tekst

Eindwerk Wiskunde:
Hypocycloïden
Cedric Brouwers - Charlotte Verbruggen
6WeWIi
2013-2014
Inhoudsopgave
1
Inleiding.................................................................................................................... 3
2
Hypocycloïde ............................................................................................................ 4
3
2.1
Geschiedenis ..................................................................................................... 4
2.2
Constructie........................................................................................................ 4
2.3
Bewijs: parametervergeling hypocycloïde ....................................................... 5
2.4
Invloed van k .................................................................................................... 7
2.5
Toepassing ........................................................................................................ 8
Epicycloïde ............................................................................................................. 10
3.1
Geschiedenis ................................................................................................... 10
3.2
Constructie...................................................................................................... 10
3.3
Bewijs: parametervergelijking epicycloïde .................................................... 11
3.4
Invloed van k .................................................................................................. 13
4
Spirograafspel ......................................................................................................... 14
5
Hypotrochoïde ........................................................................................................ 15
5.1
6
Epitrochoïde ........................................................................................................... 16
6.1
7
Constructie...................................................................................................... 15
Constructie...................................................................................................... 16
Rollende hypocycloïden ......................................................................................... 17
7.1
Bewijs: rollende hypocycloïden ..................................................................... 18
7.2
Toepassing ...................................................................................................... 22
8
Besluit ..................................................................................................................... 23
9
Bronvermelding ...................................................................................................... 24
2
1
Inleiding
Allemaal zijn we wel vertrouwd met figuren als deltoïden en asteroïden, maar weinig
van ons hebben ooit stilgestaan bij de vraag: hoe vorm je zulke figuren? Nog minder
hebben we ons afgevraagd welke wiskundige eigenschappen deze bezitten.
Al sinds de 15de eeuw hielden vele wiskundigen als van Cusa, Mersenne en Galilei zich
bezig met cycloïden en hun eigenschappen. Ook grote namen als Blaise Pascal, Isaac
Newton en l’Hôpital bogen zich over deze figuur. De hypocycloïde echter heeft
doorheen de geschiedenis minder aandacht gekregen. Nochtans zijn haar
schoonheden en toepassingen eindeloos.
In dit verslag maken we kennis met de wiskundige schoonheid van hypocycloïdische
systemen. Zowel op analytisch als op ruimtemeetkundig vlak zullen we ons hierin
verdiepen. De belangrijkste vragen die we ons zullen stellen zijn: “Welke soorten
cycloïden zijn er?” en “Hoe kunnen we deze construeren?”. We zullen ook hun
toepassingen kort bespreken. Daarbij bestuderen we nog een spirograafspel en
bespreken we wat er gebeurd als een hypocycloïde in een andere hypocycloïde begint
te rollen.
3
2
Hypocycloïde
Een hypocycloïde is een figuur die de baan van een punt op een cirkel rollend in een
grotere cirkel weergeeft. De kleinere cirkel glijdt hierbij niet. Een hypocycloïde is dus
zeer gelijkend met een gewone cycloïde, alleen rolt de kleine cirkel dus niet op een
rechte maar in een grotere cirkel.
2.1
Geschiedenis
Het woord ‘hypocycloïde’ is afkomstig uit het Grieks: Hupo staat voor onder, kuklos
voor cirkel en eidos voor vorm. Het betekent dus ‘vorm onder een cirkel’. De
hypocycloïde is een resultaat van bewegingen in de wiskunde. Het illustreert namelijk
het spoor van een punt dat volgens een bepaald patroon beweegt. Die interesse naar
beweging is een typisch fenomeen dat we tegenkomen in de vooruitgang van de
wetenschap tijdens de Renaissance (16de-17de eeuw). De vorm werd ontdekt in 1599
door Galileo Galilei. Ook Albrecht Dürer, Rømer en Bernoulli bestudeerden deze figuur.
2.2
Constructie
In dit verslag nemen we als middelpunt van de grote cirkel de oorsprong en de straal
noemen we . We geven deze grote cirkel de naam
. Als middelpunt van de
kleine cirkel nemen we de variabele en als straal nemen we . We noemen de kleine
cirkel
. Het beginpunt van de hypocycloïde noemen we en plaatsen we altijd
op het snijpunt van de grote cirkel met de positieve x-as. Het punt waar de twee cirkels
elkaar raken noemen we en het punt dat de baan van de hypocycloïde beschrijft
noemen we . In de beginpositie liggen en beiden op .
Aangezien de kleine cirkel niet glijdt, zal de cirkelboog ̂ altijd even lang zijn als de
cirkelboog ̂ . De draaihoek van ten opzichte van de oorsprong noemen we en de
draaihoek van ten opzichte van noemen we
.
Het punt P ondergaat een dubbele rotatie,
namelijk een rotatie rond de oorsprong over de
hoek en een rotatie rond M over de hoek
. De grafiek van een hypocycloïde met k
de verhouding tussen R en r, wordt
weergegeven
met
volgende
parametervergelijking:
{
4
[
[
]
]
2.3
Bewijs: parametervergeling hypocycloïde
Te Bewijzen:
{
[
(
)]
[
(
)]
Gegeven:






en
met
en in
het punt waar en elkaar raken
α de draaihoek van M
een vast punt op
de draaihoek van P

Bewijs:
De cirkelboog ̂ is even lang als de cirkelboog ̂ .
Hieruit volgt:
̂
̂
5
, rakend aan
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(
[
|
|
|
|
)
(
)
(
)]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[
{
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(
)
(
)]
[
(
)]
[
(
)]
6
2.4
Invloed van k
De verhouding tussen de grote en de kleine straal geven we zoals hierboven weer met
. We kunnen de invloed die deze verhouding heeft op de figuur opdelen in drie
gevallen:
1.
Hierbij krijgen we een gesloten hypocycloïde met
Tusi Couple
Deltoïde
hoekpunten1.
Astroïde
Dit kunnen we gemakkelijk verklaren aangezien de straal van de grote cirkel
een geheel veelvoud van de straal van de kleine cirkel is. Daaruit volgt dat de
omtrek van de grote cirkel een geheel veelvoud van de omtrek van de kleine
cirkel is. Omdat de kleine cirkel rolt zonder te glijden, zal ze een geheel aantal
keer volledig afgerold zijn als ze terug in het beginpunt is.
2.
met in zijn meest vereenvoudigde vorm.
Hierbij krijgen we een gesloten hypocycloïde met
hoekpunten.
3.
Hierbij krijgen we een open grafiek die oneindig doorgaat en de oppervlakte
tussen de grote cirkel en zijn concentrische cirkel met straal
opvult.
1
In dit verslag benoemen we de punten van een hypocycloïde waar 2 krommen elkaar kruisen
hoekpunten en verruimen we de definitie van een hoekpunt (normaal enkel tussen rechten) dus tijdelijk.
7
2.5
Toepassing
Slinger van Foucault
De slinger van Foucault is een experiment waarmee Foucault meer dan honderd jaar
geleden aantoonde dat de aarde om zijn as draait zonder gebruik te maken van
astronomische waarnemingen. Hij maakte wel gebruik van de eigenschap dat een
slinger nooit van richting verandert als er geen extra kracht op uitgeoefend wordt. Het
vlak waarin de slinger beweegt lijkt traag te draaien, maar omdat we weten dat het
vlak zijn stand in de ruimte behoudt, kunnen we afleiden dat het de aarde is die onder
de slinger beweegt. Enkel op de polen zal het slingervlak 360° draaien in 24 uur. Bij ons
draait het vlak 280°.
De figuur die de slinger in het zand tekent is een hypocycloïde en kan weergegeven
worden door volgende vergelijking:
1
(q = straal grote cirkel, n = straal kleine cirkel)
1
vergelijking en afbeelding uit BROMWICH, T. J . I’A., on the theory of foucault’s pendulum, and of the
gyrostatic pendulum, p.225-226
8
Tusi Couple
Aan de hand van de hypocycloïde met
kan men gemakkelijk een roterende
beweging omzetten naar een lineaire beweging door gebruik te maken van twee
tandwielen.
Dit wordt onder andere gebruikt bij high-speed-printing.
9
3
Epicycloïde
Een epicycloïde is erg verwant aan een hypocycloïde. Hier is het echter de grafiek
weergegeven door het pad dat een punt op een cirkel aflegt, als die cirkel over de
buitenkant van een grotere cirkel rolt.
Bij de elementen van een epicycloïde gebruiken we dezelfde benamingen als bij die
van een hypocycloïde.
3.1
Geschiedenis
De naam ‘epicycloïde’ komt van de Griekse woorden epi (bovenop), kuklos (cirkel) en
eidos (vorm). Hij werd voor het eerst zo genoemd door Ole Rømer in 1674. Daarvoor
gebruikten Aristoteles en Prolemaeus deze vormen al voor de bewegingen van de
planeten in hun geocentrisch systeem te omschrijven.
Later werd de kromme verder bestudeerd door onder andere Rømer, Bernoulli,
L'Hôpital, Euler, en Isaac Newton.
Cardioïde (rood): meest eenvoudige epicycloïde
waarbij even groot is als
3.2
Constructie
De grafiek van een
parametervergelijking:
{
epicycloïde
wordt
[
[
weergegeven
]
]
10
met
volgende
3.3
Bewijs: parametervergelijking epicycloïde
Te bewijzen:
[
[
{
]
]
Gegeven:






en
met
en buiten
het punt waar en elkaar raken
α de draaihoek van M
een vast punt op
de draaihoek van P

Bewijs:
De cirkelboog ̂ is even lang als de cirkelboog ̂ .
Hieruit volgt:
̂
̂
11
, rakend aan
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(
[
|
|
|
|
(
)
(
)]
|
|
|
|
|
|
|
{
|
|
|
|
|
|
|
[
|
)
|
|
|
|
|
(
)
(
)]
|
|
|
[
(
)]
[
(
)]
12
3.4
Invloed van k
De verhouding tussen de grote en de kleine straal geven we zoals hierboven weer met
. We kunnen de invloed die deze verhouding heeft op de figuur opdelen in drie
gevallen:
1.
Hierbij krijgen we een gesloten epicycloïde met
hoekpunten.
Dit kunnen we verklaren op dezelfde manier als bij de hypocycloïde.
k=1
2.
k=2
k=3
k=4
met in zijn meest vereenvoudigde vorm.
Hierbij krijgen we een gesloten epicycloïde met
k=1/2
k=3/2
k=7/3
hoekpunten.
k=6/5
3.
Hierbij krijgen we een open grafiek die oneindig doorgaat en de oppervlakte
tussen de binnenste cirkel en zijn concentrische cirkel met straal
opvult.
13
4
Spirograafspel
Een spirograafspel is een mechanisme waarbij je een tekening kan maken door je pen
in een vast punt van een tandwiel te zetten, en dat tandwiel te laten rollen in een
grotere cirkel.
Dit lijkt erg hard op een hypocycloïde, maar dat is het niet omdat we geen punt op de
rand van de kleine cirkel kunnen kiezen, maar een punt in de cirkel. Zo’n figuur
noemen we een hypotrochoïde. Een gelijkaardige figuur bekomen we als we de kleine
cirkel buiten de grote cirkel laten rollen. Dit noemen we een epitrochoïde.
14
5
Hypotrochoïde
Een hypotrochoïde is de figuur die de baan weergeeft van een punt op het verlengde
van de straal van een cirkel die in een grotere cirkel rolt.
5.1
Constructie
De grafiek van een
parametervergelijking:
{
hypotrochoïde
wordt
weergegeven
[
(
)]
[
(
)]
met
volgende
 Hierbij ligt
in
en rolt langs de rand van .
 is de afstand van tot .
 kan groter of kleiner zijn dan .
 Een hypocycloïde kunnen we beschouwen als een speciale vorm van een
hypotrochoïde, waarbij
.
15
6
Epitrochoïde
Een epitrochoïde is de figuur die de baan weergeeft van een punt op het verlengde van
de straal van een cirkel die aan de buitenkant van een andere cirkel rolt.
6.1
Constructie
De grafiek van een
parametervergelijking:
{
epitrochoïde
wordt
weergegeven
[
(
)]
[
(
)]
met
volgende
 Hierbij is de afstand van tot .
 kan groter of kleiner zijn dan .
 Een epicycloïde kunnen we beschouwen als een speciale vorm van een
epitrochoïde, waarbij
.
16
7
Rollende hypocycloïden
Een merkwaardig fenomeen bij hypocycloïden is dat een hypocycloïde
met n=k en
perfect past in de hypocycloïde
. Zo lijkt
in
te rollen omdat beide
figuren altijd minstens n punten gemeenschappelijk hebben. Dit fenomeen wordt
hieronder bewezen.
Hier zien we hoe 9 verschillende hypocycloïden met telkens 1 hoekpunt meer telkens per 2
1
onderling het rollende hypocycloïde fenomeen ondervinden.
1
voor animatie (aangeraden): http://johncarlosbaez.wordpress.com/2013/12/03/rolling-hypocycloids/
Animatie door EGAN, G.
17
Bewijs: rollende hypocycloïden1
7.1
Vooraf:

In dit bewijs maken we gebruik van de complexe coördinaten van een
hypocycloïde, in plaats van de parametervergelijking. Zo kunnen we
[
[
{
]
]
(we gebruiken hier r=1, als bewezen voor r=1, ook bewezen voor r
)
complex noteren als:
[
]
(formule van Euler)
Ook schrijven we t als θ
Voor

1
geldt dus:
Ook zullen we gebruik maken van speciale unitaire groepen. Een speciale
unitaire groep van graad n ( = SU(n) ) is de groep van unitaire matrices met
determinant 1.
Dit bewijs is gebaseerd op een bewijs van EGAN G., BHARDWAY S. en WOLBACH A.
18
Bewijs:
Neem een matrix in SU(n+1). De n+1 eigenwaarden van deze matrix kunnen elk
complex getal zijn zodat:


Hun product gelijk is aan 1
Het spoor van de matrix de som van deze eigenwaarden is.
Bv: (
)( )
( )
 (
)

 De eigenwaarden zijn dan:
We kunnen dus n van deze eigenwaarden gelijkstellen aan
gelijkstellen aan
. Hun som is dan gelijk aan:
Merk op:
dit is gelijk aan de curve van een hypocycloïde waarvan k=n+1,
namelijk
.
(
Omdat:
)
(
kunnen we stellen dat:
Bovendien is
Bewijs
en de overblijvende
de grens van
(
)
).
De eigenwaarden van SU(n+1) kunnen geschreven worden als:
(met
willekeurige hoeken)
Als alle hoeken gelijk zijn aan dezelfde hoek , dan geeft het
spoor een punt weer in
.
Als we nu de afgeleide van het spoor berekenen met
betrekking tot elke hoek , op een punt waar ze gelijk zijn,
19
dan is de afgeleide altijd rakend aan de hypocycloïde (want
gelijk aan de raaklijn in dat punt aan de hypocycloïde), namelijk
keer de afgeleide van
(met betrekking tot θ).
Behalve in de ‘hoekpunten’ ligt een deel van de raaklijn in de
hypocycloïde, waar dus uit volgt dat geen enkele verandering
in je eruit kan halen.
Aan de ‘hoekpunten’ zou de raaklijn uit de cirkel gaan als je uit
gaat, wat niet mogelijk is.
grenst dus aan
(
Bovendien is elk punt binnen de hypocycloïde
Bewijs
).
een element van
(
).
merk op dat SU(n+1) enkelvoudig samenhangend is, waardoor
zijn beeld een continue afbeelding is:
tr(
n
)
Omdat zijn beeld een hypocycloïde omvat, die de verzameling
homeomorf begrenst op een cirkel, zal zijn beeld de hele
verzameling omvatten.
In het kort:
(
) is precies de gesloten verzameling in het vlak begrensd door
.
Nu…
Stel de eigenwaarden van een matrix in SU(n) gelijk aan:
(met
willekeurige hoeken)
Analoog aan de SU(n+1) matrix, omvat het spoor van SU(n) een hypocycloïde met k=n,
namelijk .
Langs de andere kant kunnen we de eigenwaarden van elk element van SU(n+1)
schrijven als:
(met
en
willekeurig)
20
Hieruit volgt:
(
Als we hierin
.
)
⋃
(
)
laten variëren van 0 tot 2π, dan krijgen we een
op elke plaats in
Met andere woorden, door een matrix in SU(n) te nemen en de elementen in de
diagonaal op te tellen, kan je elk getal krijgen in het complexe v lak dat in
ligt. Dit
geldt ook voor SU(n+1). Omdat we bewezen hebben dat SU(n) in SU(n+1) ligt, hebben
we ook aangetoond dat
altijd in
zal liggen.
21
7.2
Toepassing
Cycloid Speed Reducor
De Cycloid Speed Reducor is een mechanisme dat de roterende snelheid van een input
kan beperken met een bepaalde graad. Het systeem is gebaseerd op een hypocycloïde
rollend in een hypocycloïde met een grotere k (en dus een groter
aantal hoekpunten).
Werking
De input stang staat excentriek op de hypocycloïde schijf. Door zijn
excentrieke plaatsing zorgt de draaibeweging van de staaf voor een
‘wiebelbeweging’ van de hypocycloïde. Deze rolt in de grotere
hypocycloïde ring en drijft dankzij de aanwezige gaten de output stang
aan. Deze krijgt een snelheid, kleiner dan die van de input staaf. De
verhouding valt te berekenen aan de hand van volgende formule:
Met
P = k van de kleine hypocycloïde
L = k van de grote hypocycloïde
Het voordeel aan dit mechanisme is dat het zeer compact is en, in tegenstelling tot een
tandwielsysteem, zeer stevig.
22
8
Besluit
We hebben gezien dat de hypocycloïde een zeer ruime betekenis heeft. Gebaseerd op
het principe van een cycloïde hebben we de verschillende soorten cycloïden
gedefinieerd waarbij de kleine cirkel over een andere cirkel rolt (hypocycloïden,
epicycloïden, hypotrochoïden en epitrochoïden). We hebben telkens even stilgestaan
hoe ze geconstrueerd kunnen worden en we hebben zelfs een populair speelgoedstuk
uitgediept. Ten slotte hebben we enkele toepassingen aangehaald die dagelijks
terugkomen die verband houden met dit wiskundig fenomeen.
Bij de leer over hypocycloïden hebben we gemerkt dat zelfs de mooiste vormen en
figuren een wiskundige bodem bezitten en geanalyseerd en geordend kunnen worden.
Ten slotte vonden we het de moeite waard om het programma Tinguely
(geproduceerd door RekenWeb - Freudenthal Instituut) aan te halen waarmee je op
creatieve wijzen zelf hypocycloïden, maar ook andere figuren, kan tekenen door een
systeempje in elkaar te steken en dit te laten tekenen.
Cedric Brouwers en Charlotte Verbruggen
23
9
Bronvermelding
1. WaybackMachine,
internet,
http://web.archive.org/web/20080322100737/http://www.technopolis.be/nl/
watkunjedoen/indekijker/exhibits%20vd%20week/slinger%20van%20foucault.
htm, 2014-04-21.
2. Mathcurve,
internet,
http://www.mathcurve.com/courbes2d/hypotrochoid/hypotrochoid.shtml,
2014-02-01.
3. Wikipedia, internet, http://nl.wikipedia.org/wiki/Cyclo%C3%AFde, 2014-02-05.
4. Wikipedia, internet, http://en.wikipedia.org/wiki/Hypocycloid, 2014-02-05.
5. Hofstede, internet, http://hhofstede.nl/modules/cycloiden.htm, 2014-02-05.
6. WolframMathWorld,
internet,
http://mathworld.wolfram.com/Hypocycloid.html, 2014-02-05.
7. Scientific American internet, http://blogs.scientificamerican.com/roots-ofunity/2013/12/04/hypocycloids-make-you-happy/, 2014-02-05
8. Wikipedia, internet, http://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph, 2014-02-07
9. WolframMathWorld,
internet,
http://mathworld.wolfram.com/Hypotrochoid.html, 2014-02-07.
10. WolframMathWorld,
internet,
http://mathworld.wolfram.com/Epitrochoid.html, 2014-02-07.
11. AmericanMathematicalSociety, internetarchief, BAEZ, J., Deltoid Rolling Inside
Astroid, 2013-12-1.
12. Eekhoutcentrum, internetarchief, VAN DE WIELE, R. en DE LANGHE, J., Een
duik in de geschiedenis van de wiskunde met Geogebra, 2011-11-19
13. BROMWICH, T. J. I’A., On the theory of foucault’s pendulum, and of the
gyrostatic pendulum, Londen, 1914, p. 225-226.
24
25

Download Report