Appendix B Werken met eenheden

Open
Inhoud
Universiteit
Appendix B
Wiskunde voor milieuwetenschappen
Werken met eenheden
Introductie 275
Leerkern 275
1
2
3
4
5
Grootheden en eenheden 275
SI-eenhedenstelsel 275
Tekenen en grafieken 276
Eenheden omrekenen 276
Eenheden in formules 278
274
Appendix B    Werken met eenheden
Appendix B
Werken met eenheden
I n t r o d u c tie
In de wiskunde wordt vaak gerekend met getallen en variabelen zonder
de bijbehorende eenheden te specificeren. In de milieuwetenschappen
echter, zijn getallen zonder bijbehorende eenheden vaak betekenisloos.
Een snelheid van 100 betekent niets; een snelheid van 100 kilometer per
uur wel. Een concentratie zoutzuur van 1,1 is niet interessant, een
concentratie van 1,1 mol / liter des te meer.
Daarom benoemen we in deze appendix het onderscheid tussen
grootheden en eenheden en gaan we in op het werken met eenheden bij
berekeningen in de milieuwetenschappen.
L E E RD O E L E N
Na bestudering van deze appendix
– weet u het onderscheid tussen een grootheid en de eenheid
waarin deze wordt uitgedrukt
– kent u de basiseenheden uit het SI-eenhedenstelsel
– kent u een aantal voorbeelden van afgeleide eenheden en kunt
u deze uitdrukken in SI-eenheden
– weet u dat voor dezelfde grootheid soms verschillende
eenheden worden gebruikt en weet u hoe deze in elkaar
omgezet kunnen worden.
Deze appendix bevat geen opgaven (wel wordt verwezen naar enkele opgaven in
de hoofdtekst) en geen samenvatting aan het eind (zie in plaats daarvan de
leerdoelen hierboven).
L E E R K E RN
1
Grootheden en eenheden
Bij het rekenen met eenheden moeten we om te beginnen onderscheid
maken tussen een grootheid en een eenheid. Een grootheid is een
kwantificeerbare eigenschap van datgene wat we onderzoeken, bijvoor
beeld ‘de temperatuur’. De eenheid is de maat waarin deze grootheid
wordt uitdrukt, bijvoorbeeld ‘graden Celsius’.
2SI-eenhedenstelsel
Om het gebruik van eenheden consistenter te maken is op 11 oktober
1960 het Internationale Stelsel van Eenheden (SI-stelsel) ingevoerd. Dit
stelsel omvat zeven basiseenheden voor lengte (meter), massa (kilo
gram), tijd (seconden), elektrische stroom (ampère), temperatuur
(kelvin), hoeveelheid stof (mol), en lichtsterkte (candela) (zie onder
staande tabel). Zij vormen de basis voor een groot aantal afgeleide
eenheden, waaronder die van kracht (newton), energie (joule), vermogen
(watt), en druk (pascal).
275
Open Universiteit
Wiskunde voor milieuwetenschappen
De afgeleide eenheden kunnen altijd in de basiseenheden worden
uitgedrukt.
Zo geldt bijvoorbeeld:
1 newton = 1 N = 1 kg ⋅ m ⋅ s–2
1 joule = 1 J = 1 N ⋅ m = 1 kg ⋅ m2 ⋅ s–2
1 watt = 1 W = 1 J ⋅ s–1 = 1 kg ⋅ m2 ⋅ s–3
1 pascal = 1 N ⋅ m–2 = 1 kg ⋅ m–1 ⋅ s–2,
enzovoort.
Dit geldt ook voor
eenheden die zijn
afgeleid van een
eigennaam, zoals
‘kelvin’.
Zoals geïllustreerd in bovenstaande voorbeelden worden standaard
symbolen gebruikt om de volledige namen van de eenheden af te korten.
Zo korten we de kilogram af als ‘kg’, de meter als ‘m’, de seconde als ‘s’,
de newton als ‘N’, de joule als ‘J’, enzovoort. De conventie is dat
volledige namen van eenheden met kleine letter worden geschreven;
voor de symbolen worden wel hoofdletters gebruikt.
Vervolgens is het mogelijk een SI-voorvoegsel te gebruiken om aan te
geven dat het om veelvouden of delen van de betreffende eenheden gaat.
Zo is ‘hectopascal’ gelijk aan 100 pascal, en met de term ‘millimeter’
bedoelen we een duizendste van een meter.
Er zijn ook eenheden die niet onder het SI-stelsel vallen, maar toch vaak
worden gebruikt. Denk aan minuten, uren en dagen als eenheden van
tijd. Het gebruik van deze eenheden is op zich niet fout, maar over het
algemeen niet volgens de conventie.
Volledige lijsten van SI-eenheden, gebruikte symbolen, SI-voorvoegsels en
overige eenheden zijn te vinden in Binas (NVON, 2008).
Basisgrootheden in
het SI-eenheden
stelsel
grootheid
eenheid
afkorting
lengte
massa
tijd
stroomsterkte
temperatuur
lichtsterkte
hoeveelheid stof
meter
kilogram
seconde
ampère
kelvin
candela
mol
m
kg
s
A
K
Cd
mol
3
Tekenen van grafieken
Bij het tekenen van een grafiek verdient de keuze van de eenheden met
hun voorvoegsels en de indeling van de assen speciale aandacht. Deze
moeten zo gekozen worden dat het domein, het bereik en de gevonden
punten duidelijk in beeld gebracht worden. Zie hiervoor bijvoorbeeld
opgave 1.22 en 1.23.
4
Eenheden omrekenen
Een probleem met het rekenen met eenheden is dat er voor dezelfde
grootheden verschillende eenheden bestaan. Zo kunnen we de tempe
ratuur uitdrukken in graden Celsius, maar ook in graden Fahrenheit of
in kelvin. Een blik in Binas leert dat er voor de grootheid energie vijf
verschillende eenheden in gebruik zijn: de joule, calorie, elektronvolt,
erg, en kilowattuur.
276
Appendix B    Werken met eenheden
Het kan voorkomen dat de waarde van een grootheid in een bepaalde
eenheid bekend is, maar dat we die waarde in een andere eenheid willen
weten. Als een Amerikaan bijvoorbeeld met zijn eigen auto in Nederland
rond rijdt wil hij graag weten wat de maximum snelheid (130 km per
uur) is gemeten in zijn ‘eigen’ eenheden (mijlen per uur), want dat is
immers wat de snelheidsmeter op zijn dashboard aangeeft. We moeten
de ‘eenheden omrekenen’ ofwel ‘overgaan op een andere eenheid’.
Hoe gaat dit in zijn werk? Hieronder enkele veelvoorkomende
eenvoudige omrekenfactoren.
Van km/uur naar
mijl/uur
We beginnen met genoemde Amerikaan.
We weten: 1 mijl ≈ 1,6 km.
Hieruit volgt: 130 km/uur ≈ 130 / 1,6 ≈ 81 mijl/uur .
Omgekeerd geldt: 81 mijl/uur ≈ 81* 1,6 ≈ 130 km/uur .
Van joule naar
calorie
Veelvoorkomend in discussies over voedingswaardes! Een potje
pindakaas bevat zo’n 2350 kcal. Hoeveel joule is dat?
We weten: 1 calorie ≈ 4, 2 joule , ofwel 1 kcal ≈ 4, 2 kJ .
Hieruit volgt: 2350 kcal = 2350 × 4, 2 kJ = 9870 kJ .
Van graden
Celsius naar
graden Fahrenheit
Dit voorbeeld komt in de milieuwetenschappen niet veel voor, maar is
toch de moeite waard. Om eenheden om te reken moeten we namelijk
niet alleen rekening houden met een bepaalde vermenigvuldigingsfactor,
maar ook met een verschuiving van het nulpunt.
De relatie tussen beide schalen wordt gegeven door: TC = (TF − 32) ⋅ 95
met TC de temperatuur in graden Celsius en TF de temperatuur in
graden Fahrenheit.
Een temperatuur van 50 graden Fahrenheit komt dus overeen met
(50 − 32) ⋅ 95 =
10 graden Celsius.
Omgekeerd geldt: −5 graden Celsius= 95 ⋅ −5 + 32= 23 graden Fahrenheit.
Van km/uur naar
m/s
Dit is een vaak voorkomende omrekening tussen eenheden van snelheid,
waarbij we rekening moeten houden met twee
vermenigvuldigingsfactoren.
We weten: 1 km = 1000 m èn 1 uur = 3600 s .
1000 m
≈ 27,8 m/s .
Hieruit volgt: 100 km/uur = 100 ×
3600 s
1 km
3600
5×
km/u ≈ 18 km/u .
Omgekeerd geldt: 5 m/s = 5 × 1000
=
1 uur
1000
3600
Van J/m naar
kWh/100 km
Tot slot een wat ingewikkelder voorbeeld vanuit een van de behandelde
toepassingen. Bij de toepassing ‘energiegebruik voertuigen’ in leereen
heid 3 (boxen 3.1 en 3.3 met bijbehorende opgaven en voorbeelden)
bepalen we het energiegebruik van voertuigen in relatie tot hun lucht
weerstand. De energie per eenheid afstand die hier mee gemoeid is
rekenen we netjes uit in SI-eenheden, namelijk in joule per afgelegde
meter (J/m).
Dit is echter niet een erg intuïtieve maat. Als we het uiteindelijke
resultaat uitdrukken in kilowattuur per 100 km (kWh/100 km) kunnen
we ons wellicht makkelijker een voorstelling maken van het energie
gebruik, bijvoorbeeld in vergelijking met het elektriciteitsverbruik thuis.
277
Open Universiteit
Wiskunde voor milieuwetenschappen
Hoe gaat dit in zijn werk?
We weten: 100 km = 100.000 m.
Vervolgens drukken we kWh uit in J: 1 kWh = 1000 WH = 1000 Js–1h =
1000 ⋅ 3600 Js–1s = 3.600.000 J.
Hieruit volgt:
=
1 kWh / 100 km 3.600.000
=
J / 100.000 m 36 J/m .
En omgekeerd: 1 J/m = 1/36 kWh / 100 km .
Wanneer we in figuur 3.5 aflezen dat we bij een snelheid van zo’n 28 m/s
(ongeveer 100 km/uur) zo’n 500 J/m gebruiken om de luchtweerstand te
overwinnen, dan staat dat op een traject van 100 km dus gelijk aan
500
≈ 14 kWh. Dit is dezelfde hoeveelheid energie die nodig is voor
36
140 uur televisie kijken, uitgaande van een standaardmodel van 100 watt.
5
Eenheden in formules
In de milieuwetenschappen worden vaak formules behandeld met
verschillende grootheden als variabelen. Zo wordt in de toepassing
‘Energiegebruik voertuigen’ (box 3.1) de volgende formule gegeven:
Elucht = 21 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v 2 , met
Elucht het energieverbruik als gevolg van luchtweerstand per eenheid
afstand
ρ de luchtdichtheid
A de oppervlakte van het vooraanzicht van de auto, en
v de snelheid van de auto.
Als we met deze formule gaan rekenen, moeten we voor elke variabele
een eenheid kiezen. We zijn in principe vrij om die eenheden te kiezen
die we handig achten. De eenheden links en rechts van het =-teken
moeten echter wel ‘kloppen’.
Drukken we bijvoorbeeld ρ uit in kg/m3, A in m2 en v in m/s (alle
SI-eenheden), dan kunnen we dus afleiden in welke eenheid Elucht
gegeven wordt. Vullen we de eenheden in de formule in, dan zien we dat
Elucht wordt uitgedrukt in:
2
kg
kg ⋅ m 2 1

2 ⋅  m=
⋅
⋅=
m


m
m3
s2
 s 
J/m .
Het is dus niet mogelijk Elucht zomaar in een andere eenheid uit te
drukken, zoals in cal/m. In dat geval kloppen de eenheden links en
rechts van het =-teken niet met elkaar.
Veilig is het om standaard SI-eenheden te kiezen, zowel links als rechts
van het =-teken. In dat geval worden beide kanten uitgedrukt in dezelfde
basiseenheden en kloppen de eenheden dus altijd.
Tot slot kijken we naar de rol van coëfficiënten in formules. In de toe
passing ‘Energieverlies in huis’ bijvoorbeeld, wordt de totale warmte
stroom Q door een muur van een oppervlakte A gegeven door de
DT
, met
formule Q= A ⋅
R
DT het verschil in buiten- en binnentemperatuur
A de oppervlakte van de muur
R de totale thermische weerstand van de muur.
278
Appendix B    Werken met eenheden
De R in deze formule is een coëfficiënt, ze geeft een verband weer tussen
de verschillende grootheden warmtestroom, oppervlakte en
temperatuurverschil. Ook bij dergelijke coëfficiënten is het nodig de
eenheden te vermelden waarin ze worden uitgedrukt.
Stel bijvoorbeeld dat we warmtestroom Q uitdrukken in watt, de
oppervlakte A in m2 en het temperatuursverschil in °C. Wat is dan de
eenheid van R?
Ook hier geldt dat we de eenheid van R zo moeten kiezen dat de
eenheden links en rechts van het =-teken met elkaar in overeenstemming
zijn. Als we bedenken dat we de formule om kunnen schrijven als
DT
°C
, dan vinden we voor de eenheid van R dus m 2 ⋅
.
R= A ⋅
Q
W
279

Download Report