Cover Page The handle http://hdl.handle.net/25871 holds

Cover Page
The handle http://hdl.handle.net/1887/25871 holds various files of this Leiden University
dissertation.
Author: Kosters, Michiel F.
Title: Groups and fields in arithmetic
Issue Date: 2014-06-04
Dankwoord
Ik wil graag mijn promotor Hendrik Lenstra bedanken voor de goede en inspirerende begeleiding. Ook wil ik de promotiecommissie bedanken voor hun werk.
Ik wil de medewerkers van het Mathematisch Insituut bedanken, met name van
de afdeling algebra, getaltheorie en meetkunde. Ik heb van allen zeer veel geleerd en
de goede sfeer op het instituut is mijn onderzoek zeker ten goede gekomen.
Zonder namen te noemen wil ik al mijn vrienden bedanken: de andere promovendi
in mijn groep, mijn studievrienden, mijn Haagse vrienden van de Amberhorst en Kornalijnhorst, mijn klaverjasvrienden, mijn hardloopvrienden, mijn bordspellenvrienden
en mijn pubquizvrienden.
Als laatste wil ik mijn familie bedanken.
153
Curriculum Vitae
Op 4 juni 1987 werd Michiel Kosters geboren in Leidschendam. In 2005 haalde
hij cum laude zijn diploma aan het Christelijk Gymnasium Sorghvliet te Den Haag.
Vanwege de goede examenresultaten kreeg hij de Diligentiaprijs voor natuurkunde, een
prijs voor scheikunde en een prijs voor Latijn. In dat jaar begon hij met het studeren
van wiskunde en natuurkunde aan de Universiteit Leiden. Hoewel hij in zijn eerste jaar
winnaar was voor de aanmoedigingsprijs in de natuurkunde, besloot hij zich volledig te
richten op de studie wiskunde. In 2008 haalde hij cum laude zijn bachelor wiskunde en
vervolgens in 2010 cum laude zijn master wiskunde. Tijdens zijn studie won hij zowel
de teamwedstrijden LIMO (Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade)
als de PION (Project Interuniversitaire Oympiade Natuurkunde). Zijn masterscriptie
werd begeleid door professor Hendrik Lenstra, die hem tijdens het schrijven een
promotieplek op het Mathematisch Instituut van de Universiteit Leiden aanbood. In
september 2010 begon hij met zijn promotieonderzoek bij professor Hendrik Lenstra
waarvan dit proefschrift het resultaat is.
Na zijn promotie zal Michiel verder gaan als postdoctoraal onderzoeker aan de
Nanyang Technological University in Singapore.
155
Index
(L, w) ⊇ (K, v), 3
(P, M )(γ), 62
(a), 40
(v, M/K, s), 33
(x, M/K), 33
(x, M/K, s), 33
C(G), 129
CK , 47
CS , 103, 108
D0 , 40
D∞ , 40
FG , 89
FC , 129
G-degree, 130
G-pre-degree, 129
G∨ , 88
K(X), 38
K ∗ , 107
K+ , 105
Kv , 47
K(f) , 49
K[D] , 50
Kh,x , 5
Ki,x , 5
Ksep , 10
Kv,x , 5
L-series, 51
L(s, ρ), 51
LL0 , 10
LK,ins , 12
LK,sep , 5
N (D, i, g), 83
Q(R), 2
SS −1 , 94
Uv , 47
(i)
Uv , 47
[K], 135
[M : N ]i , 3
[M : N ]s , 3
Aut(k → Ω), 124
Autk (Ω), 124
AutK ∗ ,Γx,v (M ∗ /(1 + mx )), 4
Aut[K] (Ω), 135
C[G], 87, 88
C[S], 87, 92
ConormL/K , 42
∆v , 3
Dx,K , 4
Γx,v , 4
Hom(s, s0 ), 123
HomK (L, M ), 7
Ix,K , 4
NormL/K , 42, 47
N, 51
N(P ), 105
Pic0k (K), 41
Pick (K), 41
Simp(C), 129
Sub(Ω), 134
Sub(Ω, [K]), 135
T(P ), 105
Vx,K , 4
¯, 88
χ0 , 88
degk (D), 40
div0k (K), 40
divk (K), 40
diff(L/K), 44
d(w/v), 3
dw (w/v), 3
e(w/v), 3
et (w/v), 3
ew (w/v), 3
exp(H), 5
|\, 8, 11
f(w/v), 3
f i (w/v), 3
f s (w/v), 3
gcd(D, D0 , 40
gL,v , 3
157
158
∞, 39
kv , 2
hU i· , 96
hV i+ , 96
lcm(D, D0 ), 40
mv , 2
IK , 47
Cp , 134
Ov , 2
PK/k , 39
1
PK/k
, 39
H, 134
RVark , 38
Sets, 38
dik (K), 46
f(L/K), 48
f(χ), 49
n(w/v), 3
ord(H), 5
K, 2
ψC , 113
pv , 3
qdiff(L/K), 44
shG (S), 92
supp(D), 40
trdegK (L), 124
unr(L/K), 52
unrd (L/K), 52
ϕC , 103, 108
|a|2 , 88
ζK (s), 51
av , 49
cd , 133
d(S), 68
e(g), 83
fχ , 88
g(K), 41
hK , 41
iL/K , 44
k((G)), 128
k(C)∗ , 117
k(C)+ , 111
k(C)∗,[∞0 ] , 117
k(C)+,[∞0 ] , 111
k(x), 38
lk (D), 41
s∗ , 89
s∗ , 89
v|K 0 , 3
w/v, 3
absolute norm, 51
algebraic variety, 38
affine, 38
Index
curve, 38
algebraically independent, 124
almost finitely generated, 125
Artin representation, 49
category
G-degree, 130
G-pre-degree, 129
filtered, 129
category of arrows, 123
character group, 88
commensurable fields, 134
complexity, 92
compositum, 7
conductor, 48, 49
conorm, 42
curve
genus, 41
geometrically irreducible, 41
hyperelliptic, 55
decomposition field, 5
decomposition group, 4
density, 68
different, 44
discriminant, 44
divisor, 40
absolute norm, 51
conorm, 42
degree, 40
gcd, 40
lcm, 40
norm, 42
support, 40
divisor group, 40
exponent, 5
F¨
uhrerdiskriminantenproduktformel, 49
field extension
almost finitely generated, 125
linearly disjoint, 7, 10
purely inseparable, 125
separably disjoint, 12
field of definition, 8, 11
filtered, 129
finite approximation, 70
Fourier transform, 89
Frobenius element, 33
Frobenius formalism, 32
full constant field, 41
full interval, 95
function field, 38, 39
genus, 41
fundamental equality, 7
159
geometric, 41
geometric over k, 41
global class field theory, 47
global Frobenius class, 65
Grothendieck group, 134
group ring, 88
Hasse-Weil theorem, 52
hyperelliptic curve, 55
id`
ele class group, 47
norm, 47
id`
ele group, 47
inertia field, 5
inertia group, 4
interval, 95
full, 95
standard, 95
large field, 61
linearly disjoint, 7, 10
Malcev field, 128
morphism
dominant, 39
separable, 39
norm, 42
order, 5
ordered abelian group, 2
Picard group, 41
place, 40
point, 40
profinite group
exponent, 5
order, 5
purely inseparable, 125
quasi-cyclic field, 32
quasi-different, 44
ramification field, 5
ramification group, 4
ray class field, 49
Riemann-Hurwitz theorem, 45
Riemann-Roch space, 41
Riemann-Roch Theorem, 41
scheme
integral, 37
normal, 38
projective, 38
reduced, 37
separably disjoint, 12
shape parameter, 92
standard interval, 95
Steinitz monoid, 5
Steinitz numbers, 5
support, 40
Tate’s lemma, 13
transcendence basis, 124
transcendence degree, 124
unramified, 41
valuation
value group, 2
valuation map, 2
valuation ring, 2
valued field, 3
extension, 3
decomposition group, 4
defect, 3
finite, 3
fundamental equality, 7
immediate, 4
inertia group, 4
inseparable residue field degree, 3
local, 4
local degree, 3
ramification group, 4
ramification index, 3
residue field degree, 3
separable residue field degree, 3
tame, 4
tame ramification index, 3
totally ramified, 4
totally split, 4
totally wild, 4
unramified, 4
wild ramification index, 3
wildness index, 3
restriction, 3
zeta function, 51

Download Report