Uitwerkingen hfdst 3.

Uitwerkingen hoofdstuk 3 versie 2014
3.
Logaritmische grafieken en
exponentiële verbanden.
Opgave 3.1
Aflezen van coӧrdinaten in een enkellog-grafiek.
De coӧrdinaten van de punten A, B, C, D en E.
A: (2; 101,1 ) → (2; 12,6)
B: (3; 101,8 ) → (3; 63)
C: (5,3; 10 2,1 ) → (5,3; 126)
D: (4; 10 2.5 ) → (4; 316)
E: (6,9; 10 2, 62 ) → (6,9; 417)
Opgave 3.2
Uitzetten van punten in een enkellog-grafiek.
Stel de juist schaalverdeling in en via copy en paste krijg de volgende
grafiek.
100
1
9
8
7
6
5
4
3
2
10
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
9
8
7
6
5
4
3
2
0,1
1
0
1
5
10
15
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
Opgave 3.3
Aflezen van coӧrdinaten in een dubbellog-grafiek.
De coӧrdinaten van de punten A, B, C, D en E.
A: (101, 2 ; 10 −0, 4 ) → (16; 0,4)
B: (10 0,55 ; 10 0,1 ) → (3,5; 1,3)
C: (10 0, 2 ; 10 0,6 ) → (1,6; 4,0)
D: (101,13 ; 10 0, 22 ) → (13; 1,7)
E: (101, 65 ;10 0,88 ) → (45; 7,6)
Opgave 3.4
Uitzetten van punten in een dubbellog-grafiek.
10
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
9
8
7
6
5
4
3
2
0,1
2
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
10
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
3
4
5
6
7
8
9
1
100
2014©Vervoort Boeken
Opgave 3.5
Grondtal bepalen met enkellog-grafiek.
a 2 N = (10 0,3 ) N = 10 0,3 N
1
b
helling rood =
= 0,48
2,1
exponent = 0,48 ⋅ N
c
Opgave 3.6
(10 0, 48 ) N = 3 N
Groei van je spaarrekening.
a K (1) = 1,065 × 1780 = 1896
K (10) = (1,065)10 × 1780 = 1,877 × 1780 = 3341
rente na 10 jaar = K (10) − K (0) = 3341 − 1780 = 1561
zie grafiek hierna
(1,065) N = 10 0, 0273⋅ N
0,4
f helling =
= 0,028
14
klopt met antwoord g
b
c
d
e
3
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
10000
1
9
8
7
6
5
4
log(5)- log(2) = 0,40
3
2
16- 2 = 14
1000
1
0
Opgave 3.7
10
5
15
Oefenen met alog(b).
Bereken en controleer.
a voorbeeld:
10
log(8)
2
log(8) = 10
= 3 controle : 2 3 = 8
log(2)
10
b
1, 04
c
3
log(1,6) =
10
10
d
3
log(100) =
log(9) =
log(1,6)
= 12 controle : 1,0412 = 1,60
log(1,04)
log(100)
= 4,19 controle : 3 4,19 = 99,8
log(3)
10
log(9)
=2
log(3)
controle : 3 2 = 9
e 3 log(311 ) = 11 want 311 = 311
4
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
Opgave 3.8
Bereken de waarde van x.
Bereken en controleer.
a voorbeeld:
3
log(5)
log(5)
5 x = 3 log(5) → x =
=
= 0,293
5
5 log(3)
controle : 5 × 0,293= 3 log(5) klopt
b 1200 = 1000 ⋅ (1,06) x → 1,06 x =
1200
→ 1,06 x = 1,2
1000
→ x =1,06 log(1,2) exact
→x=
log(1,2)
= 3,13 afgerond
log(1,06)
controle : 1000 ⋅ (1,06) 3,13 = 1200,1 klopt
c 2 x = 1000 → x = 2 log(1000) exact
→x=
log(1000)
= 9,97 afgerond
log(2)
controle : 2 9,97 = 1003 klopt
d
500
= 166,7
3
log(166,7)
3,69
→ 1,5 x = 4 log(166,7) =
= 3,69 → x =
= 2,46
log(4)
1,5
3 ⋅ 41,5 x = 500 → 41,5 x =
controle : 3 ⋅ 4 3,69 = 499,7 klopt
e
x 2 = 1000 → x = 1000
1
2
of
x = 1000
exact
→ x = 31,6 afgerond
controle : 31,6 2 = 998,6 klopt
f x1,5 = 1000 → x = 1000
1
1, 5
= 1000
2
3
= 100
controle : 1001,5 = 1000 klopt
g 5 x = 100 → x = 5 log(100) exact
log(100)
→x=
= 2,86 afgerond
log(5)
controle : 5 2,86 = 99,8 klopt
h
i
5
x
log(1000) = 3 → x 3 = 1000 → x = 10
5 0,1
= 0,587
2
controle : 5 log(2 × 0,587) = 9,97 ⋅ 10 − 2 klopt
5
log(2 x) = 0,1 → 5 0,1 = 2 x → x =
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
j
1
x 3 = 100 → x = 100 3 of
→ x = 4,64 afgerond
x = 3 100
exact
controle : 4,64 3 = 99,9 klopt
k 5⋅ 2 log( x ) = 10→ 2 log( x) = 2 → x = 2 2 = 4
controle : 5⋅ 2 log(4) = 5 × 2 = 10
l
2
log( x 5 ) = 10 → x 5 = 210 → x = 2 2 = 4
m x = 2,5 −0, 2 → x = 0,833
Opgave 3.9
Groei van je spaarrekening en berekening met logaritme.
a K (10) = K (0) ⋅ 1,0410 → K (10) = 1780 × 1,0410 = 2635
b K (n) = K (0) ⋅ 1,04 n → 1,7 ⋅ K (0) = K (0) × 1,04 n
log(1,7)
→ 1,04 n = 1,7 → n =1, 04 log(1,7) =
= 13,5
log(1,04)
na 13,5 jaar is je kapitaal met 70% gegroeid
c K (n) = K (0) ⋅ 1,04 n → 3000 = 1780 × 1,04 n
3000
log(1,685)
= 1,685 → n =1, 04 log(1,685) =
= 13,3
1780
log(1,04)
na 13,3 jaar is het kapitaal 3000
→ 1,04 n =
d K = 1780 + 300 = 2080
K (n) = K (0) ⋅ 1,04 n → 2080 = 1780 × 1,04 n
2080
log(1,169)
→ 1,04 n =
= 1,169 → n =1, 04 log(1,169) =
= 4,0
1780
log(1,04)
na 4,0 jaar is de rente 300
6
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
Opgave 3.10
Groei van je spaarrekening en Excel.
K (0) = 1000
groeifactor = 1,09
→ K (n) = 1000 ⋅ (1,09) n
Opgave 3.11
Exponent bepalen met dubbellogaritmisch papier.
a
x = 5 → y = 2 × 5 3 = 250 klopt met grafiek
x = 5 → log( x) = log(5) = 0,7 klopt
x = 5 → log( y ) = log( 250) = 2,4 klopt
b
log( x ) = 0,5 → x = 10 0,5 = 3,16 klopt met grafiek
log( x ) = 0,5 → x = 3,16 → y = 2 × 3,16 3 = 63 klopt
log( x ) = 0,5 → log( y ) = log(63) = 1,8 klopt
7
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
Opgave 3.12
Exponent bepalen in de formule voor de uitstroomsnelheid.
a
log(4,43) - log(0,44) = 1,0
log(100)-log(1) = 2
b v = 4,43 ⋅ h
ofwel
10
1
2
1
dan ook log(v) = log(4,43 ⋅ h 2 )
log(v)=10 log( p ) + q 10 log(h)
p = 4,43 en q = 0,5
c helling =
Opgave 3.13
1
2
klopt met formule
Radioactief verval.
a T 1 ( 60 Co) = 5 jaar → n = 12 jaar = 2,4
2
5 jaar
1
N = N (0) ⋅ ( ) n → N (12) = 100% × (0,5) 2, 4 = 18,9 %
2
b m(0) = 1200 g → m(12) = 18,9 % van 1200 g
→ m(12) = 0,189 × 1200 = 227 g
c N (3) = 100% × (0,5) 3 = 12,5 %
d N = 5% → 5% = 100% × (0,5) n
links en rechts delen door 100
log(0,05)
→ 0,05 = (0,5) n → n = 0 ,5 log(0,05) =
= 4,32
log(0,5)
→ t = 4,32 × T 1 = 4,32 × 5 jaar = 21,6 jaar
2
8
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
Opgave 3.14
De leeftijd van een fossiel bepalen met behulp van radioactieve
kernen.
1
a N = N (0) ⋅ ( ) n → 5% = 100% × (0,5) n
2
log(0,05)
→ 0,05 = (0,5) n → n= 0,5 log(0,05) =
= 4,32
log(0,5)
→ t = 4,32 × T 1 (14 C ) → t = 4,32 × 5730 jaar = 24840 jaar
2
afgerond : t = 25000 jaar
b t = 1200 jaar → n = 1200 = 0,209
5730
1 n
N = N (0) ⋅ ( ) → N = 100% × (0,5) 0, 209 = 86,5 %
2
Het percentage is 87% van het percentage in levende natuur.
c t = 10000 jaar → n = 10000 = 1,745
5730
1
N = N (0) ⋅ ( ) n → N = 100% × (0,5)1,745 = 29,8 %
2
Er is nog 29,8 % van de 14 C - atomen over.
Opgave 3.15
Herleiden formule voor radioactief verval.
a
− t
N = 100 ⋅ ( 2)
t
20 = 100 ⋅ (0,5) 20
t
N = 100 ⋅ (0,5) 20
n= t
20
( N in % en t in dagen)
→ T 1 = 20 dagen
2
b 2 = 4 0,5
− t
N = 100 ⋅ ( 2)
− 0,5t
20 = 100 ⋅ ( 4)
20 = 100 ⋅ ( 4)
−t
40
c met formule vraag b) : N = 100 ⋅ ( 4) −20 40 = 50 %
− 20
met formule vraag a ) : N = 100 ⋅ ( 2) 20 = 50%
beide formules geven hetzelfde antwoord
+t
t
− t
40 = 100 ⋅ ( 1 ) 40 = 100 ⋅ (0,25) 40 = 100 ⋅ (0,25) n
d N = 100 ⋅ ( 4)
4
met n = t
40
n is het aantal keren dat de beginwaarde 4 × zo klein geworden is.
9
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
Opgave 3.16
Berekening aan afkoelproces.
a
T (omgeving) = 22 0C
90 0C →76 0C in 15 min
∆T (0) = 90 − 22 = 68 0C en ∆T (15 min) = 76 − 22 = 54 0C
54
∆T = ∆T (0) ⋅ (0,5) n → 54 = 68 ⋅ (0,5) n → (0,5) n =
= 0,794
68
log(0,794)
→ n = 0,5 log(0,794) =
= 0,333
log(0,5)
15 min
t
t
n=
→ T1 = → T1 =
= 45 min
2
2
T1
n
0,333
2
b
n=
30 min
= 0,667
45 min
∆T = ∆T (0) ⋅ (0,5) n → ∆T = 68 ⋅ (0,5) 0, 667 → ∆T = 42,8 0 C
→ T (bak ) = ∆T + 22 0 C = 64,8 0C
afgerond : T = 65 0C
temperatuurdaling = 90 − 65 = 25 0C
c ∆T = 8 0C
∆T = ∆T (0) ⋅ (0,5) n → 8 = 68 ⋅ (0,5) n → (0,5) n =
8
= 0,118
68
log(0,118)
= 3,08
log(0,5)
= 3,08 × 45 min = 139 min = 2 u en 19 min
→ n = 0,5 log(0,118) =
→ t = n × T1
10
2
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
d De waardes van T en ΔT zijn in een enkellog-diagram uitgezet
tegen t. De grafiek van ΔT loopt lineair,
Je kunt het Excel-bestand opgave2.41.xlsx downloaden van de site
www.vervoortboeken.nl
Opgave 3.17
Berekening aan opwarmproces.
T (omgeving) = 20,5 0C
6 0C →20,50C in 15 min
a ∆T (0) = 14,5 0C
volgens grafiek : T 1 = 2,3 min
2
b
3
t = 3 min → n =
= 1,30
2,3
∆T = ∆T (0) ⋅ (0,5) n → ∆T (3 min) = 14,5 ⋅ (0,5)1,3 = 5,9 0 C
→ T = 20,5 − ∆T → T = 20,5 − 5,9 = 14,6 0C
c
T = 18 0C → ∆T = 20,5 − 18 = 2,5 0C
∆T = ∆T (0) ⋅ (0,5) n → 2,5 = 14,5 ⋅ (0,5) n → (0,5) n =
2,5
= 0,172
14,5
log(0,172)
= 2,54
log(0,5)
→ t = 2,54 × 2,3 = 5,8 min
→ n = 0,5 log(0,172) =
→ t = n × T1
11
2
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
d De waardes van T en ΔT zijn in een enkellog-diagram uitgezet
tegen t. De grafiek van ΔT loopt lineair,
Je kunt het Excel-bestand opgave2.42.xlsx downloaden van de site
www.vervoortboeken.nl
12
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
Opgave 3.18
Berekening aan absorptie van rӧntgenstraling.
a E d = E i ⋅ (0,5) n → E d = 100% ⋅ (0,5) 3 = 12,5%
b
d
n=
=7
d1
2
E d = Ei ⋅ (0,5) n → E d = 100% ⋅ (0,5) 7 = 0,78%
c E d = Ei ⋅ (0,5) n → E d = 100% ⋅ (0,5) 4,6 = 4,1%
d E d = 0,8 ⋅ E i = 80% van invallende energie
e E d = Ei ⋅ (0,5) n → 9,5% = 100% ⋅ (0,5) n → 0,5 n = 0,095
→ n = 0,5 log(0,095) =
f
→ d = n × d 1 = 3,4 × d 1
2
Opgave 3.19
log(0,095)
= 3,4
log(0,5)
2
Berekeningen aan doordringdiepte van straling.
a
n=
x
d1
→n=
6
= 0,667
9
2
I ( x) = I 0 ⋅ (0,5) n → I (6 mm) = 90 ⋅ (0,5) 0, 667 = 57 W
b
I ( x) = I 0 ⋅ (0,5) n → 30 = 90 ⋅ (0,5) n → (0,5) n =
m2
30
= 0,333
90
log(0,333)
= 1,586
log(0,5)
mm = 1,586 × 9 mm = 14 mm
→ n = 0,5 log(0,333) =
→ d = n×d1
2
c I ( x) = I 0 ⋅ (0,5) n → 25% = 100% ⋅ (0,5) n → (0,5) n = 0,25
log(0,25)
=2
log(0,5)
→ d = 2 × 9 mm = 18 mm
→ n = 0,5 log(0,25) =
→ d = n×d1
2
d I ( x) = I 0 ⋅ (0,5) n → 20% = 100% ⋅ (0,5) n → (0,5) n = 0,20
log(0,20)
= 2,32
log(0,5)
d 1 (hout ) = 22,4 cm
→ n = 0,5 log(0,20) =
2
→ d = n × d 1 → d = 2,32 × 22,4 cm = 52 cm
2
13
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
Opgave 3.20
Berekeningen aan bacteriegroei 1.
a N = N (0) ⋅ 2 n → N = 1 × 210 = 210
1 bacterie is gegroeid tot 210 bacterien
b T2 ( Eschericia) = 17 min
N = 2 8 → t = 8 × T2 → t = 8 × 17 min = 136 min
c N = N (0) ⋅ 2 n → 1000 = 2 n
log(1000)
= 9,97
log(2)
t = 9,97 × 17 = 169 min
→ n= 2 log(1000) =
d In de aanpassingsfase: c = 101 bact
mL
e In de logfase is c toegenomen van 101 bact
mL
tot 10 9 bact
mL
10 9
Dus c = 1 = 10 8 × zo groot
10
Opgave 3.21
Berekeningen aan bacteriegroei 2.
a c = 10 ⋅ 2 20 bact
= 1,05 ⋅ 10 7 bact
mL
mL
5 bact
b N = 10.000 × 10 = 10
mL
c volgens grafiek is hiervoor 16 – 8 = 8 uur nodig.
n
5
1
n
n
4
d N = N (0) ⋅ 2 → 10 = 10 ⋅ 2 → 2 = 10
→ n = 2 log(10 4 ) =
log(10 4 )
= 16,6
log(2)
n = 16,6 delingen in 8 uur
e
14
T2 =
8 × 60 min
= 29 min
16,6 delingen
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken
Opgave 3.22
Gebruik van een andere logschaal.
T2 is 2× zo groot
a 2 log( A600 ) = −3 → A600 = 2 −3 = 0,125
b afstand tussen rode lijnen in grafiek
c 2 log( A600 ) = −4,2 → A600 = 2 −4, 2 = 0,054
d De afstand tussen rode lijnen wordt 2 × zo groot.
De helling wordt dus 2 × zo klein.
15
Uitwerkingen logaritmische grafieken en exponentiële verbanden
2014©Vervoort Boeken

Download Report