal waarschijnlijk meer dan
150 mg/L zout bevatten
SE 
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
Opgave 6.10
BI van verschillen: is het gehalte significant gedaald?
a
standaarddeviatie = 0,05  500 = 25 UI/L
b
tussen  – 2 en  + 2
c
2 = 2  25 = 50 UI/L
BI: 500 – 50 < μ < 500 + 50
BI: 450 UI/L < HGC < 550 UI/L
d
standaarddeviatie tweede meting = 0,05  475 = 24
UI/L
e
f
Opgave 6.11
7
Statistisch significant of praktisch significant?
a
Middel B geeft de grootste gemiddelde gewichtsafname,
maar ook de grootste onzekerheid, de afname kan zelfs
negatief zijn, dat betekent dus sommige gebruikers een
gewichtstoename kunnen verwachten. Van middel A
wordt in ieder geval iedereen (95% betrouwbaar) lichter.
b
Wie graag een gok waagt neemt middel B, als je op
zekerheid speelt neem je A.
Kwaliteitszorg en controlekaarten
Opgave 7.1
27
 TOT   12   2 2  252  24 2  35 UI/L
2 = 2  35 = 70
het verschil is 500 – 475 = 25
het verschil kan dus 70 UI/L afwijken
BI: 25 – 70 < μ < 25 + 70
BI: – 45 < verschil < 95 UI/L
het als er geen verschil zou zijn tussen de metingen van
500 en 475 dan zou het verschil nul zijn; dit getal nul
ligt ruim binnen dit interval dus het verschil is niet
significant, dat betekent dat we door de onzekerheid van
de meetmethode niet mogen aannemen dat de metingen
van het gehalte HCG echt verschillen.
Variaties
a -b
Omdat dat afhangt van de gewenste nauwkeurigheid
c
-d
20 op de 100 dus 1 op 5, dus 4 rode ballen
e
toeval
f het kan theoretisch wel, maar de kans is ontzettend klein.
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
Opgave 7.2
Oorzaken van variaties en controlekaarten
Opgave 7.3
Controlekaarten van losse (enkele) meetwaarden
b Welke conclusies zou je kunnen trekken?
a Maak een controlekaart van de uitslagen met grenzen.
LDL gehalte
LDL (mmol/L)
5
4,5
meetwaarden
4
ondergrens
bovengrens
3,5
3
0
5
10
15
maand
b het LDL gehalte stijgt en wordt te hoog
Opgave 7.4
Controlekaarten voor apparatuur of meetmethode
a
2  2,4 = 4,8 %
b 2  0,2 = 0,4 %
Opgave 7.5
Kwaliteitscontrole bij de melkproductie
a
x = 44,9 g/L en n-1 = 0,9 g/L
b Tabel: 95%; tweezijdig; n =10 dus v = 9  t = 2,26


x  t  n1    x  t  n1
n
n
0,9
0,9
44,9  2, 26 
   44,9  2, 26 
10
10
44,9  0,64    44,9  0,64
De 2σ grenzen liggen op – 0,6 en + 0,6 g/L
1 = 0,5 × 0,6 = 0,3 g/L dus 44,6 en 45,2 g/L
2 = 0,6 dus 44,3 en 45,5 g/L
3 = 3  0,3 = 0,9 g/L dus 44,0 en 45,8 g/L
c
28
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
vetgehalte (g/L)
controlemonster vetgehalte (g/L)
45,7
45,2
44,7
44,2
43,7
0
2
4
6
8
10
dag
d De waarden in de tabel kloppen niet, de juiste zijn:
45,3
45,1
44,4
44,0
44,8
45,8
45,6
vetgehalte (g/L)
controlemonster vetgehalte (g/L)
45,7
45,2
44,7
44,2
43,7
0
2
4
6
8
10
dag
e
Opgave 7.6
Opgave 7.7
29
op dag 4 is er een meting buiten de
waarschuwingsgrens en op dag 6 zelfs een buiten de
actiegrens.
Hoe bepalen we nu of de kwaliteit onbeheerst is?
a ja, op dag 4 en dag 6
b op dag 4 de 12 – regel: waarschuwing dus geen actie
op dag 6 de 13 – regel: hier had actie ondernomen
moeten worden
c zie b,
 de meting herhalen;
 onderzoek doen naar de oorzaak;
 na opheffen oorzaak herhalen van de meting;
 nieuwe kaart starten.
Is er actie nodig?
a
dag 6 de 12 – regel: waarschuwing dus geen actie
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
44,7
b
c
Opgave 7.8
dag 16 de 41 – regel: hier had actie ondernomen moeten
worden
dag 3 de 12 – regel: waarschuwing dus geen actie
dag 13 de 41 – regel: hier had actie ondernomen moeten
worden
dag 7 de 12 – regel: waarschuwing dus geen actie
dag 14 de 12 – regel: waarschuwing dus geen actie
Controleregels in chemie en microbiologie
a
95% betrouwbaarheidsinterval geeft de 2 grenzen aan, dus
8200 – 2500 = 5700 en 8200 + 2500 = 10.700
3 is dan 1,5 × 2500 = 3750
Dus de 3 grenzen zijn: 8200 – 3750 = 4450 en 8200 +
3750 = 11.950
Dus: 4450 – 5700 – 10.700 – 11.950
b
dag 5 t/m 14 de 10x regel
c
dag 7 de 12 – regel: waarschuwing dus geen actie
dag 8 de 22 – regel: hier had actie ondernomen moeten
worden
dag 11 de 41 – regel: hier had actie ondernomen moeten
worden
dag 19 de 13 – regel: hier had actie ondernomen moeten
worden
d
nee
EXTRA INFORMATIE
Opgave 7.9
8
Opgave 8.1
30
Een kijk achteraf: de runchart
24 meetwaarden en 7 runs: dit duidt op afwijkingen
er is een shift: een run van 8 ook dit duidt op afwijkingen
er is geen trend waarneembaar
Correlatie en regressie
Wel of geen verband tussen de grootheden?
a
waar je ongeveer een rechte lijn door de punten kunt
trekken, dus de bovenste en de onderste
b
de bovenste is positief, als de ene grootheid toeneemt,
neemt de andere ook toe; de onderste is negatief, als de ene
grootheid toeneemt, neemt de andere af
c
boven r > 0; midden r = 0 en onder r < 0
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
Opgave 8.2
Berekenen van de correlatiecoëfficiënt
a
verband tussen gewicht en overlijden
90
leeftijd overlijden
85
80
75
70
65
60
65
70
75
80
85
90
95
gewicht (kg)
b
negatief: zware mensen hebben meer kans vroeg te
overlijden
c
i
Xi
Yi
Xi  X
Yi  Y
( X i  X )  (Yi  Y )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
74
90
80
67,5
68
78
70
69,5
79
69
72
68
70
85
82
69
77
74
71
82
-0,5
15,5
5,5
-7
-6,5
3,5
-4,5
-5
4,5
-5,5
-3
-7
-5
10
7
-6
2
-1
-4
7
1,5
-108,5
-27,5
-70
-45,5
-21
-9
5
-18
-38,5
 xi  745  yi  750
n=
10
x  74,5

( xi  x)  ( yi  y)  331,5
 x  7,23  y  6,13
y  75
n
r
d
e
f
g
Opgave 8.3
31
 ( xi  x)  ( yi  y)
i 1
n  x  y

 331,5
 0,831
9  7,23  6,13
0,831 > 0,632 dus er is een aantoonbare correlatie
r2 = 0,8312 = 0,691
voor 69,1 %
0,846 < 0,878 dus er is geen aantoonbare correlatie, het kan
dus toeval zijn
Bepalen van een lineaire regressielijn
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
a r
y
6,13
 0,831
 0,705
x
7,23
b  y  a  x  75  (0,705)  74,5  127,52
De vergelijking van de regressielijn is dus: y = -0,71 x + 127,5
Opgave 8.4
Oefenen met lineaire regressie
a
volgehouden dagen dieet
3,5
3
gewichtsverlies (kg)
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
10
20
30
40
50
60
dagen dieet
er is aantoonbare correlatie want r = 0,982
vergelijking volgens methode boven: y = 0,0585x – 0,2687
b
y = 0,0585x – 0,2687 = 10
10  0,2687
x
 175 dagen
0,0585
c
meerdere redenen: houd je het vol en blijft de afname per
dag gelijk?
8.1
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
Opgave 8.5
32
hoe kleiner het aantal hoe groter de invloed van het toeval
er is wel een heel grote correlatie maar de lijn loopt niet
recht
waarschijnlijk een wortelverband
laten we hopen van niet
de grootte van de bevolking?
agressieve kinderen kijken veel vaker TV,………..
statisch: ze hebben duidelijk met elkaar te maken maar er
kan een heel andere oorzaak zijn
oorzakelijk: een van de twee is de oorzaak en de andere is
daar een gevolg van
Lineaire regressie met Casio fx-82SX
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
Opgave 8.6
Lineaire regressie met Excel
a
y = 0,0013x - 1,8182
verband tussen afkeur en dagproductie
2
R = 0,9887
5
4,5
4
afkeur (%)
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
productie/dag
r=
b
c
9
Testen van meetresultaten
9.1
R1
R2
Opgave 9.1
33
R 2  0,9887  0,994
YES , want 0,994 > 0,666
Dat is natuurlijk niet waarschijnlijk. de grafiek zal minder
steil gaan lopen, want afkeur blijft er altijd
Hoe zou de tekening van de eenzijdige toets eruit zien als
we als alternatieve hypothese gesteld hadden: H1: µ < 50?
Als we het voorbeeld van de cola eenzijdig hadden getest,
was de uitslag dan anders geweest? Leg uit, eventueel met
een berekening.
Testen van het uit de steekproef geschatte gemiddelde t.o.v. 
a
x = 24,5 kg en n-1 = 1,0 kg
n
5
b
t  (   x) 
 25  24,5 
 1,12
 n-1
1,0
c
2,5 %
d
v=n–1=5–1=4
tabel: tkritisch = 2,78.
e
1,12 < 2,78
f
de nulhypothese wordt aangenomen
g
Het gewicht voldoet aan de specificatie van 25 kg met een
betrouwbaarheid van 95 %
8 Correlatie en regressie
2012 © Vervoortboeken
Opgave 9.2
Paracetamol
a
via de website:
One sample t test results
P value and statistical significance:
The two-tailed P value equals 0.0045
By conventional criteria, this difference is considered to be
very statistically significant.
zelf berekenen
Nulhypothese:
Het gewicht voldoet aan de specificatie, de waarde wijkt
niet significant af van 200 g
H0: µ = 200 g
Alternatieve hypothese
Het gewicht voldoet niet aan de specificatie, de waarde
wijkt significant af van 200 g
H0: µ  200
t  (   x) 
b
Opgave 9.3
34
n
 200  192 
6
 4,90
4
 n-1
v=n–1=6–1=5
tabel: 95%; tweezijdig,  tkritisch = 2,57
4,90 > 2,57, dus de nulhypothese wordt verworpen
Het gewicht is significant lager dan 200 g met een
betrouwbaarheid van 95 %
bij een eenzijdige test is de tkritisch = 2,02; deze afwijking is
nog groter, dus de conclusie is hetzelfde
Nieuwe machine
a
eenzijdig, je wilt bewijzen dat hij sneller is.
b
Nulhypothese:
Het aantal van de nieuwe machine verschilt niet van de
oude H0: µ = 250
Alternatieve hypothese
Het aantal van de nieuwe machine is groter dan van de
oude H1: µ > 250
n
10
t  (   x) 
 250  265 
 7,91
 n-1
6
v = n – 1 = 10 – 1 = 9
tabel: tkritisch = 1,83
7,91 > 1,83 dus de nulhypothese wordt afgewezen en de
alternatieve dus aangenomen; de nieuwe machine werkt
significant sneller dan de oude.
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
Opgave 9.4
Slootwater
a
plaatje II past het best
b
de meetserie van de partner lijkt nauwkeuriger
c
Eigen metingen
Nulhypothese:
Het “werkelijke” gehalte wijkt niet significant af: H0: µ =
0,40
Alternatieve hypothese
Het “werkelijke” gehalte wijkt wel significant af: H0: µ 
0,40
t  (   x) 
n
t  (   x) 
n
 0,40  0,38 
12
 3,46
0,02
 0,40  0,44 
8
 11,3
0,01
 n-1
v = n – 1 = 12 – 1 = 11
tabel: tkritisch = 2,20 (geen voorkeur dus tweezijdig testen)
2,20 < 3,46 dus de nulhypothese wordt afgewezen
De gevonden waarde wijkt significant af van de werkelijke
waarde.
Metingen partner
Het “werkelijke” gehalte wijkt niet significant af: H0: µ =
0,40
Alternatieve hypothese
Het “werkelijke” gehalte wijkt wel significant af: H0: µ 
0,40
d
 n-1
tabel: tkritisch = 2,36 (geen voorkeur dus tweezijdig testen)
2,36 < 11,3 dus de nulhypothese wordt afgewezen
De gevonden waarde wijkt significant af van de werkelijke
waarde.
Beide meetmethoden voldoen niet
Opgave 9.5
Vergelijken van twee meetseries
Opgave 9.6
T-test van gemiddelde uit twee steekproeven
a Bereken S.
S
b
c
35
v1   1  v2   2
v1  v2
2
t
x1  x 2
2
3100  2750
 5,07
1
1
1
1
S

422,5 

n1 n2
75 75
tabel: tkritisch = 2,00
5,07 > 2,00 dus de nulhypothese wordt verworpen
10 Extra oefeningen


74  420 2  74  4252
 422,5
74  74
2012 © Vervoortboeken
d
Opgave 9.7
F-test van standaarddeviaties uit twee steekproeven
 A ( n 1) 2
F
b
tabel: Fkritisch = 3,58
2,56 < 3,58 dus de nulhypothese wordt aangenomen
De meetseries verschillen niet significant in precisie. Je
kunt dus niet zeggen dat serie B nauwkeuriger is. De
verschillen zijn aan toeval te wijten
 B( n 1) 2

0,40 2
 2,56
0,252
a
c
Opgave 9.8
Er is wel een significant verschil tussen de gemiddelden
Het gemiddelde gewicht van de behandelde groep is dus
groter dan die van de controlegroep
Afvalwateronderzoek
Gemiddelde
Nulhypothese: Er is geen significant verschil tussen de
gemiddelden: H0: µ1 – 2 = 0
Alternatief: H1: µ1 – 2  0 (geen voorkeur voor een van
beide methoden), dus tweezijdig testen.
S
t
v1   1  v2   2
v1  v2
2
x1  x 2

2

10  1,27 2  10  1,99 2
 1,67
10  10
4,55  6,37
 8,55
1
1
1
1
S

1,67 

n1 n2
11 11
tabel: tkritisch = 2,23
8,55 > 2,23 dus de nulhypothese wordt verworpen. Er is een
significant (opvallend) verschil in de gevonden gemiddelden
Standaarddeviatie
Nulhypothese: De precisie van methode B is niet significant
beter dan de precisie van methode A: H0: A = B
Alternatief: de precisie van methode B is significant slechter dan
de precisie van methode A H1: A < B . Dus tweezijdig testen.
 2 1,992
F  A2 
 2,46
1,27 2
B
tabel: Fkritisch = 3,72
2,46 < 3,72 dus de nulhypothese wordt aangenomen. De
meetseries zijn wel vergelijkbaar wat betreft precisie.
Opgave 9.9
36
T-test van gemiddelde uit twee steekproeven met gepaarde
waarnemingen
a
op het beeldsignaal
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
b
c
ja
nul?
22  10
 2,02
V
34,4
e
tabel: tkritisch = 2,26
2,02 < 2,26 dus de nulhypothese wordt aangenomen.
f
Er is geen significant verschil tussen de gemiddelde
reactietijden.
d
Opgave 9.10
t
xv  n

Hemoglobinegehalte
Nulhypothese
Er is geen significant verschil tussen de gemiddelde Hb-gehaltes
per patiënt
H0: x v  0
Alternatieve hypothese
Er is wel een significant verschil tussen de gemiddelde Hbgehaltes per patiënt
H1: x v  0
Hb-gehalte (g/dL)
patiënt
A
1
12,5
2
13,6
3
16,3
4
15,8
5
14,6
6
11,3
gemiddeld 14,0
verschil
-0,9
-1,1
-0,8
0,6
0,7
-2,5
-0,9
0,9
0,9  6
 2,45 (neem x v  0 )
V
0,9
tabel: tkritisch = 2,57
2,45 < 2,57 dus de nulhypothese wordt aangenomen. Er is geen
significant verschil tussen beide meetmethoden
t
Opgave 9.11
37
xv  n
B
13,4
14,7
17,1
15,2
15,3
13,8
14,9

Opstellen van hypotheses
CASUS 1
a
Het gemiddelde gehalte van een steekproef uit de partij
kindervoeding.
b
Nulhypothese
Er is geen significant verschil tussen het gemiddelde gehalte
en de maximale waarde van 0,02 kg
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
c
d
H0:  = 0,02 mg/kg
Alternatieve hypothese
Het gemiddelde gehalte is significant lager dan de
maximale waarde van 0,02 kg
H1:  < 0,02 mg/kg
Wel een voorkeur dus eenzijdig toetsen.
De t-test voor vergelijking van een gemiddelde van een
steekproef met een (on)gewenste waarde 
CASUS 2
a
Steekproeven met methode A en een met methode B
worden vergeleken. De standaarddeviaties worden
vergeleken.
b
Nulhypothese
Er is geen significant verschil tussen de standaarddeviaties
van methode A en B
H0: A = B
Alternatief: de precisie van methode B is significant beter
dan de precisie van methode A
H1: B < A.
c
Wel een voorkeur dus eenzijdig toetsen.
d
De F-test voor vergelijking van de standaarddeviaties van
twee steekproeven.
CASUS 3
a
Aan begin en eind van de periode van alle patiënten de
bloeddruk meten. Het gemiddelde verschil wordt
vergeleken.
b
Nulhypothese
Er is geen significant tussen het gemiddelde verschil van de
bloeddrukwaarden per patiënt.
H0: x v  0
Alternatieve hypothese
Het gemiddelde verschil van de bloeddrukwaarden per
patiënt is significant lager na de behandeling.
H1: x v > 0
c
Wel een voorkeur dus eenzijdig toetsen.
d
De gepaarde t-test voor vergelijking van de steekproeven
CASUS 4
a
De standaarddeviaties van de metingen van de twee
analisten worden vergeleken.
b
Nulhypothese
Er is geen significant verschil tussen de standaarddeviaties
van analist A en analist B
38
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
H0: A = B
Alternatieve hypothese
Er is een significant verschil tussen de standaarddeviaties
van analist A en analist B.
H1: B A.
Geen voorkeur dus tweezijdig toetsen.
De F-test voor vergelijking van de standaarddeviaties van
twee steekproeven.
c
d
Opgave 9.12
Grafische vergelijking van meetmethoden
a
Vergelijking Hb meetmethoden
20
18
16
methode B
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
methode A
R = 0,881547 dus R2 = 0,8815472 = 0,777
de grenswaarde is 0,811, dus er is aantoonbare correlatie
y = 0,5992x + 6,5177
helling = 1 en asafsnede = 0
op het oog lijken deze methoden niet vergelijkbaar, het
hellingsgetal ligt ver onder de 1 en de asafsnede is heel
groot
b
c
d
e
Opgave 9.13
Grafische vergelijking van meetmethoden - Uitschieters
patiënt
1
2
3
4
5
6
methode A
0,8
1,4
3,7
6
8,9
12,7
methode B
0,5
1,9
3,2
3,2
9,2
11,5
gemiddeld
verschil verschil
abs
0,3
0,3
-0,5
0,5
0,5
0,5
2,8
2,8
-0,3
0,3
1,2
1,2
0,67
0,93
test
(4x)
-3,4
-3,2
-3,2
-0,9
-3,4
-2,5
er zijn geen uitschieters
y = 0,9203x - 0,2218
R2 = 0,9312
39
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
Opgave 9.14
Grafische vergelijking van meetmethoden - Valkuilen
a
alle waarden met methode B zijn groter dan dezelfde van A
b
y = 1,016x + 1,0096
Vergelijking Hb meetmethoden
2
R = 0,92
20
18
methode B
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
methode A
ze komen overeen allen de waarden bij B zijn gemiddeld 1,0
hoger dan die van A
c
Een van de methodes vertoont een systematische afwijking.
Dat kan zowel A als B zijn
d
het zo niet vast te stellen welke methode afwijkt, je zou de
kalibratielijnen per methode moeten bekijken
e
in het hogere meetgebied wijkt een van de twee methoden
af (niet te zeggen welke)
Opgave 9.15
40
Vergelijking van meetmethoden volgens Passing en Bablok
a
het verschil zit alleen in de onzekerheid van helling en
snijpunt met de y-as, de formules zijn gelijk
b
de ideale waarden (1 en 0) liggen binnen de
betrouwbaarheidsintervallen, dus de methoden zijn
vergelijkbaar
c
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
20
Method comparison
1000
900
800
700
M9
600
500
400
300
200
100
0
0
200
400
600
800
M8
de methodes zijn vergelijkbaar
Opgave 9.16
Vergelijking van meetmethoden volgens Deming
deming
normaal
helling
0,97476 helling
1,033429
snijpunt
0,383629 snijpunt
-0,46153
correlatie
0,984639 correlatie
0,993386
wat opvalt is dat de Demingregressie een kleinere correlatie geeft
en een duidelijk afwijkend snijpunt met de y-as
Opgave 9.17
De analyse volgens Bland en Altman
a
onderste grens = –4,4 – 224,1 = – 52,6
bovenste grens = –4,4 + 224,1 = 43,8
b
gemiddeld verschil = –4,4
c
–4,4 L/min
d
Bij de ene serie 4,4 optellen of bij de andere 4,4 eraf halen
e
nee
f
n = 10  v = 9  t = 2,26
grens betrouwbaarheidinterval =
 n 1
24,1
t
n
 2,26 
10
 17,2
ondergrens –4,4 – 17,2 = – 21,6
bovengrens –4,4 + 17,2 = 12,8
dus – 21,6 < afwijking < 12,8
g
41
SE =
3 2
=
n
3  24,12
 13,2
10
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
h
10
-95,8 < onderste grens < 39,4
30,6 < bovenste grens < 57,0
De afwijkingen lijken toch behoorlijk groot
Extra oefeningen
Opgave 10.1
Boxplot
A juist
B onjuist
C juist
D onjuist
E juist
Opgave 10.2
Stam-blad
a
w = 50 – 11 = 39
b
n = 12, dus de middelste is 6½
mediaan = 22
c
modus = 22
Opgave 10.3
Scheef of symmetrisch?
A onjuist
B onjuist
C juist
D juist
Opgave 10.4
Tijdsduur
Een groep van 12 studenten heeft een test gedaan. De tijden dat ze
erover gedaan hebben zijn in minuten: 10, 9, 12, 15, 22, 11, 17,
20, 19, 26, 13, 17.
Bepaal:
a
sorteren: 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 17, 19, 20, 22, 26
dus w = 26 – 9 = 17
15  17
 16
b
n = 12, dus de middelste is 6½, dus mediaan =
2
c
modus = 17
d
gemiddelde = 15,92 (ZRM)
e
standaarddeviatie (populatie) = 4,99
4,99
100 %  31,3 %
f
variatiecoëfficiënt =
15,92
42
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
Opgave 10.5
Zoutgehalte
a
60,00
55,00
50,00
45,00
40,00
35,00
VAR00001
b
c
Opgave 10.6
SPSS: geen uitschieters
50,39 – 6,70 en 13,3 %
b = ½σn-1 = 0,5 × 6,70 = 3,35
dichtstbijzijnde lagere macht van 10 = 1 dus afronden op 0
decimalen, zie tabel
50 – 7 en 13,3 %
Autobanden
a
dus 6,92 % van de banden
b
0,0692, dat is 1 op de 14
Opgave 10.7
43
Chloridegehalte
  variatieco efficient  gemiddelde  0,012  7,17  0,08604 mg/L
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
dus (7,11 – 7,23)
Opgave 10.8
Cacaogehalte van chocolade
a
35 % en 4,24 %
4,24
100 %  12,1 %
b
variatiecoëfficiënt =
35
c
het valt binnen de 2 grenzen, dus de meetmethode is OK
d
het cacaogehalte is te laag
Opgave 10.9
Onderzoek van afvalwater
a
26,175 en 0,718 ppm
b
v = n–1 = 4 – 1 = 3
t = 3,18

0,718
  x  t  n1  26,175  3,18 
 26,175  1,142 ppm
n
4
dus afgerond 25,0 ppm <  < 27,3 ppm
Opgave 10.10
Controle van een standaardoplossing
  var iatiecoeff icient  gemiddelde  0,02  3,16  0,0632 g/L
KMnO4 (g/L)
3,4
3,4
3,3
(g/L)
3,3
3,2
3,2
3,1
3,1
3,0
3,0
2,9
0
2
4
6
8
10
dag
dag 7 de 12 – regel: waarschuwing dus geen actie
dag 10 de 41 – regel: hier moet actie ondernomen worden
44
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
Opgave 10.11
Reproduceerbaarheid
controlemonster (KVE/g)
5,00
4,50
4,00
(KVE/g)
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0
5
10
15
20
dag
dag 4
dag 7
dag 7+8
dag 9(8) t/m 12
dag 15
Opgave 10.12
7e
Benzeen in sigaren en sigaretten
Nulhypothese:
Het benzeengehalte van sigaren is gelijk aan dat van sigaretten
H0: µ = 81 g/g
Alternatieve hypothese:
Het benzeengehalte van sigaren is groter dan dat van sigaretten
H1: µ > 81 g/g
n
7
t  (   x) 
 81  151 
 20,6
 n-1
9
v=n–1=7–1=6
tabel: tkritisch = 2,45
20,6 > 2,45 dus de nulhypothese wordt verworpen
Sigaren bevatten meer benzeen dan sigaretten
BIJLAGE Meetgegevens grafisch
Opgave B7.1
45
12 – regel waarschuwing geen actie nodig
12 – regel waarschuwing geen actie nodig
24 – regel actieregel
41 – regel actieregel
13 – regel actieregel
Verschillende grafische weergaven
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
Opgave B7.2
Zelf een diagram maken
a
A
5
B
8
AB
4
0
8
b
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
AB
Opgave B7.3
B
A
c
een steekproef van 25 is te klein om een uitspraak te doen
over een zo grote groep als alle Nederlandse studenten
Energieverbruik
a
PJ = Petajoule = 1015 J
Energieverbruik in Nederland in 2006 (PJ)
steenkool aardolie aardgas elektriciteit overig
9,9·1016 1,073·1019 1,172·1019 3,20·1018 1,35·1018
b
Maak met behulp van Excel een handige grafiek.
elektriciteit
overig steenkool
aardolie
aardgas
c
d
Opgave B7.4
46
Totaal verbruik = 99 + 1073 + 1172 + 320 + 135 = 2799 PJ
1073
 100 %  38,3 %
aardolie =
2799
kernenergie, windenergie, biomassa, waterkracht (import)
Verkiezingen
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
a
b
17 % betekent tussen 16,5 % en 17,5 %.
Voor 17 % heb je dus minstens 0,165  9.838.683 =
1.623.375 stemmen nodig
Dat is 0,175  9.838.683 = 1.721.762 stemmen
Er stemden 579.490 mensen op de PVV.
579.490
 100 %  5,89 % , dat klopt
d
PVV stemmers =
9.838.683
dus
e
5,89 % van 150 = 8,8 = 9 zetels
Opgave B7.5
Wiskundecijfers
a
dan raak je het overzicht compleet kwijt
b
aantal cijfers 6 t/m 10 = 13 + 12 + 4 + 1 + 1 = 31
totaal aantal = 2 + 2 + 4 + 5 + 8 + 31 = 52
31
voldoendes =
100 %  59,6 %
52
Histogram
16
14
Frequentie
12
10
8
6
4
2
0
2
47
4
6
8
10 Extra oefeningen
10
12 14 16 18 20
2012 © Vervoortboeken
Antwoorden
Alle antwoorden en uitwerkingen van de opgaven en R-vragen zijn te vinden op de
website: www.vervoortboeken.nl
48
10 Extra oefeningen
2012 © Vervoortboeken
1e
Bijlage Dixons-test of Q-test
Kritische waarden voor losse uitschieters
n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Qkritisch 0,94 0,76 0,64 0,56 0,51 0,47 0,44 0,41 0,39
n
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Qkritisch 0,37 0,35 0,34 0,33 0,32 0,31 0,30 0,29 0,28
n
21
22
23
24
25
30
35
40
45
Qkritisch 0,29 0,29 0,28 0,28 0,28 0,26 0,25 0,24 0,23
49
Bijlagen
2012 © Vervoortboeken
2e
Z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
50
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
Bijlage Z-tabel normaalverdeling
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
Bijlagen
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
2012 © Vervoortboeken
3e
Bijlage
Student t-tabel T-verdeling
Voorbeeld:
tweezijdig 95% betrouwbaarheid
n=5v=4
Tabel  t = 2,78
v = n –1
eenzijdig
tweezijdig
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
51
90%
80%
95%
90%
97,5%
95%
99%
98%
99,5%
99%
3,08
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,41
1,40
1,38
1,37
1,36
1,36
1,35
1,35
1,34
1,34
1,33
1,33
1,33
1,33
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,31
1,31
1,31
1,31
1,31
1,30
1,30
1,29
1,28
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,72
1,72
1,72
1,71
1,71
1,71
1,71
1,70
1,70
1,70
1,70
1,68
1,67
1,66
1,64
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,08
2,07
2,07
2,06
2,06
2,06
2,05
2,05
2,05
2,04
2,02
2,00
1,98
1,96
31,82
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,50
2,49
2,49
2,48
2,47
2,47
2,46
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,85
2,83
2,82
2,81
2,80
2,79
2,78
2,77
2,76
2,76
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
Bijlagen
2012 © Vervoortboeken
4e
Bijlage F - tabel
F-waarden 95% betrouwbaarheid tweezijdig
vrijheidsgraden grootste standaarddeviatie (v = n – 1)
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
60
∞
1
647,8
799,5
864,2
899,6
921,8
937,1
984,2
956,7
963,3
968,6
948,9
993,1
1010,0
1018,0
2
38,51
39,00
39,17
39,25
39,30
39,33
39,36
39,37
39,39
39,40
39,43
39,45
39,48
39,50
3
17,44
16,04
15,44
15,10
14,88
14,73
14,62
14,54
14,47
14,42
14,70
14,17
13,99
13,90
4
12,22
10,65
9,98
9,60
9,36
9,20
9,07
8,98
8,90
8,84
8,66
8,56
8,36
8,26
5
10,01
8,43
7,76
7,39
7,15
6,98
6,85
6,76
6,68
6,62
6,43
6,33
6,12
6,02
6
8,81
7,26
6,60
6,23
5,99
5,82
5,70
5,60
5,52
5,46
5,27
5,17
4,96
4,85
7
8,07
6,54
5,89
5,52
5,29
5,12
4,99
4,90
4,82
4,76
4,57
4,47
4,25
4,14
8
7,57
6,06
5,42
5,05
4,82
4,65
4,53
4,43
4,36
4,30
4,10
4,00
3,45
3,67
9
7,21
5,71
5,08
4,72
4,48
4,32
4,20
4,10
4,03
3,96
3,77
3,67
3,20
3,33
10
6,94
5,46
4,83
4,47
4,24
4,07
3,95
3,85
3,78
3,72
3,52
3,42
2,85
3,08
15
6,20
4,77
4,15
3,80
3,58
3,41
3,29
3,20
3,12
3,06
2,86
2,76
2,52
2,40
20
5,87
4,46
3,86
3,51
3,29
3,13
3,01
2,91
2,84
2,77
2,57
2,46
2,22
2,09
60
5,29
3,93
3,34
3,01
2,79
2,63
2,51
2,41
2,33
2,27
2,06
1,94
1,67
1,48
∞
5,02
3,69
3,12
2,79
2,57
2,41
2,29
2,19
2,11
2,05
1,83
1,71
1,39
1,00
F-waarden 95% betrouwbaarheid eenzijdig (v = n – 1)
vrijheidsgraden grootste standaarddeviatie
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
60
∞
1
161,4
199,5
215,7
224,6
230,2
234,0
236,77
238,9
240,54
241,88
246,0
248,0
252,2
254,3
2
18,5
19,0
19,2
19,3
19,3
19,3
19,3
19,4
19,38
19,40
19,4
19,4
19,5
19,5
3
10,1
9,55
9,28
9,12
9,01
8,94
8,89
8,84
8,81
8,79
8,70
8,67
8,57
8,53
4
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
6,09
6,04
6,00
5,96
5,86
5,80
5,69
5,63
5
6,61
5,79
5,41
5,19
5,05
4,95
4,88
4,82
4,77
4,74
4,62
4,56
4,43
4,36
6
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,21
4,15
4,10
4,06
3,94
3,87
3,74
3,67
7
5,59
4,74
4,35
4,12
3,97
3,87
3,79
3,73
3,68
3,64
3,51
3,44
3,30
3,23
8
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,50
3,44
3,39
3,35
3,22
3,15
3,01
2,93
9
5,12
4,26
3,86
3,63
3,48
3,37
3,29
3,23
3,18
3,14
3,01
2,94
2,79
2,71
10
4,96
4,10
3,71
3,48
3,33
3,22
3,14
3,07
3,02
2,98
2,84
2,77
2,62
2,54
15
4,54
3,69
3,29
3,06
2,90
2,79
2,71
2,64
2,59
2,54
2,40
2,33
2,16
2,07
20
4,35
3,49
3,10
2,87
2,71
2,60
2,51
2,45
2,39
2,35
2,20
2,12
1,95
1,84
40
4,08
3,23
2,84
2,61
2,45
2,34
2,25
2,18
2,12
2,08
1,92
1,84
1,64
1,51
60
4,00
3,15
2,76
2,53
2,37
2,25
2,17
2,10
2,04
1,99
1,84
1,75
1,53
1,39
120
3,92
3,07
2,68
2,45
2,29
2,17
2,09
2,02
1,96
1,91
1,75
1,66
1,43
1,25
∞
3,84
3,00
2,60
2,37
2,21
2,10
2,01
1,94
1,88
1,83
1,67
1,57
1,32
1,00
52
Bijlagen
2012 © Vervoortboeken
5e
Bijlage
SPSS
Onderzoek van data
1. Start een versie van SPSS. Je komt automatisch in de Data
Editor.
2. Type de gegevens in of importeer ze vanuit een tabel in Word
of Excel.
3. In de Variable View
(tabblad linksonder op het
scherm) kun je de
meetserie een naam geven.
4. Kies Analyse – Descriptive Statistics – Explore
5. Kies de meetserie(s) die je wilt onderzoeken.
53
Bijlagen
2012 © Vervoortboeken
6. Stel in wat je wilt onderzoeken met het knopje Statistics
7. Vink Outliers (= uitschieters) en Percentiles (= kwartielen
enzo) aan.
Druk daarna op Continue.
8. Kies Plots en vink Histogram aan. Druk op Continue.
9. Druk tenslotte op OK.
54
Bijlagen
2012 © Vervoortboeken
10. Je krijgt een overzicht van:
 Descriptives: statische parameters zoals minimum,
maximum gemiddelde, mediaan, standaarddeviatie
 Percentiles: de grenzen van 5, 10, 25, 50, 75, 90 en 95 %
van de meetwaarden.
 Extreme Values: de 5 hoogste en 5 laagste waarden.
 Het Histogram.
 Het Stem and Leaf (= Stam en Blad) diagram, met
uitschieters aangegeven.
 De Box Plot, met uitschieters aangegeven.
Alle uitslagen kunnen bewaard worden en apart bekeken
worden met de SPSS Viewer. Ook kunnen ze gekopieerd
worden en bijvoorbeeld in Word worden geplakt.
55
Bijlagen
2012 © Vervoortboeken
6e
BIJLAGE Meetgegevens grafisch
Gegevens (data) kunnen op verschillende manieren grafisch (in
een plaatje) weergegeven worden. Een uitstekend hulpmiddel
hiervoor is Excel, het spreadsheetprogramma van Microsoft.
Als voorbeeld de frisdrankenvoorkeur van 170 studenten.
Frisdranken voorkeur
ColaCola
Dr.Pepper
Light
65
30
20
7Up
Sinas
Overig
18
20
17
Deze tabel kan in Excel met de grafiekentool in een grafiek
worden omgezet.
Voorbeelden:
Dranken voorkeur studenten
Dranken voorkeur studenten
B
70
60
Cola
50
A
40
Cola-Light
Dr.Pepper
7Up
30
Sinas
20
Overig
10
0
Cola
Cola-Light Dr.Pepper
7Up
Sinas
Overig
Dranken voorkeur studenten
17
C
Overig
Sinas
7Up
20
Dr.Pepper
30
Cola-Light
65
12%
7Up
11%
Dr.Pepper
12%Cola-Light
18%
18
Cola
37%
Cola
0
Opgave B7.1
56
D
20
Overig
Sinas10%
Dranken voorkeur studenten
10
20
30
40
50
Verschillende grafische weergaven
Welke naam hoort bij de bovenstaande grafische weergaven ?
Bijlagen
2012 © Vervoortboeken
60
70
Opgave B7.2
Zelf een diagram maken
Van 25 Utrechtse studenten is de bloedgroep bepaald:
AB
0
B
A
A
a
b
c
Opgave B7.3
B
B
0
0
B
A
0
B
AB
AB
0
A
B
AB
0
B
0
B
0
A
Maak een frequentietabel van deze uitslagen: (frequentie
= hoe vaak iedere bloedgroep voorkomt).
Maak een geschikt diagram met Excel.
Kun je met dit resultaat ook een uitspraak doen over de
bloedgroepenverdeling van alle Nederlandse studenten?
Leg uit.
Energieverbruik
Energieverbruik in Nederland in 2006 (PJ)
steenkool aardolie aardgas elektriciteit overig
99
1073
1172
320
135
a
b
c
d
Opgave B7.4
Schrijf bovenstaande waardes in een wetenschappelijke
notatie.
Maak met behulp van Excel een handige grafiek.
Hoeveel % van ons energieverbruik is afkomstig van
aardolie?
Waaruit bestaat de categorie “overig”?
Verkiezingen
In de figuur zie je de uitslag van de
Tweede-Kamerverkiezingen in 2006.
Totaal brachten 9.838.683 mensen
een stem uit.
a
b
Hoeveel mensen hebben
minstens SP gestemd?
Boven welk aantal wordt het
aantal 18%?
Tweedekamer 2006
SGP
overig
PvdD
ChristenU
D66
2%
1%
GroenLin
2%
nie2%
ks 4%
PVV5%
6%
CDA
26%
VVD
15%
SP
17%
PvdA
20%
Er stemden 579.490 mensen op de PVV.
d
Klopt het percentage?
57
Bijlagen
2012 © Vervoortboeken
e
Opgave B7.5
De Tweede Kamer heeft 150 zetels. Hoeveel zetels kreeg
de PVV?
Wiskundecijfers
In de vorige opdrachten maakte de volgorde waarin de gegevens
werden weergegeven niet uit. Zie als voorbeeld de
frisdrankenvoorkeur van studenten.
70
70
70
60
60
60
50
50
50
40
40
40
30
30
30
20
20
20
10
10
0
10
0
Dr.Pepper Cola-Light
Sinas
Cola
Overig
7Up
0
7Up
Cola-Light
Cola
Dr.Pepper
Overig
Sinas
Overig
Cola-Light
Sinas
Dr.Pepper
Vaak maakt de volgorde wel uit.
In de tabel hieronder zijn de behaalde cijfers van een
wiskundetoets van 52 studenten weergegeven in een
frequentietabel.
Cijfer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Aantal
studenten
2
2
4
5
8
13
12
4
1
1
Hieronder zijn twee grafieken weergegeven.
58
Bijlagen
2012 © Vervoortboeken
7Up
Cola
Cijfers Wiskunde Klas 2A+2B
Cijfers Wiskunde Klas 2A+2B
14
15
12
10
10
8
6
5
4
0
2
0
1
a
b
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Reeks1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
5
8
13
12
4
1
1
Waarom is het in dit geval niet verstandig de plaatsen van
de kolommen te wisselen?
Een staafdiagram (van een variabele) waarvan de staven zo
breed zijn dat ze tegen elkaar staan heet een histogram.
Histogram
16
14
Frequentie
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12 14 16 18 20
Teken zelf een histogram van de wiskundecijfers uit de
vorige opgave.
B7.1
S1
S2
S3
59
Welke soorten Excel grafieken zijn bruikbaar bij statistisch
onderzoek en waarom?
Wat is een frequentietabel? Hoe gebruik je die?
Wat is het verschil tussen een staafdiagram en een histogram?
Bijlagen
2012 © Vervoortboeken

Download Report