Download proefles

Onderzoeken
Hoofdstuk
1
Onderzoeken
In de natuurwetenschappen zoals natuurkunde, scheikunde, biologie en
sterrenkunde gebeurt veel door middel van experimenteel onderzoek. Veel
vragen worden beantwoord door het doen van een experiment. Daarom is
het belangrijk te weten hoe een experiment wordt opgezet en hoe het wordt
uitgevoerd. Steeds hebben we daarbij te maken met een aantal basisvaardigheden. In dit hoofdstuk worden daarom eerst die basisvaardigheden
besproken. Deze komen steeds weer terug in de volgende hoofdstukken. We
bespreken eerst de natuurkundige basisgrootheden met hun grondeenheden en daarna de daarvan afgeleide grootheden en afgeleide eenheden.
Daarna zullen we zien dat elke gemeten waarde een fout bevat. Als we met
gemeten waarden gaan rekenen, bevat de uitkomst ook een fout. De vraag is
dan hoeveel cijfers in een antwoord betrouwbaar zijn, met andere woorden:
je leert rekenen met significante cijfers. Meetresultaten worden vaak
genoteerd in tabellen, die weer overzichtelijk tot diagrammen worden
verwerkt. Tussen grootheden kunnen verschillende verbanden bestaan, de
voornaamste daarvan worden besproken.
Grootheden en eenheden
Basisgrootheden en grondeenheden
Om iemand duidelijk te maken hoelang een voetbalwedstrijd duurt of hoe
hoog de Domtoren in Utrecht is, heb je eenheden nodig (respectievelijk een
eenheid van tijd en een eenheid van lengte).
Het is belangrijk dat men overal zo veel mogelijk dezelfde eenheden gebruikt.
1 Alles wat kan worden gemeten, noemen we een grootheid. Voorbeelden van
grootheden zijn: lengte, tijd, volume, temperatuur, kracht, massa en stroomsterkte.
Het meten van een grootheid gebeurt met een meetinstrument dat daarvoor
geschikt is:
- Een liniaal is een meetinstrument voor het meten van een lengte.
- Een stopwatch is een meetinstrument om tijd te meten.
- Met een thermometer wordt temperatuur gemeten.
- Enzovoort.
De meeste meetinstrumenten zijn voorzien van een schaalverdeling en vaak
staat bij de schaalverdeling de eenheid waarin gemeten wordt.
Voorbeelden van eenheden zijn: meter, seconde, millibar, ampère, kilogram.
414J1.FM
Het resultaat van een meting, dat wil zeggen de uitkomst van de bepaling van
de grootte van een grootheid, drukt men uit in een getal en een eenheid.
1.1
Onderzoeken
Er geldt dus:
n grootheid = getal × eenheid
Symbolen
Grootheden en eenheden worden aangegeven met symbolen. In plaats van: ”de
massa is 27 kilogram” schrijft men m = 27 kg.
Symbolen voor grootheden worden altijd geschreven met een cursieve
(= schuine) letter, symbolen voor eenheden met een rechtopstaande letter.
l = 23,4 mm betekent dus: de lengte = 23,4 millimeter.
Nog een ander voorbeeld:
De hoogte van de Domtoren is 110 m. Dit noteren we als volgt:
l = 110 m.
Hierin geldt:
l = de grootheid (lengte)
110 = het getal
m = de eenheid (meter).
Het SI-stelsel
In 1960 heeft men internationale afspraken gemaakt over het gebruik van
eenheden. De eenheden die we tegenwoordig toepassen, behoren tot het
”Système International d’Unités”, ofwel het SI-stelsel.
Het SI-stelsel (kortweg: SI) bestaat uit zeven basisgrootheden; de eenheden van
deze basisgrootheden heten grondeenheden. Alle overige eenheden kunnen uit
deze zeven worden afgeleid.
2 De grondeenheden van het SI en de bijbehorende basisgrootheden zijn in
tabel 1 vermeld.
Tabel 1. De zeven basisgrootheden en grondeenheden
Basisgrootheid
Symbool
Grondeenheid
Symbool
lengte
l
meter
m
massa
m
kilogram
kg
tijd
t
seconde
s
temperatuur
T
kelvin
K
stroomsterkte
l
ampère
A
hoeveelheid stof
n
mol
mol
lichtsterkte
l
candela
cd
Opmerkingen:
1. Naast deze grondeenheden worden vaak nog gebruikt: uur (h) en minuut
(min) als tijdseenheden, graad Celsius (°C) als temperatuureenheid. Deze
eenheden behoren echter niet tot het SI.
2. Denk erom dat ook de afkortingen internationaal zijn afgesproken. Bijvoorbeeld: het symbool voor meter is ”m” en niet ”M”; het symbool voor kelvin
is ”K” en niet ”°K” enz.
3. De mol is een eenheid die voornamelijk in de scheikunde wordt gebruikt.
Een (vereenvoudigde) definitie van de mol luidt: 1 mol van een stof is een
hoeveelheid waarin precies 6,02252 · 1023 deeltjes aanwezig zijn.
1.2
Onderzoeken
Voorbeeld:
1 mol heliumatomen = 6,02252 · 1023 heliumatomen.
Candela wordt uitgesproken als: ”kandeela”.
Met machten van 10 3
werken
In de natuurkunde komen zeer grote en ook zeer kleine getallen voor. Zo is de
lichtsnelheid 300.000.000 m/s. De diameter van een molecuul kan
0,000.000.000.001 meter zijn. Je kunt je gemakkelijk vergissen wat het aantal
nullen betreft. Zulke getallen worden daarom dan ook meestal als machten van
10 geschreven.
De rij getallen:
10.000
1.000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
kan worden geschreven als:
104
103
102
101
1
1-----10 1
1-----10 2
1-----10 3
1-----10 4
103
102
101
100
10–1
10–2
10–3
10–4
ofwel als:
104
1 - en 100 betekent 1.)
(10–3 betekent dus -----10 3
Enkele voorbeelden om dit verder te verduidelijken.
Voorbeeld 1
384.000 = 3,84 × 100.000 = 3,84 × 105 = 3,84 · 105
227.000.000.000 = 2,27 × 100.000.000.000 = 2,27 × 1011 = 2,27 · 1011
Voorbeeld 2
0,000345 = 3,45 × 0,0001 = 3,45 × 10–4 = 3,45 · 10– 4
0,000.000.006 = 6 × 0,000.000.001 = 6 × 10−9 = 6 · 10–9
Voorbeeld 3
103 · 104 = 107 (en niet 1012). 103 = 1.000; 104 = 10.000; 1.000 · 10.000 =
10.000.000 = 107
Uit dit voorbeeld blijkt: 10a · 10b = 10a + b
Voorbeeld 4
1011 : 104 = 100.000.000.000 : 10.000 = 10.000.000 = 1011 – 4 = 107
Hieruit blijkt: 10a : 10b = 10a – b
414J1.FM
Voorvoegsels
Het schrijven van een antwoord in machten van 10 wordt ook de
standaardnotatie genoemd.
Om praktische redenen gebruikt men niet alleen de SI-eenheden, maar ook
decimale veelvouden en decimale delen van deze eenheden. Die worden
aangeduid door middel van een voorvoegsel.
1.3
Onderzoeken
Voorbeelden
kilometer (km): duizend meter.
milli-ampère (mA): een duizendste ampère.
nanoseconde (ns): een miljardste seconde.
In tabel 2 zijn de voorvoegsels weergegeven.
Tabel 2. SI-voorvoegsels
Factor
1
Naam
Symbool
Factor
Naam
Symbool
–1
deci
d
–2
centi
c
10
deca
da
10
102
hecto
h
10
10
kilo
k
10
–3
milli
m
106
mega
M
10
–6
micro
μ
109
giga
G
10
–9
nano
n
3
12
10
tera
T
10
–12
pico
p
1015
peta
P
10
–15
femto
f
1018
exa
E
10
–18
atto
a
Enkele voorbeelden
1 km = 103 m
1 μA = 10–6 A
1 ps = 10–12 s
Afgeleide grootheden en eenheden
In de natuurkunde bestaan veel meer grootheden dan de hiervoor genoemde
basisgrootheden van het SI-stelsel. Alle andere natuurkundige grootheden
kunnen door vermenigvuldigen en/of delen uit deze zeven worden afgeleid.
4 n Afgeleide grootheden met hun eenheden ontstaan door vermenigvuldiging
en/of deling van basisgrootheden met hun grondeenheden.
Voorbeeld
Een hardloper legt de 200 meter af in 20 seconden.
Zijn gemiddelde snelheid bedraagt dan 200 m : 20 s = 10 m/s.
De grootheid snelheid is dus de afgelegde afstand of: lengte (l) gedeeld door de
benodigde tijd (t). De SI-eenheid voor snelheid is dan meter per seconde
(m/s). Zo is ook de grootheid snelheid uit de grootheden lengte en tijd afgeleid;
we zeggen: snelheid heeft als dimensie -l .
t
5 n Het product en/of quotiënt van de basisgrootheden dat aangeeft hoe de
grootheid is afgeleid, noemen we de dimensie van de afgeleide grootheid.
Enkele andere voorbeelden van afgeleide grootheden met hun eenheden zijn in
tabel 3 genoemd.
1.4
Onderzoeken
Tabel 3. Afgeleide grootheden, eenheden en dimensies
Grootheid
Symbool
Eenheid
Dimensie
snelheid
v
m/s
-l
t
versnelling
a
m/s2
-l-2
t
kracht
F
kg · m/s2
m · -l-2
t
druk
p
kg/(m · s2)
m/(l · t )
dichtheid
ρ
kg/m
3
2
m/l
3
Opmerkingen
1. Sommige afgeleide eenheden hebben een eigen naam gekregen. Zo wordt de
eenheid van kracht de newton (N) genoemd, dat wil zeggen
1 kg · m/s2 = 1 N.
2. Er bestaan ook grootheden zonder dimensie. Met name verhoudingen zijn
dimensieloze grootheden. Een dimensieloze grootheid bezit natuurlijk geen
eenheid. Een voorbeeld hiervan is de brekingsindex (n). Volgens de wet van
Snel (hij noemde zichzelf Snellius), die het verband aangeeft tussen de hoek
van inval (i) en de hoek van breking (r) van een lichtstraal geldt dat:
sin i = n. (r staat voor: refractie = breking.)
---------sin r
De brekingsindex n is een verhoudingsgetal en heeft dus géén eenheid.
Controle van eenheden
Men kan dimensies gebruiken om te controleren of een bepaalde formule juist
is. Links en rechts van het ”=”-teken moet altijd dezelfde dimensie staan. Dit
geldt natuurlijk ook voor de eenheden.
Voorbeeld
Stel dat iemand beweert dat de oppervlakte van een cirkel is uit te rekenen met
de formule:
Oppervlakte = π · r2
Als deze formule juist is, moet het linkerlid van deze vergelijking dezelfde
dimensie en ook dezelfde eenheid hebben als het rechterlid.
We controleren dit:
Links is de dimensie: l2
en rechts: (dimensie r)2 = (l)2 = l2
Of, lettend op de eenheden:
Links is de eenheid: m2
en rechts: (eenheid r)2 = (meter)2 = m2
Conclusie: de formule kan correct zijn.
Meten en meetonzekerheid
414J1.FM
Meten is een ogenschijnlijk eenvoudige vaardigheid. Iedereen kan de lengte
van een tafel meten. Je zult echter zien, dat meten bij natuurkunde wat meer
inhoudt en dus moeilijker is dan je zou denken.
1.5
Onderzoeken
Een natuurkundige zal steeds proberen zo nauwkeurig mogelijk te meten. In
elke meting zal echter toch een zekere onnauwkeurigheid zitten.
Bij het meten van een lengte met een rolmaat is de laatste centimeter of millimeter niet precies te bepalen. Ook door andere oorzaken zijn onnauwkeurigheden mogelijk, een thermometer in een winkel hoeft echt niet de precieze
temperatuur aan te geven.
Stel dat men bij de meting van de lengte van een kamer vindt dat deze ten
hoogste 9,66 m en minstens 9,64 m kan bedragen, dan noteert men dit als volgt:
l = 9,65 ± 0,01 m.
Men noemt 9,65 m de meetwaarde en 0,01 de meetfout.
In plaats van meetfout zegt men ook: meetonnauwkeurigheid of
meetonzekerheid.
6 Bij metingen is er altijd sprake van een meetonzekerheid. De werkelijke waarde
kan iets groter of kleiner zijn dan de gemeten waarde. Deze meetonzekerheid
wordt veroorzaakt door het meetinstrument, de meetmethode en/of de
meetomstandigheden.
Meetinstrument
Bij gebruik van meetinstrumenten met een wijzer (analoge meetinstrumenten)
wordt de meetonzekerheid bepaald door de keuze van het meetbereik.
Als men bijvoorbeeld een stroomsterkte van zo’n 0,4 A wil meten, kan men
kiezen voor een meetbereik van 500 mA of van 5 A. Bij 500 wordt de laatste 0
eigenlijk als volgt bepaald:
- is het iets meer dan 500, maar minder dan 500,5 dan ronden we af naar 500
- is het meer dan 499,5 dan ronden we ook af naar 500.
Of we dit inderdaad zo kunnen doen, hangt natuurlijk wel af van het aantal
streepjes op de schaal, de streepjes 499 en 501 moeten er dan wel op staan.
Bij een meetbereik van 500 mA kan de meetonzekerheid dus 0,5 mA = 0,0005 A
zijn. Bij een keuze voor het meetbereik van 5 A is de meetonzekerheid groter,
bijvoorbeeld 0,05 A, afhankelijk van het aantal streepjes op de schaal.
Een ander voorbeeld
0
5
10
15 (cm)
Afb. 1.
In afb. 1 zie je een diskette op een blaadje waarop om de 5 cm een streepje is
getekend. Je kunt de breedte van de diskette daarmee dus aflezen: 12 cm. Je
1.6
Onderzoeken
weet niet zeker of het 12 cm is. Het kan iets meer of iets minder zijn. De schaalverdeling van deze ”liniaal” is 5 cm.
In afb. 2 zie je dezelfde diskette maar nu zijn de streepjes om de cm neergezet.
De schaalverdeling is nu 1 cm. Je kunt dus nu nauwkeuriger aflezen. De breedte
schat je nu op 12,5 cm. De ”5” is dus, zoals hiervoor uitgelegd, een afgeronde
waarde.
De schaal van het meetinstrument bepaalt hier dus hoe nauwkeurig we moeten
aflezen.
0
5
10
15 (cm)
Afb. 2.
Bij gebruik van meetinstrumenten met een cijferdisplay (digitale meetinstrumenten) wordt de meetonzekerheid bepaald door het laatste cijfer op het
display. De waarde van de gemeten grootheid kan één laatste cijfer groter of
kleiner zijn dan het display aangeeft.
414J1.FM
Geeft het display van een stroommeter bijvoorbeeld 0,81 A aan, dan is de
meetonzekerheid 0,005 A. Want: 0,814 wordt 0,81 en 0,816 wordt 0,82. De
scheiding ligt dus bij 0,815.
Meetmethode
De meetonzekerheid wordt niet alleen bepaald door het meetinstrument, maar
ook door de meetmethode. Een voorbeeld is de digitale stopwatch, die de tijd
tot op honderdsten van seconden aangeeft. De stopwatch zelf levert een kleine
meetonzekerheid: bijvoorbeeld 0,005 s. Maar iemand moet de stopwatch
starten en stoppen. De meetmethode is dus mensenwerk en de meetonzekerheid is daardoor groter: bij een stopwatch levert het starten en stoppen een
meetonzekerheid van 0,2 s op in de tijdmeting. En dat kan ook best wat meer
zijn, dat hangt af van de reactietijd van degene die de stopwatch gebruikt. Een
meetonzekerheid tot op honderdsten van een seconde bij gebruik van een
digitale stopwatch is dan ook misleidend. De op het cijferdisplay weergegeven
waarde moet worden afgerond tot op tienden van een seconde.
Met hetzelfde meetinstrument is echter ook nauwkeuriger te meten. Dit kan
door te kiezen voor een andere meetmethode, zoals het automatisch starten en
stoppen van de digitale stopwatch. Dat maakt de meetonzekerheid veel kleiner.
Meetomstandigheden
Het kan voorkomen dat bij een meting bepaalde meetomstandigheden kunnen
variëren. Het gevolg is een grote spreiding van de meetresultaten bij de
herhaling van de meting. Een voorbeeld is het meten van de remweg van een
fiets bij verschillende waarden van de beginsnelheid. Daarbij is het lastig om de
remkracht constant te houden. Dit veroorzaakt een grote meetonzekerheid in
de gemeten waarde van de remweg. Om toch een redelijke indruk te krijgen
1.7
Onderzoeken
van de lengte van de remweg is het nodig om de meting minstens tweemaal te
herhalen. Het gemiddelde van de drie metingen levert dan de waarde van de
remweg op.
Bij elk getal hoort in de natuurkunde in principe de meetfout (meetonnauwkeurigheid) gegeven te worden. Als dit niet is gedaan, geldt een bepaalde
afspraak:
Met l = 12 m wordt dan bedoeld dat l tussen 11,5 m en 12,5 m ligt. We schrijven
dat als volgt:
11,5 m ≤ l < 12,5 m.
Met t = 21,3 °C wordt bedoeld: 21,25 °C ≤ t < 21,35 °C.
Geeft men dus de lengte van een kamer op: l = 9,65 m en geeft men daarbij de
meetfout (bijvoorbeeld 0,01 m) niet op, dan moeten we aannemen:
9,645 m ≤ l < 9,655 m.
Een voorbeeld
Bij een massabepaling kan men als resultaat van de meting geven:
m = 120 ± 2 g. Hier wordt dus bedoeld dat de massa hoogstens 122 g is en
minstens 118 g. (In de praktijk heeft men zulke meetfouten bij elektronische
huishoudweegschalen; deze wegen meestal ”tot op 2 g nauwkeurig”.)
Zou men echter de meetfout niet vermelden en zonder meer opgeven:
m = 120 g, dan wordt bedoeld:
119,5 g ≤ m < 120,5 g. (In dit geval is de meetfout dus heel wat kleiner!)
Uit het voorgaande mag duidelijk zijn dat de getallen 1,0 en 1,00 niet hetzelfde
zijn. De nauwkeurigheid is anders. Je mag dus niet zomaar cijfers weglaten in
een meting of cijfers erbij zetten. Bij 1,0 is de onnauwkeurigheid bijvoorbeeld
0,05, en bij 1,00 tien keer zo klein, 0,005.
Significante cijfers
7 Het aantal cijfers is dus van belang voor de nauwkeurigheid van een opgegeven
waarde. We spreken dan van significante cijfers.
In het getal 85 (met nauwkeurigheid 0,5) komen slechts twee significante cijfers
voor, in 85,00 (met nauwkeurigheid 0,005) zijn dat er vier.
Enkele voorbeelden
8 l = 17,4 m; dit zijn dus drie significante cijfers.
A = 1.206,7 m2; dit zijn vijf significante cijfers.
v = 300.000 m/s; dit zijn zes significante cijfers.
Nullen aan de linkerkant tellen niet mee voor de bepaling van het aantal significante cijfers.
Stel l = 5 cm, dan mag ook worden geschreven l = 0,5 dm of l = 0,05 m; in deze
drie gevallen is er steeds sprake van één significant cijfer.
Maar er mag niet worden geschreven: l = 50 mm; dit zou immers betekenen dat
de l opeens veel nauwkeuriger bekend zou zijn.
1.8
Onderzoeken
Nog enkele voorbeelden
Voorbeeld 1
Hoeveel significante cijfers heeft 0,0250? Het antwoord moet 3 significante
cijfers zijn.
Als je denkt dat 4 het goede antwoord is, denk je dat je het aantal cijfers achter
de komma moet tellen. Dat is dus niet goed.
Als je denkt,dat het antwoord 5 significante cijfers is, tel je ook de twee nullen
aan de voorkant van het getal mee. Dit is ook fout.
Je begint te tellen vanaf het eerste cijfer ongelijk 0 aan de linkerkant. Dus je
begint bij de ”2” te tellen. Je telt de ”2”, de ”5” en de achterste ”0” en dat
betekent dus drie significante cijfers.
Voorbeeld 2
l = 0,035 m; dit zijn twee significante cijfers.
I = 0,1004 A; dit zijn vier significante cijfers.
Ook machten van tien hebben geen invloed op het aantal significante cijfers:
p = 5,3 · 102 Pa; dit zijn twee significante cijfers.
F = 1,05 · 105 N; dit zijn drie significante cijfers.
Rekenen
Je hebt hiervoor gezien dat bij natuurkunde getallen zoals 2 en 2,0 niet
hetzelfde zijn. De nauwkeurigheid is verschillend geweest bij het meten.
2 wil zeggen dat deze meting ook het getal 2,5 had kunnen opgeven of 1,5. Je
bent dus niet zeker van 2.
2,0 wil zeggen, dat de meting ook 2,05 of 1,95 had kunnen zijn. Maar zeker geen
2,5 of 3.
Het getal 2,0 is nauwkeuriger dan 2.
Dit heeft wel gevolgen als we gaan rekenen. Immers, wat komt uit 3,? × 4,? als
je niet weet wat je op de plaats van het vraagteken moet zetten.
Vermenigvuldigen en
delen
Hoe groot is de oppervlakte van een tafel, als we meten dat de lengte 1,7 m is
en de breedte 1,5 m? Logisch, zul je zeggen: 2,55 m2. Toch is dit niet juist.
De maximale oppervlakte kan zijn: 1,75 · 1,55 = 2,71 m2 (afgerond).
De minimale oppervlakte kan zijn: 1,65 · 1,45 = 2,39 m2 (afgerond).
We zijn uitgegaan van een meetonzekerheid van 0,05 m in de lengtemeting m2.
De oppervlakte ligt dus tussen 2,39 m2 en 2,71 m2. Het is dan niet correct de
oppervlakte weer te willen geven in drie significante cijfers.
Willen we toch de oppervlakte in een getal weergeven, dan kunnen we ervoor
kiezen om 2,55 af te ronden op 2,6. We geven dan immers aan dat we de 2 wel
zeker weten, maar de 6 niet. En dit klopt beter. In dit voorbeeld geven we dus
de oppervlakte als 2,6 m2.
414J1.FM
Een en ander betekent, dat we bij rekenen met metingen zullen moeten
afronden.
We hanteren daarbij de volgende regel:
1.9
Onderzoeken
Bij het delen en vermenigvuldigen (maar ook worteltrekken en dergelijke) van
meetwaarden moet je afronden.
1. Reken eerst alles uit zonder de tussenuitkomsten af te ronden.
2. Bepaal het aantal significante cijfers van elke meetwaarde.
3. Geef de uitkomst in hetzelfde aantal significante cijfers als de onnauwkeurigste (afronden!).
Afronden
9 Bij afronden moet je goed in de gaten houden of er ”naar boven” of ”naar
beneden” moet worden afgerond. Is het cijfer na het laatste significante cijfer
een 5 of hoger, dan naar boven afronden; is het cijfer na het laatste significante
cijfer een 0 t/m 4, dan naar beneden afronden.
Voorbeelden:
80,3491 afronden op 3 significante cijfers geeft 80,3.
80,351 op 3 significante cijfers afronden geeft 80,4.
2,78 wordt in 2 significante cijfers 2,8.
3,75 in 2 significante cijfers wordt 3,8.
3,994 in 2 significante cijfer wordt 4,0.
We hebben nu echter wel een probleem. Wat is 25 · 25? Het antwoord lijkt 625.
Toch is dit niet juist, want zojuist is gezegd dat je moet afronden. Het kleinste
aantal significante cijfers is 2, dus mogen we ook maar 2 significante cijfers in
de uitkomst geven. Dus de uitkomst moet dan zijn: 63. Maar dat is natuurlijk
ook niet goed. Hoe moet je dit nu doen?
De oplossing bestaat uit wat we noemen: de wetenschappelijke notatie. In de
wetenschappelijke notatie werk je met machten van 10.
Voorbeeld: 1.560 wordt in 2 significante cijfers dan 1,6 · 103.
Machten van 10
6,7 · 105 = 670.000. Om te weten hoe groot het getal is, moet je de komma dus
5 plaatsen naar rechts zetten. 1,2 · 10−4 = 0,00012. De komma gaat nu de andere
kant op en wel 4 plaatsen. De 10-macht wordt ook wel de grootteorde genoemd.
Van het eerste getal is de grootteorde 105 en van het tweede getal 10−4.
We kunnen 625 dus ook schrijven als 6,25 · 102. Dit moeten we nu met 2 significante cijfers schrijven, dus wordt dit 6,3 · 102. Let wel op: als je 3.600 met een
10-macht wilt schrijven, mag je niet 3,6 · 103 schrijven. Je vergeet dan dat nullen
aan de achterkant van belang zijn, dus niet weggelaten mogen worden. Schrijf
dus: 3,600 · 103.
Optellen en aftrekken
Bij het optellen van de getallen 12,1 en 4,33 en 0,088 geeft de rekenmachine als
uitkomst 16,518.
Hierna staan de getallen onder elkaar. Er staan vraagtekens in plaats van cijfers.
12,1???
4,33??
0,088?
De som is 16,518
In de uitkomst zijn de laatste cijfers 1 en 8 dus niet betrouwbaar. We hebben
daar immers een vraagteken bij opgeteld. We moeten de 1 en de 8 dus weglaten
en als uitkomst geven 16,5.
Bij het optellen en/of aftrekken van meetwaarden rond je af op het kleinste
aantal cijfers achter de komma.
1.10
Onderzoeken
Voorbeeld
173,45 − 82,5 = 91,0
6,60 + 23,4 = 30,0
Rare uitkomsten
Soms lijk je rare uitkomsten te krijgen.
43 + 0,00598 = 43. Het maakt dus niets uit voor de uitkomst of je 0,00598 erbij
optelt of niet. In dit voorbeeld zie je dat het optellen van kleine getallen alleen
zinvol is, als je alle getallen heel nauwkeurig kent.
Samenvattend
Om niet elke keer de minimale waarde van een berekening te hoeven uitrekenen, hanteren we de volgende twee ”vuistregels”:
n Bij een vermenigvuldiging of deling bestaat de uitkomst uit net zoveel significante cijfers als het gegeven met het kleinste aantal significante cijfers.
Dus:
2,43 · 5,76 = 13,9968; slechts drie significante cijfers → 14,0
5,0 · 12,00 = 60,000; slechts twee significante cijfers → 60
70,0 : 3,3 = 21,212.121; slechts twee significante cijfers → 21
En, zoals reeds is vermeld:
n De uitkomst bij het optellen en aftrekken bevat net zoveel cijfers achter de
komma als de meetwaarde met het kleinste aantal significante cijfers achter de
komma.
Dus:
1,37 – 0,938 = 0,432; slechts twee cijfers achter de komma → 0,43
3,207 + 1,8 − 1,73 = 3,277; slechts één cijfer achter de komma → 3,3
Diagrammen
Het is moeilijk om uit een tabel met getallen conclusies te trekken. Vaak
kunnen we wel zien hoe de samenhang kwalitatief is, maar daar nemen we geen
genoegen mee. We willen meer.
Voorbeeld
Je wilt de samenhang weten tussen de lengte van een groep mannen en hun
gewicht. In een tabel kun je snel zien hoe de samenhang kwalitatief is. Langere
mannen zijn zwaarder dan kleinere. Maar zijn twee keer zo lange mannen ook
twee keer zo zwaar? Hoe zwaar is iemand die 1,60 m lang is? Het is moeilijker
om uit een tabel zulke kwantitatieve conclusies te trekken. Teken je echter de
grafiek, dan heb je meer overzicht en kan dat wel. Bovendien kun je gemakkelijker interpoleren. Als je van iemand die 1,60 m lang is, het gewicht hebt
bepaald en van iemand die 1,80 m lang is, hoeveel weegt dan iemand van
1,70 m? Uit een tabel is dat moeilijker te bepalen dan uit een diagram.
414J1.FM
De meetresultaten uit een experimenteel onderzoek kunnen overzichtelijk
worden weergegeven in een tabel. Maar worden ze verwerkt in een diagram
dan geeft dat in één oogopslag een overzicht van een groot aantal afzonderlijke
meetresultaten. Daarom brengt een diagram het verband tussen twee gemeten
grootheden beter in beeld dan een tabel.
1.11
Onderzoeken
Een voorbeeld is het verband tussen de doorbuiging d en de kracht F op het
uiteinde van een staaf.
3
_
(10 2 m)
4
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
(N)
Afb. 3. Opstelling doorbuiging van een staaf en het bijbehorende diagram.
0 Bij het tekenen van een diagram moet je met een aantal dingen rekening
houden.
- Omdat een diagram de meetresultaten zo nauwkeurig mogelijk moet
weergeven, teken je een diagram op ruitjes- of millimeterpapier.
- In het diagram moet duidelijk te zien zijn welke grootheden tegen elkaar
zijn uitgezet. Bij elke as wordt gezet wat de getallen voorstellen: de grootheid
én de eenheid. Het is daarbij gebruikelijk de grootheid die je zelf instelt (de
onafhankelijke grootheid), langs de horizontale as uit te zetten. De
grootheid die daardoor verandert (de afhankelijke), zet je langs de verticale
as uit. In diagrammen waarin de tijd één van de grootheden is, wordt die
daarom meestal horizontaal uitgezet.
- De lengte van de twee assen van het diagram zijn van belang. Hieruit moet
je namelijk een goed beeld krijgen van wat het verband is tussen twee grootheden die langs de assen zijn uitgezet.
- Het is duidelijker om het meetpunt aan te geven met een bolletje, kruisje of
vierkantje.
- Om zo goed mogelijk bij de meetpunten aan te sluiten wordt het verband
tussen de twee grootheden aangegeven met een rechte of kromme lijn. Het
kan voorkomen dat een van de meetpunten ver buiten de lijn door de
overige meetpunten ligt (zie afb. 3). Er is dan waarschijnlijk een meet-,
reken- of opschrijffout gemaakt. Van zo’n meetpunt trek je je bij het
tekenen van de rechte of kromme lijn niets aan (of je zou natuurlijk die
meting nog eens over kunnen doen).
In de volgende diagrammen zijn dezelfde meetresultaten uitgezet. In de eerste
drie diagrammen zie je niet dat de rechte lijn op een bepaald punt overgaat in
een kromme. In het vierde diagram is dat wél duidelijk te zien. Om te
voorkomen dat je het overgangspunt niet ziet, moet je de diagrammen dus niet
te klein tekenen. Dit kun je doen door de schaalverdeling langs de assen zo aan
te passen dat het meetgebied langs beide assen ongeveer even lang is. Dit
meetgebied wordt bepaald door de kleinste en grootste gemeten waarde van
een grootheid. Uit afb. 3 kun je aflezen dat het meetgebied van de kracht F ligt
tussen 0 en 12 N en dat het meetgebied van de doorbuiging d ligt tussen 0 en
3 · 10−2 m.
Verder is het belangrijk om de schaalverdeling langs de assen op een handige
manier neer te zetten, door 1 cm langs een as van het diagram te laten overeen-
1.12
Onderzoeken
4
30
3
_
(10 2 m)
40
_
(10 2 m)
komen met bijvoorbeeld één, twee, vijf of een ander ”mooi” aantal eenheden
van de gemeten grootheid. Hierdoor gaat het uitzetten van de meetpunten in
het diagram een stuk gemakkelijker. Later is het dan eenvoudiger om een
waarde van de grootheid uit het diagram af te lezen.
20
10
0
2
1
0
50
0
100
0
50
100
(N)
4
30
3
_
(10 2 m)
40
_
(10 2 m)
(N)
20
10
0
2
1
0
5
10
0
0
(N)
5
10
(N)
Afb. 4. Verschillende keuzes voor de schaalverdeling langs de assen.
Staafdiagram
In afb. 3 zijn beide grootheden in een getal uitgedrukt. Maar dit is niet bij elk
onderzoek mogelijk. Een goed voorbeeld hiervoor is een onderzoek naar het
verband tussen het soort wegdek en de kracht waarmee je tijdens het fietsen
moet trappen. De grootheden van het soort wegdek: asfalt, klinkers, grind en
mul zand kunnen niet in een getal uitgedrukt worden. Om deze meetresultaten
wel overzichtelijke te kunnen weergeven maak je gebruik van een staafdiagram,
zoals in afb. 5.
Trapkracht (N)
200
150
100
50
0
Asfalt
Klinkers
Grind
Mul zand
414J1.FM
Afb. 5. Staafdiagram.
1.13
Onderzoeken
Interpoleren en extrapoleren
De waarden die niet zijn gemeten, kun je ook uit een diagram aflezen. Dit
noemen we interpoleren. Omdat het verloop van de rechte of kromme lijn in
het diagram binnen het meetgebied goed bekend is, kan interpoleren redelijk
nauwkeurig gebeuren.
30
_
(10 2 m)
40
20
10
0
0
5
10
(N)
40
30
30
rem (m)
40
_2
(10 m)
Afb. 6. Interpoleren.
20
20
10
10
0
0
5
10
(N)
0
0
10
20
30
(m/s)
b
40
Afb. 7. Extrapoleren.
Ook buiten het meetgebied van een diagram kun je de bij elkaar horende
waarden van de twee grootheden aflezen. Dit noemen we extrapoleren. Door de
rechte of kromme lijn in het diagram op een logische manier door te trekken,
kun je de waarde aflezen. Het is makkelijker om dit bij een rechte lijn te doen,
bij een kromme lijn is dat uiteraard moeilijker. Extrapoleren levert altijd min
of meer onnauwkeurige resultaten op. Dit komt doordat het verloop van de lijn
in het diagram buiten het meetgebied niet met zekerheid bekend is, ook niet als
het om een rechte lijn gaat.
Meetonzekerheid in diagrammen
De reden waarom je bij het weergeven van het verband tussen twee grootheden
in een diagram een rechte of kromme lijn tekent, die zo goed mogelijk bij de
punten aansluit, is de meetonzekerheid. Deze lijn hoeft niet door alle
meetpunten te lopen. Een meetpunt kan namelijk in werkelijkheid iets hoger
of lager, of iets meer naar links of naar rechts horen te liggen. Je hebt dus niet
te maken met een meetpunt, maar met een klein meetgebied waarin het
meetpunt zo ongeveer zal liggen. In afb. 8 is dit weergegeven. Zoals je ziet, loopt
de lijn niet door alle meetpunten, maar wél door de hokjes die rond de
meetpunten de meetonzekerheid aangeven.
1.14
Onderzoeken
4
_2
(10 m)
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
(N)
Afb. 8. De meetonzekerheid is met hokjes rond de meetpunten aangegeven.
Verbanden
Een experimenteel onderzoek levert meetresultaten op. De meetresultaten
worden meestal weergegeven in een diagram. In afb. 9 zijn vier voorbeelden
van zo’n diagram weergegeven.
(Pa)
(kg)
Het verband tussen de twee grootheden is in elk van die vier diagrammen
duidelijk verschillend. Elk van die verbanden heeft dan ook een eigen naam.
Afbeelding 9a is een voorbeeld van een recht evenredig verband, 9b is een
voorbeeld van een omgekeerd evenredig verband, 9c is een voorbeeld van een
kwadratisch evenredig verband en 9d is een voorbeeld van een omgekeerd
kwadratisch evenredig verband.
0
0
0
c
0
b
(m3)
l (W/m2)
(m)
a
0
(m3)
0
0
b (m/s)
d
0
(m)
414J1.FM
Afb. 9. Vier verschillende diagrammen.
1.15
Onderzoeken
Het verband tussen twee gemeten grootheden wordt meestal niet alleen
weergegeven in een diagram, maar ook in een formule. Die formule is meestal
af te leiden uit het diagram, en heeft voor de verschillende verbanden een
bepaalde vorm.
Evenredige verbanden
Recht evenredig
Twee grootheden x en y zijn recht evenredig als ze aan de volgende regel
voldoen.
Als de ene grootheid tweemaal, driemaal enzovoort, zo groot wordt, is de
andere grootheid ook respectievelijk tweemaal, driemaal enzovoort, zo groot
geworden.
q n Als de ene grootheid n-maal zo groot wordt, wordt de andere grootheid ook nmaal zo groot.
De notatie is: x ~ y.
Dit ziet er in een diagram uit als een stijgende rechte lijn door de oorsprong van
het diagram, zie afb. 9a.
Een kenmerk hiervan is te vinden door de bij elkaar horende waarden van y en
x op elkaar te delen. Rekening houdend met de meetonzekerheid levert dit
steeds hetzelfde getal op: een constante c. Dat levert de formule op voor een
recht evenredig verband tussen de twee grootheden:
--y = c → y = c · x
x
Het is eenvoudig om een recht evenredig verband in een diagram te herkenen.
Een recht evenredig verband ziet er in een diagram uit als een rechte lijn door
de oorsprong. Zo’n rechte lijn is nauwkeurig te tekenen.
Uit de helling van de lijn is de waarde van de evenredigheidsconstante c te
bepalen: c = --y .
x
Omgekeerd evenredig
Als de twee grootheden x en y aan de volgende regel voldoen, zijn ze omgekeerd
evenredig.
Als de ene grootheid tweemaal, driemaal enzovoort, zo groot wordt, is de
andere grootheid juist tweemaal, driemaal enzovoort, zo klein geworden.
w n Als de ene grootheid n-maal zo groot wordt, wordt de andere grootheid n-maal
zo klein.
De notatie is: x ~ 1-- .
y
Dit ziet er in een diagram uit als een dalende kromme lijn, zie afb. 9b.
Een kenmerk hiervan is te vinden door de bij elkaar horende waarden van y en
x met elkaar te vermenigvuldigen. Rekening houdend met de meetonzekerheid
levert dit steeds hetzelfde getal op: een constante c.
Dat levert de formule op voor een omgekeerd evenredig verband tussen de
twee grootheden:
y · x = c → y = --c
x
1.16
Onderzoeken
Het kan lastig zijn om een omgekeerd evenredig verband in een diagram te
herkennen. Een omgekeerd evenredig verband ziet er in een diagram uit als een
dalende kromme lijn, maar dat houdt dus niet in dat elke dalende kromme lijn
een omgekeerd evenredig verband weergeeft. Het diagram levert niet meer dan
de veronderstelling dat het verband weleens omgekeerd evenredig zou kunnen
zijn. Dit moet worden gecontroleerd. Je doet dit door na te gaan of het product
van bij elkaar horende grootheden inderdaad steeds een constante oplevert.
Opmerking
Wordt het diagram getekend, waarin y uitgezet wordt tegen 1-- , dan is de grafiek
x
een rechte lijn, want y = c ⋅ 1-- .
x
Kwadratische verbanden
Kwadratisch evenredig
De twee grootheden x en y zijn kwadratisch evenredig (of: evenredig met het
kwadraat) als ze aan de volgende regel voldoen.
Als de ene grootheid tweemaal, driemaal enzovoort, zo groot wordt, wordt de
andere grootheid 22-maal (dus viermaal), 32-maal (dus negenmaal) enzovoort,
zo groot.
e n Als de ene grootheid n-maal zo groot wordt, wordt de andere grootheid n2-maal
zo groot.
De notatie is: y ~ x2.
Dit ziet er in een diagram uit als een stijgende kromme (een halve parabool),
zoals in afb. 9c.
Een kenmerk hiervan is te vinden door de bij elkaar horende waarden van
y en x2 op elkaar te delen. Rekening houdend met de meetonzekerheid levert
dit steeds hetzelfde getal op: een constante c. Dat levert de formule op voor een
kwadratisch evenredig verband tussen de twee grootheden:
---y- = c → y = c ⋅ x2
x2
Het is lastig om een kwadratisch evenredig verband in een diagram te
herkennen. Een kwadratisch evenredig verband ziet er in een diagram uit als
een steeds steilere stijgende kromme lijn, maar dat betekent niet dat elke steeds
steilere stijgende kromme lijn dus een kwadratisch evenredig verband
weergeeft. Net als bij een omgekeerd evenredig verband levert het diagram niet
meer dan de veronderstelling op dat het verband weleens kwadratisch
evenredig zou kunnen zijn. Die veronderstelling moet worden gecontroleerd
door na te gaan of de meetresultaten aan de formule y = c ⋅ x2 voldoen.
Als in een diagram y tegen x2 wordt uitgezet moet de grafiek een rechte lijn door
de oorsprong zijn.
414J1.FM
Omgekeerd kwadratisch evenredig
De twee grootheden x en y zijn omgekeerd kwadratisch evenredig als ze aan de
volgende regel voldoen.
Als de ene grootheid tweemaal, driemaal enzovoort, zo groot wordt, wordt de
andere grootheid juist 22-maal (dus viermaal), 32-maal (dus negenmaal)
enzovoort, zo klein.
1.17
Onderzoeken
r n Als de ene grootheid n-maal zo groot wordt, wordt de andere grootheid n2-maal
zo klein.
1- .
De notatie is: y ~ --x2
Dit zier er in een diagram uit als een steeds minder steile dalende kromme lijn,
zie afb. 9d.
Een kenmerk hiervan is te vinden door de bij elkaar horende waarden van y en
x2 met elkaar te vermenigvuldigen. Rekening houdend met de meetonzekerheid levert dit steeds hetzelfde getal op: een constante c. Dat levert de
formule op voor een omgekeerd kwadratisch evenredig verband tussen de twee
grootheden:
y ⋅ x2 = c → y = ---c-2
x
Ook hier levert een diagram niet meer op dan de veronderstelling van een
omgekeerd evenredig kwadratisch verband tussen de twee grootheden. Een
veronderstelling die moet worden gecontroleerd door na te gaan of bijbehorende waarden van y en x steeds voldoen aan de formule y ⋅ x2 = c.
1- is een rechte lijn.
De grafiek waarbij y is uitgezet tegen --x2
Om te onthouden voor het tekenen van diagrammen
Als je een diagram moet tekenen, moet je het volgende doen:
1. Teken een rechthoekig assenstelsel; maak de assen ongeveer even lang.
2. Kies welke grootheid horizontaal en welke verticaal komt: de onafhankelijke variabele komt horizontaal. De andere verticaal.
3. Maak een correcte schaalverdeling op de assen.
4. Teken de punten in.
5. Teken de juiste lijn, die het verband aangeeft tussen de punten.
Oefenopgave 1
a. Bepaal de schaalverdeling van een gewone liniaal (dus hoever staan de
streepjes van elkaar af?).
b. Meet de breedte van een diskette.
Oefenopgave 2
m ⋅ l-2 .
De dimensie van energie (E) is: ----------t2
Wat volgt hieruit voor de eenheid van energie in het SI-stelsel, uitgedrukt in de
grondeenheden?
Oefenopgave 3
De dichtheid (ρ) van een stof wordt gegeven door de formule:
---- ).
dichtheid = massa/volume (ρ = m
v
Wat volgt hieruit voor de dimensie van dichtheid en wat voor de eenheid?
1.18
Onderzoeken
Oefenopgave 4
Het getal 0,067 heeft als wetenschappelijke notatie 6,7 ⋅ 10–2.
Schrijf de volgende getallen in wetenschappelijke notatie:
a. 217
b. 5.003
c. 0,0019
d. 120 ⋅ 104
e. 0,03 ⋅10–2.
Oefenopgave 5
Bereken en schrijf het antwoord in wetenschappelijke notatie.
a. 6,13 ⋅ 102 ⋅ 5,12 ⋅ 104
b. 7,5 ⋅ 10–4 ⋅ 15 ⋅ 103
⋅ 10-6
--------------------c. 7,03
5,01 ⋅ 10 4
12 ⋅ 5,1 ⋅ 10-5 .
d. ---------------------------17 ⋅ 10 –12
Oefenopgave 6
Schrijf met voorvoegsel:
a. 3,4 ⋅ 10–6 kg
b. 5 ⋅ 1012 m
c. 5,3 ⋅ 104 s
d. 7,1 ⋅ 10–4 m.
Oefenopgave 7
Hier volgen zes getallen. Geef voor elk van die getallen het aantal significante
cijfers.
a. 0,012
b. 1,200
c. 1,2 ⋅ 10–3
d. 120
e. π
f. 1,20⋅106.
Oefenopgave 8
Rond de volgende waarden af op twee significante cijfers:
a. l = 7,934 m
b. A = 3,95 m2
c. r = 1.430 kg/m3
d. V = 327 m3
e. I = 100 A.
414J1.FM
Oefenopgave 9
Iemand meet de lengte en de breedte van een rechthoekige metalen plaat.
Hij vindt: lengte = 67 ± 1 cm; breedte 34 ± 1 cm.
a. Bereken de maximale waarde van de oppervlakte.
b. Bereken de minimale waarde van de oppervlakte.
c. Geef de oppervlakte van de plaat in het juiste aantal significante cijfers.
1.19
Onderzoeken
Oefenopgave 10
De dichtheid ρ van een materiaal is te bepalen door meting van de massa m en
het volume V van verschillende voorwerpen die van dat materiaal zijn gemaakt.
Hier staan de meetresultaten.
m (g)
16,1
48,3
31,8
64,4
88,5
3
V (cm )
2,1
5,9
3,8
8,3
10,8
a. Leg uit welke grootheid (massa of volume) de onafhankelijke grootheid is.
b. Teken in een diagram het verband tussen de grootheden m en V.
c. Bereken de (gemiddelde) dichtheid ρ van het gebruikte materiaal.
Parate-kennisvragen
1 Wat wordt bedoeld met een grootheid?
2 Wat zijn de zeven basisgrootheden en de bijbehorende grondeenheden?
4 Wat zijn afgeleide grootheden en hun eenheden?
5 Wat wordt bedoeld met de dimensie van een grootheid?
3 Wat zijn machten van tien?
6 Waardoor wordt de meetonzekerheid bij meten veroorzaakt?
7 Wat wordt bedoeld met significante cijfers?
8 Hoe bepaal je het aantal significante cijfers?
9 Hoe luiden de vuistregels bij het afronden?
0 Waarmee moet je rekening houden bij het tekenen van een diagram?
q Wat betekent rechtevenredig?
w Wat betekent omgekeerd evenredig?
e Wat betekent kwadratisch evenredig?
r Wat betekent omgekeerd kwadratisch evenredig?
1.20
Onderzoeken
Uitwerking van de oefenopgaven
Oefenopgave 1
a. De schaalverdeling van een gewone liniaal is 1 mm ofwel 0,1 cm. Elke mm
staat voor een streepje.
b. De breedte van een diskette is 8,95 cm. Omdat de schaal 0,1 cm is, moet je
1- van de schaal, dus op 0,01 cm. Dus je geeft twee decimalen
schatten op ---10
op.
Oefenopgave 2
De eenheid van massa (m) is de kilogram (kg); de eenheid van lengte (l) is de
meter (m); de eenheid van tijd (t) is de seconde (s). Invullen in het gegeven
quotiënt levert voor de eenheid van energie (E): kg ⋅ m2/s2
Opmerking
Gewoonlijk noemt men de eenheid van energie de joule (J).
Dus: 1 J = 1 kg ⋅ m2/s2.
Oefenopgave 3
De dimensie van massa is m; de dimensie van volume is l3.
Dimensie van dichtheid is dan m/l3.
De eenheid van dichtheid = kg/m3.
Oefenopgave 4
a. 217 = 2,17 ⋅ 102
b. 5.003 = 5,003 ⋅ 103
c. 0,0019 = 1,9 ⋅ 10–3
d. 120 ⋅ 104 = 1,20 ⋅ 106
e. 0,03 ⋅ 10–2 = 3 ⋅ 10−4.
Oefenopgave 5
a. 3,1386 · 107; lettend op de significante cijfers 3,14 ⋅ 107
b. 1,125 ⋅ 101; lettend op de significante cijfers 1,1 ⋅ 101
c. 1,4032 ⋅ 102; lettend op de significante cijfers 1,40 ⋅ 102
d. 3,6 ⋅ 1017; lettend op de significante cijfers 3,6 ⋅ 1017.
Oefenopgave 6
a. 3,4 μkg
b. 5 Tm
c. 5,3 ⋅ 101 ⋅ 103 s = 5,3 ⋅ 101 ks
d. 7,1 ⋅ 10–4 m = 7,1 ⋅ 10–1 mm.
414J1.FM
Oefenopgave 7
a. 2
b. 4
c. 2
d. 3
e. Ü
f. 3.
1.21
Onderzoeken
Oefenopgave 8
a. l = 7,9 m
b. A = 4,0 m2
c. ρ = 1,4 ⋅ 103 kg/m3 (niet: 1.400 kg/m3 want dat zijn nog vier significante
cijfers).
d. V = 3,3 ⋅ 102 m3
e. I = 1,0 ⋅ 102 A (niet: 1 ⋅ 102 A, want dat is slechts één significant cijfer).
Oefenopgave 9
a. De maximale waarde = 68 × 35 = 2.380 cm2 = 2,4 ⋅ 103 cm2.
b. De minimale waarde = 66 × 33 = 2.178 cm2 = 2,2 ⋅ 103 cm2.
c. De oppervlakte = 2,3 ⋅ 103 cm2.
(cm3)
Oefenopgave 10
a. De dichtheid is een stofeigenschap, het volume stel je in: V is de onafhankelijke grootheid.
b.
10
5
0
0
50
100
(q)
Afb. 10. m,V-diagram
c. Aflezen: bij 10 cm3: 80 g (of 79), ρ = 8,0 g/cm3.
1.22

Download Report