Planetenstelsels

Planetenstelsels
2. Baandynamica
17 februari 2014
Docent: Dr. Michiel Hogerheijde, [email protected]
Assistenten: Ricardo Herbonnet, [email protected]
Jens Hoeijmakers, [email protected]
Overzicht van het college
datum
onderwerp
details
10 februari Inleiding
Historie; overzicht van het zonnestelsel; oorsprong van planetenstelsels;
exoplaneten.
17 februari Baandynamica
De wetten van Newton en Kepler; eigenschappen van ellipsen;
baanbeschrijving; baanbepaling; voorbij het 2-lichamen probleem.
24 februari Exoplaneten
Historie; Drake vergelijking; detectiemethoden: direct imaging, transits, radial
velocity; eigenschappen van exoplaneten; detectie van ‘exo-aardes’
3 maart
Kleine objecten in Definitie van 'planeet'; baanbeweging en resonanties; asteroiden; zodiacaal
het zonnestelsel stof; meteorieten; de Kuiper gordel; kometen; manen; ringen.
17 maart
Reuzenplaneten
Baanbeweging en rotatie; interne structuur; atmosfeer; magnetische velden;
satellieten.
24 maart
Aard-achtige
planeten
Baanbeweging en rotatie; interne structuur; oppervlakte processen en
tectoniek; atmosfeer en broeikaseffect; magnetische velden; leven.
31 maart
Vorming van
planetenstelsels
Nebular hypothesis; standaard model van stervorming; waarnemingen van
protoplanetaire schijven; van stof to planeten; chronologie van het zonnestelsel.
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
2
Herhaling vorige week: Inleiding
•
Minstens 10–15% van sterren vergelijkbaar met de zon zijn omringd door
planeten, ontstaan uit een schijf van gas & stof rondom de pas-gevormde
ster
•
Het zonnestelsel bestaat uit
•
4 reuzenplaneten: Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus
•
4 aardse planeten: Mercurius, Venus, Aarde, Mars
•
een aantal dwergplaneten: Pluto, Eris, Makemake, Haumea, Ceres
•
planetoïden (incl. Trojanen en Centauren), Kuiper-gordel objecten,
kometen
•
gruis en stof
•
In ons zonnestelsel bewegen de planeten op bijna cirkelvormige
elliptische banen
•
In andere planetenstelsels bewegen planeten soms op sterk excentrische
elliptische banen
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
3
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
2. Baandynamica
•
De wetten van Newton
•
Een testdeeltje in een baan om de aarde (of de zon)
•
Het twee-lichamen probleem
•
De wetten van Kepler
•
Baanbeschrijving
•
Baanbepaling
•
Voorbij het twee-lichamen probleem
•
Samenvatting
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
4
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
De wetten van Newton
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
5
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
De wetten van Newton
1.
in de afwezigheid van een kracht voert een deeltje een beweging met
constante snelheid uit
2.
actie = reactie
F!12 = −F!21
3.
versnelling van een deeltje is evenredig met de op dat deeltje
uitgeoefende kracht en omgekeerd evenredig met de massa van het
deeltje
d2 (m!r)
= F!
dt2
•
Universele wet van de zwaartekracht
•
met
rˆ =
!r
|!r|
en
!g,12 = − Gm1 m2 rˆ
F
2
r12
!r = !r1 − !r2
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
6
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Gravitationele potentiaal
•
Testdeeltje met massa m en locatie r; object met massa M1 en locatie r1
m
r
r-r1
M1
r1
O
•
Potentiële energie t.g.v. M1 V (!r) =
!
!
r
!
r1
GmM1
F! (!r) d!r = −
|!r − !r1 |
! GmMi
|!r − !ri |
i
•
...en t.g.v. alle Mi
•
Definieer gravitationele potentiaal
"
! GMi
V (!r)
Gρ(!r ! ) 3 !
Φ(!r) =
=−
=−
d !r
!|
m
|!
r
−
!
r
|
|!
r
−
!
r
i
i
V (!r) = −
Continue massa verdeling
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
7
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Zwaartekrachtsversnelling g
•
Object met massa M, ‘testdeeltje’ met massa m
!g = − GM m rˆ
F
r2
•
definieer
!g (!r) =
F!g (!r)
GM
= − 2 rˆ
m
r
•
versnelling van elk deeltje, ongeacht m, gegeven door g(r)
•
voorbeeld: M=1 M⊕=5.97x1024 kg, r=1 R⊕=6.38x106 m → g=9.78 m s-1
•
impliciete aanname: kracht grijpt aan in centrum van object
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
8
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Zwaartekracht vanuit middelpunt (1)
•
Beschouw de zwaartekrachtsversnelling van een massa elementje dm
geïntegreerd over een willekeurig oppervlak S
!n
rˆ
!r
dm
•
!g
!
dS
!g · !n dS = −G dm
omdat de ruimtehoek dΩ gegeven is door dΩ =
!
rˆ · !n
dS
r2
rˆ · !n dS
cosα dS
=
2
r
r2
!n
α
!r
rˆ
dS
dΩ
•
volgt
−G dm
!
rˆ · !n
dS = −G dm
r2
!
dΩ = −4π G dm
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
9
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Zwaartekracht vanuit middelpunt (2)
!
rˆ · !n
dS = −G dm
r2
!
•
Van vorige slide −G dm
•
Sommeer (integreer) nu over alle massa-elementjes dm
!
!
!g · !n dS = −4πG
dm d3!r = −4πGM
dΩ = −4π G dm
V
!n
•
Voor een sferisch symmetrische massaverdeling
geldt
!
!g · !n = g
•
en volgt
!
!g
2
g dS = 4πR g
!g · !n dS = 4πR2 g = −4πGM
⇒ g = −G
M
R2
Alsof alle massa M samengebundeld
is in één punt op afstand R
•
N.B. Voor een niet-sferisch symmetrische massaverdeling bevat g(r) informatie over de
ruimtelijke verdeling van de massa !
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
10
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Zwaartekracht en andere krachten
•
Gm1 m2
Zwaartekracht F!g,12 = −
rˆ
2
r12
•
met G=6.668x10-11 N m2 kg-2
•
1 q1 q2
Electrostatische kracht F!e,12 = −
ˆ
2 r
4π#0 r12
•
Voor twee electronen, verhouding van de krachten: Fe/Fg=4.2x1042
•
Zwaartekracht is een heel, heel zwakke kracht
•
Maar: omdat positieve en negatieve ladingen elkaar doorgaans
neutraliseren, wint zwaartekracht het op grotere afstanden!
•
(Kernkrachten hebben een bereik van 10-13–10-15 cm)
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
11
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Een testdeeltje in een baan rond aarde of zon
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
12
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Cirkelbaan en ontsnappingssnelheid
•
•
Centripetale kracht
mvc2
F!c =
rˆ
r
GM m
mvc2
=
⇔ vc =
r2
r
•
Fg=Fc
•
Snelheid op een cirkelbaan
Ekin + Egrav = Etot = constant
!
GM
r
Etot = Ekin + V (r) =
•
Etot<0: gebonden systeem
•
Etot=0: ontsnappingssnelheid → ve =
•
Etot>0: ongebonden systeem
!
2
1
GM m
mv 2 −
2
r
√
GM
= 2 vc
r
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
13
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
De bewegingen van een planeet om de zon
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
14
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Uniforme beweging van het massamiddelpunt
•
In tegenstelling tot een testdeeltje, heeft bijv. de aarde een niet
verwaarloosbare massa t.o.v. de zon: wederzijdse zwaartekracht
Gm1 m2
m1!r¨1 = −
!r12
3
r12
Gm1 m2
Gm1 m2
m2!r¨2 = −
!r21 =
!r12
3
3
r21
r21
met !r12 = !r1 − !r2 = −!r21
•
som van deze vergelijkingen geeft m1!r¨1 + m2!r¨2 = 0
•
! ≡ m1!r1 + m2!r2
definieer massamiddelpunt (‘center of mass’) R
m1 + m2
•
m1!r¨1 + m2!r¨2
¨!
mmp voert uniforme beweging uit, want R
=
=0
m1 + m2
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
15
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Bewegingsvergelijking van een deeltje met gereduceerde massa
Gm1 m2
!r12
3
r12
Gm1 m2
Gm1 m2
m2!r¨2 = −
!r21 =
!r12
3
3
r21
r21
•
Beschouw opnieuw
•
verschil van deze vergelijkingen geeft
m1!r¨1 = −
m1 + m2
!r12
!r¨1 − !r¨2 = !r¨12 = −G
3
r12
µM
⇔ µ!r¨12 = −G 3 !r12
r12
•
De twee bewegingsvergelijkingen reduceren tot één vergelijking voor de
relatieve beweging r12 van een testdeeltje met gereduceerde massa μ
rond object met massa M=m1+m2
•
Wat is μ? Absolute grootte van de kracht blijft onveranderd, dus
G
µ(m1 + m2 )
m1 m2
m1 m2
µM
=G
=G 3
⇔µ=
3
3
r12
r12
r12
m1 + m2
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
‘gereduceerde
massa’
16
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Twee banen van dezelfde vorm
•
Dus: de bewegingen van twee deeltjes o.i.v. hun werderzijdse
zwaartekracht wordt beschreven door de beweging van een testdeeltje
met gereduceerde massa μ rond met massamiddelpunt
µM
⇔ µ!r¨12 = −G 3 !r12
r12
•
Individuele posities t.o.v. het massamiddelpunt R worden gevonden uit
!r1 =
•
m1
−m2
!r12 , !r2 =
!r12
m1 + m2
m1 + m2
d.w.z. beide objecten beschrijven een baan van dezelfde vorm (ellips) met
relatieve afmetingen m2/M en m1/M: het zwaardere object beschrijft een
baan met kleinere afmeting
+
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
17
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Algemene oplossing: baanvergelijking
•
Uigebreide wiskundige manipulatie (zie appendix) laat zien dat
µM
r12
3 !
r12
•
⇔ µ!r¨12 = −G
algemene oplossing van
•
is beweging in een vlak met afstand tot brandpunt r =
•
met excenticiteit e, ware anomalie f, en ξ=ap(1+e) een constante, en ap
de afstand van dichtste nadering tot het brandpunt.
•
0<e<1: ellips
•
perihelion (periastron, peri...) voor f=0
•
aphelion (apastron, ap...) voor f=π
•
e=0: cirkelbaan, r=ξ=constant
•
e=1: parabool
•
e>1: hyperbool
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
ξ
1 + e cos f
r
f
ap
e
18
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
0<e<1: ellips
a(1 − e2 )
1 + e cos f
•
Voor een ellips wordt de baanvergelijking r =
•
met excentriciteit e, halve lange as a, en perihelion afstand a(1-e).
b=
!
a2 (1 − e2 )
r
a
•
ae
f
a(1 − e)
Een ellips bestaat uit de punten waarvoor de som van de afstanden tot
beide brandpunten constant is.
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
19
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
e=1: parabool (1)
•
Hoe kun je zien dat voor e=1 de baanvergelijking een parabool is?
1.
Beschouw de afstand d tot een lijn ⊥ symmetrie-as van de parabool
r
brandpunt
d
r
d
➡
richtlijn
Een parabool bestaat uit de punten waarvoor de afstand tot het
brandpunt r gelijk is aan de afstand d tot deze lijn, want
d2 = (l + y)2 = l2 + 2ly + y 2
r2 = x2 + (l − y)2 = x2 + l2 − 2ly + y 2
}
d2 = r2 ⇔ 2ly = x2 − 2ly ⇔ y =
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
1 2
x
4l
20
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
e=1: parabool (2)
•
Hoe kun je zien dat voor e=1 de baanvergelijking een parabool is?
2.
•
Nu moeten we nog laten zien dat hieraan voldaan wordt door
ξ
r=
met ξ=(1+e)ap=2l
1 + e cos f
brandpunt
d = 2l − r cos f = 2l −
r cos f
f
=
r
2l
cos f
1 + cos f
2l(1 + cos f )
2l cos f
2l
−
=
=r
1 + cos f
1 + cos f
1 + cos f
d
l
richtlijn
➡
Inderdaad: d=r. Voor e=1 is de baanvergelijking een parabool.
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
21
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
e>1: hyperbool
•
Voor e>1 is de baan een hyperbool
•
Vergelijkbare definitie als parabool, maar nu geldt r=e⋅d
•
Voorbeeld, e=2
brandpunt
richtlijn
•
Baan benadert asymptotisch een rechte lijn, d.w.z. lineare beweging
➡
dus: ongebonden baan
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
22
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Geometrische beschrijving banen
•
Generalisatie: geometrie van de baanoplossing altijd gegeven door r=e⋅d,
waarbij r de afstand tot een brandpunt is en d de afstand tot een lijn ⊥
symmetrie-as van de baan
e=0.5
e=1
e=0.2
e=2
e=5
richtlijn
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
23
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Kegelsneden
•
Je kunt ellipsen, parabolen, en hyperbolen ook definiëren als kegelsneden
parabool
ellips
cirkel
hyperbool
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
24
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Ellips, parabool & hyperbool in taalgebruik
•
In taalgebruik kennen we de stijlfiguren
•
ellips = weglating, onvolledige zin (lett. ‘tekortkoming’)
•
hyperbool = overdrijving (lett.)
•
parabool → parabel = vergelijking (lett. ‘overeenstemming’)
•
niet te verwarren met de nederlandse stijlfiguur ‘parabool’,
gedefinieerd als tegenstelling van de hyperbool, d.w.z.
understatement
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
25
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Energie
•
Energie is behouden, Etot = Ekin + V (r) =
1 2 GM µ
µv −
2
r
1 GM µ
2 r
•
cirkelbaan, e=0 → v=constant=vc,
•
elliptische baan, 0<e<1 → extra energie, maar Etot<0, vc<v<ve
•
parabool, e=1 → v=ve, Etot=0
•
hyperbool, e>1 → v>ve, Etot>0
Etot = −
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
26
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
De wetten van Kepler
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
27
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
De wetten van Kepler
•
Zoals door Kepler opgesteld
1.
De baan van een planeet is een ellips met de zon in één van de
brandpunten
2.
De lijn planeet-zon doorloopt in gelijke tijden gelijke oppervlakken
3.
Het kwadraat van de baanperiode is evenredig met de derde macht
van de gemiddelde afstand tot de zon, P2yr=a3AU
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
28
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
De wetten van Kepler
•
Verfijning op de basis van Newtonse mechanica
•
De baan van een planeet is een ellips met het massamiddelpunt in
één van de brandpunten
•
•
De lijn planeet-mmp doorloopt in gelijke tijden gelijke oppervlakken
•
•
De zon doorloopt een ellips geschaald met -mp/(M⊙+mp)
Hetzelfde geldt voor de lijn planeet-zon
Porb2=4π2a3/G(M⊙+mp)
•
voor maan rond een planeet met mmaan≪mp geven a en P: mp
•
voor visuele dubbelsterren geven a en P de totale massa m1+m2
+
•
Zie appendix voor gedetaileerde afleiding uit de bewegingsvergelijking
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
29
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Baanbeschrijving
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
30
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Baanelementen
•
Ellipsbaan volledig beschreven door 6 parameters
•
Bijvoorbeeld
•
inclinatie ι
•
lengte van de klimmende knoop Ω
•
argument van het perihelion ῶ
•
halve lange as a
•
excenticiteit e
•
moment van perihelion passage τ
•
•
}
oriëntatie baanvlak
vorm van de baan
of baanpositie op gegeven moment (‘epoche’)
}
‘nulpunt’
baanbeweging
Alternatief
•
•
}
positie en snelheid op gegeven moment !r, !v
Met deze gegevens is locatie van planeet op elk moment te berekenen
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
31
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Baanelementen
ecliptische noordpool
ware anomalie op t=0
dalende knoop
e)
ι
a(1−
perihelion
ω
Ω
klimmende knoop
aphelion
ecliptisch vlak
lentepunt
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
32
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Baanbeweging
•
Probleem:
•
is een functie van f en niet expliciet van tijd t.
•
Oplossing (schematisch)
•
•
r=
a(1 − e2 )
1 + e cos f
Definieer eccentrische anomalie E zo dat
!r = a(cos E − e) ˆi + b sin E ˆj
en gemiddelde anomalie
M=
•
y−as
Q’
2π
(t − τ )
P
Er geldt dat
E − e sin E = M
•
Nu volgt t→M→E→r (en f)
•
(zie appendix voor volledige afleiding)
Q
a
b
r
E
a
f
x−as
S
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
33
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Baanbeweging aan de hemel
•
(a, e, τ) & Kepler vergelijking → positie langs de baan op moment t
•
(ι,Ω,ω) → positie in ecliptische coordinaten
•
transformatie naar equatoriale coordinaten (α,δ)2000
•
tijdstip t nodig voor positie aarde in ecliptische coordinaten
•
locatie op aarde nodig voor nauwkeurige (α,δ)2000
voorbeeld: positie van Jupiter van 2011 tot 2014
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
34
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Gebruik van ephemerides
•
ephemerides = tabel met (α,δ) van planeten op gegeven tijdstip t
•
Bijvoorbeeld
•
Astronomical Almanac
•
•
http://asa.usno.navy.mil
NASA Jet Propulsion Laboratory, Horizon system
•
http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
35
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
36
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Baanbepaling
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
37
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Baanbepaling
•
Inverse procedure
•
waargenomen (α, δ) op een serie tijdstippen
•
bereken de 6 parameters van de baan die deze metingen het beste
reproduceert
•
Moeilijk als object lichtzwak is,
snel beweegt, en dus niet
eenvoudig teruggevonden kan
worden na een bepaald
tijdsinterval
•
voorbeeld: kleine
planetoïden op geringe
afstand tot de aarde
(Hubble)
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
38
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Voorbij het twee-lichamen probleem
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
39
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Geen exacte oplossing voor N>2
•
De baanbewegingen van 2 lichamen t.g.v. hun onderlinge zwaartekracht
reduceren tot één vergelijking voor de beweging van een testdeeltje met
gederuceerde massa μ rond het massamiddelpunt
•
6 parameters (‘vijheidsgraden’)
•
4 behouden grootheden (‘integralen’)
•
•
•
totaal hoekmoment: 3
•
totale energie: 1
+ 2 randvoorwaarden: longitude op de epoche en massaverhouding
N lichamen:
•
6N vrijheidsgraden
•
10 integralen (3: hoekmoment, 1:energie, 3:locatie mmp, 3:snelheid mmp)
en N randvoorwaarden (longitudes op de epoche)
•
N=2: 6N=12, 10+N=12 → exact oplosbaar
•
N=3: 6N=18, 10+N=13 → geen exacte oplossing mogelijk!
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
40
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Gereduceerd 3-lichamen probleem
•
I.h.a. moet voor N>2 de baanoplossing numeriek worden berekend.
•
•
Onderlinge zwaartekracht verstoort de Keplerbanen
•
resultaat: langzame verandering van baanelementen, o.a. precessie
van het perihelion, veranderingen van inclinatie, e.d.
•
gebruik (a,e,ι,Ω,ω) berekend voor relevante tijdstip
Een bijzonder geval is het 3-lichamen probleem waarbij m1≫m3 en m2≫m3
•
Baanbeweging m1 en m2 niet beïnvloed door m3
•
m3 beweegt in gezamelijke, tijdsafhankelijke potentiaal van m1+m2
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
41
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Lagrange punten
•
Conversie naar roterend frame zodat m1,m2 stil staan
•
Introduceert kunstmatige krachten zoals Coriolis kracht
•
Effect: locaties waar netto kracht = 0: Lagrange punten
•
Onstabiel: L1, L2, L3
•
Stabiel: L4, L5
•
Oscilatie rond L4, L5 → hoefijzerbanen
L4
hoefijzerbaan
L3
L2
L1
m2
m1
L5
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
42
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Objecten in L4,L5: Trojanen
•
De Trojanen zijn planetoïden in L4 en L5 Lagrange punten van Jupiter
L4
L3
L2
L1
m2
m1
L5
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
43
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Algemeen N-lichamen probleem
•
Alleen numerieke oplossing van banen mogelijk
•
Banen zijn i.h.a. niet gesloten
•
‘Chaotische’ banen in het zonnestelsel
•
De baan van Chiron (een Centaur) evolueert naar verwachting op een
tijdschaal van een miljoen
KARYjaar
AND DONES
•
Baan van een komeet
bij passage van Jupiter:
220
zijaanzicht
•
bovenaanzicht
Als N heel groot is en mi≪M ∀ i → statische benadering van banen in de
gezamelijke (~onveranderlijke) potentiaal
•
bijv. dynamica van ster-banen in de Melkweg
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
FIG. 9. Nonrotating frame trajectories of the three long-duration orbiters shown in Fig. 8. The left panel in each figure shows the trajectory
44
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Samenvatting
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
45
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Samenvatting (1)
•
De baanbeweging van twee lichamen o.i.v. hun wederzijdse zwaartekracht
!g,12 = − Gm1 m2 rˆ
F
2
r12
• wordt beschreven door dat van een testdeeltje met gederuceerde massa
μ rond het massamiddelpunt
µM
⇔ µ!r¨12 = −G 3 !r12
r12
• De algemene oplossing is een kegelsnede met excenticiteit e
ξ
r=
1 + e cos f
• e=0: cirkelbaan
•
0<e<1: ellips
•
e=1: parabool
•
e>1: hyperbool
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
46
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Samenvatting (2)
•
Voor het twee-lichamen probleem gelden de wetten van Kepler
•
De baan van een planeet is een ellips met het massamiddelpunt in één
van de brandpunten
•
De lijn planeet-mmp doorloopt in gelijke tijden gelijke oppervlakken
•
•
•
Hetzelfde geldt voor de lijn planeet-zon
Porb2=4π2a3/G(M⊙+mp)
Voor N>2 is geen exacte oplossing te geven
•
Beperkt 3-lichamen probleem: de baanbeweging in een co-roterend
assenstelsel van een ‘testdeeltje’ in het zwaartekrachtsveld van 2
lichamen kent 5 zg. Lagrange punten waar de effectieve zwaartekracht
nul is
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
47
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Vragen
•
Geef de drie wetten van Kepler, en beschrijf hoe de oorspronkelijke vorm
hiervan afwijkt van die welke uit de Newtonse mechanica wordt gevonden.
•
Welke 6 baanelementen bepalen een ellips baan? Geef een schets en geef
de baanelementen daarin aan. Waarom definiëren 6 baanelemten de baan
volledig?
•
In welke gevallen kan uit het verloop van de zwaartekrachtsversnelling g(r)
de interne massa-verdeling van een object worden afgeleid, en wanneer
niet?
•
Wat is het gereduceerde 3-lichamen probleem? Welke bijzondere locaties
kun je in een dergelijk systeem aanwijzen? Geef een schets, en geef
daarbij expliciet aan welk referentie-assensysteem je gebruikt.
•
Wat is de ontsnappingssnelheid van het oppervlak van een planeet van 3.7
aardmassa’s en een straal van 1.5 Raarde?
•
Wat is de periode van een 5 Maarde planeet in een baan met halve-lange as
van 7 AU rond een ster van 1.5 Mzon?
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
48
Newton | testdeeltje | 2 lichamen | Kepler | baanbeschrijving | baanbepaling | >2 lichamen | samenvatting
Volgende week (maandag 24 februari):
3. Exoplaneten
Vanmiddag, 15:45-17:30
Werkcollege in de computerzalen
3e+4e verdieping Huygens
Planetenstelsels – 2. Baandynamica (17 februari 2014)
49

Download Report