WC3 Ans.

Klassieke Mechanica 2
Werkcollege 3
Collegejaar 2013-2014
Traagheidsmoment van een kegel
1.
Op symmetriegronden ligt het zwaartepunt op de as van de kegel. We hoeven dus alleen de hoogte zcm uit te rekenen. De straal van de cirkelvormige
doorsnede van de kegel op hoogte z is a(1 − z/h), zodat de massa van een schijf
met dikte dz gelijk is aan dzρπa2 (1 − z/h)2 . Dat geeft
m=
Z
h
ρπa2 (1 − z/h)2 dz =
0
π 2
ρa h
3
(1)
π 2 2
ρa h
12
(2)
en
mzcm =
Z
0
h
ρπa2 (1 − z/h)2 z =
zodat zcm = h/4.
2.
Het traagheidsmoment van een schijf met dikte dz op hoogte z bedraagt dI =
ρπa4 (1 − z/h)4 /2dz (zie script). Omdat het traagheidsmoment additief is geldt
dus
I=
Z
h
0
π 4
3
π 4
ρa (1 − a/h)4 dz =
ρa h =
ma2 .
2
10
10
(3)
3.
Als we een doorsnijding maken
p van het kegeloppervlak met dikte dz dan krijgen
we een lint met breedte dz 1 + (a/h)2 en omtrek 2πa(1 − z/h). De massa van
de bodemplaat is mb = σπa2 , en van de kegelmantel
mk = 2πσa
Z h
p
p
1 + a2 /h2
(1 − zh )dz = πaσ h2 + a2 .
(4)
0
p
(De massa mk van de kegelmantel is 1 + h2 /a2 keer zo groot als die van
de bodem. Dat is direct duidelijk als we de kegelmantel projecteren op het
grondvlak.) Het zwaartepunt wordt bepaald door de gelijkheid
mzcm
Z
p
2
2
= 2πσa 1 + a /h
0
1
h
z(1 − z/h)dz =
1
hmk ,
3
(5)
√
h2 + a2 ). Daaruit volgt dat
√
h
h2 + a2
√
=
3 a + h2 + a2
met m = mb + mk = πaσ(a +
zcm
(6)
Het traagheidsmoment om de as verandert niet als we alle massa projecteren
op het grondvlak. Daarbij krijgen we een homogene schijf met massa m. Dus
het traagheidsmoment van de holle kegel is gelijk aan ma2 /2.
4.
Als we de as parallel verplaatsen over een afstand a, dan neemt het traagheidsmoment toe met de waarde ma2 . Bij de massieve kegel wordt dat dus
13ma2 /10, bij de holle kegel 3ma2 /2.
2

Download Report