Constructies met passer en liniaal, origami en meccano
Een wiskunde-D module geschreven door
Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht
Deze module is in ontwikkeling en wordt uitgeprobeerd in het najaar van 2012 op het Junior
College Utrecht (JCU). De auteur bedankt Ton van der Valk (JCU) en Johan van de Leur
(Universiteit Utrecht) voor uitleg over de gang van zaken op het JCU en Joke Daemen (IVLOS)
en Aad Goddijn (Freudenthal Instituut, JCU) voor het lezen van een eerdere versie. Fouten en
onvolkomenheden blijven uiteraard geheel voor de verantwoordelijkheid van de auteur.
De ontwikkeling en het uittesten van het materiaal is mede mogelijk gemaakt door de Hogeschool Utrecht, het Junior College Utrecht (JCU) en het Geometry and Quantum Theory (GQT)
cluster.
Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons NaamsvermeldingNietCommercieel-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie (2012).
Voorkant: detail van de Atheense School van Rafaël. Het is onduidelijk of de hoofdpersoon
Euclides voorstelt of Archimedes, beiden spelen een belangrijke rol in deze module.
Inhoudsopgave
Inleiding
Constructies
Geschiedenis van constructies met passer en liniaal
Deel 1. Constructies met passer en liniaal
Hoofdstuk 1. Constructies met passer en liniaal
1.1. Spelregels en bewijzen
1.2. Basisconstructies
1.3. Ongeoorloofde en onmogelijke constructies
1.4. Beroemde problemen
Samenvatting H1
Hoofdstuk 2. Van tekenen naar rekenen
2.1. Zijn lengtes van lijnstukken getallen?
2.2. Wat zijn getallen?
2.3. De meetkundige rekenmachine
2.4. Geogebra
Samenvatting H2
1
1
1
5
7
7
10
13
16
23
25
25
27
29
32
36
Hoofdstuk 3. Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal
3.1. Snijpunten van lijnen en cirkels
3.2. Lichaamsuitbreidingen
3.3. Verdubbeling van de kubus is niet construeerbaar
Samenvatting H3
37
37
43
47
51
Antwoorden
57
Bijlage A.
Bijlage B.
Antwoorden
Veronderstelde voorkennis van vlakke meetkunde
Een bewijs uit het ongerijmde
53
55
57
Inleiding
Voor je ligt een Wiskunde D module over constructies met passer
en liniaal, origami en meccano. In het eerste deel bekijken we vier
beroemde problemen uit de Griekse Oudheid die gaan over constructies met passer en liniaal. Je zult zien hoe de Grieken hun
uiterste best hebben gedaan om deze problemen op te lossen, maar
het is ze uiteindelijk niet gelukt. Pas 2000 jaar later werd duidelijk
waarom. In het tweede deel zien we dat er meer mogelijk is met
Origami of Meccano als alternatieve constructiemethode. Dit deel
is op het moment nog in ontwikkeling.
Constructies
Heb je je wel eens afgevraagd waarom je wel van een bisectrice hebt gehoord maar nog
nooit van een trisectrice? Of waarom je een regelmatige negenhoek niet kunt construeren met
passer en liniaal, maar wel kunt vouwen met een blaadje papier? Wist je dat Origami wordt
toegepast in de ruimtevaart en de medische wetenschap? En dat het speelgoed Meccano kan
worden gebruikt om een lineaire beweging om te zetten in een cirkelbeweging zoals bij een
stoomlocomotief?
Er zijn talloze hulpmiddelen en gereedschappen om meetkundige figuren te tekenen, elk met
zijn eigen grenzen. Voor een wiskundige is het interessant om het gereedschap te idealiseren, nauwkeurig te omschrijven hoe het gereedschap gebruikt mag worden en vervolgens de
grenzen van dit gebruik op te zoeken. Dat zullen we in deze Module doen voor de constructiegereedschappen Passer en liniaal, Origami en Meccano.
Geschiedenis van constructies met passer en liniaal
Vanaf ongeveer 3000 v. chr. hebben de Babyloniërs en Egyptenaren hun vorderingen in
de wiskunde opgeschreven en doorgegeven aan ons. Voor hen diende wiskunde meestal een
praktisch doel: ze deden berekeningen voor bijvoorbeeld architectuur, landverdeling of het
voorspellen van zonsverduisteringen. Daar kwam verandering in bij de Grieken die rond 400
v.chr. een grote bloeiperiode kenden. Zij dachten na over dingen gewoon omdat ze het interessant vonden en dit noemen we tegenwoordig met een Grieks woord filosofie (filein=houden
van, sofia=kennis). De opbloei van (wiskundige) kennis, logisch nadenken en de Griekse
cultuur gingen hand in hand. De filosoof Plato had niet voor niets boven de ingang van zijn
Academie een inscriptie laten plaatsen
AGEWMETRHTOS MHDEIS EISITO
Laat geen meetkundig ongeschoolde hier ooit binnentreden
1
Je zult deze tekst tegenwoordig weliswaar niet boven een arbeidsbureau zien hangen, maar
toch vinden bedrijven het nog steeds belangrijk dat hun werknemers wiskundig geschoold zijn
als bewijs dat ze logisch kunnen nadenken.
De zuiverste vorm van meetkunde was voor de Grieken de meetkunde in het platte vlak,
waarbij alleen gebruik mocht worden gemaakt van passer en liniaal. Een belangrijke stelling
over driehoeken in het vlak is bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras: voor een rechthoekige
driehoek met rechthoekszijden van lengte a en b en schuine zijde c geldt
a 2 + b2 = c 2
Het bewijs werd meetkundig geleverd volgens een vast stramien:
P robleem
Constructie
Bewijs
Je construeert dus eerst met behulp van passer en liniaal een rechthoekige driehoek volgens
bepaalde afspraken die uitgebreid aan bod komen in hoofdstuk 1. Vervolgens geef je een
bewijs dat het vierkant met zijde c een even grote oppervlakte heeft als de vierkanten met
zijde a en zijde b bij elkaar opgeteld. Dit stramien was zeer succesvol: we noemen deze
stelling immers nog steeds naar Pythagoras ondanks dat de beste man al meer dan 2000 jaar
dood is.
Het indrukwekkende boek de Elementen van Euclides (ca. 300 v. chr.) bevat vrijwel alle
wiskunde die tot dan toe was gedaan. Euclides schreef hierbij duidelijk alle aannames op
voordat hij iets ging bewijzen. Met een minimum aan aannames (5 postulaten en 5 axioma’s)
werd een maximum aan resultaat geboekt: 176 stellingen over vlakke meetkunde!
Ondanks de indrukwekkende hoeveelheid constructies die de Grieken maakten en de meetkundige stellingen die ze konden bewijzen bleef er een aantal taaie problemen over waarvan
een constructie met passer en liniaal ze ontging. En daar wordt het interessant voor onze
Module: zijn dit de grenzen van de gereedschappen Passer en liniaal?
We introduceren die problemen hier kort:
Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel). Kun je een vierkant construeren met dezelfde
oppervlakte als een cirkel met straal 1?
Beroemd probleem 2. Kun je iedere regelmatige veelhoek construeren?
Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek). Kun je een willekeurige hoek met behulp
van een constructie in drieën delen?
2
Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem – verdubbeling van een kubus). Als een kubus
met zijden van lengte 1 gegeven is, kun je dan een kubus construeren met twee keer zo groot
volume?
Zo dus niet... want nu wordt het volume verachtvoudigd.
Bij dit laatste probleem staan we nog even stil. Volgens de legende1 had de god Apollo
gezorgd voor pestepidemie op het Griekse eiland Delos. Toen de Deliërs naar het orakel
van Delphi gingen om te vragen hoe ze weer van de plaag af konden komen kregen ze te
horen dat ze het altaar van Apollo op Delos moesten verdubbelen. De Delische beeldhouwers
verdubbelden de zijden van het altaar, maar de pest ging niet over. Ten einde raad wendden
ze zich tot Plato’s Academie. Daar kregen ze te horen dat het eigenlijke probleem was om het
altaar te verdubbelen in volume en dat de Delische geleerden dus op zoek moesten gaan naar
een constructie van een zijde met de juiste lengte. Volgens Plato was het een terechtwijzing
van de god Apollo: de Grieken moesten minder aandacht besteden aan ruzie maken en oorlog
voeren, en meer aan de wetenschap.
Sindsdien heet dit ook wel het Delische probleem. De Grieken schijnen zich goed te hebben
beseft dat het eigenlijk een probleem van de ruimtemeetkunde is, niet van de vlakke meetkunde.
Ze konden het probleem wel degelijk oplossen met behulp van ruimtemeetkunde of andere
instrumenten dan passer en liniaal, de wiskundige en geschiedschrijver Thomas Heath noemt
zelfs 9 oplossingen in zijn History of Greek Mathematics, maar geen van allen gebruikten
alleen maar passer en liniaal. De constructie van Archimedes bijvoorbeeld gebruikt een liniaal
met streepjes (opgave 25), en die van Menaechmus gebruikt parabolen (opgave 43). Deze
constructies zijn dan ook niet opgenomen in de Elementen van Euclides. Na de inspanningen
van de Grieken bleef de vraag dus overeind: zijn de vier beroemde problemen te construeren
met passer en liniaal?
Na de middeleeuwen werd deze vraag opgepikt door veel vooraanstaande wetenschappers
zoals Descartes, Newton en Gauss. Maar hoewel Gauss bijna kon bewijzen welke regelmatige
veelhoeken kunnen worden geconstrueerd is het de weinig bekende Fransman Pierre Laurent
Wantzel geweest die in 1837 problemen 2, 3 en 4 volledig heeft opgelost. Voordat het zover was
zijn er dus meer dan 2000 jaar overheen gegaan, is er een moord gepleegd (op Archimedes),
is er een wiskundige aan ziekte en armoede gestorven (Niels Abel), een ander is in een
pistoolduel omgekomen (Évariste Galois) en Wantzel zelf is niet beroemd geworden maar in
de vergetelheid geraakt en heeft zich doodgewerkt onder de invloed van opium. Maar daarover
meer in de volgende hoofdstukken...
1Vrij geciteerd uit De E apud Delphos van de Griekse geschiedschrijver Plutarchos, 1e eeuw n.chr.
3
Deel 1
Constructies met passer en liniaal
HOOFDSTUK 1
Constructies met passer en liniaal
Dit hoofdstuk gaat over het construeren van punten, lijnen en cirkels in het platte vlak met
behulp van passer en liniaal. Typische vragen die we ons daarbij stellen zijn: kunnen we
een gelijkzijdige driehoek construeren? En een regelmatige vijfhoek? Kunnen we een hoek in
tweeën delen? En in drieën? Kunnen we een vierkant construeren met dezelfde oppervlakte
als een gegeven cirkel?
Om antwoorden te geven op deze vragen moeten we heel precies omschrijven wat we eigenlijk bedoelen met construeren. Hierbij volgen we ongeveer de spelregels zoals de Griekse
wiskundige Euclides ze opschreef rond 300 v. chr. in zijn beroemde boek de Elementen. De
regels van Euclides zijn niet zaligmakend: het is goed mogelijk om een andere verzameling
spelregels te verzinnen waarmee je vergelijkbare constructies kunt maken. In deel 2 zullen we
onderzoeken wat je allemaal kunt doen met origami en meccano.
Als de spelregels eenmaal zijn vastgelegd kunnen we onderzoeken wat mogelijk en vooral ook
onmogelijk is met passer en liniaal. Daarbij stuiten we uiteindelijk op een aantal klassieke
problemen uit de Griekse Oudheid. Ten slotte nemen we nog een loopje met de spelregels:
door vals te spelen kunnen sommige constructies plotseling wél worden gemaakt!
1.1. Spelregels en bewijzen
In dit hoofdstuk bekijken we de vlakke meetkunde van punten, lijnen en cirkels. Het boek de
Elementen van Euclides van omstreeks 300 v.chr. gaat hierover en geldt al eeuwenlang als
een blauwdruk voor een wiskundige tekst omdat het duidelijk onderscheid maakt tussen de
volgende aspecten van wiskunde:
Aannames – Logische regels – Stellingen – Bewijzen
Euclides begint met 23 definities waarin hij uitlegt wat meetkundige begrippen zoals punt,
lijn, driehoek, cirkel etcetera betekenen. Dan volgen 5 postulaten, waarin aannames worden
gedaan over relaties tussen deze begrippen:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Er gaat één lijnstuk door twee gegeven punten.
Een lijnstuk kan in beide richtingen worden verlengd tot een rechte lijn.
Er is één cirkel met gegeven middelpunt en gegeven straal.
Alle rechte hoeken zijn gelijk.
Stel dat twee lijnen worden gesneden door een derde. De twee lijnen snijden elkaar
alleen als de kleinste hoeken die ze maken met de derde lijn samen kleiner zijn dan
twee rechte hoeken.
De eerste drie postulaten gaan over toegestane meetkundige constructies, de laatste twee
kunnen worden gebruikt om te bewijzen dat die constructies voldoen aan bepaalde eigenschappen. Omdat Euclides zo duidelijk maakt wat zijn aannames zijn, kun je onderzoeken wat
er gebeurt als je een aanname verandert. Vooral over het vijfde postulaat (het parallellenpostulaat) is in de loop der eeuwen veel discussie ontstaan en het is inderdaad mogelijk gebleken
7
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
om zonder dit postulaat een consistente theorie op te bouwen: de niet-Euclidische meetkunde.
Een voorbeeld hiervan is meetkunde op een boloppervlak, waarin twee evenwijdige lijnen elkaar inderdaad kunnen snijden, denk maar aan de meridianen op het aardoppervlak die elkaar
snijden in de noord- en zuidpool.
De opbouw van de Elementen is weliswaar lovenswaardig, maar er is nog wel het één en
ander op af te dingen1. We kijken nog eens kritisch naar de eerste drie postulaten en we
merken op dat ze niet helemaal volledig zijn: hoe construeren we bijvoorbeeld nieuwe punten?
Euclides zwijgt daarover in zijn postulaten, maar in de tekst worden wel degelijk nieuwe
punten geconstrueerd. We vullen daarom de eerste drie postulaten aan tot een verzameling
spelregels die wij zullen hanteren bij het construeren:
Spelregels voor constructie met passer en liniaal
Constructie van nieuwe lijnen en cirkels:
PL1. Een lijn door twee gegeven punten.
PL2. Een cirkel door een gegeven punt met
een ander gegeven punt als middelpunt.
Constructie van nieuwe punten:
PL3. Een willekeurig punt in het vlak
(geen bijzondere eigenschappen)
PL4. Snijpunt van twee lijnen.
PL5. Snijpunt(en) van een lijn en een cirkel.
PL6. Snijpunt(en) van twee cirkels.
1Er is vanuit modern wiskundige oogpunt nog wel meer af te dingen op de Elementen dan wat we hier
vermelden, en daarom heeft David Hilbert in 1899 een verbeterd stelsel voorgesteld met daarin 21 aannames.
8
Als het goed is ken je nog een aantal constructies uit de onderbouw, zoals bijvoorbeeld de
bissectrice van een hoek en de middelloodlijn van een lijnstuk.
1a Opgave
Maak een lijstje van constructies die je al eens hebt gezien en probeer ze weer uit te voeren.
1b Opgave
Bedenk tenminste drie constructies in het platte vlak die je nooit hebt gezien maar waarvan
je denkt dat ze uitvoerbaar zijn.
We komen later nog op deze lijstjes terug.
1.1.1. Wat bedoelt Euclides met een bewijs?
Normaal gesproken loopt een wiskundig bewijs als volgt:
Stelling
aannames+logica
! Bewijs
Euclides vond het echter belangrijk dat een meetkundige stelling niet alleen voorstelbaar is,
maar ook construeerbaar op basis van de spelregels. Hij hanteerde daarom het volgende
stramien
Stelling
spelregels
! Constructie
aannames+logica
! Bewijs
Later zullen we zien dat bijvoorbeeld een regelmatige zevenhoek niet construeerbaar is en
Euclides zwijgt dan ook in alle toonaarden over zo’n figuur, terwijl we geen enkele moeite
hebben om ons een regelmatige zevenhoek voor te stellen.
Laten we eens kijken hoe Euclides zijn eerste stelling uit de Elementen bewijst:
Er bestaat een gelijkzijdige driehoek
ABC met een gegeven lijnstuk AB als zijde.
2a Opgave (eerste stelling uit de Elementen)
Construeer volgens de bovenstaande spelregels de gevraagde gelijkzijdige driehoek
Schrijf bij elke stap op welke spelregel van PL1 t/m PL6 het is.
2b Opgave
Bewijs dat de driehoek die je hebt geconstrueerd inderdaad gelijkzijdig is.
ABC.
Het is dus mogelijk om een gelijkzijdige driehoek te construeren vanuit een gegeven zijde.
3a Opgave (tweede stelling uit de Elementen)
In de figuur hiernaast staat een constructie afgebeeld.
Lijnstuk P Q en punt R zijn gegeven, lijnstuk RS is het eindresultaat.
Zijn de lengtes |P Q| en |RS| gelijk?
Wat denk je dat het doel is van de constructie?
3b Opgave
Schrijf een stappenplan, waarbij de deelconstructie van opgave 2
één stap is.
3c Opgave
Bewijs dat het doel van de constructie inderdaad wordt bereikt.
9
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.1.2. De rol van de passer en de liniaal
Euclides noemt nergens de woorden “passer” en “liniaal". Toch is het uit zijn tekst duidelijk
dat hij grote waarde hecht aan constructies, en dat daarbij alleen specifieke gereedschappen
op een bepaalde manier mogen worden gebruikt. Je bent zelf bijvoorbeeld gewend te werken
met een geodriehoek. Daarmee kun je zowel afstanden als hoeken opmeten, wat heel handig
kan zijn bij het construeren. Als je bijvoorbeeld een hoek in tweeën moet delen, dan meet je
de hoek op en je deelt dit getal door twee. De Grieken vonden dit niet zuiver: de meting is
nooit precies en dus ‘aards’.
Liniaal
Passer
Een liniaal bevat geen markeringen en mag alleen worden gebruikt om
reeds geconstrueerde punten te verbinden.
De passer mag alleen worden gebruikt om cirkels te construeren met een
reeds geconstrueerd middelpunt en randpunt. Moderne passers hebben
een radartje waarmee je de benen vast kunt zetten. Op die manier kun
je de afstand tussen twee punten P en Q “meten” met je passer en vervolgens de passerpunt ergens anders neerzetten. Volgens de spelregels
hierboven mag dit niet zomaar! Uit de vorige opgave volgt echter dat het
toch mogelijk is om net te doen of je een moderne passer hebt.
Op het ongeoorloofd gebruik van de passer en liniaal (valsspelen dus) komen we terug in
paragraaf 1.3.
1.2. Basisconstructies
In deze paragraaf proberen we structuur aan te brengen in het denken over constructies. We
bekijken een aantal basisconstructies: niet al te ingewikkelde constructies die vaak van pas
komen als bouwsteen in grotere constructies. De constructie van een gelijkzijdige driehoek in
opgave 2 kwam bijvoorbeeld meteen van pas in opgave 3. Eerst even opwarmen:
4 Opgave
Geef een samengestelde constructie die uiteenvalt in basisconstructies. Gebruik als inspiratie
de lijstjes die je hebt gemaakt in opgave 1. Je hoeft niet te beschrijven hoe de basisconstructies
moeten worden uitgevoerd, je kunt deze behandelen als “black box”.
5a Opgave
Met het aantal stappen van een constructie bedoelen we het aantal keren dat PL1 of PL2
wordt gebruikt. Geef een constructie waarmee het midden van een lijnstuk wordt bepaald (3
stappen).
5b Opgave
Gegeven is een lijn m en een punt P dat niet op m ligt. Geef een constructie voor de loodlijn
op m die door P gaat (het kan in 3 stappen).
5c Opgave
Gegeven is een lijn m met daarop een punt P . Geef een constructie voor de loodlijn op m die
door P gaat (het kan in 3 stappen).
10
B1
T���� �. Basisconstructies
Het midden van lijnstuk AB.
B2
De loodlijn van AB door punt C.
Punt C ligt niet op AB.
B3
...
B4
De combinatie van I en III. Hoe
heet dit?
B5
De lijn door C evenwijdig aan AB.
B6
De bissectrice: lijn die de hoek
\CAB door midden deelt.
B7
...
...
...
...
In tabel 1 staat een lijst van basisconstructies met de opdracht aan de lezer om deze aan te
vullen, de details van de constructies te geven en te bewijzen dat ze voldoen aan de gevraagde
eigenschappen.
6 Opgave
Vul tabel 1 aan en bewijs dat de constructies doen wat ze moeten doen.
11
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
Beschrijf van de volgende constructies welke basisconstructie van pas komt:
7a Opgave
Het snijpunt van de drie zwaartelijnen van een driehoek.
7b Opgave
Het snijpunt van de drie hoogtelijnen van een driehoek.
7c Opgave
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek.
7d Opgave
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek.
8 Opgave
Gegeven zijn punten M en N en de cirkel met middelpunt M en randpunt N . Construeer de
gelijkzijdige driehoek N P Q waarbij P en Q op de cirkel liggen.
Hint: Begin met het construeren van een regelmatige zeshoek.
9 Opgave
Zijn er constructies in opgave 1b) die je inmiddels met passer en liniaal kunt maken?
De volgende constructies zijn goede oefeningen en hebben iets te maken met de beroemde
problemen uit de Griekse Oudheid. Geef bij iedere constructie nieuwe punten een naam (in
hoofdletters) en nieuwe lijnen en cirkels een naam (in kleine letters). Schrijf nummertjes in
je tekening om aan te geven wat de volgorde is en beschrijf bij ieder nummer kort welke
basisconstructie het is.
10a Opgave (Verdubbeling van een vierkant)
Gegeven is een vierkant ABCD waarvan de zijde 1cm lang is. Construeer een vierkant met
oppervlakte 2cm2 .
10b Opgave
Gegeven is een vierkant ABCD. Construeer een vierkant waarvan de oppervlakte twee keer
zo groot is.
11 Opgave (Kwadratuur van een rechthoek)
Gegeven is een rechthoek ABCD. Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte.
Hint: Introduceer getallen a = |AB| en b = |BC|.pDe oppervlakte van de rechthoek is dus
gelijk aan ab en we zoeken een vierkant met zijde ab. Ga na dat
ab =
✓
a+b
2
◆2
12
✓
a
b
2
◆2
Als we dit lezen met een “Pythagorasbril” op, dan staat hier dat een rechthoekige driehoek
p
a b
met schuine zijde a+b
ab.
2 en rechte zijde 2 een tweede rechte zijde heeft met lengte
Construeer zo’n rechthoekige driehoek.
12a Opgave (Kwadratuur van een veelhoek)
Gegeven is 4ABC. Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte. Geef hierbij nauwkeurig aan welke constructies van de voorgaande opgaven je hebt gebruikt.
Hint: Probeer dit probleem te reduceren tot de kwadratuur van een rechthoek.
12b Opgave
Gegeven is een regelmatige veelhoek. Laat zien dat je een vierkant kunt construeren met
dezelfde oppervlakte.
Hint: Probeer dit probleem te reduceren tot de kwadratuur van driehoeken en rechthoeken.
13 Opgave (Regelmatige veelhoeken)
Je kleine zusje krijgt voor school de opdracht om op een lege wijzerplaat de uren van de klok
aan te geven. Je besluit haar aan een tien te helpen door met behulp van passer en liniaal
de streepjes op de juiste plek te zetten.
Hint: begin met een gelijkzijdige zeshoek (zie opgave 8) en gebruik bissectrices.
Er is ook een andere aanpak mogelijk om de uren op de wijzerplaat van een klok te construeren:
de constructie van een regelmatige 12-hoek vanuit een regelmatige driehoek en vierhoek.
Daarover gaat de volgende opgave.
14a Opgave (Regelmatige veelhoeken)
Gegeven is een cirkel met daarin een gelijkzijdige 4P0 P1 P2
en vierkant ⇤Q0 Q1 Q2 Q3 met één gemeenschappelijk punt
e
P0 = Q0 . De hoekpunten Pi liggen op 3i deel van de cirkel,
e
de hoekpunten Qj liggen op 4j deel. Leg uit dat P1 Q1 gelijk
1 e
is aan 12
deel van de cirkel en dus de zijde is van een
regelmatige twaalfhoek.
14b Opgave
Je zou het vermoeden kunnen krijgen dat met behulp van een regelmatige m-hoek en n-hoek
een regelmatige m · n-hoek kan worden geconstrueerd.
Leg uit dat dit vermoeden waar is voor een regelmatige vijftienhoek.
14c Opgave
Start met een vierkant en een regelmatige achthoek met wederom P0 = Q0 .
Leg uit dat je zo geen regelmatige 32-hoek kunt construeren.
14d Opgave
Probeer te ontdekken waaraan m en n moeten voldoen zodat het vermoeden wél waar is
(schrijf duidelijk je vermoeden op en controleer het voor een aantal gevallen. Een bewijs
wordt niet gevraagd maar levert wel bonuspunten op).
1.3. Ongeoorloofde en onmogelijke constructies
Het is natuurlijk leuk om te zien dat je met de basisconstructies in de hand een aantal
ingewikkelde constructies kunt uitvoeren. Interessanter zijn echter de constructies die je (nog)
niet kunt maken! In deze paragraaf bekijken we niet wat de mogelijkheden zijn, maar juist
wat de onmogelijkheden zijn. We lopen tegen de beperkingen van de spelregels op, enerzijds
omdat sommige constructies met cirkels en lijnen niet zijn toegestaan en anderzijds omdat we
alleen mogen werken met lijnen en cirkels en niet met bijvoorbeeld parabolen, hyperbolen of
andere figuren.
13
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.3.1. Ongeoorloofde constructies met lijnen en cirkels
Er zijn constructies met lijnen en cirkels die je volgens de spelregels niet zomaar mag uitvoeren
terwijl ze in de praktijk geen probleem opleveren. Als er een cirkel en een punt buiten de
cirkel gegeven is kun je bijvoorbeeld een lijn tekenen die raakt aan de cirkel en door het punt
gaat (er zijn zelfs twee van deze lijnen). Volgens de spelregels is dit niet zomaar toegestaan.
Is er een manier om deze constructie toch te maken op een legale manier?
15 Opgave
Probeer zo precies mogelijk uit te leggen waarom het tekenen van een raaklijn aan een cirkel
niet aan de spelregels PL1 t/m PL6 voldoet.
Gelukkig bestaat er wél een eerlijke constructie van een raaklijn aan een cirkel.
16a Opgave
Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en randpunt S.
Bewijs dat de lijn door S loodrecht op lijnstuk M S maar één snijpunt heeft met c. De raaklijn
aan c door S staat dus loodrecht op de straal.
Hint: Een tweede snijpunt S 0 zou leiden tot een onmogelijke driehoek 4SM S 0 .
De stelling van Thales luidt: een driehoek ingeschreven in een cirkel, waarbij één van de
zijden een middellijn is van de cirkel, is altijd een rechthoekige driehoek.
16b Opgave
Gegeven is een punt P buiten de cirkel c. Construeer een nieuwe cirkel met middellijn M P
en noem de snijpunten met c respectievelijk S1 en S2 . Leg met behulp van de stelling van
Thales en onderdeel a) uit waarom de lijnen P S1 en P S2 raken aan de cirkel.
16c Opgave
Wat gebeurt er als het punt P op de cirkel ligt? En als het er binnen ligt?
17 Opgave
Van twee gegeven cirkels (niet even groot, niet snijdend of rakend) kun je eenvoudig de vier
gemeenschappelijke raaklijnen tekenen. Maar kun je ze ook volgens de spelregels construeren?
Probeer de vorige opgave te gebruiken, bijvoorbeeld door beide cirkels te krimpen totdat één
van de cirkels een punt is geworden.
In opgave 25 zien we hoe Archimedes een loopje neemt met de spelregels om een hoek in
drieën te kunnen delen. Ook in die situatie is het lang niet zo duidelijk of er ook een eerlijke
constructie als alternatief bestaat..
1.3.2. Onmogelijke constructies
Je stuit wel eens op een constructie die je niet kunt uitvoeren. Dit kan twee oorzaken hebben:
je bent ofwel niet handig genoeg geweest bij het verzinnen van een mogelijke constructie, of
de constructie is principieel onmogelijk.
14
Soms is het meteen duidelijk dat een constructie onmogelijk is: je kunt met passer en liniaal
nou eenmaal geen ellips construeren. Een interessante vraag is of er ook constructies bestaan
die onuitvoerbaar zijn, maar waarvan je dat niet meteen kunt zien. En of je van een onuitvoerbare constructie kunt bewijzen dat dat zo is. Als wiskundigen lange tijd een constructie
niet hebben kunnen maken dan bewijst dat natuurlijk nog niets, er zijn genoeg wiskundige
stellingen waar pas na eeuwen een bewijs voor is gegeven. Een voorbeeld is de beroemde
laatste stelling van Fermat (1637) die uiteindelijk is bewezen door Andrew Wiles (1994).
Op deze bewijsbare onmogelijkheid komen we terug in latere hoofdstukken. In de volgende
paragraaf bespreken we eerst nog de vier beroemde constructies uit de Griekse Oudheid die
2000 jaar lang onuitgevoerd bleven. Zijn ze misschien onmogelijk?
15
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.4. Beroemde problemen
De Oude Grieken zijn ware passer–en–liniaal kunstenaars geweest. Toch is er een viertal
constructieproblemen dat zelfs hun pet te boven ging:
(1)
(2)
(3)
(4)
De
De
De
De
kwadratuur van een cirkel.
constructie van bepaalde regelmatige veelhoeken.
driedeling van een hoek.
verdubbeling van een kubus.
In de komende paragrafen geven we een beschrijving van deze problemen. De Grieken hebben
ze niet kunnen oplossen met passer en liniaal, hoe goed ze ook zochten naar constructies.
1.4.1. Kwadratuur van de cirkel
De oppervlakte van een cirkel met straal 1 noemen we ⇡, dit is ongeveer 3, 1415. Het getal ⇡
heeft een lange geschiedenis en bijna elke beschaving sinds de Babyloniërs heeft zich ermee
bezig gehouden. Soms werd het erg onnauwkeurig benaderd (de bijbel rekent in 2 Kronieken
4:2 en 1 Koningen 7:23 bijvoorbeeld met ⇡ = 3), maar soms was een benadering opmerkelijk
nauwkeurig. Een erg efficiënte methode was die van Archimedes: hij tekende een regelmatige
veelhoek zowel binnen de cirkel (zie figuur 1) als eromheen en hij bedacht dat de oppervlakte
van de cirkel tussen die van de veelhoeken moest liggen. Door een regelmatige n-hoek te
gebruiken met grote n wordt de benadering nauwkeuriger.
18 Opgave
Bekijk de eenheidscirkel en bereken de oppervlakte van een ingeschreven en omgeschreven
zeshoek, zie figuur 1. Net als Archimedes mag je daarbij de volgende ongelijkheid gebruiken
265 p
1351
< 3<
153
780
De methode van Archimedes roept een aantal vragen op:
(1) Hoe construeerde hij een regelmatige veelhoek?
(2) Hoe berekende hij de oppervlakte van een regelmatige veelhoek?
In een gegeven cirkel is een regelmatige zeshoek construeerbaar, bijvoorbeeld door alle gelijkzijdige driehoeken in figuur 1 te construeren (zie ook opgave 13). Welke veelhoeken wel
en niet construeerbaar zijn is het volgende beroemde probleem, we richten ons daarom op de
tweede vraag. De oppervlakte van een regelmatige veelhoek is te reduceren tot een som van
oppervlakten van driehoeken door vanuit het middelpunt lijnen te trekken naar de hoekpunten,
zoals gedaan is in figuur 1. Op basis van opgave 12 kun je hier rechthoeken van maken, die je
ook nog eens aan elkaar kunt plakken tot één grote rechthoek. De methode van Archimedes
geeft dus een benadering van de oppervlakte van de cirkel in termen van de oppervlakten van
een rechthoek.
Dit leidt tot de essentie van de kwadratuur van de cirkel: kan de ware oppervlakte van een
gekromd object als de cirkel evenals zijn benaderingen worden uitgedrukt in termen van de
oppervlakte van een rechthoek? Of, omdat er ook een vierkant te construeren is met dezelfde
oppervlakte als een rechthoek (opgave 11): bestaat er een vierkant met dezelfde oppervlakte
als de cirkel met straal 1?
Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel).
Gegeven is een cirkel met straal 1. Kun je een vierkant met dezelfde oppervlakte construeren?
16
F����� �. Een ingeschreven en omgeschreven regelmatige zeshoek voor een
cirkel met straal 1.
Uiteindelijk tekende Archimedes ingeschreven en omgeschreven 96-hoeken (construeerbaar:
deel de hoeken van een gelijkzijdige driehoek vijf keer in tweeën) en kwam2 tot de benadering
1
3 10
71 < ⇡ < 3 7
die tot op twee decimalen nauwkeurig is. Archimedes erkende dat zijn methode de kwadratuur
van de cirkel niet oplost: de veelhoeken blijven benaderingen voor de oppervlakte van de
cirkel.
Voor een echte kwadratuur van de cirkel is de constructie van een lijnstuk met lengte
p
⇡ vereist.
2In de berekening gebruikt Archimedes allerlei afschattingen voor wortels die hij niet uitlegt, zoals de afp
schattingen voor 3. Zie bijvoorbeeld de website van Dick Klingens http://www.pandd.demon.nl/piarchi.htm voor
de hele berekening.
17
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.4.2. De constructie van regelmatige veelhoeken.
We zagen dat Archimedes voor zijn benadering van ⇡ ingeschreven en omgeschreven regelmatige veelhoeken gebruikte. In opgaven 2, 8 en 10 heb je regelmatige veelhoeken geconstrueerd
met passer en liniaal, bijvoorbeeld een driehoek, vierkant en zeshoek. We gaan nu in stappen
de nog ontbrekende regelmatige vijfhoek bekijken.
F����� �. Een springende kangoeroe
19a Opgave (Constructie van een regelmatige vijfhoek)
Gegeven zijn twee halve lijnen die met elkaar een hoek a maken in het punt A. Een kangoeroe
maakt telkens even grote sprongen van de ene lijn naar de andere, indien mogelijk naar een
ander punt dan waar hij net vandaan kwam, zie figuur 2.
Druk de hoeken \a1 , \a2 enz. uit in \a (gebruik eventueel de stelling van de buitenhoek).
19b Opgave
Leg uit: als \a = 36 , dan is 4A2 A3 A gelijkbenig met tophoek \a. Schets deze situatie.
19c Opgave
Leg uit: als \a = 36 , dan kunnen A, A2 en A3 worden gebruikt om een regelmatige tienhoek
te construeren binnen de cirkel met middelpunt A en straal |A2 A|.
19d Opgave
Als \a = 36 en |A2 A| = 1, hoe groot is dan |A1 A|? Is deze lengte construeerbaar?
Hint: zoek gelijkvormige driehoeken en gebruik verhoudingen tussen lengtes van zijden om
een vergelijking te vinden waaraan x = |A1 A| moet voldoen.
19e Opgave
Construeer een regelmatige vijfhoek in een cirkel met straal 1.
Vrije interepretatie van de kangoeroewedstrijd wizPROF 2010, opgave 25.
De Grieken konden dus een regelmatige drie-, vier-, vijf- en zeshoek construeren. Dit roept
de vraag op of het mogelijk is om elke regelmatige veelhoek te construeren.
Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken).
Is het mogelijk om elke regelmatige veelhoek te construeren?
18
F����� �. Het standbeeld van Gauss in Braunschweig
20 Opgave
De Grieken zijn niet verder gekomen dan de drie-, vier-, vijf- en zeshoek en de veelhoeken
die je hieruit kunt construeren door hoeken in tweeën te delen. Maak een lijstje van de
regelmatige veelhoeken die de Grieken konden construeren. Waar zitten de gaten?
Pas toen de wiskundige Carl Friedrich Gauss zich er rond 1800 mee ging bemoeien werd
dit probleem volledig opgelost: hij gaf een beschrijving van de veelhoeken die wel en niet
kunnen worden geconstrueerd. Hij heeft bijvoorbeeld op 18-jarige leeftijd een regelmatige
17-hoek geconstrueerd en hierop was hij zo trots dat hij besloot wiskunde te gaan studeren
(en geen taalkunde). In het volgende hoofdstuk treed je in zijn voetsporen door zelf in het
computerprogramma geogebra een regelmatige zeventienhoek te construeren. In zijn geboorteplaats Braunschweig staat een standbeeld van Gauss met een sokkel in de vorm van een
zeventienpuntige ster.
De constructie van regelmatige veelhoeken is gerelateerd aan het delen van hoeken, zoals
blijkt uit de volgende opgaven.
21 Opgave
Leg uit: als je een willekeurige hoek in n gelijke hoeken kunt verdelen, dan is iedere regelmatige n-hoek construeerbaar.
De vraag of we hoeken in n gelijke stukken kunnen delen is dus algemener dan de vraag of
we een regelmatige n-hoek kunnen construeren.
22 Opgave
Als we hoeken in drieën kunnen delen, hoe verwacht je dat het lijstje van opgave 20 dan
verandert?
19
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.4.3. Driedeling van een hoek
Via de basisconstructies kunnen we inmiddels lijnstukken en hoeken in tweeën delen. Door
deze weer in tweeën te delen, en deze weer in tweeën, enzovoorts kunnen we dus ieder lijnstuk
en iedere hoek verdelen in 2k gelijke delen voor iedere k. Zouden we nu ook een lijnstuk of
een hoek in drieën kunnen delen?
Stelling: Met passer en liniaal kan een lijnstuk in een willekeurig aantal gelijke stukken
worden verdeeld.
B����. We leggen eerst uit hoe een lijnstuk in drieën kan worden gedeeld, zie figuur 4.
Kies twee willekeurige punten A, B op de lijn en een punt C1 dat niet op de lijn ligt. Verleng
het lijnstuk AC1 twee keer en noem de tussenliggende punten C2 en C3 . We krijgen dus
|AC1 | = |C1 C2 | = |C2 C3 |. Teken nu de lijnen door C1 en C2 die evenwijdig zijn aan BC3 .
De snijpunten D1 , D2 met AB delen dit lijnstuk op in 3 gelijke delen omdat de driehoeken
ABC3 , AD2 C2 en AD1 C1 allen gelijkvormig zijn. In figuur 4 staat dit bewijs geïllustreerd. Het
opdelen in meer gelijke stukken gaat analoog, door het lijnstuk AC1 vaker te verlengen. ⇤
Het teken ⇤ geeft aan dat het bewijs hier eindigt.
F����� �. De driedeling van een lijnstuk gebruiken voor de driedeling van een hoek?
De driedeling (trisectie) van een hoek is een ander verhaal. De Grieken hadden hier grote
moeite mee. Zijn wij slimmer dan de Grieken?
23 Opgave
Bekijk een driehoek 4ABC. Verdeel zijde BC in drie gelijke delen. Kun je dit gebruiken om
de hoek \CAB in drieën te delen (zie figuur 4)? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef een
tegenvoorbeeld.
Dit is dus geen goede algemene strategie. Nu proberen we een bijzonder geval.
24 Opgave
Verzin een constructie om een hoek van 90 oftewel ⇡2 in drieën te delen.
Hint: Welke regelmatige veelhoek hoort bij een hoek van 30 ?
Het is dus in ieder geval mogelijk om sommige hoeken met passer en liniaal in drieën te
delen. Archimedes (ja, dezelfde van de kwadratuur van de cirkel) heeft een manier bedacht
om alle hoeken in drieën te delen. Voor de constructie van de regelmatige vijfhoek maakten
we in opgave 19 gebruik van figuur 2 waarbij \a = 36 . Voor de driedeling van Archimedes
gebruiken we geen specifieke waarde. In figuur 5 is de volgorde van tekenen anders dan in
figuur 2: Archimedes start met de punten B, C en D en tekent daarna E en A.
20
F����� �. Driedeling van een hoek volgens Archimedes
25a Opgave (De constructie van Archimedes)
Leg uit dat \A en driedeler is van \DBC (zie ook opgave 19).
25b Opgave
Leg uit A dat de tekening van Archimedes geen geldige constructie is met passer en liniaal.
Welke stap voldoet niet aan de regels PL1 t/m PL6?
De Grieken konden dus wel degelijk alle hoeken in drieën delen, maar ze maakten daarbij
gebruik van extra hulpmiddelen naast de gewone passer en liniaal zoals de neusis (Grieks:
⌫" ◆&). Dit is een liniaal waarop je streepjes mag zetten (zoals op je geodriehoek) en die je
mag schuiven zodat je één streepje op een gegeven lijn mag zetten en een ander streepje op
een andere gegeven lijn of een cirkel.
Ruim 2000 jaar lang bleef het onbekend of een hoek in drieën kan worden gedeeld. Het is
ons derde beroemde passer–en–liniaal probleem.
Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek).
Kun je een willekeurige hoek met passer en liniaal in drieën delen?
Archimedes van Syracuse (287 - 212 v.Chr.) was een Grieks
wiskundige, natuurkundige, ingenieur, uitvinder en sterrenkundige. In opdracht van de koning moest hij een kroon testen op het goudgehalte zonder deze kapot te maken. Hij zat
in bad na te denken, ontdekte in een flits de wet van de opwaartse kracht, sprong uit bad en rende naakt door de straten
van Syrakuse. Hij schreeuwde: ·urhka (eureka) – ik heb het
gevonden! Hier zie je Archimedes afgebeeld op de Fields
Medaille, de “Nobelprijs” voor de wiskunde.
21
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.4.4. Verdubbeling van een kubus
Het laatste beroemde probleem is al uitegebreid aan bod gekomen in de inleiding via een
legende die ermee samenhangt. In opgave 10 heb je de oppervlakte van een vierkant verdubbeld. Als het oorspronkelijke vierkant zijden met lengte p
1 heeft, dan heeft volgens de stelling
van Pythagoras het nieuwe vierkant zijden met lengte 2. Nu moeten we een soortgelijke
constructie maken voor een kubus:
Beroemd probleem 4 (HetpDelische probleem – verdubbeling van een kubus).
Is een lijnstuk met lengte 3 2 construeerbaar?
22
Samenvatting H1
Dit hoofdstuk ging over vlakke meetkunde met passer en liniaal, gebaseerd op het boek de
Elementen van Euclides. In dit boek doet hij meetkunde volgens het paradigma
Aannames – Logische regels – Stellingen – Constructies – Bewijzen
Wij richten ons in deze module vooral op de constructies. Daarin mag alleen gebruik worden
gemaakt van een passer en liniaal volgens de spelregels PL1 t/m PL6.
Passer
Met de passer mag je bovendien nog een geconstrueerd lijnstuk opmeten en ergens anders
een cirkel met deze straal maken.
Liniaal
De liniaal heeft geen streepjes, en je mag er niet mee schuiven om bijvoorbeeld raaklijnen te
vinden.
Eerder gemaakte constructies dienen als bouwstenen voor nieuwe constructies, bijvoorbeeld
de veel gebruikte basisconstructies B1 t/m B6.
Spelregels voor constructie met passer en liniaal
PL1.
PL2.
PL3.
PL4.
PL5.
PL6.
Basisconstructies
Lijn door twee gegeven punten.
Cirkel met gegeven middelpunt en randpunt.
Willekeurig punt in het vlak
Snijpunt van twee lijnen.
Snijpunt(en) van lijn en cirkel.
Snijpunt(en) van twee cirkels.
B1
B2
B3
B4
B5
B6
Midden van lijnstuk.
Loodlijn op lijn door punt dat niet op lijn ligt.
Loodlijn op lijn door punt dat wel op lijn ligt.
Middelloodlijn van lijnstuk.
Lijn door punt evenwijdig aan gegeven lijn.
Bissectrice van twee gegeven lijnen.
Een paar beroemde constructieproblemen bleven eeuwen lang onopgelost:
Kwadratuur van de cirkel:
Kun je een vierkant construeren met dezelfde oppervlakte als
een cirkel met straal 1?
Driedeling van een hoek:
Kun je een willekeurige hoek met behulp van een constructie
in drieën delen?
Regelmatige veelhoeken:
Het Delische probleem:
(verdubbeling van een kubus)
Kun je iedere regelmatige veelhoek construeren?
Als een kubus met zijden van lengte 1 gegeven is, kun je dan
een kubus construeren met twee keer zo groot volume?
Een aantal constructies bleken uitvoerbaar met passer en liniaal, bijvoorbeeld:
•
•
•
•
•
De raaklijn aan een cirkel door een punt.
Een vierkant met opp. twee keer zo groot als dat van een gegeven vierkant.
Een vierkant met dezelfde opp. als een driehoek, rechthoek of regelmatige veelhoek.
Het verdelen van een lijnstuk in n gelijke stukken
Een regelmatige driehoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek, achthoek, twaalfhoek.
23
HOOFDSTUK 2
Van tekenen naar rekenen
Tant que l’Algèbre et la Géométrie ont été séparées, leurs progrès ont été lents et leurs usages bornés;
mais lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêtées des forces mutuelles et ont marché
ensemble d’un pas rapide vers la perfection–Lagrange
Zolang algebra en meetkunde gescheiden waren was hun voortgang traag en hun
bruikbaarheid beperkt; maar toen deze wetenschappen bij elkaar gebracht
werden hebben ze elkaar versterkt en zijn ze gezamenlijk met snelle tred
naar de perfectie gemarcheerd–Lagrange
In dit hoofdstuk voeren we coördinaten in en leggen we het verband tussen meetkunde en
algebra – van tekenen naar rekenen. Een punt (x, y) in het vlak wordt vastgelegd twee
getallen x, y en andersom. Met die getallen kunnen we berekeningen doen om uiteindelijk
terug te komen bij de meetkunde en een uitspraak te doen over het punt (x, y):
Meetkunde
coördinaten
! Algebra
berekeningen
! Algebra
coördinaten
! Meetkunde
We bouwen een meetkundige rekenmachine om te laten zien dat we meetkundig kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken.
We onderzoeken de coördinaten van snijpunten van lijnen en cirkels om te bewijzen dat we
met de meetkundige rekenmachine niets anders kunnen dan de bovengenoemde bewerkingen.
Ten slotte wordt als voorbeeld het Delische probleem (verdubbeling van de kubus) vertaald
van meetkunde naar algebra en daarmee losgemaakt van de meetkundige context.
2.1. Zijn lengtes van lijnstukken getallen?
De tegenstelling tussen de opvattingen van de Grieken en onze moderne kijk op getallen komt
mooi tot uitdrukking als het citaat hierboven van de Fransman Lagrange wordt vergeleken met
een uitspraak1 van Aristoteles, een leerling van Plato:
OŒk ära Ístin ‚x ällou gËnouc metabànta de� ixai, o�…on t‰ gewmetrik‰n Çrithmhtik�˘ – >AristotËlhc
Het is dus niet toegestaan tijdens een bewijs van de ene op de andere soort
[wiskunde] over te gaan, zoals bijvoorbeeld van meetkunde naar arithmetiek –
Aristoteles
De Grieken hebben geworsteld met de vraag of lengtes van lijnstukken wel of niet kunnen
worden opgevat als “gewone” getallen. Eén van de eersten die zich hiermee bezighielden was
Pythagoras. Hij is natuurlijk bekend van de naar hem genoemde stelling, maar ook voor zijn
werk in de muziekleer en harmonie van klanken. Op basis van die muziekleer definieerde hij
“gewone” getallen als verhoudingen (breuken) vanpalle natuurlijke getallen. Tijdens het doen
van meetkundige constructies vroeg hij zich af of 2 – de lengte van een diagonaal van een
eenheidsvierkant – wel of geen breuk is.
1Aristoteles, Analytica posteriora, Boek 1 deel 7. Het Griekse alfabet staat in figuur 1.
25
Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen
F����� �. Het Griekse alfabet
26a Opgave
Neem aan dat pq een oplossing is van de vergelijking x2 = 2, waarbij we deze breuk zo ver
hebben vereenvoudigd dat de natuurlijke getallen p en q geen gemeenschappelijke delers meer
hebben.
Gebruik de vergelijking x2 = 2 om te laten zien dat p even is.
26b Opgave
Schrijf p = 2r en laat vervolgens zien dat q even is.
26c Opgave
p
Leg uit dat dit in tegenspraak is met onze aannames en dat 2 dus geen breuk kan zijn.
Het kan zijn dat je even moest wennen aan het bewijs in deze opgave. Het type bewijs waarbij
je eerst aanneemt dat iets wél waar is, om vervolgens te concluderen dat het níet waar kan
zijn heet een bewijs uit het ongerijmde, zie ook appendix B.
Getallen die geen breuk zijn noemen we tegenwoordig irrationale getallen. Voor Pythagoras
was het een enorme schok dat dit soort dingen bestonden, en een reden voor de Grieken om
lengtes van lijnstukken met enig wantrouwen tegemoet te zien. Voortaan mochten lengtes niet
worden opgevat als getallen, maar als puur meetkundige objecten.
27 Opgave
p
Laat op soortgelijke wijze zien dat 3 geen breuk is.
28 Opgave p
Het getal 4 = 2 is wél een breuk. Waarom leidt de strategie van de vorige twee opgaven
niet tot een tegenspraak?
p
Als bijvoorbeeld de lengte van een zijde gelijk is aan 2, dan mag je deze lengte niet opvatten
als een getal waarmee je algebraïsche manipulaties kunt uitvoeren zoals optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen en delen voordat je hebt gecontroleerd dat deze een meetkundige betekenis
26
hebben. Voor een vergelijking als
p p
p
2 3= 6
moet dus
beginnen
worden bewezen dat lijnstukken kunnen worden geconstrueerd met
p om
p tep
p p
p
lengte p
2, p3, 6 en 2 3. Vervolgens moet worden bewezen dat vierkanten met zijde p6
en zijde 2 3 dezelfde oppervlakte 6 hebben. In onze moderne
tijd zeggen we dat x = 2
p
2
de positieve oplossing is van de vergelijking x = 2, y = 3 van y 2 = 3 en dus
p p
p
(xy)2 = x2 y 2 = 6 )
2 3 = xy = 6
De verplichte omweg via de meetkunde van de Grieken bleek erg vertragend te werken: in
de Elementen komt Euclides bij de studiep
van wortels (Boek X) bijvoorbeeld niet verder dan
p
p
de constructie van lijnstukken met lengte
m ± n.
q
p
p
p
Wij hebben tegenwoordig geen moeite met getallen zoals 2 of 1 + 1 + 5 omdat we ze
zien als oplossing van een vergelijking.
29 Opgave
Leg uit dat
q
⇣
p
p
1 + 1 + 5 voldoet aan de vergelijking x2
1
2
⌘2
1 = 5.
Een manier om grip te krijgen op zo’n getal is om het te tekenen: het is de x-coördinaat van
⇣
⌘2
2
een snijpunt van de grafiek van y = x2 1
1 met de lijn y = 5. Maar om dat te
kunnen doen heb je wel coördinaten en een assenstelsel nodig. Deze brug tussen meetkunde
en getallen werd geslagen door René Descartes in zijn geschrift La Géometrie (1637). In een
volledig leeg vlak bestaat geen voorkeursrichting, en er is ook geen natuurlijke afstandsmaat.
Maar zodra twee punten zijn gegeven is het mogelijk om een x-as te definiëren en de afstand
tussen de twee punten gelijk te stellen aan 1. Dit levert de punten (0, 0) en (1, 0). Het idee
van Descartes was om dit te doen, en ook een y-as te definiëren loodrecht op de x-as. Het
resultaat is een naar hem genoemd Cartesisch assenstelsel.
In een plat vlak dat is uitgerust met een Cartesisch assenstelsel kun je elk punt coderen
door middel van zijn coördinaten: een getallenpaar (x, y) waarbij x het aantal stappen op de
x-as voorstelt en y het aantal stappen op de y-as. Het is goed om je te realiseren dat de
coördinaten alleen een punt niet vastleggen: je moet weten welk assenstelsel wordt gebruikt.
Toen twee teams van ingenieurs van NASA in 1999 met verschillende eenheden voor afstand
werkten, leidde dat bijvoorbeeld tot het verbranden van de Mars Climate Orbiter in de dampkring van Mars, een catastrophe van 125 miljoen dollar2.
2.2. Wat zijn getallen?
p
De Grieken vonden dat 2 geen getal is waar gewoon mee gerekend mag worden, tegenwoordig vinden we van wel. Reden om het begrip “getal” wat beter te bekijken.
Natuurlijke getallen
De natuurlijke getallen N zijn alle positieve gehele getallen
N = {1, 2, 3, . . . }
Dit zijn de eenvoudigste soort getallen, ze heten niet voor niets natuurlijk. Binnen de natuurlijke getallen kun je naar hartelust optellen en vermenigvuldigen: de som en het produkt
van elk tweetal natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal. We zeggen ook wel dat N
2Bron: http://edition.cnn.com/TECH/space/9909/30/mars.metric.02/
27
Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen
gesloten is onder optelling en vermenigvuldiging. Bovendien voldoen deze operaties aan een
aantal wetten:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
a+b=b+a
a⇥b=b⇥a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a ⇥ b) ⇥ c = a ⇥ (b ⇥ c)
a ⇥ (b + c) = a ⇥ b + a ⇥ c
Geslotenheid onder aftrekken: gehele getallen
Maar hoe zit het dan met de omgekeerde operatie van optellen, namelijk aftrekken? Uiteraard
is 5 3 weer een natuurlijk getal, maar 3 5 niet. We kunnen de natuurlijke getallen uitbreiden
naar de verzameling Z van gehele getallen
Z = {. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Deze verzameling bevat het getal 0 en is wél gesloten onder aftrekken. De rekenregels
moeten daarom worden uitgebreid, bijvoorbeeld met de bekende regel dat het produkt van
twee negatieve getallen positief is. We gaan hier verder niet op in3.
De Grieken kenden geen negatieve getallen, en ook het getal 0 was hen vreemd. Hoewel
wij inmiddels vertrouwd zijn geraakt met negatieve getallen is het toch goed om hier nog
even stil te staan bij deze doorbraak. We hebben ons getalbegrip uitgebreid en een nieuw
concept omarmd (negatieve getallen) door de focus te leggen op de rekenregels waaraan deze
getallen moeten voldoen. De verzameling Z is gesloten onder zowel optellen als aftrekken en
de symmetrie tussen optellen en aftrekken is weer hersteld.
Geslotenheid onder delen: breuken
De natuurlijke en de gehele getallen zijn ook gesloten onder een andere elementaire operatie,
namelijk de vermenigvuldiging. Maar hoe zit het met de omgekeerde operatie: delen? Uiteraard is 6/3 weer een geheel getal, maar 5/3 is een breuk. Weer kunnen we onze verzameling
getallen uitbreiden en er alle mogelijke breuken bij stoppen. Deze voldoen aan de gebruikelijke rekenregels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen die je kent. We krijgen
dan de verzameling van rationale getallen Q, waarbij we de volgende afspraken maken:
• We delen niet door 0.
m
• Als teller en noemer beide negatief zijn, dan laten we de mintekens weg: m
n = n.
• Als teller óf noemer negatief is, dan zetten we het minteken bij de teller. De noemer
is dus altijd een natuurlijk getal.
5
• Een breuk zoals 3·5
3·7 vereenvoudigen we altijd tot 7 , dus we zorgen ervoor dat teller
en noemer geen gemeenschappelijke delers meer hebben.
Uiteraard moeten de rekenregels weer worden uitgebreid met de nieuwe operatie ÷, we gaan
hier verder niet uitvoerig op in. Maar als we dan toch aan het uitbreiden zijn, waarom stoppen
we getallen van de vorm p0 ook niet in Q? Met de gebruikelijke rekenregels zou dit leiden tot
de volgende vreemde situatie:
0
0+0
0 0
1= =
= + =1+1=2
0
0
0 0
3Als je hier meer over wilt weten raad ik het artikel “Min maal min is plus” aan van Frits Beukers in de
Euclides jaargang 81 nr. 4, online beschikbaar via www.nvvw.nl/media/files/euclides/81-4.pdf
28
Om de gewone rekenregels te kunnen behouden staan we dit dus niet toe: delen door nul is
flauwekul.
We hebben de natuurlijke getallen N (gesloten onder optelling en vermenigvuldiging) uitgebreid tot Z (ook nog gesloten onder aftrekken) en tot Q (ook nog gesloten onder deling):
n
o
N ⇢ Z ⇢ Q = pq | p 2 Z, q 2 N
Korte uitleg bij de notatie:
A⇢B
a2A
|
betekent dat de verzameling A een deelverzameling is van B
betekent dat a een element is van de verzameling A
betekent “waarvoor geldt”
De notatie voor Q betekent dus “de verzameling van alle getallen
geheel getal is en q een natuurlijk getal”.
p
q
waarvoor geldt dat p een
Lichamen
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn elementaire operaties op getallen. Verzamelingen die gesloten zijn onder deze operaties krijgen een aparte naam: we noemen dit
lichamen.
Definitie 1. Een lichaam L is een verzameling getallen die 0 en 1 bevat en gesloten is onder
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met de gebruikelijke rekenregels.
30 Opgave
Bewijs dat Q, de verzameling van breuken, een lichaam is. Je mag daarbij gebruik maken van
de normale rekenregels voor breuken en het feit dat Z gesloten is onder optellen, aftrekken
en vermenigvuldigen.
De gebruikelijke manier om verder te gaan met het getalsbegrip is om te kijken naar de reële
getallen, maar dat hebben we in deze Module niet nodig. In plaats daarvan breiden we de
verzameling van rationale getallen uit naar de verzameling van construeerbare getallen. Dit
blijkt ook een lichaam te zijn zodat we lengtes van construeerbare lijnstukken naar hartelust
mogen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
2.3. De meetkundige rekenmachine
In deze paragraafplaten we zien dat de Grieken ten onrechte dachten dat je lengtes van
lijnstukken (zoals 2) niet zomaar kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Met
behulp van het computerprogramma Geogebra bouwen we een meetkundige rekenmachine die
deze operaties uit kan voeren. Nou kunnen lengtes van lijnstukken niet negatief worden, en
daarom hebben we het liever over de coördinaten van construeerbare punten. Als een lijnstuk
met lengte a kan worden geconstrueerd, kunnen we via de constructie uit opgave 3 dit lijnstuk
verplaatsen naar de oorsprong en ook de punten met coördinaten ( a, 0), (a, 0), (0, a) en
(0, a) construeren.
Definitie 2. Als startverzameling nemen we de punten (0, 0) en (1, 0). De verzameling van
coördinaten van construeerbare punten noemen we K.
29
Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen
Optellen in K
Als a, b 2 K dan zijn (a, 0) en (0, b) construeerbaar. Via de constructie uit opgave 3 kunnen we
een cirkel met middelpunt (a, 0) en straal |b| snijden met de x-as. Eén van de twee snijpunten
is het punt (a + b, 0). Daarom weten we dat a + b 2 K.
Aftrekken in K
In de laatste stap van de constructie hierboven krijg je twee snijpunten, het andere punt is
(a b, 0). Daarom weten we dat a b 2 K.
Vermenigvuldigen in K
Als a, b 2 K dan zijn (a, 0) en (0, b) construeerbaar. Via evenwijdige lijnen (B5) is het punt
(0, ab) construeerbaar, zie figuur 2. Het bewijs loopt via gelijkvormige driehoeken. Daarom
weten we dat c = ab 2 K.
F����� �. Constructie van ab en
a
b
(links) en
p
a (rechts).
Delen in K
Delen het omgekeerde van vermenigvuldigen, ook meetkundig gezien: we gebruiken dezelfde
figuur 2 in de omgekeerde volgorde. Als a, c 2 K dan zijn (a, 0) en (0, c) construeerbaar. Via
evenwijdige lijnen (B5) is het punt (0, b) construeerbaar, waarbij b = ac . Daarom weten we
dat b = ac 2 K.
Worteltrekken in K
Het is te verwachten dat onze meetkundige rekenmachine meer kan dan allleen +, .⇥, ÷.
Het is immerspvrij eenvoudig om de diagonaal van een eenheidsvierkant te construeren en deze
heeft lengte 2. Kunnen we misschien elke wortel van een construeerbaar getal construeren?
31 Opgave
Stel dat p
a 2 K, dus (a, 0) is construeerbaar. Construeer een cirkel zoals in figuur 2. Bewijs
dat (0, ± pa) de snijpunten zijn van de cirkel met de y-as. De conclusie is dat voor alle a 2 K
geldt dat a 2 K.
Hint: gebruik bijvoorbeeld de stelling van Thales en drie keer de stelling van Pythagoras.
Conclusie: de verzameling K van coördinaten van construeerbare punten is een lichaam dat
gesloten is onder worteltrekken.
We hebben nu in theorie een meetkundige rekenmachine gebouwd voor construeerbare cop
ördinaten met de volgende knoppen: +, , ⇥, ÷, die we in de volgende paragraaf in de
praktijk zullen brengen.
30
Intermezzo: spiralen
Theodorus, een wiskundige leermeester van Plato, gebruikte de onderstaande spiraal om
wortels van natuurlijke getallen te construeren. Deze spiraal van Theodorus heeft enkele
bijzondere eigenschappen, bijvoorbeeld dat lijnen vanuit de
p oorsprong nooit exact over elkaar
heen lopen, ook niet als je doorgaat met construeren na 17.
Een andere beroemde spiraal is de logarithmische spiraal: de enige soort spiraal die er
hetzelfde uitziet na herschaling. De spiraal bijvoorbeeld drie keer zo groot maken is hetzelfde
als een draaiing om een bepaalde hoek, die afhangt van de precieze spiraal. Voorbeelden
van deze spiralen zijn de schelp van een nautilus (schaaldier) en een lagedruksysteem.
31
Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen
Constructieproblemen vertaald naar algebra
Elk constructieprobleem kan nu worden vertaald naar algebra: een punt is construeerbaar
precies wanneer zijn coördinaten in de getallenverzameling K zitten.
32a Opgave
Leg uit dat het getal
32b Opgave
Leg uit dat het getal
2⇡
1
cos
=
17
16
1+
q
p
1+
p
p
1 + 5 uit opgave 29 construeerbaar is.
q
17 + 34
p
2 17 + 2
r
p
17 + 3 17
q
34
!
q
p
2 34 + 2 17
p
2 17
construeerbaar is. Dit is de x-coördinaat van een punt van de regelmatige zeventienhoek, die
we in de volgende paragraaf met behulp van het programma Geogebra gaan construeren.
De beroemde constructieproblemen kunnen als volgt worden vertaald naar algebra:
Beroemd
probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel).
p
Zit ⇡ in het lichaam van construeerbare coördinaten K?
Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken).
Van welke regelmatige veelhoeken zitten de coördinaten van de hoekpunten4 in het lichaam
van construeerbare coördinaten K?
Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek).
Laat ✓ een construeerbare hoek zijn. Zitten de coördinaten cos
van construeerbare coördinaten K?
✓
3
en sin
✓
3
Beroemd
probleem 4 (Het Delische probleem – verdubbeling van een kubus).
p
3
Zit 2 in het lichaam van construeerbare coördinaten K?
in het lichaam
2.4. Geogebra
Het computerprogramma Geogebra is een veelzijdig en gratis programma waar je wiskunde
mee kunt doen en eenvoudig tekeningen en applets mee kunt maken. Met name de meetkundige
mogelijkheden van het programma sluiten goed aan bij het onderwerp van deze Module: het
construeren met passer en liniaal. Er zijn knoppen voor ieder van de spelregels PL1 t/m
PL6 en de basisconstructies B1 t/m B6 uit het vorige hoofdstuk. Bovendien is interactief:
als je eenmaal een meetkundige constructie hebt gemaakt kun je met punten slepen om te
onderzoeken wat de gevolgen zijn.
Hebben we een bepaalde constructie eenmaal uitgevoerd en begrepen, dan kan deze dienen
als bouwsteen in volgende constructies. In de Elementen gebruikt Euclides dit principe heel
strikt: dit boek is een bouwwerk, waarbij eerder bewezen stellingen worden ingezet om nieuwe
stellingen te bewijzen. Als iets bewezen is, dan is dat voor de eeuwigheid en Euclides bewijst
dan ook nooit twee keer hetzelfde. Ook in Geogebra kun je dit idee mooi uitvoeren: naast de
voorgeprogrammeerde basisconstructies kun je als gebruiker ook je eigen knoppen maken via
de zogenaamde Macro’s.
Via uitgedeelde werkbladen en een computerpracticum maak je kennis met (de meetkundige
kant van) Geogebra en werken we samen aan nieuwe knoppen voor een meetkundige rekenmachine.
4De scherpe lezer zal opmerken dat het eigenlijk gaat om de hoek 2⇡ die construeerbaar moet zijn. De exacte
n
positie van de hoekpunten hangt immers af van de afstand van de hoekpunten tot het middelpunt van de veelhoek.
Toch blijkt dit voor de construeerbaarheid uiteindelijk niet uit te maken.
32
Geogebra werkblad: de meetkundige rekenmachine
Ga naar de volgende website en download de webstart versie van het programma geogebra
http://www.geogebra.org/cms/nl/download
Je ziet twee vensters: links het algebra venster waarin de namen en eigenschappen van
getekende objecten staan en rechts het tekenvenster. Bovenin staat een knoppenbalk met
daarin de meetkundige gereedschappen gesorteerd op type: punten, lijnen, veelhoeken, cirkels
en transformaties.
Onder elk icoontje zijn weer andere tools te vinden van hetzelfde type via het kleine driehoekje.
Dit zijn alle tools:
Icoon nummer 5 is bijvoorbeeld het snijpunt van twee objecten, nummer 8 de middelloodlijn
van een lijnstuk enzovoorts. Zodra je een knop hebt geselecteerd kun je naast de knoppenbalk
lezen wat voor input Geogebra van je verwacht.
Opdracht 1: de omgeschreven cirkel van een driehoek
1
In deze Geogebra-opdracht maak je een nieuwe Macro – een nieuw stuk gereedschap in
Geogebra – en onderzoek je eigenschappen van de omgeschreven cirkel van een driehoek.
Geogebra opdracht
Teken een driehoek 4ABC met behulp van het icoontje
middelloodlijnen de omgeschreven cirkel van 4ABC.
. Construeer met behulp van
Geogebra werkt met onafhankelijke en afhankelijke objecten. In de constructie die je zojuist
hebt gemaakt zijn de hoekpunten van de driehoek onafhankelijk – je kunt ze verplaatsen door
met het pijltjesicoon erop te klikken – en de andere objecten zijn afhankelijk: ze veranderen
automatisch mee.
33
Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen
2
Geogebra opdracht
Sleep met de hoekpunten van de driehoek. Voor welke bijzondere driehoeken ligt het middelpunt van de omgeschreven cirkel op één van de zijden? En waar op de zijde kan dit middelpunt
liggen?
De knoppen van geogebra zijn natuurlijk handig, maar soms niet voldoende: als je een bepaalde basisconstructie vaak moet uitvoeren is het prettig om zelf een nieuwe knop te kunnen
toevoegen.
3
Geogebra opdracht
Maak via het menu “Macro’s” een nieuwe Macro aan, die als beginobject de drie hoekpunten
van de driehoek heeft en als eindobject de omgeschreven cirkel. Geef de nieuwe knop een
naam, begin weer met een schoon geogebra-blad en probeer hem eens uit!
4
Geogebra opdracht
Wat gebeurt er met de omgeschreven cirkel als de drie punten (bijna) op één lijn liggen?
Inleveropdracht: de meetkundige rekenmachine
5
Teken op een willekeurige plek een lijnstuk, waarvan we de eindpunten A en B lengte de
lengte a noemen. In het algebra venster aan de linkerkant zie je deze punten en het lijnstuk
als het goed is verschijnen. Teken daaronder een kleiner lijnstuk met eindpunten C en D en
lengte b. Teken daaronder een nieuw punt P .
Geogebra opdracht
Construeer het punt (a, 0) en het punt (0, b). Om de lijnstukken naar de oorsprong te ver-
plaatsen kan het icoontje
handig zijn.
Gebruik vervolgens de constructie van paragraaf 2.3 om een lijnstuk met lengte a + b te construeren.
Gebruik ten slotte het icoontje
. Klik op het punt P en kijk in het Algebra venster aan de
linkerkant zien hoe het lijnstuk met lengte a + b heet. Die naam typ je in. Het resultaat is
als het goed is een lijnstuk met lengte a + b en punt P als één van de eindpunten.
De oorsprong heeft nu waarschijnlijk een naam gekregen, zeg punt E. Ga naar het Algebra
venster en vervang nu eerst in alle definities waar het punt E in voorkomt deze door (0, 0).
Dus Segment[E,F] wordt Segment[(0,0),F] etcetera.
Maak een nieuwe macro (knop) in geogebra met als input de punten A, B, C, D, P en als
output het lijnstuk met lengte a + b en eindpunt P (haal de coördinaatassen weg bij de input).
Je kunt in het menu Macro’s beheren en opslaan als klein bestandje met extensie .ggt. Deze
bestanden zetten we neer op een centrale plek zodat we ze kunnen uitwisselen.
34
6
7
8
9
Geogebra opdracht
Doe hetzelfde als in de vorige opdracht, maar nu voor een lijnstuk met lengte a
dat je in het begin a > b had gekozen..
b. Let op
Geogebra opdracht
Doe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte ab. Gebruik
de bijbehorende constructie uit paragraaf 2.3.
Geogebra opdracht
Doe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte ab . Gebruik
de bijbehorende constructie uit paragraaf 2.3.
Geogebra opdracht
p
Doe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte a. Gebruik
de bijbehorende constructie uit paragraaf 2.3.
Als het goed is hebben we nu een aantal macrobestanden waarmee we de operaties +, , ⇥, ÷,
meetkundig kunnen uitvoeren.
p
De eerste wiskundige die na de Grieken een nieuwe regelmatige veelhoek construeerde was
Karl Friedrich Gauss. Toen hij in 1799 achttien jaar oud was gebruikte hij complexe getallen
en algebra om te bewijzen dat
r
!
q
q
q
p
p
p
p
p
2⇡
1
cos
=
1 + 17 + 34 2 17 + 2 17 + 3 17
34 2 17 2 34 + 2 17
17
16
10
Geogebra opdracht (Eindopdracht)
Leg uit waarom de regelmatige 17-hoek construeerbaar is met passer en liniaal. Construeer
met behulp van de macro’s in geogebra een regelmatige 17-hoek en treed in de voetsporen
van Gauss.
35
Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen
Samenvatting H2
Door het invoeren van een assenstelsel konden we praten over de verzameling van coördinaten
van construeerbare punten K. Dit is een verzameling van getallen, waardoor constructieproblemen kunnen worden vertaald naar algebra.
We hebben op een nieuwe manier naar getallen gekeken: het zijn verzamelingen die gesloten
onder operaties zoals +, , ⇥, ÷ met de gebruikelijke rekenregels. Een verzameling die 0 en
1 bevat en gesloten is onder al deze operaties heet een lichaam. De verzameling K bleek een
lichaam te zijn dat ook nog eens gesloten is onder worteltrekken. In het volgende hoofdstuk
bewijzen we dat K het kleinste lichaam is met deze eigenschap.
p
operaties
+⇥ + ⇥ + ⇥÷ + ⇥ ÷
gesloten onder operaties N
Z
Q
K
We hebben in geogebra een meetkundige rekenmachine gemaakt waarmee de operaties +
p
⇥ ÷ kunnen worden uitgevoerd. Rond het jaar 1800 ontdekte Gauss via algebra dat één
van de punten van een regelmatige zeventienhoek als x-coördinaat heeft
r
!
q
q
q
p
p
p
p
p
2⇡
1
cos
=
1 + 17 + 34 2 17 + 2 17 + 3 17
34 2 17 2 34 + 2 17
17
16
Met deze informatie en de meetkundige rekenmachine hebben we in navolging van Gauss een
regelmatige zeventienhoek geconstrueerd.
De beroemde constructieproblemen kunnen als volgt worden vertaald naar algebra:
Beroemd
probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel).
p
Zit ⇡ in het lichaam van construeerbare coördinaten K?
Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken).
Van welke regelmatige veelhoeken zitten de coördinaten van de hoekpunten in het lichaam
van construeerbare coördinaten K?
Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek).
Laat ✓ een construeerbare hoek zijn. Zitten de coördinaten cos
van construeerbare coördinaten K?
✓
3
en sin
✓
3
Beroemd
probleem 4 (Het Delische probleem – verdubbeling van een kubus).
p
Zit 3 2 in het lichaam van construeerbare coördinaten K?
36
in het lichaam
HOOFDSTUK 3
Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk – Leopold Kronecker
Onze Lieve Heer heeft de gehele getallen gemaakt, de rest is mensenwerk
Uit het vorige hoofdstuk weten we dat de verzameling construeerbare coördinaten is een
lichaam dat gesloten is onder worteltrekken: we kunnen met passer en liniaal coördinaten
van punten optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. Om te onderzoeken
welke coördinaten van punten wel en niet construeerbaar zijn is het belangrijk om zeker te
weten dat dit ook alle bewerkingen zijn die we kunnen doen. Via berekeningen van snijpunten
van lijnen en cirkels komen we erachter dat dit inderdaad zo is.
Iedere geconstrueerde coördinaat is daarom opgebouwd uit breuken en tweedemachtswortels.
Via de theorie van lichaamsuitbreidingen bekijken we wat de gevolgen hiervan zijn voor de
beroemde Griekse constructieproblemen.
3.1. Snijpunten van lijnen en cirkels
Omdat passer-en-liniaal constructies alleen gaan over punten, lijnen en cirkels zullen we in dit
hoofdstuk vooral lijnen, cirkels en hun snijpunten nader bekijken. Bij origami spelen parabolen
en hun raaklijnen een belangrijke rol, daarover dus meer in het tweede deel van deze module.
3.1.1. Snijpunten van algebraïsche krommen
Bij elke vergelijking in twee variabelen x, y hoort een kromme in het xy-vlak. Bekende
voorbeelden zijn de lijn gegeven door de vergelijking y = x en de cirkel gegeven door de
vergelijking x2 + y 2 = 1. In het programma Geogebra kun je hiermee experimenteren.
Eerst voeren we wat terminologie in. Een term in twee variabelen x, y is een uitdrukking van
de vorm cxm y n met c een constante en m, n natuurlijke getallen, bijvoorbeeld xy 2 of 3x4 y 11 .
Een veelterm of polynoom (poly = veel) is een combinatie van termen, bijvoorbeeld
p(x, y) = 3x3 y 2 11xy 4 + 2x2 23y 2 + |{z}
512
|
{z
}
| {z }
termen van graad 5
termen van graad 2
graad 0
Een algebraïsche kromme wordt gegeven door een vergelijking van het type p(x, y) = 0 met
p(x, y) een veelterm. De graad van een veelterm wordt gegeven door het maximum van m + n
voor alle termen cxm y n . De veelterm p(x, y) hierboven heeft dus graad 5 omdat m + n de
waarden 5, 2 en 0 kan aannemen. Er zijn twee termen van graad 5, twee termen van graad 2
en één term van graad 0. Met sommige krommen ben je al vertrouwd, zeker als de graad laag
is:
• Een kromme van graad 1 is altijd een lijn.
• Een voorbeeld van een kromme van graad 2 is een cirkel.
37
Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal
In de volgende opgave onderzoek je alle mogelijke krommen van graad 2.
33 Opgave
Maak zes schuifknoppen
aan in geogebra met de namen a, b, c, d, e, f en waarden lopend van 5 tot 5 (dit zijn de standaardinstellingen van geogebra, je hoeft dus alleen zes
schuifknoppen aan te maken). Typ bij de invoer onder in het scherm de vergelijking
a ⇤ x2 + b ⇤ y 2 + c ⇤ x ⇤ y + d ⇤ x + e ⇤ y + f = 0
Vergeet hierbij niet de vermenigvuldigingstekens. Sleep met de schuifknoppen en beschrijf
welke soorten krommen je allemaal kunt krijgen. Gebruik bij dit onderzoek ook de kennis die
je al hebt: verwacht je lijnen? En parabolen?
Hoeveel snijpunten twee krommen kunnen hebben hangt af van hun graad. Twee lijnen kunnen
bijvoorbeeld nooit meer dan één snijpunt hebben en een cirkel en een lijn nooit meer dan twee.
34 Opgave
Bekijk de onderlinge snijpunten van twee krommen uit de volgende verzameling: cirkel, ellips,
parabool en hyperbool. Dus cirkel-cirkel, cirkel-ellips enzovoorts. Laat in schetsjes zien dat
er maximaal 4 snijpunten zijn, op één uitzondering na. Welk geval is dat en hoeveel snijpunten
zijn er dan maximaal?
De uitzondering heeft grote gevolgen voor de passer-en-liniaal problemen, zie ook opgaven
42 en 43.
Intermezzo: de stelling van Bézout
De Stelling van Bézout zegt dat twee algebraïsche krommen van graad m en n maximaal mn
snijpunten hebben. Deze stelling is voor het eerst opgeschreven door Newton in lemma 28
van zijn Principia Mathematica zonder bewijs. In 1779 deed Étienne Bézout een poging deze
stelling te bewijzen in zijn Théorie générale des équations algébriques. Een verbeterde versie
van de stelling (bekend bij Newton en Bézout) houdt rekening met complexe oplossingen
en multipliciteit van snijpunten, waardoor de algebraïsche krommen precies mn snijpunten
hebben. De stelling wordt fraai geïllustreerd door de derdegraadskromme y = 5x3 5x en
de vijfdegraadskromme x = 2y 5 7y 3 + 5y die samen 15 snijpunten hebben.
Isaac Newton
(1642-1727)
Étienne Bézout
(1730-1783)
3.1.2. Vergelijking van een lijn
Na het invoeren van een assenstelsel ben je gewend om een lijn te schrijven als y = ax + b.
Anderzijds moet er precies één lijn gaan door twee punten, dus ook door de punten (0, 0) en
(0, 1) en de vergelijking x = 0 voor deze lijn is niet van de vorm y = ax + b. Het is daarom
beter om voor de meest algemene uitdrukking voor een lijn de meest algemene uitdrukking
voor een algebraïsche veelterm van graad 1 te gebruiken: ax + by = c.
38
35 Opgave
Bekijk de lijn gegeven door de vergelijking 3x + 2y = 5. Laat zien dat deze lijn door de punten
(1, 1) en (3, 2) gaat.
36a Opgave
De twee punten P = (x1 , y1 ) en Q = (x2 , y2 ) zijn gegeven. Bekijk de vergelijking
(x2
x1 )(y
y1 ) = (y2
y1 )(x
x1 )
Werk de haakjes weg en laat zien dat dit een vergelijking is van de vorm ax + by = c. Druk
a, b en c uit in x1 , x2 , y1 , y2 .
De verzameling van punten (x, y) die voldoen aan bovenstaande vergelijking vormen dus samen
een lijn.
36b Opgave
Laat zien dat zowel het punt P als het punt Q op deze lijn ligt.
36c Opgave
Wat is de richtingscoëfficiënt van de lijn door P en Q?
De algemene vergelijking voor een lijn is
ax + by = c
De algemene vergelijking voor een lijn door twee punten P = (x1 , y1 ) en Q = (x2 , y2 ) is
(x2
x1 )(y
y1 ) = (y2
y1 )(x
x1 )
37 Opgave
Gebruik de formule voor de lijn door twee punten om een vergelijking op te stellen voor de
lijn die door (1, 1) en (3, 2) gaat. Kijk nu nog eens naar opgave 35.
3.1.3. Vergelijking van een cirkel
Bekijk twee punten O, P in het vlak en de cirkel met middelpunt O en straal r = |OP |. We
kiezen coördinaten zodat O de oorsprong (0, 0) is en P het punt (r, 0). De cirkel bestaat uit
alle punten (x, y) met afstand r tot de oorpsrong, en vanwege de stelling van Pythagoras zijn
dit de punten die voldoen aan de vergelijking x2 + y 2 = r2 .
We kiezen nu een ander assenstelsel zodat O niet langer de oorsprong is maar het punt
(x1 , y1 ). De algemene vergelijking voor een cirkel met middelpunt (x1 , y1 ) en straal r is
(x
x1 )2 + (y
y1 ) 2 = r 2
Hierin kunnen we nog de haakjes uitwerken.
De algemene vergelijking van een cirkel is
x2 + y 2 + dx + ey + f = 0
Als we dit vergelijken met de algemene tweedegraads kromme
ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0
dan zien we dus dat a = b = 1 en c = 0.
39
Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal
3.1.4. Snijpunten van twee lijnen
Twee lijnen hebben, als ze niet samenvallen, hooguit 1 snijpunt. Dit zie je in een plaatje en
het klopt met de stelling van Bézout. Om het snijpunt van twee lijnen te vinden heb je geleerd
om een stelsel vergelijkingen op te lossen. Dit kan bijvoorbeeld door substitutie of eliminatie,
zie het kader “Het oplossen van stelsels”.
38a Opgave
Bereken het snijpunt van de lijnen met vergelijking 3x + 6y = 2 en
x + 4y = 7.
38b Opgave
Bereken het snijpunt van de lijnen met vergelijking 3x + 6y = 2 en x + 2y = 3.
Wat is hier meetkundig aan de hand?
38c Opgave
Bereken het snijpunt van de lijnen met vergelijking 3x + 6y = 2 en x + 2y = 23 .
Wat is hier meetkundig aan de hand?
39a Opgave
Bereken het snijpunt van de lijnen met vergelijking a1 x + b1 y = c1 en a2 x + b2 y = c2 .
39b Opgave
Hoeveel snijpunten zijn er als a1 b2 = b1 a2 en c1 a2 6= a1 c2 ?
Wat betekent dit meetkundig? (zie opgave 38 b)
39c Opgave
Hoeveel snijpunten zijn er als a1 b2 = b1 a2 en c1 a2 = a1 c2 ?
Wat betekent dit meetkundig? (zie opgave 38 c)
Het oplossen van stelsels
We bekijken twee methoden voor het oplossen van het stelsel
n
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
Substitutie
Eliminatie
Eerst wordt één van de vergelijkingen zo Het idee is om de vergelijkingen op een gegeschreven dat een variabele kan worden schikte manier van elkaar af te trekken of bij
uitgedrukt in de andere. Bijvoorbeeld:
elkaar op te trekken zodat één van de variabelen wordt weggewerkt (geëlimineerd).
x = 2 2y
Daarom vermenigvuldingen we de hele boInvullen in 2x + 3y = 3 geeft
venste vergelijking met 2:
n
2(2 2y) + 3y = 3
2x + 4y = 4
2x + 3y = 3
dus
y=1
Van elkaar aftrekken geeft
Dit invullen (substitueren) in de oorsprony=1
kelijke vergelijkingen geeft
Dit invullen (substitueren) in de oorspronx=0
kelijke vergelijkingen geeft
x=0
40
Als de lijnen gegeven door a1 x + b1 y = c1 en a2 x + b2 y = c2 niet samenvallen of evenwijdig
zijn, dan wordt het snijpunt gegeven door
✓
◆
c 2 b1 b 2 c 1 a 2 c 1 c 2 a 1
(1)
(x, y) =
,
a 2 b1 b2 a 1 a 2 b1 b2 a 1
Belangrijk om te onthouden is dat er in de coördinaten van de snijpunten alleen breuken te
zien zijn en niet bijvoorbeeld tweedemachtswortels.
3.1.5. Snijpunten van een lijn en een cirkel
Om het snijpunt van een lijn en een cirkel te vinden kun je weer een stelsel vergelijkingen op
te lossen.
40a Opgave
Teken de lijn
x + y = 0 en de cirkel x2 + y 2 = 1. Hoeveel snijpunten zie je?
40b Opgave
Bereken deze snijpunten algebraïsch door het stelsel
n
x+y =0
x2 + y 2 = 1
op te lossen.
41a Opgave
Teken de lijn
x + y = 4 en de cirkel x2 + y 2 = 1. Hoeveel snijpunten zie je?
41b Opgave
Probeer het stelsel
n
x+y =4
+ y2 = 1
op te lossen. Hoeveel oplossingen zijn er en waarom?
x2
We beschrijven nu een manier om de snijpunten te vinden van een algemene lijn
k:
ax + by = c
met een algemene cirkel
C : x2 + y 2 + dx + ey + f = 0
Als de lijn niet verticaal is (dus b 6= 0) dan kunnen we
y=
substitueren in C. We krijgen dan
(2)
x2 +
a
bx
+
c 2
b
a
bx
+
+ dx + e
c
b
a
bx
+
c
b
+f =0
Dit is een tweedegraads vergelijking voor x en we kunnen dus in principe de abc-formule
gebruiken om de snijpunten te vinden. Dat wordt echter een grote formule-brij die we een
beetje overzichtelijk willen houden. We schrijven de vergelijking (2) daarom als
(3)
met
Ax2 + Bx + C = 0
A=1
a2
b2
2c
b
B=d
C = ec
a +f
41
ea
b
Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal
De abc-formule geeft nu de x-coördinaten van de snijpunten
p
p
B + B 2 4AC
B
B 2 4AC
x1 =
en x2 =
2A
2A
Door deze waarden van x te substitueren in de vergelijking voor de lijn k vinden we de
bijbehorende y-waarden van de snijpunten
y1 =
a
b x1
+
c
a
en
y2 =
a
b x2
+
c
a
Het gaat ons niet om de precieze uitdrukkingen voor de coördinaten van deze snijpunten. Wat
echter opvalt is een duidelijk verschil tussen de snijpunten van een lijn met een lijn en van
een lijn met een cirkel: er komen nu wortels voor in de formules. Dit is niet zo verrassend,
aangezien we al met de meetkundige rekenmachine konden worteltrekken, zie paragraaf 2.3.
Belangrijk om te onthouden is dat er niets méér ontstaat dan breuken en wortels in de
coördinaten van de snijpunten.
3.1.6. Snijpunten van twee cirkels
We gaan nu op zoek naar de snijpunten van twee cirkels. We lossen daarom het stelsel
n 2
x + y 2 + dx + ey + f = 0
x2 + y 2 + gx + hy + i = 0
op door de vergelijkingen van elkaar af te trekken (eliminatie). We krijgen dan het nieuwe
stelsel
n 2
x + y2+
dx+
ey+
f =0
(d g)x+ (e h)y+ (f i) = 0
Maar de tweede vergelijking in dit stelsel ziet eruit als een lijn! De snijpunten van twee
cirkels liggen dus op een lijn. Dit betekent dat we dezelfde soort snijpunten krijgen als in
de vorige paragraaf en ook dezelfde soort formules voor de coördinaten van de snijpunten. Er
kunnen dus weer alleen wortels optreden in deze formules.
42 Opgave
Bereken de snijpunten van de cirkels x2 + y 2 = 1 en (x
tweedegraads vergelijking moet je uiteindelijk oplossen?
1)2 + (y
1)2 = 4. Welke
Belangrijk om te onthouden is dat er weer niets méér ontstaat dan breuken en wortels in de
coördinaten van de snijpunten.
3.1.7. Snijpunten van parabolen en het Delische probleem
Het is onmogelijk dat er bij snijpunten van twee cirkels bijvoorbeeld derdemachtswortels optreden. Dit heeft te maken met de tweedegraads vergelijking (2) die ontstaat bij het berekenen
van de snijpunten van een lijn en een cirkel: een tweedegraads vergelijking heeft maximaal
twee oplossingen.
Er kunnen wél derdemachtswortels optreden bij snijpunten van parabolen: deze hebben onderling maximaal 4 snijpunten en dit is een indicatie dat er een vierdegraads vergelijking in
het spel is.
43 Opgave
Bekijk de algemene vergelijkingen y = ax2 en x = by 2 van een staande en een liggende
parabool. Kies a en b zo, dat de x-coördinaat van één van de snijpunten voldoet aan
de
p
3
3
vergelijking x = 2, zie figuur 1. Hiermee heb je (door vals te spelen) de coördinaat 2 en
dus de verdubbeling van de kubus “geconstrueerd”. Deze constructie was al bekend bij de
Griek Menaechmus (380-320 v. chr.).
42
F����� �. De x-coördinaat van het snijpunt van twee parabolen is
p
3
2.
3.2. Lichaamsuitbreidingen
3.2.1. Historische inleiding
Sinds het werk van Descartes was het mogelijk om meetkunde te bestuderen met behulp
van vergelijkingen, algebra dus. Een grondige studie van algebra begon echter pas in de
negentiende eeuw, toen de Fransman Évariste Galois en de Noor Niels Abel onafhankelijk
van elkaar nauwkeurig bestudeerden hoe de oplossingen van een vergelijking eruit kunnen
zien. Ze deden dit werk allebei toen ze nog erg jong waren en ze kregen er tijdens hun leven
weinig erkenning voor. Galois is op 20-jarige leeftijd neergeschoten in een pistoolduel en
Abel is aan tuberculose overleden toen hij 26 was.
Aan de basis van hun onderzoek stond het begrip lichaam dat we al even zijn tegengekomen
in hoofdstuk 2. We zullen in deze module niet toekomen aan de mooie resultaten die Abel
en Galois uiteindelijk hebben behaald, maar we willen ze hier graag even noemen. Abel kon
bijvoorbeeld bewijzen dat het onmogelijk is om de oplossingen van een willekeurige vijfdegraads vergelijking op te schrijven als je alleen gebruik mag maken van optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen, delen en het trekken van (hogere machts) wortels. Er bestaat dus geen
abc-formule voor vijfdegraads vergelijkingen (wel voor derde- en vierdegraads vergelijkingen).
Alleen als de vergelijking van een heel speciaal type is bestaat er een eenvoudige uitdrukking
voor zijn oplossingen. Galois ging nog een stapje verder en beschreef heel nauwkeurig van
welke vorm een ne -graads vergelijking moet zijn als er een eenvoudige uitdrukking bestaat
voor de oplossingen. Hij verzon een algoritme waarmee je dit kunt bepalen. Deze theorie
noemen we nu Galois theorie.
Eén van de uitvinders van de theorie van lichamen was de Fransman
Évariste Galois (1811-1832). Hij was een wiskundig genie die op
school zijn andere vakken verwaarloosde en op de universiteit (École
Polytechnique) werd geweigerd. Ondertussen raakte Galois steeds
meer betrokken bij de Republikeinse politieke beweging. Of één
van zijn politieke tegenstanders of een concurrent in de liefde hem
uitdaagde voor een pistoolduel zal wel altijd onduidelijk blijven. Feit
is dat Galois op 29 mei 1832 op twintigjarige leeftijd de nacht inging
vrezend dat hij de volgende ochtend zou sterven. Hij werkte de hele
nacht koortsachtig aan zijn wiskundige ideeën en schreef ze slordig
en gehaast in een brief aan de wiskundige Chevalier. Deze brief
van nog geen tien pagina’s is een van de peilers van de moderne
algebra. De volgende dag werd hij in het duel dodelijk getroffen.
43
Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal
p
3.2.2. Het lichaam Q( 2)
p
Het getal 2 is irrationaal, maar wel het resultaat van een constructie. Het zit dus niet in het
lichaam van de breuken Q maar wel in het lichaam van construeerbare
coördinaten K. Om K
p
op te bouwen uit Q voegen we daarom eerst eens het element 2 hieraan toe. Dit is echter
nog lang niet genoeg: getallen zoals
p
p
5
p
+
2
2
3
2
3
p
1+ 2 , p
,
1
1
11
2
2 + 2 2
zijn allemaal construeerbaar en die moeten we dus ook toevoegen aan Q. Het lijkt misschien
een hopeloze zaak om alle noodzakelijke toevoegingen te beschrijven, omdat de uitdrukkingen
er nogal ingewikkeld uit kunnen gaan zien. Kijk echter nog eens naar opgave 30, waarin
ingewikkelde breuken worden vereenvoudigd naar een standaardvorm pq . Zoiets zullen we ook
nu weer proberen te doen.
Definitie 3.
p
p
Het lichaam Q( 2) is de kleinste verzameling p
die Q en 2 bevat en zelf weer een lichaam
is. Dit heet de lichaamsuitbreiding van Q met 2.
p
We willen graag beter wetenphoe de getallen in Q( 2) eruit zien. Is het wel echt nodig
om noemers te hebben waar 2 in voorkomt? Je kunt deze wegwerken met de zogenaamde
worteltruc
p
p
p
p
p
5
5
1
1
5
5
p
2
2
3 + 2 p2
3 + 2 p2
2
2 p2
6 + 2
6 2
= 1 1
· 1 1
=
= 14
3 + 3 2
1
1
1
4
2 + 2 2
2 + 2 2 2
2 2
44 Opgave
p
Werk 2 weg in de noemer van
p
7
p
1
3p2
5+3 2
We kunnen
2 in de noemers dus gerust weglaten en alleen getallen bekijken van de vorm
p
a + b 2 met a, b 2 Q. Het is niet moeilijk om te controleren dat deze verzameling gesloten
is onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen en (vanwege bovenstaande truc) ook onder
delen; ze vormen
p samen een lichaam. De enige vraag die overblijft is of dit wel het kleinste
lichaam is dat 2 bevat.
45 Opgave
p
p
p
Bewijs dat Q( 2) = a + b 2 | a, b 2 Q door te laten zien dat ieder lichaam dat Q en 2
p
bevat ook alle getallen van de vorm a + b 2 moet bevatten.
p
p
Hoe groot is Q( p
2) eigenlijk? Om dit te testen kijken we of 3 (ook construeerbaar) een
element is van Q( 2).
46 Opgave p
p
Bewijs dat 3 geen breuk is, dus 3 62 Q.
47 Opgave p
p
p
p
Stel dat 3 een
p element is van Q( 2), dus 3 = a + b 2. Kwadrateer deze vergelijking en
laat zien dat 2 dan een breuk zou moeten zijn.
p
p
De conclusie moet dus wel zijn dat 3 geen element is van Q( 2). Maar dit isp wél een
construeerbaar getal, dus een element van K. We voegen het daarom toe aan
p Q( 2)
p in de
hoop dichter bij K te komen. Hoe ziet de lichaamsuitbreiding van Q met 2 én 3, het
44
p
p
kleinste lichaam dat zowel Q als 2 als 3 bevat, eruit? Aangemoedigd door ons succes
doen we een eerste poging: zou dit de verzameling
p
p
{a + b 2 + c 3 | a, b, c 2 Q}
kunnen zijn?
48 Opgave
p
p
Is de verzameling getallen van de vorm a + b 2 + c 3 gesloten onder
a) Optellen?
b) Aftrekken?
c) Vemenigvuldigen?
49 Opgave
p
p
p p
Laat zien dat de verzameling getallen van de vorm a + b 2 + c 3 + d 2 3 gesloten is onder
vermenigvuldiging.
Om p
te laten
p zien
p dat
p deze verzameling ook gesloten is onder delen moeten we weer aantonen
dat 2, 3 en 2 3 uit de noemers kunnen worden verwijderd.
50 Opgave
p
p
Bekijk het getal 1+p2+p13+p2p3 en verwijder eerst 3 uit de noemer en vervolgens 2. Haal
p
hiervoor eerst 3 buiten haakjes.
51 Opgave
p p
p
p
Bewijs dat Q( 2, 3) = Q( 2 + 3).
p
p
We hebben nu het kleinste lichaam gevonden dat Q, 2 en 3 bevat:
p p
p
p
p p
Q( 2, 3) = {a + b 2 + c 3 + d 2 3}
a, b, c, d 2 Q
Definitie 4. Een algemene lichaamsuitbreiding M van een lichaam L is een lichaam dat
L bevat. Het aantal elementen van L dat we minimaal nodig hebben om elementen van
de lichaamsuitbreiding uit te drukken noemen we de graad van de lichaamsuitbreiding. We
noteren dit met vierkante haken, bijvoorbeeld
p
[Q( 2) : Q] = 2
p
p
omdat alle elementen van Q( 2) uniek te schrijven
zijn
als
a
+
b
2. We hebben dus twee
p
breuken a, b 2 Q nodig om een element van Q( 2) vast te leggen.
Evenzo vinden we dat
p p
[Q( 2, 3) : Q] = 4
p
p
p p
omp
dat p
we vier breuken a, b, c, d 2 Q nodig hebben om een element a + b 2 + c 3 + d 2 3 2
Q( 2, 3) vast te leggen. De graad geeft aan hoeveel groter de uitbreiding is dan het
originele lichaam: hoe groter de uitbreiding des te hoger de graad.
52 Opgave
Begin met de verzameling {0, 1}. Laat zien dat Q het kleinste lichaam is dat deze verzameling
bevat1.
53 Opgave
p
p p
Leg uit dat [Q( 4) : Q] = 1 en [Q( 3, 12) : Q] = 2.
Onderzoek of de volgende beweringen waar zijn:
1Er zijn ook andere definities mogelijk van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen waarmee kleinere
lichamen mogelijk zijn.
45
Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal
54a p
Opgave
p
p
3 + 2 2 2 Q( 2)
54b q
Opgave
p
p
p
3 + 13 + 4 3 2 Q( 3)
We kunnen wel eindeloos doorgaan met toevoegen van wortels maar dan komen we nooit bij
een goede beschrijving van K. We verleggen nu een klein beetje onze aandacht. In plaats
van een antwoord op de vraag “Hoe ziet K eruit?” willen we eigenlijk liever weten hoe
het lichaam eruit kan zien dat bij een specifieke constructie hoort. Daarmee bedoelen we
het kleinste lichaam dat de coördinaten bevat van alle punten die tijdens deze constructie
ontstaan.
3.2.3. Lichaamsuitbreiding horend bij een constructie
We bekijken nu een willekeurige constructie. Niet iedere constructiestap zorgt voor een
lichaamsuitbreiding: bij het snijden van twee lijnen bijvoorbeeld ontstaat een nieuw punt
waarvan de coördinaten nog steeds in hetzelfde lichaam zitten (waarom?). In de formules voor
de snijpunten van lijnen en cirkels komen hooguit tweedemachts wortels voor van één getal. Dit
zorgt ervoor dat de lichaamsuitbreidingen die eventueel bij een constructiestap horen van graad
2 zijn. We bekijken nu een willekeurige constructie aan de hand van de bijbehorende lichamen.
Vóór de eerste stap van de constructie hebben we alleen de startverzameling (0, 0), (1, 0). Het
kleinste lichaam dat deze getallen bevat is K0 = Q. De eerste keer dat de coördinaat van
een nieuw geconstrueerd punt niet meer in K0 zit moeten we dit lichaam
uitbreiden. Vanwege
p
de vorige opgave zal dit een kwadratische uitbreiding K1 = K0 ( c) zijn voor één of andere
c 2 K0 . Niet alle elementen van K1 maken deel uit van de constructie, maar ze zijn wel
allemaal construeerbaar (waarom?). Na een aantal constructiestappen kan het gebeuren dat
een coördinaat van een geconstrueerd punt niet meer in K1 zit; dan breiden we dit lichaam
uit tot K2 , enzovoorts. Na de laatste stap van de constructie zijn we aangeland bij Kn voor
één of andere n 2 N. Dit is het kleinste lichaam dat de coördinaten bevat van alle punten
die tijdens de constructie ontstaan. Bij iedere constructie hoort dus een toren van lichamen
(4)
Q = K0 ⇢ K1 ⇢ K2 ⇢ . . . ⇢ Kn ⇢ K
We weten dat Kn ⇢ K omdat ieder van de Ki alleen maar construeerbare getallen bevat.
Iedere uitbreiding heeft graad 2, dus
[K1 : K0 ] = [K2 : K1 ] = . . . = [Kn : Kn
1]
=2
Omgekeerd geldt ook: als een getal in een toren van kwadratische uitbreidingen van Q zit,
dan is dit getal construeerbaar.
55a Opgave
Welke toren hoort bij de constructie van een gelijkzijdige driehoek vanuit de startverzameling
{(0, 0), (1, 0)} zoals in opgave 2?
55b Opgave
Welke toren hoort bij de constructie van een regelmatige driehoek vanuit de startverzameling
{(0, 0), (1, 0)} zoals in figuur 1 uit hoofdstuk 1?
56 Opgave
Zijn de oplossingen van de vergelijking
3x4
317x2 + 2012 = 0
46
construeerbaar? Probeer zo min mogelijk te berekenen en zoveel mogelijk te beargumenteren.
57 Opgave
Geef een mogelijke toren van lichamen horend bij een constructie van een regelmatige zeventienhoek. Kijk hiervoor nog eens terug naar de Geogebra opdracht uit het vorige hoofdstuk.
3.3. Verdubbeling van de kubus is niet construeerbaar
3.3.1. Een ode aan Pierre Laurent Wantzel
In het eerste hoofdstuk hebben we het gehad over meetkundige constructies met passer en
liniaal en hebben we de nadruk gelegd op vier onopgeloste problemen uit de Griekse Oudheid:
verdubbeling van de kubus, driedeling van een hoek, kwadratuur van de cirkel en constructies
van regelmatige veelhoeken. In het tweede hoofdstuk hebben we gezien hoe het invoeren van
coördinaten ons in staat stelt om met coördinaten van construeerbare getallen te rekenen.
De verzameling construeerbare coördinaten bleek een lichaam te zijn. In dit derde hoofdstuk
hebben we uitgelegd waarom constructies met passer en liniaal leiden tot een toren van
tweedegraads lichaamsuitbreidingen. Het is tijd om te oogsten wat we hebben gezaaid: we
gebruiken lichaamsuitbreidingen om te bewijzen dat verdubbeling van de kubus met passer
en liniaal onmogelijk is. De eerste wiskundige in de geschiedenis die dit kon bewijzen was
de Fransman Pierre Laurent Wantzel (1837), ruim 2000 jaar nadat de Grieken dit probleem
voor het eerst hadden onderzocht!
Een wiskundige is een apparaat dat koffie omzet in stellingen – Paul Erdös
In één wiskundige tijdschriftartikel bewees Wantzel dat driedeling van een hoek en verdubbeling van een kubus onmogelijk zijn en bovendien bewees hij welke veelhoeken niet construeerbaar zijn met passer en liniaal. Ondanks deze fantastische prestaties, waarmee hij drie
van de vier Griekse problemen voor eens en voor altijd opgelost heeft, kreeg zijn werk gedurende bijna honderd jaar vrijwel geen aandacht. De voornaamste reden hiervoor is volgens de
Deense historicus Lützen dat onmogelijkheidsbewijzen was op dat moment uit de mode waren.
Toen dat een halve eeuw later was veranderd waren de wiskundigen het werk van Wantzel
alweer vergeten. Pas in 1917 probeert Cajori de aandacht van de wiskundigen op Wantzel
te vestigen in een voordracht voor de American Mathematical Society en in 1934 verscheen
de Encyclopädie der Elementarmathematik waarin Wantzel werd genoemd en in ere hersteld
– bijna honderd jaar na zijn ontdekkingen. Volgens zijn vriend Saint-Venant had Wantzel
slechte slaap- en eetgewoonten en heeft hij zich op 33-jarige leeftijd onder invloed van opium
doodgewerkt...
3.3.2. Onmogelijkheden
Via de Cartesische coördinaten en de theorie van lichamen zijn we nu in staat om de meetkundige vragen die worden opgeroepen door de Griekse constructieproblemen te vertalen naar
duidelijke vragen in de algebra:
Meetkunde
Algebra
Zitten de coördinaten x, y in een toren K0 ⇢ . . . ⇢ Kn van
Is punt (x, y) construeerbaar?
kwadratische uitbreidingen van Q?
Eindelijk zijn we dan zover dat we kunnen bewijzen dat de verdubbeling van de kubus en de
driedeling van een willekeurige hoek onmogelijk is met alleen passer en liniaal.
47
Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal
3.3.3. Verdubbeling van de kubus is niet construeerbaar
p
We zullen bewijzen
dat 3 2 niet construeerbaar is via een bewijs uit het ongerijmde. Stel
p
namelijk dat 3 2 wél construeerbaar is,pdan bestaat er een constructie metpeen bijbehorende
toren van lichaamsuitbreidingen zodat 3 2 2 Kn . Eerst laten we zien dat 3 2 62 Q = K0 .
58 Opgave
p
Bewijs dat 3 2 irrationaal is.
p
We mogen aannemen dat de zogenaamde constructie van 3 2 zo efficiënt mogelijk is, dat wil
zeggen er bestaat geen constructie met een kleinere toren van lichaamsuitbreidingen. Omdat
[Kn : Kn 1 ] = 2 is er in deze laatste uitbreiding een tweedemachts wortel van één element
uit Kn 1 toegevoegd. We kunnen dus schrijven
p
p
3
2=a+b c
met a, b, c 2 Kn
1.
59a Opgave
p
Uit de aannames volgt dat b 6= 0, c > 0 en c 62 Kn
1.
59c Opgave
p
Laat met behulp van onderdeel a) zien dat c 2 Kn
1.
Leg dit uit.
59b Opgave
Verhef de linker- en rechterkant tot de derde macht en laat zien dat
p
(a3 + 3ab2 c 2) + b(3a2 + b2 c) c = 0
59d Opgave
Leg uit dat dat in tegenspraak is met de aanname dat de constructie zo efficiënt mogelijk is.
Conclusie: verdubbeling van de kubus met passer en liniaal is onmogelijk!
60 Opgave
Is verdubbeling van (het volume van) de bol wel mogelijk met passer en liniaal?
3.3.4. Epiloog: de andere Griekse constructieproblemen
We geven een korte opsomming van de (on)mogelijkheid van de andere drie beroemde constructieproblemen.
Driedeling van een hoek
Niet alle hoeken kunnen in drieën worden gedeeld met passer en liniaal. Een voorbeeld is
een hoek van 60 , waarvoor kan worden bewezen dat deze niet in drieën kan worden gedeeld.
Voor hoeken met een geheel aantal graden geldt de volgende karakterisatie:
Een hoek van n graden kan worden geconstrueerd precies wanneer n deelbaar is door 3.
Daarmee is ook meteen duidelijk welke hoeken van n in drieën kunnen worden gedeeld. Als
een hoek niet bestaat uit een geheel aantal graden, is het een stuk lastiger om te bepalen of
de hoek in drieën kan worden gedeeld of niet.. hiervoor is Galois theorie nodig.
Regelmatige veelhoeken
Gauss en Wantzel geven een volledige opsomming van de regelmatige veelhoeken die wel en
niet construeerbaar zijn. Om te beginnen introduceren we een bijzonder soort getallen: de
Fermat getallen hebben de vorm
m
Fm = 22 + 1
48
m2N
Vanwege de machten in deze formule worden deze getallen snel groot. Het rijtje begint met
3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, . . .
Pierre de Fermat, beroemd vanwege de Laatste stelling van Fermat, dacht dat deze getallen
allemaal priemgetallen waren. De eerste vijf zijn dat inderdaad ook, maar het gaat mis bij de
zesde omdat
4294967297 = 641 · 6700417
Het is onbekend(!) welke Fermat getallen precies priem zijn, de grootste is tot dusver 65537.
Het resultaat van Gauss is nu als volgt: een regelmatige n-hoek is construeerbaar precies
wanneer n de volgende vorm heeft
n = 2m p1 · p2 · . . . · pk
m, k 2 N
waarbij de pi verschillende Fermat priemgetallen zijn. Vanwege het bestaan van bisectrices
impliceert de construeerbaarheid van een n-hoek meteen de construeerbaarheid van de 2nhoek, 4n-hoek enzovoorts. Dit verklaart de factor 2m in de formule. Het lijstje construeerbare
n-hoeken begint met
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 18, . . .
Een regelmatige 15-hoek is bijvoorbeeld construeerbaar omdat een driehoek en een vijfhoek
dat zijn, zie ook opgave 14. De zevenhoek is het eerste gat in de reeks omdat het wel priem is
maar geen Fermat getal, terwijl een negenhoek niet construeerbaar is omdat 3 · 3 een product
is van twee dezelfde Fermat priemgetallen. De zeventienhoek is de eerste in de rij die niet
bekend was bij de Grieken, zie ook Geogebra opdracht 10.
Kwadratuur van de cirkel
Elke construeerbare coördinaat voldoet aan één of andere vergelijking met een veelterm. Het
construeerbare getal
r
q
p
x= 2+ 7 3 3
voldoet bijvoorbeeld aan de vergelijkingen
q
x =2+ 7
2
⇣
x2
2
x2
2
2
=7
2
p
3 3
p
3 3
⌘2
7 = 27
We hebben eerder al gezien in paragraafp1.4.1 dat kwadratuur van de cirkel neerkomt op het
construeren van een lijnstuk met lengte ⇡. Als dit getal zou voldoen aan een veeltermvergelijking, dan zouden we op zoek moeten gaan naar zijn uitbreidingsgraad om te kijken of het
construeerbaar zou kunnen zijn of niet. Er bestaan echter ook getallen die niet voldoen aan
een veeltermvergelijking. Zulke getallen noemen
pwe transcendent. Een beroemde stelling van
von Lindemann uit 1882 vertelt ons dat zowel ⇡ als ⇡ transcendent zijn en dus onmogelijk
construeerbaar. Helaas is deze stelling te moeilijk om in deze module te behandelen.
Echt onmogelijk?
Voor veel amateurwiskundigen is hoofdstuk 1 goed te begrijpen en ze worden soms gegrepen
door de constructiekoorts. Met name op de beroemde problemen die 2000 jaar onopgelost
bleven hebben in de loop der eeuwen heel veel mensen hun tanden stuk gebeten. Hieraan
had een einde moeten komen toen Pierre-Laurent Wantzel in 1837 voor het eerst bewees dat
verdubbeling van een kubus en driedeling van een hoek onmogelijk zijn, gevolgd in 1882 door
het bewijs van von Lindemann dat kwadratuur van de cirkel onmogelijk is. Helaas zijn de
andere twee hoofdstukken voor veel mensen moeilijk te bevatten en dus blijven de ingezonden
49
Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal
brieven met “constructies” binnenstromen in de wiskunde departementen van de grote universiteiten. De wiskundige Underwood Dudley heeft dit soort ingezonden brieven verzameld en
gebundeld in een boekje getiteld The Trisectors. Aristoteles, Euclides of Archimedes daarentegen hebben nooit foute constructies gegeven met de claim dat ze één van de drie problemen
konden oplossen. Als ze nu nog leefden zouden ze waarschijnlijk vrede hebben met het bewijs
dat de constructies echt onmogelijk zijn.
Sometimes I’ve believed as many as six impossible things before breakfast –
Lewis Caroll
50
Samenvatting H3
In het vorige hoofdstuk zagen we dat het lichaam van coördinaten van construeerbare punten K
gesloten is onder worteltrekken. In dit hoofdstuk hebben we laten zien K het kleinste lichaam
is met deze eigenschap: via snijpunten van lijnen en cirkels krijgen we alleen uitdrukkingen
p
met + ⇥÷ en
type snijpunten
lijn-lijn
lijn-cirkel
cirkel-cirkel
vergelijkingen
coördinaten van snijpunten
a 1 x + b1 y = c 1
breuken in a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2
a 2 x + b2 y = c 2
ax + by = c
breuken en wortels in a, b, c, d, e, f
2
2
x + y + dx + ey + f = 0
x2 + y 2 + dx + ey + f = 0 breuken en wortels in d, e, f, g, h, i
x2 + y 2 + gx + hy + i = 0
Een lichaamsuitbreiding M van een lichaam L is een lichaam dat L bevat. De graad van
de uitbreiding is het aantal elementen van dat nodig is om een element van M uniek vast
te leggen. Een lichaamsuitbreiding van graad 2 heet een kwadratische lichaamsuitbreiding.
Een toren van lichaamsuitbreidingen is een aantal lichaamsuitbreidingen na elkaar.
Aan iedere constructie koppelen we een unieke toren van kwadratische lichaamsuitbreidingen
van Q: aan de startverzameling {(0,
p 0), (1, 0)} koppelen we K0 = Q zelf. Als er in een
constructiestap een nieuwe wortel a wordt geconstrueerd die nog niet in het lichaam zit dan
breiden we het lichaam uit met deze wortel. Op die manier ontstaat een toren van kwadratische
lichaamsuitbreidingen
K0 ⇢ K1 ⇢ . . . ⇢ Kn
Een getal is construeerbaar precies wanneer het in zo’n toren zit, elk element van K zit dus
in zo’n toren.
Beroemd
probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel).
p
⇡ 62 K dus de kwadratuur van de cirkel is onmogelijk met passer en liniaal.
Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken).
Een regelmatige n-hoek is construeerbaar precies wanneer n van de volgende vorm is:
n = 2m p1 · p2 · . . . · pk
met de pi verschillende Fermat priemgetallen.
m, k 2 N
Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek).
Er bestaan hoeken waarvoor driedeling met passer en liniaal onmogelijk is. Hoeken met een
geheel aantal graden n zijn alleen driedeelbaar als n een veelvoud is van 3.
Beroemd
probleem 4 (Het Delische probleem – verdubbeling van een kubus).
p
3
2 62 K dus de verdubbeling van de kubus is onmogelijk met passer en liniaal.
51
BIJLAGE A
Veronderstelde voorkennis van vlakke meetkunde
Hoeken en lijnen
• De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk (overstaande hoeken).
• Als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dan zijn de F -hoeken en Zhoeken gelijk (F -hoeken, Z-hoeken).
• Als twee lijnen in twee verschillende punten gesneden worden door een derde lijn waarbij er
een paar gelijke F -hoeken of Z-hoeken optreedt, dan zijn die twee lijnen evenwijdig (F -hoeken,
Z-hoeken).
• Een rechte hoek is 90 , een gestrekte hoek is 180 .
• De som van de hoeken van een driehoek is 180 (hoekensom driehoek).
Congruente driehoeken
Twee meetkundige figuren zijn congruent (gelijk) als ze in elkaar overgaan na een translatie, rotatie en/of
spiegeling. Notatie: A ⇠
= B. Twee driehoeken zijn congruent als ze gelijk hebben:
(HZH) Een zijde en twee aanliggende hoeken.
(ZHH) Een zijde, een aanliggende hoek en de tegenoverliggende hoek.
(ZHZ) Twee zijden en de ingesloten hoek.
(ZZZ) Alle zijden.
(ZZR) Twee zijden en de rechte hoek tegenover één van die zijden.
De eerste twee gevallen zijn hetzelfde: twee gelijke hoeken impliceert direct drie gelijke hoeken.
Gelijkvormige driehoeken
Twee meetkundige figuren zijn gelijkvormig als ze in elkaar overgaan na een translatie, rotatie, spiegeling
en/of schaling. Notatie: A ⇠ B. Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze gelijk hebben:
(hh) Twee (en dus drie) paren gelijke hoeken.
(zhz) Een paar hoeken en de verhouding van de omliggende zijden.
(zzz) De verhouding van de zijden.
(zzr) Een paar rechte hoeken en de verhouding van de twee niet-omliggende zijden.
Cirkels
• Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal.
• Stelling van Thales: als A, B, C op een cirkel liggen en AB is een middellijn van de cirkel dan is
ABC een rechthoekige driehoek. En andersom: als ABC een rechthoekige driehoek is, dan
is het middelpunt van de omgeschreven cirkel het midden van de schuine zijde.
Stelling van Thales: als A, B, C op een cirkel liggen en AB is een middellijn van de cirkel, dan zijn
AM C en BM C gelijkbenig dus 2↵ + 2 = 180 (hoekensom driehoek). Dus ↵ + = 90 .
53
BIJLAGE B
Een bewijs uit het ongerijmde
In deze module bewijzen we vaak stellingen met behulp van een redenering die een bewijs uit
het ongerijmde wordt genoemd. Dit betekent dat je advocaat van de duivel speelt en aanneemt
dat het tegenovergestelde van de uitspraak waar is. Daaruit leid je een andere uitspraak af
die niet klopt met iets dat je zeker weet – de nieuwe uitspraak rijmt niet met iets anders.
We illustreren deze bewijsmethode aan de hand van een computerprogramma dat kan schaken.
Zulke programma’s zijn vaak in staat menselijke grootmeesters zowel met wit als met zwart
te verslaan. Bestaat er ook een optimaal programma waarmee je iedere tegenstander kunt
verslaan, of je nou met wit of zwart begint?
S�������. Er bestaat geen schaakprogramma waarmee je altijd kunt winnen.
Bewijs: Stel dat zo’n programma wél bestaat. Laat dan twee computers met dit programma
tegen elkaar spelen. Ze zouden dan allebei moeten winnen en dat is absurd. De aanname
dat het programma bestaat is dus niet houdbaar.
We vatten het bewijs uit het ongerijmde nog even samen:
1
2
3
4
5
Algemeen
Te bewijzen: een uitspraak
Neem het tegenovergestelde aan
Nieuwe uitspraak afleiden
Deze uitspraak rijmt niet met een zekerheid
Conclusie: de aanname is niet waar
Voorbeeld
Er bestaat geen winnend schaakprogramma
Er bestaat wél een winnend programma
Twee programma’s winnen tegelijkertijd
Dit is absurd
Er bestaat geen winnend schaakprogramma!
Een ander leuk voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde gegeven door Euclides: er bestaan
oneindig veel priemgetallen. We spelen weer advocaat van de duivel en nemen aan dat er wél
eindig veel priemgetallen bestaan. Het rijtje priemgetallen begint dus met 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
en we noteren dit met p1 , p2 , . . . , pN waarbij pN het grootste priemgetal is: we gaan ervan uit
dat er eindig veel priemgetallen zijn, dus er is ook een grootste priemgetal.
Vermenigvuldig al deze priemgetallen met elkaar en tel er 1 bij op:
M = (p1 · p2 · p3 · p4 · . . . · pN ) + 1
Dit nieuwe getal M is niet deelbaar door een priemgetal, want deling levert altijd een rest
van 1 op: deling door p2 levert bijvoorbeeld
(p1 · p2 · p3 · p4 · . . . · pN ) + 1
1
= p 1 · p3 · p 4 · . . . · pN +
p2
p2
Dus het getal M moet zélf wel een priemgetal zijn, maar het is groter dan alle andere priemgetallen. Dit rijmt niet met de bewering dat pN het grootste priemgetal is. De enige conclusie
die we kunnen trekken is dat het onmogelijk is dat er eindig veel priemgetallen zijn!
55

L, EI F A B k - WSG Isaac Newton

Proeftentamen Functies en Reeksen

Werkcollege QCB II

Opgaves week 51-2014 - Universiteit Utrecht

WODC-onderzoek `Ruimte om te delen` over CT Infobox

Hs7 Veranderingen - uitwerkingensite.nl

bijlage - Daventria

SANGAKU verklaard

Gedeeltelijke uitwerkingen tentamen algebra 1

Inleiding Logica 2013/2014 Opgaven 5: 30 april 2014