Faculteit Wetenschappen
Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek
Aggregatieoperatoren op eindige
kettingen
Caro Lievens
Promotor: Dr. Glad Deschrijver
Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van
Master in de wiskunde, afstudeerrichting toegepaste wiskunde.
Academiejaar 2013–2014
Voorwoord
Het doel van deze scriptie bestaat erin om een aantal eigenschappen over aggregatieoperatoren op een overzichtelijke wijze samen te bundelen in een naslagwerk, dit onder de
vorm van een literatuurstudie. Het logische gevolg hiervan is dat er geen nieuwe, originele
resultaten aan bod komen.
Ik wil graag mijn promotor, Dr. Glad Deschrijver, bedanken voor zijn bereidheid om mij
te begeleiden bij deze thesis, wat hij met volle inzet op uitstekende wijze gedaan heeft.
Hij bezorgde mij een literatuurlijst als vertrekpunt en basis voor eigen opzoekwerk. Zijn
suggesties en opmerkingen op vroegere werkversies waren een grote hulp waardoor ik de
kwaliteit van mijn research en van deze thesis kon verbeteren. Bovendien stond hij mij
steeds met raad en daad bij, zowel wiskundige problemen als gewone praktische zaken.
Tenslotte bedank ik mijn vrienden en familie voor advies en morele steun. In het bijzonder
wil ik David, Diandra, Jo, Pieter-Jan en Stijn bedanken voor hun tips en goede raad. Door
het lezen van de thesissen van Pieter-Jan, Stijn en Jo kreeg ik een beter idee van wat er
van mij verwacht werd. Voor hulp bij de layout zeg ik welgemeend dankjewel tegen David
en Diandra.
Ik, Caro Lievens, de auteur, geef de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopi¨eren voor persoonlijk gebruik. Elk ander
gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking
tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit
deze masterproef.
01/06/2014 Handtekening:
i
ii
Inhoudsopgave
Inleiding
v
1 Lingu¨ıstische schaal
1
1.1
Voorkeuren en beslissingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Triangulaire normen, conormen en negatoren
2.1
2.2
5
T-normen en negatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Gladde t-normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.2
Archimedische t-normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3
Niet-gladde t-normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
T-conormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1
Gladde t-conormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2
Archimedische t-conormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3
Niet-gladde t-conormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Implicatoren
29
3.1
S-implicatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2
R-implicatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3
QL-implicatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4
Overzicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5
Vergelijking met het eenheidsinterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Uninormen
57
4.1
Definities en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2
Idempotente uninormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3
Dualiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4
Onderliggende gladde t-(co)normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
iii
iv
INHOUDSOPGAVE
4.4.1
Het idempotente geval: T = min en S = max . . . . . . . . . . . . 76
4.4.2
Lukasiewicz t-norm en t-conorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.3
T = min en S = SL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.4
T = TL en S = max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 T-operatoren
83
5.1
Definities en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2
Distributiviteitsvoorwaarden voor t-operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Andere aggregatieoperatoren
95
6.1
Definities en eenvoudige voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2
Onderliggende gladde t-(co)normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7 Conclusie
101
A Summary
103
Inleiding
Complexe evaluatiesystemen, waarbij verschillende experten verschillende alternatieven
evalueren op basis van verschillende criteria, zijn nogal moeilijk te behandelen [9]. In
dergelijke processen is een van de moeilijkheden om een globale score te bekomen voor
ieder alternatief door iedere expert. Vervolgens willen we ´e´en score hebben voor ieder
alternatief, zodat we de beste keuze kunnen bepalen.
E´en van de meest gebruikte evaluatieschalen is het eenheidsinterval. Het gebruik van een
dergelijke numerieke schaal heeft echter een ongewenst neveneffect, namelijk dat wat door
Yager [31] de “tirannie der getallen” genoemd wordt: deze getallen gaan een eigen leven
leiden en geven een precisie weer die veel verder gaat dan wat de gebruikers bedoelen.
Yager stelt voor om gebruik te maken van een eindige geordende schaal voor de evaluatie, in plaats van een interval van re¨ele waarden. Zo’n ordinale schaal kan eenvoudige
lingu¨ıstische termen voorstellen. We bespreken dit kort in het eerste hoofdstuk.
Het doel van deze scriptie bestaat erin om een aantal eigenschappen op een overzichtelijke
wijze samen te bundelen in een naslagwerk.
Vervolgens gaan we dieper in op de wiskundige voorstelling van deze schaal, namelijk
door gebruik te maken van een eindige ketting L = {x0 , x1 , ..., xn , xn+1 } met 0 = x0 <
x1 < ... < xn <n+1 = 1. Hierop defini¨eren we t-normen en t-conormen, net zoals op
het eenheidsinterval, en onderzoeken we enkele bijhorende eigenschappen. Hierbij is het
begrip “gladde functie” zeer belangrijk: deze functies zijn de discrete tegenhangers van
de continue functies op het eenheidsinterval.
Naast t-normen en t-conormen, komen er nog andere gerelateerde operatoren op L aan
bod. We onderscheiden drie verschillende klassen [24]:
◦ Operatoren geconstrueerd met behulp van t-normen en t-conormen.
Op gelijkaardige wijze als in het geval van [0, 1], kunnen implicatie-operatoren op
een eindige ketting geconstrueerd worden met behulp van t-normen en t-conormen.
We bespreken in het derde hoofdstuk drie verschillende vormen: S-implicatoren,
R-implicatoren en QL-implicatoren.
◦ Veralgemeningen van t-normen en t-conormen.
De meest belangrijke veralgemeningen zijn uninormen (hoofdstuk 4) en t-operatoren
(hoofdstuk 5).
◦ Andere gerelateerde operatoren.
Andere aggregatieoperatoren op [0, 1], zoals de OWA-operatoren, worden in hoofdstuk 6 vertaald naar eindige kettingen.
v
vi
INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk 1
Lingu¨ıstische schaal
1.1
Voorkeuren en beslissingen
Iedere dag moeten we allerlei beslissingen maken, sommige makkelijker dan andere. Beslissingen maken is een proces dat we kunnen opdelen in vier fasen [5]:
1. verzamelen van informatie;
2. ontwerp;
3. keuze;
4. reflectie.
Preferentiemodellen kunnen van groot belang zijn voor de ontwerpfase en bijgevolg dus
voor het beslissingsproces. Dit verklaart het grote aantal studies omtrent preferentiestructuren in de klassieke verzamelingenleer. Om de intensiteit van de voorkeur effectiever weer
te geven, kunnen ook vage voorkeuren gebruikt worden. Een eindige ordinale schaal is
echter gepaster: dit geeft het gebrek van precisie weer dat overeenstemt met het menselijk
gedrag. Psychologen stellen namelijk vast dat een persoon slechts een zevental termen in
gedachten kan houden. In overeenstemming hiermee, kan een ordinale schaal voorgesteld
worden met eenvoudige lingu¨ıstische termen zoals Geen, Erg Laag, Laag, Medium, Hoog,
Erg Hoog, Perfect. We gebruiken de schaal S:
S = {G, EL, L, M, H, EH, P },
waarbij de letters verwijzen naar de vorige lingu¨ıstische termen en gerangschikt worden
in stijgende volgorde.
1.2
Probleem
Iedere leerkracht is in zijn carri`ere het volgend probleem al tegengekomen [11] :
Gegeven een verzameling van studenten die ge¨evalueerd worden op een eindige ordinale
schaal (bijvoorbeeld van α = uitstekend tot = verschrikkelijk) voor verschillende onderwerpen (bijvoorbeeld wiskunde, economie en talen). Hoe berekenen we een globale score
voor iedere student?
1
HOOFDSTUK 1. LINGU¨ISTISCHE SCHAAL
2
Een duidelijke oplossing voor dit probleem is om alle termen van de ordinale schaal om te
zetten naar getallen (bijvoorbeeld van 1 tot 0) en als globale score het gewogen gemiddelde
te gebruiken. Uiteindelijk moet deze numerieke waarde opnieuw omgezet worden naar de
ordinale schaal, dit is echter enkel mogelijk als deze gemiddelde waarde toevallig gelijk is
aan een van de gekozen getallen die gekoppeld zijn aan de termen. Als dit niet het geval
is, kunnen er nog enkele arbitraire termen toegevoegd worden aan de ordinale schaal,
zoals β − of γ + .
Hoewel deze techniek vaak gebruikt wordt in de praktijk, is deze methode nutteloos:
afhankelijk van welke getallen we kiezen, gegeven dat hun ordening overeenkomt met de
ordening van de labels, kan de rangschikking van de studenten verschillen. Dit is uiteraard
niet aanvaardbaar. We illustreren dit met een voorbeeld.
Voorbeeld 1.1. Beschouw een ordinale schaal Zeer Goed (ZG), Goed (G), Matig (M ),
Slecht (S) en Zeer Slecht (ZS), drie onderwerpen (W = wiskunde, E = economie en T
= talen) en drie studenten a, b, c met volgende scores:
Student
a
b
c
W E
ZG M
G
G
S
G
T
M
G
ZG
We beschouwen vier verschillende manieren om de ordinale schaal om te zetten in getallen:
◦ Schaal 1: ZG → 1, G → 0.75, M → 0.50, S → 0.25, ZS → 0;
◦ Schaal 2: ZG → 1, G → 0.70, M → 0.50, S → 0.20, ZS → 0;
◦ Schaal 3: ZG → 1, G → 0.60, M → 0.50, S → 0.20, ZS → 0;
◦ Schaal 4: ZG → 1, G → 0.60, M → 0.40, S → 0.20, ZS → 0.
De gemiddelde scores zijn dan:
Student
a
b
c
Schaal 1
0.667
0.775
0.667
Schaal 2
0.667
0.700
0.633
Schaal 3
0.667
0.600
0.600
Schaal 4
0.600
0.600
0.600
De vier rangschikkingen zijn duidelijk verschillend, zelfs voor kleine verschillen in de
schalen. We zien dus dat de waarden toegekend aan de ordinale scores van groot belang
zijn.
1.3. PRINCIPES
1.3
3
Principes
Indien verschillende experten verschillende alternatieven evalueren op basis van verschillende criteria, willen we eerst een globale score bepalen voor ieder alternatief, voor iedere
expert. Om dit te doen, moet de gebruikte operator intu¨ıtief aan volgende principes
voldoen [9] :
◦ criteria die van weinig belang zijn, moeten slechts een klein effect hebben op de
globale score;
◦ als een criterium belangrijk is, moet het een goede score behalen;
◦ de vorige uitspraak geldt voor alle criteria.
Vervolgens willen we ´e´en score Q(i) geven voor ieder alternatief, zodat we kunnen bepalen
welk alternatief de beste keuze is. We willen dat Q(i) ∈ S de graad weergeeft waarin we
het alternatief willen selecteren als er i van de r experts tevreden zijn met dat alternatief.
Ook hier moeten enkele pricipes voldaan zijn:
◦ als geen enkele expert tevreden is, moet de graad 0 (de laagste in S) zijn: Q(0) = 0;
◦ als iedere expert tevreden is, moet de graad 1 (de hoogste in S) zijn: Q(r) = 1;
◦ als meer experts tevreden zijn, moet de graad stijgen: i < j impliceert Q(i) ≤ Q(j).
We kunnen zo’n operatoren defini¨eren door gebruik te maken van t-normen, t-conormen,
implicatoren, ... In de volgende hoofdstukken worden deze begrippen gedefinieerd op een
eindige ketting L = {x0 , x1 , ..., xn , xn+1 } met 0 = x0 < x1 < ... < xn <n+1 = 1 en worden
er verschillende eigenschappen aangetoond.
4
HOOFDSTUK 1. LINGU¨ISTISCHE SCHAAL
Hoofdstuk 2
Triangulaire normen, conormen en
negatoren
2.1
T-normen en negatoren
In dit hoofdstuk bestuderen we t-normen en negatoren op een eindige ketting L =
{x0 , x1 , ..., xn , xn+1 } met 0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1. In het vervolg noteren
we dit kort als L = {0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1}.
We geven een overzicht van de voornaamste eigenschappen van deze operatoren. Veel
van deze eigenschappen zijn analoog aan eigenschappen van t-normen en negatoren op
[0, 1], maar niet allemaal. Zo is er, in tegenstelling tot het geval [0, 1], slechts ´e´en sterke
negator op L. We bespreken zowel gladde als niet-gladde t-normen op L, deze vormen het
analogon van continue en niet-continue t-normen op [0, 1]. Net als in het continue geval,
geven we ook een karakterisatie voor gladde t-normen. Verder komen ook Archimedische
t-normen aan bod. Zoals in het geval [0, 1], geldt ook hier dat deze gekarakteriseerd
worden door t-normen met enkel triviale idempotente elementen. In het discrete geval is
er echter slechts ´e´en gladde Archimedische t-norm, namelijk de Lukasiewicz t-norm.
Definitie 2.1. [24] Een triangulaire norm, of kortweg t-norm, op L is een functie
T : L × L → L zodat voor iedere (xi , xj , xk ) ∈ L3 volgende axioma’s voldaan zijn:
(T1) T (xi , xj ) = T (xj , xi )
(commutativiteit),
(T2) T (T (xi , xj ), xk ) = T (xi , T (xj , xk ))
(associativiteit),
(T3) T (xi , xj ) ≤ T (xi , xk ) voor xj ≤ xk
(stijgend),
(T4) T (xi , 1) = xi
(neutraal element).
Voorbeeld 2.2. [24] De drie basis t-normen op L zijn het minimum TM , de Lukasiewicz t-norm TL en de drastische t-norm TD , welke, voor alle (xi , xj ) ∈ L2 , gegeven
worden door:
TM (xi , xj ) = min{xi , xj };
TL (xi , xj ) = xmax{i+j−(n+1),0} ;
0,
als max{xi , xj } =
6 1,
TD (xi , xj ) =
min{xi , xj }, als max{xi , xj } = 1.
5
6
HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
Merk op dat TP (xi , xj ) = xi · xj geen t-norm is op L: (T1)–(T4) zijn voldaan, maar het
product is niet noodzakelijk gedefinieerd als L * R.
Een andere belangrijke operator is de negator.
Definitie 2.3. [24] Een sterke negator op L is een functie N : L → L zodat voor iedere
(xi , xj ) ∈ L2 volgende axioma’s voldaan zijn:
(N1) N (xi ) ≥ N (xj ) voor xi ≤ xi
(dalend),
(N2) N (N (xi )) = xi
(involutief ).
Uit de definitie volgt dat N een strikt dalende bijectie is met N (0) = 1 en N (1) = 0.
Propositie 2.4. [20] Er is slechts ´e´en sterke negator op L: N (xi ) = xn+1−i voor alle
xi ∈ L.
Bewijs.
N is een strikt dalende bijectie. Bovendien geldt N (0) = N (x0 ) = xn+1 = 1. Er volgt
dat N (x1 ) = xn : anders zou immers N (x1 ) < xn en wegens het dalend zijn van N ook
N (xi ) < xn voor i > 0. Bijgevolg zou xn niet in het beeld van N zitten. Aangezien
N een bijectie is, levert dit een strijdigheid op. Per inductie geldt op analoge wijze dat
N (xi ) = xn+1−i voor alle i ∈ {0, 1, · · · , n + 1}.
Alvorens we overgaan naar eigenschappen van t-normen, geven we eerst de definitie van
idempotente en nilpotente elementen van een t-norm.
Definitie 2.5. [4] Zij T een t-norm op L. We noemen een element xi ∈ L een idempotent element van T als T (xi , xi ) = xi . We noteren de verzameling van idempotente
elementen van T door I(T ). We noemen een element xi ∈ L \ {0} een nilpotent element
(m)
van T als er een m ∈ N bestaat zodat (xi )T = 0, waarbij
(m)
(xi )T
=
xi ,
als m = 1,
(m−1)
T ((xi )T
, xi ), als m ≥ 2.
We noteren de verzameling van nilpotente elementen van T door N (T ).
Uit de definitie van een t-norm volgt meteen dat de elementen 0 en 1 idempotente elementen zijn voor iedere t-norm. We noemen deze dan ook de triviale idempotente elementen.
Een t-norm noemen we idempotent als alle elementen in L idempotente elementen zijn
en nilpotent als alle elementen in L \ {0, 1} nilpotente elementen zijn.
Voorbeeld 2.6. [4] De drie basis t-normen hebben volgende idempotente en nilpotente
elementen:
1. I(TM ) = L en N (TM ) = ∅;
2. I(TL ) = {0, 1} en N (TL ) = L \ {0, 1};
3. I(TD ) = {0, 1} en N (TD ) = L \ {0, 1}.
2.1. T-NORMEN EN NEGATOREN
7
Notatie 2.7. Voor binaire operatoren F1 : L × L → L en F2 : L × L → L noteren we
F1 ≤ F2 als voor alle (xi , xj ) ∈ L2 geldt:
F1 (xi , xj ) ≤ F2 (xi , xj ).
We behandelen nu enkele basiseigenschappen van t-normen.
Propositie 2.8. [24] Zij T een t-norm op L. Dan:
(i) TD ≤ T ≤ TM , t.t.z. TD is de kleinste t-norm, TM de grootste;
(ii) T (xi , 0) = T (0, xi ) = 0 voor iedere xi ∈ L;
(iii) TM is de enige idempotente t-norm op L.
Bewijs.
(i) Zij T een willekeurige t-norm op L.
Voor TD geldt:
◦ TD (xi , 1) = xi = T (xi , 1), ∀xi ∈ L;
◦ TD (1, xj ) = xj = T (1, xj ), ∀xj ∈ L;
◦ TD (xi , xj ) = 0, als xi 6= 1 en xj 6= 1.
dus TD (xi , xj ) ≤ T (xi , xj ), ∀(xi , xj ) ∈ L2 . TD is bijgevolg de kleinste t-norm.
Voor TM geldt:
◦ T (xi , xj ) ≤ T (xi , 1) = xi , ∀xi ∈ L;
◦ T (xi , xj ) ≤ T (1, xj ) = xj , ∀xj ∈ L.
Bijgevolg geldt T (xi , xj ) ≤ min{xi , xj }, ∀(xi , xj ) ∈ L2 . TM is dus de grootste tnorm.
(ii) Uit (i) volgt T (xi , 0) ≤ min{xi , 0} = 0, ∀xi ∈ L.
(iii) Zij T een t-norm waarvoor alle elementen in L idempotent zijn. Dan geldt voor
iedere (xi , xj ) ∈ L2 :
min{xi , xj } = T (min{xi , xj }, min{xi , xj }) ≤ T (xi , xj ).
Uit (i) volgt dan dat T = TM .
Wegens Propositie 2.8 (i) geldt dat TD ≤ TL ≤ TM .
Notatie 2.9. We defini¨eren voor alle (xr , xs ) ∈ L2 met xr ≤ xs de intervallen [xr , xs ],
[xr , xs [, ]xr , xs ] en ]xr , xs [ als volgt:
[xr , xs ] = {xt
[xr , xs [ = {xt
]xr , xs ] = {xt
]xr , xs [ = {xt
| xt
| xt
| xt
| xt
∈ L ∧ xr
∈ L ∧ xr
∈ L ∧ xr
∈ L ∧ xr
≤ xt
≤ xt
< xt
< xt
≤ xs };
< xs };
≤ xs };
< xs }.
We bespreken enkele belangrijke klassen van t-normen. Zo’n eerste klasse is die van de
gladde t-normen.
8
HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
2.1.1
Gladde t-normen
Definitie 2.10. [24] Een t-norm T op L wordt deelbaar genoemd als er voor iedere
(xi , xj ) ∈ L2 met xi ≤ xj een xk ∈ L bestaat zodat
xi = T (xj , xk ).
We defini¨eren nu een gladde functie op L. Dit kan beschouwd worden als analogon van
een continue functie op het eenheidsinterval.
Definitie 2.11. [21]
(i) Een functie f : L → L noemen we glad in xi als deze voldoet aan volgende voorwaarde:
f (xi ) = xj impliceert dat f (xi−1 ) = xk waarbij j − 1 ≤ k ≤ j + 1.
Een functie f : L → L noemen we glad als deze glad is in elk element van L.
(ii) Een binaire operator F op L noemen we glad als deze glad is in beide componenten.
Uit deze definitie volgt, samen met (T3), dat een t-norm T glad is als voor alle (xi , xj , xk ,
xl , xm ) ∈ L5 , met i > 0 en j > 0:
(T (xi , xj ) = xk ∧ T (xi−1 , xj ) = xl ∧ T (xi , xj−1 ) = xm )
=⇒ (k − 1 ≤ l ≤ k ∧ k − 1 ≤ m ≤ k).
Definitie 2.12. [24] We zeggen dat een t-norm T op L voldoet aan de Lipschitz voorwaarde als voor iedere (xi , xj , xk , xl , xm ) ∈ L5 met xi ≤ xk :
T (xk , xj ) = xl ∧ T (xi , xj ) = xm =⇒ l − m ≤ k − i.
Voor deze bijzondere soorten t-normen gelden enkele eigenschappen, waaronder eerst en
vooral de equivalentie van bovenstaande definities.
Propositie 2.13. [24] Zij T een t-norm op L, dan zijn volgende uitspraken equivalent:
(i) T is deelbaar;
(ii) T is glad;
(iii) T voldoet aan de Lipschitz voorwaarde;
(iv) T voldoet aan de middelwaardestelling, t.t.z. voor alle (xi , xj , xk ) ∈ L3 met xj ≤ xk
en voor alle xq ∈ [T (xi , xj ), T (xi , xk )] geldt dat er een xl ∈ L bestaat met xl ∈ [xj , xk ]
zodat T (xi , xl ) = xq .
2.1. T-NORMEN EN NEGATOREN
9
Bewijs.
(i) ⇒ (ii) Stel dat T niet glad is: zij T (xi+1 , xj ) = xk met T (xi , xj ) ≤ xk−2 . Aangezien
T stijgend is, geldt er dat T (xm , xj ) 6= xk−1 voor alle xm ∈ L, maar dit is in tegenspraak
met de deelbaarheid, aangezien xk−1 < xk ≤ xj .
(ii) ⇒ (iii) Gegeven T glad. Zij T (xk , xj ) = xl , dan T (xk−1 , xj ) = xp met p = l of
p = l − 1. Als p = l, dan l − p = 0. Als p = l − 1, dan l − p = 1 .
Zij nu xi < xk , met T (xi , xj ) = xm , dan
l − m ≤ 1 + 1 + · · · + 1 = k − i.
Bijgevolg voldoet T aan de Lipschitz voorwaarde.
(iii) ⇒ (iv) Zij T (xi , xj ) = xm en T (xi , xk ) = xp met xm ≤ xp en stel dat xm ≤ xq ≤ xp .
Zij xr = max{xs | xs ∈ L ∧ T (xi , xs ) < xq }, dan hebben we dat T (xi , xr+1 ) = xq . Indien
dit niet zou gelden, bekomen we T (xi , xr ) = xa ≤ xq−1 en T (xi , xr+1 ) = xb ≥ xq+1 voor
zekere (xa , xb ) ∈ L2 en dus bijgevolg
b − a ≥ (q + 1) − (q − 1) = 2 > 1 = (r + 1) − r,
wat een tegenstrijdigheid oplevert met de Lipschitz voorwaarde.
(iv) ⇒ (i) Er geldt steeds dat T (xj , 0) = 0 en T (xj , 1) = xj . Wegens (iv) volgt dat er
voor iedere xi ≤ xj een xk ∈ L bestaat zodat T (xj , xk ) = xi .
Voorbeeld 2.14. Uit de definities in Voorbeeld 2.2 zien we meteen dat TM en TL glad
zijn. TD is niet glad. Uit Propositie 2.13 volgt dan meteen dat TM en TL deelbaar zijn
maar TD niet.
Voor een volgende eigenschap over deelbaarheid hebben we eerst het begrip ordinale som
nodig.
Gegeven L = {0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1}. Zij R een indexverzameling.
Beschouw Lr = [xir , xir+1 ], ∀r ∈ R. Zij Tr een t-norm gedefinieerd op [xir , xir+1 ] met
r ∈ R. We zullen voor t-normen op [xir , xir+1 ] vaak dezelfde notatie gebruiken als voor
hun tegenhangers op L, zonder dit steeds expliciet te vermelden. In het bijzonder zullen
we de Lukasiewicz t-norm op [xir , xir+1 ], gedefinieerd als T (xi , xj ) = xmax{ir ,i+j−ir+1 } , voor
alle (xi , xj ) ∈ [xir , xir+1 ]2 , eveneens kort als TL noteren. We kunnen dan een nieuwe t-norm
op L construeren als volgt (zie Figuur 2.1):
Tr (xi , xj )
als (xi , xj ) ∈ [xir , xir+1 ]2 ,
T (xi , xj ) =
(2.1)
min{xi , xj } elders.
Definitie 2.15. [24] Zij ([xir , xir+1 ], Tr )r∈R , een familie van deelintervallen van L voorzien
van een t-norm. Dan wordt de t-norm T gedefinieerd door (2.1) de ordinale som van
([xir , xir+1 ], Tr )r∈R genoemd en we noteren dit als
T = h([xir , xir+1 ], Tr )r∈R i.
We noemen (Tr )r∈R de sommanden van de ordinale som.
Propositie 2.16. [24] Zij T = h([xir , xir+1 ], Tr )r∈R i een ordinale som van t-normen. Dan
is T deelbaar als en slechts als Tr deelbaar is voor alle r ∈ R.
10 HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
1
..
.
xir+2
min(xi , xj )
Tr+1
xir+1
Tr
xir
..
.
0
min(xi , xj )
0 . . . xir
xir+1
xir+2 . . . 1
Figuur 2.1: Een ordinale som van t-normen Tr gedefinieerd op de intervallen [xir , xir+1 ].
Bewijs. (Eigen bewijs)
Zij (xi , xj ) ∈ L2 . T is deelbaar als en slechts als er voor iedere xi ≤ xj een xk ∈ L bestaat
zodat xi = T (xj , xk ). We onderscheiden twee gevallen:
1. Stel dat er een r ∈ R bestaat zodat (xi , xj ) ∈ [xir , xir+1 ]2 en xi = T (xj , xk ). Dit
kan alleen maar als (xj , xk ) ∈ [xir , xir+1 ]2 . We bekomen dus dat xi = T (xj , xk ) =
Tr (xj , xk ) moet gelden. In dit geval is de beperking van T tot [xir , xir+1 ]2 deelbaar
als en slechts als Tr deelbaar is.
2. Stel dat er geen r ∈ R bestaat zodat (xi , xj ) ∈ [xir , xir+1 ]2 . Dan T (xi , xj ) =
min{xi , xj } = xi . Als we xk = xi nemen, volgt meteen dat T aan de deelbaarheidsvoorwaarde voldoet voor xi en xj .
Met behulp van deze eenvoudige voorwaarde kunnen we een representatietheorema voor
deelbare t-normen op L geven, gebruikmakend van ordinale sommen.
Eigenschap 2.17. [24] Zij T een t-norm op L met J = {0 = xi0 < xi1 < ... < xim−1 <
xim = 1} de verzameling van idempotente elementen. Zij R de bijhorende indexverzameling. Dan zijn volgende voorwaarden equivalent:
(i) T is deelbaar;
(ii) T is een ordinale som T = h([xir , xir+1 ], Tr )r∈R i, waar iedere Tr deelbaar is en
I(Tr ) = {xir , xir+1 }.
Bewijs.
(ii) ⇒ (i) Volgt meteen uit Propositie 2.16.
(i) ⇒ (ii) Zij xir een niet-triviaal idempotent element van T . Om (ii) te bewijzen, tonen
we eerst aan dat
xi , als xi ≤ xir ,
T (xir , xi ) =
(2.2)
xir , als xi ≥ xir ,
2.1. T-NORMEN EN NEGATOREN
11
of dus dat T (xir , xi ) = min{xir , xi } voor alle xi ∈ L.
Welnu, als xi ≥ xir , dan xir = T (xir , xir ) ≤ T (xir , xi ) ≤ xir , wat bewijst dat T (xir , xi ) =
xir voor alle xi ≥ xir . Aangezien T deelbaar is, volgt dat er voor iedere xi ≤ xir een
xj ∈ L bestaat zodat T (xir , xj ) = xi . Wegens de associativiteit volgt dan
T (xir , xi ) = T (xir , T (xir , xj )) = T (T (xir , xir ), xj ) = xi .
Bijgevolg geldt (2.2). Zij nu (xi , xj ) ∈ L2 . Dan onderscheiden we twee gevallen:
1. Als er een niet-triviaal idempotent element xir van T bestaat met min{xi , xj } ≤
xir ≤ max{xi , xj }, dan geldt
T (xi , xj ) = T (max{xi , xj }, min{xi , xj })
= T (max{xi , xj }, T (xir , min{xi , xj }))
= T (T (max{xi , xj }, xir ), min{xi , xj })
= T (xir , min{xi , xj })
= min{xi , xj }.
2. Als xir ≤ xi ≤ xir+1 en xir ≤ xj ≤ xir+1 , zij Tr dan de beperking van T tot [xir , xir+1 ].
Dan neemt Tr waarden aan in [xir , xir+1 ] en volgt uit (2.2) dat xir+1 diens neutrale
element is. Tr is dus een deelbare t-norm op [xir , xir+1 ] met idempotente elementen
xir en xir+1 .
We hebben dus bewezen dat T een ordinale som is die aan de gegeven voorwaarden
voldoet.
We hebben reeds de klasse van gladde t-normen besproken. Een andere belangrijke soort
zijn de Archimedische t-normen: met behulp van deze t-normen kunnen we immers alle
gladde t-normen karakteriseren.
2.1.2
Archimedische t-normen
Definitie 2.18. [24] Een t-norm T op L wordt Archimedisch genoemd als voor iedere
(m)
(xi , xj ) ∈ (L \ {0, 1})2 een m ∈ N bestaat zodat (xi )T < xj .
We kunnen een Archimedische t-norm op dezelfde manier karakteriseren als op het eenheidsinterval.
Eigenschap 2.19. Een t-norm T is een Archimedische t-norm als en slechts als T enkel
triviale idempotente elementen heeft.
Bewijs. (Eigen bewijs)
⇒ Zij T een Archimedische t-norm en stel dat xi een niet-triviaal idempotent element
(m)
van T is. Dan is (xi )T = xi , ∀m ∈ N, dus voor xj ≤ xi bestaat er geen m ∈ N zodat
(m)
(xi )T < xj .
⇐ Zij T een t-norm met enkel triviale idempotente elementen. Voor elke xi ∈ L \ {0, 1}
(2)
(4)
(2)
(2n )
(2n−1 )
geldt dan: (xi )T < xi en dus ook (xi )T < (xi )T < xi , · · · , dus (xi )T < (xi )T
<
(21 )
(2n )
· · · < (xi )T < xi < 1. Dit zijn n + 2 verschillende elementen als (xi )T 6= 0, maar er
zijn slechts n + 2 elementen in L. Dit levert een strijdigheid op, dus bijgevolg moet er een
(m)
m ∈ N bestaan zodat xi T = 0 < xj .
12 HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
Voorbeeld 2.20. Uit Voorbeeld 2.6 volgt meteen dat TL en TD Archimedische t-normen
zijn. TM is geen Archimedische t-norm.
We kunnen een Archimedische t-norm op de volgende manier karakteriseren:
Propositie 2.21. [24] Zij T een t-norm op L. Dan is T Archimedisch als en slechts als
T (xi , xj ) 6= min{xi , xj }, ∀(xi , xj ) ∈ (L \ {0, 1})2 .
(2.3)
Bewijs.
⇐ Het is duidelijk dat wanneer T aan (2.3) voldoet, deze geen niet-triviale idempotente
elementen heeft. Wegens Eigenschap 2.19 is T dan Archimedisch.
⇒ Zij T Archimedisch en stel 0 < xi ≤ xj < 1 zodat T (xi , xj ) = xi . Neem xk = min{xl |
xl ∈ L ∧ T (xi , xl ) = xi }, dan geldt duidelijk dat 0 < xk ≤ xj < 1 en
T (xi , T (xk , xk )) = T (T (xi , xk ), xk ) = T (xi , xk ) = xi .
Wegens de definitie van xk bekomen we dan dat T (xk , xk ) = xk , wat een tegenstrijdigheid
oplevert met Eigenschap 2.19.
In tegenstelling tot het continue geval, is er in het discrete geval slechts ´e´en gladde Archimedische t-norm.
Propositie 2.22. [24] Er is slechts ´e´en Archimedische gladde t-norm op L, deze is gelijk
aan de Lukasiewicz t-norm TL (xi , xj ) = xmax{0,i+j−(n+1)} .
Bewijs.
TL is duidelijk Archimedisch en glad. Zij T anderzijds een Archimedische gladde t-norm
op L. We bewijzen dat T = TL als volgt:
1. We bewijzen eerst dat T (xn , xn+1−j ) = xn−j (*) voor alle j ∈ {0, 1, ..., n}. Voor j = 0
volgt dit meteen uit de definitie van een t-norm. Aangezien T glad verondersteld
wordt, bekomen we samen met Propositie 2.21 per inductie dat
T (xn , xn ) = xn−1 , T (xn , xn−1 ) = xn−2 , ...
Bovendien is T (xn , xn+1−(n+1) ) = T (xn , x0 ) = x0 .
2. Zij nu i ≥ 2, dan berekenen we T (xn+1−i , xn+1−j ) voor alle j ∈ {0, 1, ..., n + 1}.
We bewijzen per inductie dat
T (xn+1−i , xn+1−j ) =
xn+1−i−j , als j ≤ n + 1 − i,
0,
als j > n + 1 − i.
(2.4)
Stel immers dat (2.4) voldaan is voor i ∈ {1, ..., n}. Gebruikmakende van (*) en
(2.4) vinden we dan dat (2.4) ook voldaan is voor i + 1:
T (xn+1−(i+1) , xn+1−j ) = T (xn−i , xn+1−j )
= T (T (xn , xn+1−i ), xn+1−j )
= T (xn , T (xn+1−i , xn+1−j ))
= T (xn , xmax{0,n+1−(i+j)} )
= max{x0 , xn+1−(i+1+j) }.
2.1. T-NORMEN EN NEGATOREN
13
Er volgt dat T (xi , xj ) = xmax{i+j−(n+1),0} .
Gebruikmakend van de vorige eigenschappen kunnen we een praktischere versie van Eigenschap 2.17 geven.
In het continue geval geldt dat een t-norm T continu is als en slechts als T de ordinale som
is van continue Archimedische t-normen [14]. Op gelijkaardige wijze kunnen we de klasse
van gladde t-normen karakteriseren als ordinale sommen van Lukasiewicz t-normen. Als
J een deelverzameling is van L die 0 en 1 bevat, dan is er namelijk slechts 1 gladde t-norm
op L die J als verzameling van idempotente elementen heeft:
Eigenschap 2.23. [24] Een t-norm T op L is glad als en slechts als er een m ∈ N bestaat
met 0 < m ≤ n + 1 en een deelverzameling J van L, J = {0 = xi0 < xi1 < ... < xim−1 <
xim = 1} zodat T gegeven wordt door:

 xmax{ik ,i+j−ik+1 } , als er een idempotent xik ∈ J bestaat
zodat (xi , xj ) ∈ [xik , xik+1 ]2 ,
T (xi , xj ) =
(2.5)

min{xi , xj },
elders.
Bewijs.
⇒ Zij T een gladde t-norm met J = {0 = xi0 < xi1 < ... < xim−1 < xim = 1} de
verzameling van diens idempotente elementen. Dan is T deelbaar wegens Propositie 2.13,
bijgevolg kunnen we Eigenschap 2.17 toepassen. We bekomen dat voor iedere (xi , xj ) ∈ L2
geldt:
1. Als er een xik ∈ J bestaat zodat min{xi , xj } ≤ xik ≤ max{xi , xj }, dan T (xi , xj ) =
min{xi , xj }.
2. De beperking van T tot het interval [xik , xik+1 ], voor 0 ≤ k ≤ m, is wegens Eigenschap 2.19 een Archimedische deelbare (en dus gladde) t-norm op dit interval. Uit
Propositie 2.22 volgt dan dat T (xi , xj ) = xmax{ik ,i+j−ik+1 } .
⇐ Indien T gegeven wordt door (2.5), dan volgt wegens Eigenschap 2.17 dat T deelbaar
is. Wegens Propositie 2.13 is T ook glad.
Voorbeeld 2.24. [24] Noteer de t-norm in (2.5) door T J .
(i) Als m = 1, dan is J = {0, 1} en bekomen we T J = TL .
(ii) Als m = n + 1, dan is J = L en bekomen we T J = TM .
(iii) Uit Eigenschap 2.23 volgt dat TL ≤ T J ≤ TM voor iedere gladde t-norm T J : zij
namelijk (xi , xj ) ∈ L2 . Dan TL (xi , xj ) = xmax{0,i+j−(n+1)} . Er geldt steeds dat
0 ≤ max{ik , i + j − ik+1 }, alsook i + j − (n + 1) ≤ i + j − ik+1 ≤ max{ik , i + j − ik+1 }.
Er volgt meteen dat TL (xi , xj ) ≤ T J (xi , xj ) voor iedere (xi , xj ) ∈ L. Bovendien
geldt T ≤ TM voor iedere t-norm T (Propositie 2.8), dus ook T J ≤ TM .
Voorbeeld 2.25. [24] Zij L = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1} en J = {0, 0.4,
1}. Wegens Eigenschap 2.23 bestaat er een unieke gladde t-norm T J op L met I(T J ) = J.
Deze t-norm wordt gegeven door

 xmax{0,i+j−4} , als (xi , xj ) ∈ [0, 0.4]2 ,
J
xmax{4,i+j−10} , als (xi , xj ) ∈ [0.4, 1]2 ,
T (xi , xj ) =

min{xi , xj },
elders.
Expliciet bekomen we de resultaten in Tabel 2.1.
14 HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
T
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.1 0.2
0
0
0
0
0
0
0
0.1
0.1 0.2
0.1 0.2
0.1 0.2
0.1 0.2
0.1 0.2
0.1 0.2
0.1 0.2
0.3
0
0
0.1
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.5 0.6
0
0
0.1 0.1
0.2 0.2
0.3 0.3
0.4 0.4
0.4 0.4
0.4 0.4
0.4 0.4
0.4 0.4
0.4 0.5
0.5 0.6
0.7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8 0.9
0
0
0.1 0.1
0.2 0.2
0.3 0.3
0.4 0.4
0.4 0.4
0.4 0.5
0.5 0.6
0.6 0.7
0.7 0.8
0.8 0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tabel 2.1: De enige gladde t-norm op L = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1} met
idempotente elementen 0, 0.4 en 1.
Gevolg 2.26. [24] Er bestaan precies 2n verschillende gladde t-normen op L = {0 = x0 <
x1 < ... < xn < xn+1 = 1}.
Bewijs.
Noteer T (L) de verzameling van alle gladde t-normen op L. Definieer de functie Ψ :
T (L) → P(L \ {0, 1}) tussen de verzameling van alle gladde t-normen op L en de machtsklasse van {x1 , x2 , ..., xn } door Ψ(T ) = J \ {0, 1} (de verzameling van niet-triviale idempotente elementen van T ). Dan is Ψ bijectief wegens Eigenschap 2.23. Bijgevolg bestaan
er precies 2n verschillende t-normen op L.
Gevolg 2.27. [24] Zij T1 en T2 gladde t-normen op L met I(T1 ) = J1 en I(T2 ) = J2 .
Dan is Ψ(T1 ) = J1 \ {0, 1} en Ψ(T2 ) = J2 \ {0, 1}. Er geldt dat:
T1 ≤ T2 als en slechts als Ψ(T1 ) ⊆ Ψ(T2 ).
Bewijs.
⇒ Zij T1 ≤ T2 , dan hebben we xi = T1 (xi , xi ) ≤ T2 (xi , xi ) ≤ xi voor alle xi ∈ Ψ(T1 ) en
bijgevolg xi ∈ Ψ(T2 ).
⇐ Veronderstel dat Ψ(T1 ) ⊆ Ψ(T2 ).
(a) Als min{xi , xj } ≤ xik ≤ max{xi , xj } geldt voor een xik ∈ Ψ(T1 ) ⊆ Ψ(T2 ), dan
T1 (xi , xj ) = T2 (xi , xj ) = min{xi , xj } wegens Eigenschap 2.23.
(b) Als (xi , xj ) ∈ [xik xik+1 ]2 voor (xik , xik+1 ) ∈ (Ψ(T1 ))2 ⊆ (Ψ(T2 ))2 , dan volgt uit
Voorbeeld 2.24 (iii) dat T1 (xi , xj ) = xmax{ik ,i+j−ik+1 } ≤ T2 (xi , xj ).
2.1.3
Niet-gladde t-normen
Een derde en laatste klasse van t-normen die we bespreken, is deze van de niet-gladde
t-normen.
2.1. T-NORMEN EN NEGATOREN
15
Er zijn verschillende niet-gladde t-normen op L. In Voorbeeld 2.14 zagen we reeds
dat TD niet glad is. Uit Propositie 2.16 weten we bovendien dat iedere ordinale som
waarvan minstens een van de sommanden niet glad is, niet glad is. Een ordinale som
T = h([xir , xir+1 ], Tr )r∈R i waarbij er een r ∈ R bestaat zodat Tr = TD is bijvoorbeeld een
niet-gladde t-norm. Een ander belangrijk voorbeeld is het nilpotent minimum (Figuur
2.2):
x0 ,
als i + j ≤ n + 1,
nM
T (xi , xj ) =
min{xi , xj }, elders.
xn+1
min{xi , xj }
x0
x0
x0
xn+1
Figuur 2.2: De vorm van het nilpotent minimum T nM .
Als we het minimum vervangen door een andere gladde t-norm, bekomen we de volgende
veralgemening van het nilpotent minimum:
Definitie 2.28. [21] Zij T een gladde t-norm op L en N de sterke negator. Definieer de
operator T(N ) : L × L → L door
T(N ) (xi , xj ) =
x0 ,
als i + j ≤ n + 1,
T (xi , xj ), elders.
Zij T en T 0 t-normen, dan zeggen we dat T en T 0 gelijkaardig zijn ten opzichte van N ,
genoteerd als T ↔N T 0 als T(N ) = T 0 (N ) .
Voor eender welke gladde t-norm T is de operator T(N ) commutatief, stijgend en geldt
T(N ) (xi , 1) = xi voor alle xi ∈ L. Opdat T(N ) een t-norm zou zijn, moet de associativiteitsvoorwaarde nog voldaan zijn. Volgende eigenschap karakteriseert gladde t-normen T
waarvoor T(N ) ook een t-norm is.
Eigenschap 2.29. [21] Zij T een gladde t-norm, dan is T(N ) een t-norm als en slechts als
er een xk ∈ L bestaat zodat N (xk ) ≤ xk en T ↔N T Jk , waarbij T Jk staat voor de enige
gladde t-norm met Jk = [x0 , N (xk )] ∪ [xk , xn+1 ] de verzameling van diens idempotente
elementen. In dit geval wordt de uitdrukking voor T(N ) gegeven door

als i + j ≤ n + 1,
 x0 ,
xi+j−k ,
als i + j > n + 1 en (i, j) ∈ [n + 1 − k, k]2 ,
T(N ) (xi , xj ) =
(2.6)

min{xi , xj }, elders.
De structuur van T(N ) wordt weergegeven in Figuur 2.3.
16 HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
xn+1
min{xi , xj }
xk
xi+j−k
x0
N (xk )
x0
x0
N (xk )
xk
xn+1
Figuur 2.3: De algemene vorm van de t-norm T(N ) .
Bewijs.
⇐ Als T(N ) gegeven wordt door (2.6), dan is T(N ) duidelijk commutatief, stijgend en
geldt T(N ) (xi , 1) = xi voor alle xi ∈ L. T(N ) is bijgevolg een t-norm als T(N ) associatief is.
We tonen dit aan door gevalsonderscheiding:
1. Zij i + j ≤ n + 1 of j + l ≤ n + 1 of i + l ≤ n + 1. We beschouwen eerst het geval
i + j ≤ n + 1. Dan
T(N ) (T(N ) (xi , xj ), xl ) = T(N ) (x0 , xl ) = x0
en ook
T(N ) (xi , T(N ) (xj , xl )) = x0 ,
want i + m ≤ i + min{j, l} ≤ i + j ≤ n + 1 met xm = T(N ) (xj , xl ) ≤ min{xj , xl }.
Analoog is
T(N ) (xj , T(N ) (xi , xl )) = x0
als i+j ≤ n+1. Wegens de commutativiteit van T(N ) zijn dus de gevallen i+j ≤ n+1,
j + l ≤ n + 1 en i + l ≤ n + 1 besproken.
2. Zij i + j > n + 1, j + l > n + 1 en i + l > n + 1.
(i) Stel (i, j, l) ∈ [n + 1 − k, k]3 , dan
T(N ) (T(N ) (xi , xj ), xl ) = T(N ) (xi+j−k , xl )
x0 ,
als i + j + l − k ≤ n + 1,
=
xi+j+l−2k , elders.
Op analoge wijze bekomen we dat
x0 ,
als i + j + l − k ≤ n + 1,
T(N ) (xi , T(N ) (xj , xl )) =
xi+j+l−2k , elders,
en analoog voor T(N ) (xj , T(N ) (xi , xl )). We besluiten dat T(N ) (T(N ) (xi , xj ), xl ) =
T(N ) (xi , T(N ) (xj , xl )) = T(N ) (xj , T(N ) (xi , xl )).
2.1. T-NORMEN EN NEGATOREN
17
(ii) Stel (i, j) ∈ [n + 1 − k, k]2 en l ∈
/ [n + 1 − k, k]. Merk op dat uit i + l > n + 1
en i ≤ k volgt dat l > n + 1 − i ≥ n + 1 − k. Dus l > k. We vinden:
T(N ) (T(N ) (xi , xj ), xl ) = T(N ) (xi+j−k , xl )
= xi+j−k
= T(N ) (xi , min{xj , xl })
= T(N ) (xi , T(N ) (xj , xl ))
= T(N ) (xj , T(N ) (xi , xl )),
waarbij de laatste gelijkheid op analoge wijze volgt. De tweede gelijkheid geldt
als volgt: als k < l ≤ n + 1, dan i + j + l − k > n + 1. Dit geeft xmin{i+j−k,l} =
xi+j−k . De vierde gelijkheid bekomen we op volgende wijze: als k < l ≤ n + 1,
dan T(N ) (xi , min{xj , xl }) = T(N ) (xi , xj ) = xi+j−k . Wegens de commutativiteit
van T(N ) zijn ook de gevallen “(j, l) ∈ [n + 1 − k, k]2 , i ∈
/ [n + 1 − k, k]” en
2
“(i, l) ∈ [n + 1 − k, k] , j ∈
/ [n + 1 − k, k]” besproken.
(iii) Stel j ∈
/ [n + 1 − k, k] en l ∈
/ [n + 1 − k, k], dan
T(N ) (T(N ) (xi , xj ), xl ) = T(N ) (min{xi , xj }, xl )
= min{min{xi , xj }, xl }
= min{xi , xj , xl }
= min{xi , min{xj , xl }}
= T(N ) (xi , min{xj , xl })
= T(N ) (xi , T(N ) (xj , xl )
= T(N ) (xj , T(N ) (xi , xl ),
waarbij de laatste gelijkheid op analoge wijze volgt. Wegens de commutativiteit
van T(N ) zijn dus de gevallen “i ∈
/ [n + 1 − k, k], j ∈
/ [n + 1 − k, k]” en “i ∈
/
[n + 1 − k, k], l ∈
/ [n + 1 − k, k]” eveneens besproken .
⇒ Zij T een gladde t-norm zodat ook T(N ) een t-norm is. We tonen aan dat T ↔N T Jk
en dat T(N ) gegeven wordt door (2.6):
1. Eerst tonen we aan dat als xj een idempotent element van T is met xn+1−j ≤ xj , dan
is ook xj+1 idempotent. Stel dat xj+1 niet idempotent is. Aangezien xj idempotent
is en xn+1−j ≤ xj < xj+1 , vinden we dat
T(N ) (T(N ) (xn+1−j , xj+1 ), xj+1 ) = T(N ) (xn+1−j , xj+1 ) = xn+1−j .
Aangezien xj+1 niet idempotent is, geldt wegens de definitie van T(N ) dat
T(N ) (xn+1−j , T(N ) (xj+1 , xj+1 )) = T(N ) (xn+1−j , xj ) = x0 ,
wat een tegenstrijdigheid oplevert met de associativiteit van T(N ) .
2. Zij xk het kleinste idempotente element van T zodat xn+1−k ≤ xk .
◦ Als xn+1−k = xk , hebben we dat T ↔N min.
18 HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
◦ Als xn+1−k < xk , dan moet T een ordinale som zijn met een Archimedische
term op een interval [xl , xk ] voor een xl < xn+1−l , wegens de minimaliteit van
xk . We tonen aan dat xl ≤ xn+1−k . Om dit te bewijzen, merken we op dat als
xl > xn+1−k zou gelden, dan zouden we hebben dat:
T(N ) (T(N ) (xn+1−l , xl+1 ), xk−1 ) = T(N ) (xmax{l,n+1−l+l+1−k} , xk−1 )
= T(N ) (xmax{l,n+1−k+1} , xk−1 )
= T(N ) (xl , xk−1 )
= xmax{l,l+k−1−k}
= xmax{l,l−1}
= xl ,
waarbij de derde gelijkheid volgt uit l − 1 ≥ n + 1 − k, en ook
T(N ) (xn+1−l , T(N ) (xl+1 , xk−1 )) = T(N ) (xn+1−l , xmax{l,l+1+k−1−k} )
= T(N ) (xn+1−l , xl )
= x0 .
Dit levert een tegenstrijdigheid op met de associativiteit van T(N ) .
3. In deze laatste stap tonen we aan dat als xl ≤ xn+1−k , er geldt dat T ↔N T Jk en
dat T(N ) gegeven wordt door (2.6).
◦ Uit de definitie volgt dat T(N ) (xi , xj ) en T Jk (N ) (xi , xj ) verdwijnen als xj ≤
N (xi ) = xn+1−i .
◦ Als (xi , xj ) ∈ [xn+1−k , xk ]2 en xj > xn+1−i , dan hebben we
T Jk (N ) (xi , xj ) = xmax{n+1−k,i+j−k} = xi+j−k
en
T(N ) (xi , xj ) = xmax{l,i+j−k} = xi+j−k ,
aagezien xi+j−k > xn+1−k ≥ xl .
Jk
◦ Het is duidelijk dat T(N ) (xi , xj ) en T(N
) (xi , xj ) het minimum zijn in de andere
gevallen.
Dit vervolledigt het bewijs.
2.2. T-CONORMEN
2.2
19
T-conormen
Definitie 2.30. [24] Een triangulaire conorm, of kortweg t-conorm, op L is een
functie S : L × L → L zodat voor iedere (xi , xj , xk ) ∈ L3 volgende axioma’s voldaan zijn:
(S1) S(xi , xj ) = S(xj , xi )
(commutativiteit),
(S2) S(S(xi , xj ), xk ) = S(xi , S(xj , xk ))
(associativiteit),
(S3) S(xi , xj ) ≤ S(xi , xk ) voor xj ≤ xk
(stijgend),
(S4) S(xi , 0) = xi
(neutraal element).
Voorbeeld 2.31. De drie basis t-conormen op L zijn het maximum SM , de Lukasiewicz
t-conorm SL en de drastische t-conorm SD , welke, voor alle (xi , xj ) ∈ L2 , gegeven worden
door:
SM (xi , xj ) = max{xi , xj };
SL (xi , xj ) = xmin{n+1,i+j} ;
1,
als min{xi , xj } =
6 0,
SD (xi , xj ) =
max{xi , xj }, als min{xi , xj } = 0.
Merk op dat SP (xi , xj ) = xi + xj − xi · xj geen t-conorm is op L: (S1)–(S4) zijn voldaan,
maar er geldt niet noodzakelijk dat SP (xi , xj ) gedefinieerd is als L * R.
Definitie 2.32. [24] Zij N de sterke negator, T een t-norm en S een t-conorm. Dan
defini¨eren we de N-duale t-conorm van T door T ∗ met
T ∗ (xi , xj ) = N (T (N (xi ), N (xj ))), ∀(xi , xj ) ∈ L2 .
De N-duale t-norm van S definie¨ren we als S ∗ met
S ∗ (xi , xj ) = N (S(N (xi ), N (xj ))), ∀(xi , xj ) ∈ L2 .
Het is eenvoudig te zien dat T ∗ (S ∗ ) aan de definitie van een t-conorm (t-norm) voldoet:
(S1) Zij (xi , xj ) ∈ L2 . Dan
T ∗ (xi , xj ) = N (T (N (xi ), N (xj )))
= N (T (N (xj ), N (xi )))
= T ∗ (xj , xi ).
Dus T ∗ is commutatief.
(S2) Zij (xi , xj ) ∈ L2 . Dan
T ∗ (xi , T ∗ (xj , xk )) = N (T (N (xi ), N (T ∗ (xj , xk ))))
= N (T (N (xi ), N (N (T (N (xj ), N (xk ))))))
= N (T (N (xi ), T (N (xj ), N (xk ))))
= N (T (T (N (xi ), N (xj )), N (xk )))
= N (T (N (N (T (N (xi ), N (xj )))), N (xk )))
= T ∗ (T ∗ (xi , xj ), xk ).
Dus T ∗ is associatief.
20 HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
(S3) Zij xi ≤ xk , dan N (xi ) ≥ N (xk ). Bijgevolg T (N (xi ), N (xj )) ≥ T (N (xk ), N (xj )).
Er volgt dat N (T (N (xi ), N (xj ))) ≤ N (T (N (xk ), N (xj ))), dus T ∗ is stijgend.
(S4) Zij xi ∈ L, dan
T ∗ (xi , 0) = N (T (N (xi ), N (0)))
= N (T (N (xi ), 1))
= N (N (xi ))
= xi .
Het bewijs voor S ∗ is analoog.
Propositie 2.33. [24] Zij N de sterke negator, T een t-norm en S een t-conorm. Dan
geldt (T ∗ )∗ = T en (S ∗ )∗ = S.
Bewijs. (Eigen bewijs)
We vinden:
(T ∗ )∗ (xi , xj ) = N (T ∗ (N (xi ), N (xj )))
= N (N (T (N (N (xi )), N (N (xj )))))
= T (xi , xj ),
wegens de involutiviteit van N . Het bewijs voor (S ∗ )∗ = S is analoog.
Door deze N -dualiteit kunnen we de eigenschappen van t-normen omvormen naar de
overeenkomstige eigenschappen van t-conormen en omgekeerd.
Definitie 2.34. [24] Zij N de sterke negator, T een t-norm en S een t-conorm zodat
S = T ∗ (of T = S ∗ ), dan noemen we (T, S) een duaal paar.
Voorbeeld 2.35. [24]
1. (TM , SM ) is een duaal paar. Voor alle (xi , xj ) ∈ L2 geldt immers:
(TM )∗ (xi , xj ) = N (min{N (xi ), N (xj )})
= N (xmin{n+1−i,n+1−j} )
= xn+1−min{n+1−i,n+1−j}
= xmax{i,j}
= SM (xi , xj ).
2. (TD , SD ) is een duaal paar. Voor alle (xi , xj ) ∈ L2 geldt immers:
(TD )∗ (xi , xj ) = N (TD (N (xi ), N (xj )))
= N (TD (xn+1−i , xn+1−j ))
N (0),
als max{xn+1−i , xn+1−j } =
6 1,
=
N (min{xn+1−i , xn+1−j }), als max{xn+1−i , xn+1−j } = 1,
1,
als min{xi , xj } =
6 0,
=
max{xi , xj }, als min{xi , xj } = 0,
= SD (xi , xj ).
2.2. T-CONORMEN
21
3. (TL , SL ) is een duaal paar. Voor alle (xi , xj ) ∈ L2 geldt immers:
(TL )∗ (xi , xj ) = N (TL (N (xi ), N (xj )))
= N (TL (xn+1−i , xn+1−j ))
= N (xmax{(n+1−i)+(n+1−j)−(n+1),0} )
= N (xmax{n+1−(i+j),0} )
= xn+1−max{n+1−(i+j),0}
xi+j , als i + j ≤ n + 1,
=
xn+1 , als i + j ≥ n + 1,
= xmin{n+1,i+j}
= SL (xi , xj ).
Alvorens we overgaan naar eigenschappen van t-conormen, geven we eerst de definitie van
idempotente en nilpotente elementen van een t-conorm.
Definitie 2.36. Zij S een t-conorm op L. We noemen een element xi ∈ L een idempotent element van S als S(xi , xi ) = xi . We noteren de verzameling van idempotente
elementen van S door I(S). We noemen een element xi ∈ L \ {1} een nilpotent element
(m)
van S als er een m ∈ N bestaat zodat (xi )S = 1, waarbij
xi ,
als m = 1,
(m)
(xi )S =
(m−1)
S((xi )S
, xi ), als m ≥ 2.
We noteren de verzameling van nilpotente elementen van S door N (S).
Uit de definitie van een t-conorm volgt meteen dat de elementen 0 en 1 idempotente
elementen zijn voor iedere t-conorm. We noemen deze dan ook de triviale idempotente
elementen. Een t-conorm noemen we idempotent als alle elementen in L idempotente
elementen zijn en nilpotent als alle elementen in L \ {0, 1} nilpotente elementen zijn.
Voorbeeld 2.37. [4] De drie basis t-conormen hebben volgende idempotente en nilpotente elementen:
1. I(SM ) = L en N (SM ) = ∅;
2. I(SL ) = {0, 1} en N (SL ) = L \ {0, 1};
3. I(SD ) = {0, 1} en N (SD ) = L \ {0, 1}.
We bespreken enkele basiseigenschappen van t-conormen. De bewijzen zijn analoog als
deze voor t-normen, wegens de N -dualiteit.
Propositie 2.38. [24] Zij S een t-conorm op L. Dan:
(i) SM ≤ S ≤ SD , t.t.z. SM is de kleinste t-conorm, SD de grootste;
(ii) S(xi , 1) = S(1, xi ) = 1 voor iedere xi ∈ L;
(iii) SM is de enige idempotente t-conorm op L.
Wegens (i) geldt bovendien dat SM ≤ SL ≤ SD .
We bespreken enkele belangrijke klassen van t-conormen. Zo’n eerste klasse is die van de
gladde t-conormen.
22 HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
2.2.1
Gladde t-conormen
Definitie 2.39. [24] Een t-conorm S op L wordt deelbaar genoemd als er voor iedere
(xi , xj ) ∈ L2 met xi ≤ xj een xk ∈ L bestaat zodat
xj = S(xi , xk ).
Definitie 2.40. Een t-conorm S noemen we glad als voor iedere (xi , xj , xk , xl , xm ) ∈ L5
met i > 0 en j > 0 geldt dat
(S(xi , xj ) = xk ∧ S(xi−1 , xj ) = xl ∧ S(xi , xj−1 ) = xm )
=⇒ (k − 1 ≤ l ≤ k ∧ k − 1 ≤ m ≤ k).
Propositie 2.41. [24] Een t-norm T (t-conorm S) is glad als en slechts als zijn N -duale
T ∗ (S ∗ ) dit ook is.
Bewijs. (Eigen bewijs)
T ∗ is glad
⇐⇒ (∀xj ∈ L)(∀xi ∈ L \ {0})(T ∗ (xi , xj ) = xk ∧ T ∗ (xi−1 , xj ) = xl =⇒ k − 1 ≤ l ≤ k)
⇐⇒ (∀xj ∈ L)(∀xi ∈ L \ {0})(N (T (N (xi ), N (xj ))) = xk ∧ N (T (N (xi−1 ), N (xj ))) = xl
=⇒ k − 1 ≤ l ≤ k)
⇐⇒ (∀xj ∈ L)(∀xi ∈ L \ {0})(T (xn+1−i , xn+1−j ) = xn+1−k ∧ T (xn+1−(i−1) , xn+1−j ) =
xn+1−l =⇒ k − 1 ≤ l ≤ k)
⇐⇒ (∀xs ∈ L)(∀xr ∈ L \ {1})(T (xr , xs ) = xp ∧ T (xr+1 , xs ) = xq =⇒ p + 1 ≥ q ≥ p)
⇐⇒ T is glad,
waarbij n + 1 − i = r, n + 1 − j = s, n + 1 − k = p en n + 1 − l = q. Wegens de dualiteit
geldt de eigenschap ook voor een t-conorm S.
Definitie 2.42. [24] We zeggen dat een t-conorm S op L voldoet aan de Lipschitz
voorwaarde als voor iedere (xi , xj , xk ) ∈ L3 met xi ≤ xk :
S(xk , xj ) = xl ∧ S(xi , xj ) = xm =⇒ l − m ≤ k − i.
Voor deze bijzondere soorten t-conormen gelden enkele eigenschappen, waaronder eerst
en vooral de equivalentie van bovenstaande definities.
Propositie 2.43. Zij S een t-norm op L, dan zijn volgende uitspraken equivalent:
(i) S is deelbaar;
(ii) S is glad;
(iii) S voldoet aan de Lipschitz voorwaarde;
(iv) S voldoet aan de middelwaardestelling, t.t.z. voor alle (xi , xj , xk ) ∈ L3 met xj ≤ xk
en voor alle xq ∈ [S(xi , xj ), S(xi , xk )] geldt dat er een xl ∈ L bestaat met xl ∈ [xj , xk ]
zodat S(xi , xl ) = xq .
2.2. T-CONORMEN
23
Voorbeeld 2.44. Uit de definities in Voorbeeld 2.31 zien we meteen dat SM en SL glad
zijn, SD is niet glad. Uit Propositie 2.43 volgt dan meteen dat SM en SL deelbaar zijn
maar SD niet.
Voor een volgende eigenschap over deelbaarheid hebben we eerst het begrip ordinale som
nodig.
Gegeven L = {0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1}. Zij R een indexverzameling.
Beschouw Lr = [xir , xir+1 ], ∀r ∈ R. Zij Sr een t-conorm gedefinieerd op [xir , xir+1 ] met
r ∈ R. We kunnen dan een nieuwe t-conorm op L construeren als volgt (zie Figuur 2.4):
Sr (xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [xir , xir+1 ]2 ,
S(xi , xj ) =
(2.7)
max{xi , xj }, elders.
De tegenhanger op [xir , xir+1 ] van de Lukasiewicz t-conorm zullen we eveneens noteren
als SL . De uitdrukking voor (xi , xj ) ∈ [xir , xir+1 ]2 wordt dan gegeven door SL (xi , xj ) =
xmin{ir+1 ,i+j−ir } .
1
..
.
xir+2
max(xi , xj )
Sr+1
xir+1
Sr
x ir
..
.
0
max(xi , xj )
0 . . . x ir
xir+1
xir+2 . . . 1
Figuur 2.4: Een ordinale som van t-conormen Sr gedefinieerd op de intervallen [xir , xir+1 ].
Definitie 2.45. Zij ([xir , xir+1 ], Sr ), r ∈ R, een familie van t-normen. Dan wordt de
t-conorm S gedefinieerd door (2.7) de ordinale som van ([xir , xir+1 ], Sr )r∈R , genoemd en
we noteren dit als
S = h([xir , xir+1 ], Sr )r∈R i.
Propositie 2.46. Zij S = h([xir , xir+1 ], Sr )r∈R i een ordinale som van t-conormen. Dan
is S deelbaar als en slechts als Sr deelbaar is voor alle r ∈ R.
Met behulp van deze eenvoudige voorwaarde kunnen we een representatietheorema voor
deelbare t-conormen op L geven, gebruik makend van ordinale sommen.
Eigenschap 2.47. Zij S een t-conorm op L met J = {0 = xi0 < xi1 < ... < xim−1 < xim =
1} de verzameling van idempotente elementen. Zij R de bijhorende indexverzameling. Dan
zijn volgende voorwaarden equivalent:
(i) S is deelbaar;
(ii) S is een ordinale som S = h([xir , xir+1 ], Sr )r∈R i, waar iedere Sr deelbaar is en
I(Sr ) = {xir , xir+1 }.
24 HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
We hebben reeds de klassen van gladde t-conormen besproken. Een andere belangrijke
soort zijn de Archimedische t-conormen: met behulp van deze t-conormen kunnen we
immers alle gladde t-conormen karakteriseren.
2.2.2
Archimedische t-conormen
Definitie 2.48. [24] Een t-conorm S op L wordt Archimedisch genoemd als voor iedere
(m)
(xi , xj ) ∈ (L \ {0, 1})2 een m ∈ N bestaat zodat (xi )S > xj .
Propositie 2.49. [24] Een t-norm T is Archimedisch als en slechts als zijn N -duale T ∗
dit ook is.
Bewijs. (Eigen bewijs)
T is Archimedisch op L als en slechts als voor ieder koppel (xi , xj ) ∈ L2 een m ∈ N
(m)
bestaat zodat (xi )T < xj . Dit laatste is equivalent met
(m)
(m−1)
N ((xi )T ∗ ) = N (T ∗ ((xi )T ∗
(m−1)
= T (N ((xi )T ∗
, xi ))
, N (xi )))
(m−2)
= T (N (T ∗ ((xi )T ∗
(m−2)
= T (T (N ((xi )T ∗
= ...
, xi ), N (xi )))
), N (xi )), N (xi ))
(m)
= (N (xi ))T
> N (xj ),
(m)
wat impliceert dat (xi )T ∗ < xj , wat net betekent dat T ∗ Archimedisch is.
Eigenschap 2.50. Een t-conorm S is de Archimedische t-conorm als en slechts als S
enkel triviale idempotente elementen heeft.
Voorbeeld 2.51. Uit Voorbeeld 2.37 volgt meteen dat SL en SD Archimedische tconormen zijn. SM is geen Archimedische t-conorm.
We kunnen een Archimedische t-conorm op de volgende manier karakteriseren:
Propositie 2.52. Zij S een t-conorm op L. Dan is S Archimedisch als en slechts als
S(xi , xj ) 6= max{xi , xj }, ∀(xi , xj ) ∈ (L \ {0, 1})2 .
Propositie 2.53. [20] Er is slechts 1 Archimedische gladde t-conorm op L, namelijk de
duale van de Archimedische t-norm, en wordt gegeven door S(xi , xj ) = xmin{n+1,i+j} . Dit
is de Lukasiewicz t-conorm SL .
We kunnen nu de klasse van gladde t-conormen karakteriseren als ordinale sommen van
Lukasiewicz t-conormen. Als J een deelverzameling is van L die 0 en 1 bevat, dan is er
namelijk slechts 1 gladde t-conorm op L die J als verzameling van idempotente elementen
heeft:
2.2. T-CONORMEN
25
Eigenschap 2.54. [24] Een t-conorm S op L is glad als en slechts als er een m ∈ N
bestaat met 0 < m ≤ n + 1 en een deelverzameling J van L, J = {0 = xi0 < xi1 < ... <
xim−1 < xim = 1} zodat S gegeven wordt door:

 xmin{ik+1 ,i+j−ik } , als er een idempotent xik ∈ J bestaat
zodat (xi , xj ) ∈ [xik , xik+1 ]2 ,
(2.8)
S(xi , xj ) =

max{xi , xj },
elders.
Ook zien we hier in dat deze eigenschap in feite dezelfde is als Eigenschap 2.47.
Voorbeeld 2.55. Noteer de t-conorm in (2.8) door S J .
(i) Als m = 1, dan is J = {0, 1} en bekomen we S J = SL .
(ii) Als m = n + 1, dan is J = L en bekomen we S J = SM .
(iii) Uit Eigenschap 2.54 volgt dat SM ≤ S J ≤ SL voor iedere gladde t-conorm S J .
Voorbeeld 2.56. Zij L = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1} en J = {0, 0.4, 1}.
Wegens Eigenschap 2.54 bestaat er een unieke gladde t-conorm S J op L met I(S J ) = J.
Deze t-conorm wordt gegeven door

als (xi , xj ) ∈ [0, 0.4]2 ,
 xmin{4,i+j} ,
xmin{10,i+j−4} , als (xi , xj ) ∈ [0.4, 1]2 ,
S J (xi , xj ) =

max{xi , xj }, elders.
Expliciet bekomen we de resultaten in Tabel 2.2.
S
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1
0 0.1
0.1 0.2
0.2 0.3
0.3 0.4
0.4 0.4
0.5 0.5
0.6 0.6
0.7 0.7
0.8 0.8
0.9 0.9
1
1
0.2 0.3
0.2 0.3
0.3 0.4
0.4 0.4
0.4 0.4
0.4 0.4
0.5 0.5
0.6 0.6
0.7 0.7
0.8 0.8
0.9 0.9
1
1
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.6 0.7
0.6 0.7
0.6 0.7
0.6 0.7
0.6 0.7
0.6 0.7
0.7 0.8
0.8 0.9
0.9
1
1
1
1
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.9
1
1
1
1
1
0.9
0.9
0.9
0.9
0.9
0.9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Tabel 2.2: De enige gladde t-conorm op L = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1}
met idempotente elementen 0, 0.4 en 1.
Gevolg 2.57. Er bestaan precies 2n verschillende gladde t-conormen op L = {0 = x0 <
x1 < ... < xn < xn+1 = 1}.
Noteer S(L) de verzameling van alle gladde t-conormen op L. Definieer de functie Φ :
S(L) → P(L \ {0, 1}) tussen de verzameling van alle gladde t-conormen op L en de
machtsklasse van {x1 , x2 , ..., xn } door Φ(S) = J(S) \ {0, 1} (de verzameling van niettriviale idempotente elementen van S).
26 HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
Gevolg 2.58. [24] Zij S1 en S2 gladde t-normen op L met I(S1 ) = J1 en I(S2 ) = J2 .
Dan is Φ(S1 ) = J1 \ {0, 1} en Φ(S2 ) = J2 \ {0, 1}. Er geldt dat:
S1 ≤ S2 als en slechts als Φ(S2 ) ⊆ Φ(S1 ).
Om deze sectie af te sluiten, geven we de relatie tussen de vergelijking van Frank en gladde
t-normen en t-conormen.
Propositie 2.59. [24] Een paar (T, S), waarbij T een t-norm is en S een t-conorm op
L, is een oplossing van de vergelijking
T (xi , xj ) = xl ∧ S(xi , xj ) = xm =⇒ l + m = i + j, ∀(xi , xj ) ∈ L2
(2.9)
als en slechts als T en S glad zijn en I(T ) = I(S).
Bewijs.
⇐ Veronderstel dat T en S glad zijn en dezelfde idempotente elementen hebben, namelijk
J = {0 = xi0 < xi1 < ... < xim−1 < xim = 1} met 0 < m ≤ n + 1. Wegens Eigenschap 2.23
en Eigenschap 2.54 kennen we de structuur van T en S. Het is duidelijk dat onder deze
omstandigheden voor alle (xi , xj ) ∈ [xik , xik+1 ]2 geldt dat als T (xi , xj ) = xl en S(xi , xj ) =
xm :
l + m = max{ik , i + j − ik+1 } + min{ik+1 , i + j − ik } = i + j.
In alle andere gevallen geldt dat
l + m = min{i, j} + max{i, j} = i + j.
Bijgevolg voldoet (T, S) aan (2.9).
⇒ Als (T, S) aan (2.9) voldoet, voor alle (xi , xj ) ∈ L2 , dan volgt meteen dat T en S
dezelfde idempotente elementen hebben. Om aan te tonen dat T en S glad zijn, volstaat
het volgens Propositie 2.13 en Propositie 2.43 om te bewijzen dat ze aan de Lipschitz
voorwaarde voldoen. Uit de Frankvergelijking, weten we dat voor alle (xi , xj , xk ) ∈ L3
met xi ≤ xk geldt:
T (xi , xj ) = xl ∧ S(xi , xj ) = xm =⇒ l + m = i + j
en
T (xk , xj ) = xp ∧ S(xk , xj ) = xq =⇒ p + q = k + j.
Als we beide gelijkheden van elkaar aftrekken bekomen we dat p − l + q − m = k − i.
Wegens de monotoniciteit bekomen we dat p − l ≤ k − i en q − m ≤ k − i, dus T en S
voldoen beide aan de Lipschitz voorwaarde en zijn dus glad.
Gevolg 2.60. [24] Het aantal oplossingen (T, S) van de Frankvergelijking op L is 2n .
2.2.3
Niet-gladde t-conormen
Een derde en laatste klasse van t-conormen die we bespreken, is deze van de niet-gladde
t-conormen.
Er zijn verschillende niet-gladde t-conormen op L. In Voorbeeld 2.44 zagen we reeds
dat SD niet glad is. Uit Propositie 2.46 weten we bovendien dat iedere ordinale som
2.2. T-CONORMEN
27
waarvan minstens een van de sommanden niet glad is, niet glad is. Een ordinale som
S = h([xir , xir+1 ], Sr )r∈R i waarbij er een r ∈ R bestaat zodat Sr = SD is bijvoorbeeld een
niet-gladde t-conorm. Een ander belangrijk voorbeeld is het nilpotent maximum (zie
Figuur 2.5):
xn+1 ,
als i + j ≥ n + 1,
nM
S (xi , xj ) =
max{xi , xj }, elders.
xn+1
xn+1
max{xi , xj }
x0
x0
xn+1
Figuur 2.5: De stuctuur van het nilpotent maximum S nM .
Als we het maximum vervangen door een andere gladde t-conorm, bekomen we volgende
veralgemening van het nilpotent maximum:
Definitie 2.61. Zij S een gladde t-conorm op L en N de sterke negator. Definieer de
operator S(N ) : L × L → L door
xn+1 ,
als i + j ≥ n + 1,
S(N ) (xi , xj ) =
S(xi , xj ), elders.
Zij S en S 0 t-conormen, dan zeggen we dat S en S 0 gelijkaardig zijn ten opzichte van
N , genoteerd als S ↔N S 0 als S(N ) = S 0 (N ) .
Voor eender welke gladde t-conorm S is de operator S(N ) commutatief, stijgend en geldt
S(N ) (xi , 0) = xi voor alle xi ∈ L. Opdat S(N ) een t-conorm zou zijn, moet de associativiteitsvoorwaarde nog voldaan zijn. Volgende eigenschap karakteriseert gladde t-conormen
S waarvoor S(N ) ook een t-conorm is.
Eigenschap 2.62. Zij S een gladde t-conorm, dan is S(N ) een t-conorm als en slechts als
er een xk ∈ L bestaat zodat N (xk ) ≤ xk en S ↔N S Jk , waarbij S Jk staat voor de enige
gladde t-conorm met Jk = [x0 , N (xk )] ∪ [xk , xn+1 ] de verzameling van diens idempotente
elementen. In dit geval wordt de uitdrukking voor S(N ) gegeven door

als i + j ≥ n + 1,
 xn+1 ,
xi+j+k−(n+1) , als i + j < n + 1 en (i, j) ∈ [n + 1 − k, k]2 ,
S(N ) (xi , xj ) =

max{xi , xj }, elders.
De structuur van S(N ) wordt weergegeven in Figuur 2.6.
28 HOOFDSTUK 2. TRIANGULAIRE NORMEN, CONORMEN EN NEGATOREN
xn+1
xn+1
xk
xi+j+k−(n+1)
N (xk )
max{xi , xj }
x0
x0
N (xk )
xk
xn+1
Figuur 2.6: De algemene vorm van de t-conorm S(N ) .
Hoofdstuk 3
Implicatoren
We onderzoeken in dit hoofdstuk drie types van implicatie-operatoren: S-implicatoren,
R-implicatoren en QL-implicatoren. Doordat er slechts ´e´en sterke negator is op L en
slechts ´e´en gladde Archimedische t-conorm, koppelen we ieder van deze implicatoren aan
een welbepaalde t-norm, dit in tegenstelling tot het continue geval. We zullen aantonen
dat deze drie types randimplicatoren zijn. Verder onderzoeken we of deze implicatoren
aan acht veelvoorkomende eigenschappen voldoen. Op het einde van dit hoofdstuk leggen
we de link met het continue geval.
Definitie 3.1. [20] Een binaire operator I : L × L → L is implicatie-operator of
implicator als deze voldoet aan volgende voorwaarden:
(I1) I is niet-stijgend in de eerste component en niet-dalend in de tweede component,
(I2) I(0, 0) = I(1, 1) = 1 en I(1, 0) = 0.
Uit deze definitie volgt dat I(xi , 1) = 1 en I(0, xi ) = 1 voor alle xi ∈ L. De beperking
van I tot {0, 1}2 komt dus overeen met het klassieke geval.
Definitie 3.2. [20] Een implicator I : L × L → L is een randoperator als deze voldoet
aan I(1, xi ) = xi voor alle xi ∈ L.
In dit hoofdstuk bestuderen we volgende soorten implicatoren:
◦ S-implicatoren, deze zijn van de vorm I(xi , xj ) = S(N (xi ), xj ) voor alle (xi , xj ) ∈
L2 ;
◦ R-implicatoren, deze zijn van de vorm I(xi , xj ) = max{xk | xk ∈ L ∧ T (xi , xk ) ≤ xj }
voor alle (xi , xj ) ∈ L2 ;
◦ QL-operatoren, deze zijn van de vorm I(xi , xj ) = S(N (xi ), T (xi , xj )) voor alle
(xi , xj ) ∈ L2 ;
waarbij T een t-norm is, S een t-conorm en N de sterke negator. Niet alle QL-operatoren
zijn implicatoren. Wanneer een QL-operator een implicator is, noemen we deze operator
een QL-implicator.
Voor elk van deze implicatoren zullen we nagaan of zij voldoen aan volgende, vaak gebruikte, eigenschappen [1]:
29
30
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
(P1) uitwisselingsbeginsel ,
I(a, I(b, c)) = I(b, I(a, c)), ∀(a, b, c) ∈ L3 ;
(P2) contraposivititeit t.o.v. de sterke negator N ,
I(a, b) = I(N (b), N (a)), ∀(a, b) ∈ L2 ;
(P3) identiteitsbeginsel ,
I(a, a) = 1, ∀a ∈ L;
(P4) ordeningsprincipe,
I(a, b) = 1 als en slechts als a ≤ b, ∀(a, b) ∈ L2 ;
(P5) I(a, 0) = N (a) is de sterke negator, ∀a ∈ L;
(P6) I(a, b) ≥ b, ∀(a, b) ∈ L2 ;
(P7) veralgemeende modus ponens t.o.v. een t-norm T ,
T (a, I(a, b)) ≤ b, ∀(a, b) ∈ L2 ;
(P8) I(a, N (a)) = N (a), ∀a ∈ L.
Voorbeeld 3.3. Een belangrijke implicator is de Kleene-Dienes-implicator. Deze
wordt gegeven door volgende uitdrukking:
IKD (xi , xj ) = xmax{n+1−i,j} .
Een andere veel gebruikte implicator is de volgende:
IL (xi , xj ) = xmin{n+1,n+1+j−i} .
Deze uitdrukking noemen we de Lukasiewicz-implicator, door de gelijkenis met de
Lukasiewicz-implicator op het eenheidsinterval.
De lezer kan makkelijk verifi¨eren dat deze uitdrukkingen implicatoren zijn.
3.1. S-IMPLICATOREN
3.1
31
S-implicatoren
We kunnen iedere t-conorm schrijven als de duale van een t-norm t.o.v. een sterke negator
en doordat er slechts ´e´en sterke negator is op een eindige ketting, kunnen we elke Simplicator dus herschrijven als volgt:
I1T (xi , xj ) = N (T (xi , N (xj )), voor alle (xi , xj ) ∈ L2 ,
waarbij T een t-norm is en N de sterke negator.
Voor iedere gegeven t-norm T op L kunnen we dus de operator I1T defini¨eren, dewelke
een randoperator blijkt te zijn.
Propositie 3.4. [21] Voor iedere t-norm T is I1T een randimplicator.
Bewijs. (Eigen bewijs)
Zij T een t-norm en I1T de bijhorende implicator. Dan is voor alle xj ∈ L:
I1T (1, xj ) = N (T (1, N (xj )))
= N (N (xj ))
= xj .
Bijgevolg is I1T een randimplicator.
We onderzoeken welke van de eigenschappen (P1)–(P8) gelden voor S-implicatoren. We
starten met volgende karakterisatie:
Eigenschap 3.5. [21] Zij I : L × L → L een functie. Dan is I een randimplicator die
voldoet aan (P1) en (P2) als en slechts als er een t-norm T op L bestaat zodat I = I1T .
Bewijs. (Eigen bewijs)
⇐ Zij I = I1T . Wegens Propositie 3.4 is I een randoperator. Bovendien geldt:
I(xi , I(xj , xk )) = N (T (xi , N (N (T (xj , N (xk ))))))
= N (T (xi , T (xj , N (xk ))))
= N (T (T (xi , xj ), N (xk )))
= N (T (T (xj , xi ), N (xk )))
= N (T (xj , T (xi , N (xk ))))
= N (T (xj , N (N (T (xi , N (xk ))))))
= I(xj , I(xi , xk )),
dus I voldoet aan (P1).
I(xi , xj ) = N (T (xi , N (xj )))
= N (T (N (xj ), xi ))
= N (T (N (xj ), N (N (xi ))))
= I(N (xj ), N (xi )).
Bijgevolg voldoet I ook aan (P2).
32
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
⇒ Zij I een randimplicator die voldoet aan (P1) en (P2). Definieer
T (xi , xj ) = N (I(xi , N (xj ))), ∀(xi , xj ) ∈ L2 .
Dan is T een t-norm:
1. Zij (xi , xj ) ∈ L2 . Dan
T (xi , xj ) = N (I(xi , N (xj )))
= N (I(N (N (xj )), N (xi )))
= N (I(xj , N (xi )))
= T (xj , xi ),
waarbij de tweede gelijkheid volgt uit (P2). T is dus commutatief.
2. T is associatief: zij (xi , xj , xk ) ∈ L3 , dan
T (xi , T (xj , xk )) = N (I(xi , N (N (I(xj , N (xk ))))))
= N (I(xi , I(xj , N (xk ))))
= N (I(xi , I(xk , N (xj ))))
= N (I(xk , I(xi , N (xj ))))
= T (xk , T (xi , xj ))
= T (T (xi , xj ), xk ),
waarbij we steunen op (P2), (P1) en de commutativiteit van T .
3. T is niet-dalend in beide argumenten: zij (xi , xj , xk , xl ) ∈ L4 met xi ≤ xk en xj ≤ xl ,
dan
T (xi , xj ) = N (I(xi , N (xj )))
≤ N (I(xi , N (xl )))
≤ N (I(xk , N (xl )))
= T (xk , xl ),
aangezien N niet-stijgend is, I niet-stijgend in de eerste component en niet-dalend
in de tweede component.
4. 1 is een neutraal element: zij xj ∈ L, dan
T (1, xj ) = N (I(1, N (xj )))
= N (N (xj ))
= xj .
Aangezien T een t-norm is, kunnen we I1T beschouwen. Er blijkt dat I1T = I:
I1T (xi , xj ) = N (T (xi , N (xj ))
= N (N (I(xi , N (N (xj )))))
= I(xi , xj ).
3.1. S-IMPLICATOREN
33
Alvorens (P3) en (P4) te onderzoeken, beschouwen we eerst implicatoren horende bij
gladde t-normen.
Voorbeeld 3.6. Zij TL de enige Archimedische gladde t-norm op L. Dan wordt I1TL
gegeven door
I1TL (xi , xj ) = N (TL (xi , N (xj )))
= N (TL (xi , xn+1−j ))
= N (xmax{0,i+(n+1−j)−(n+1)} )
= N (xmax{0,i−j} )
= xmin{n+1,n+1+j−i} .
We bekomen dus de Lukasiewicz-implicator.
In het geval T = TM bekomen we
I1TM (xi , xj ) = N (TM (xi , N (xj )))
= N (min{xi , xn+1−j })
= xmax{n+1−i,j} .
Dit geeft ons de de Kleene-Dienes-implicator.
De uitdrukking van de implicatoren I1T , afgeleid van gladde t-normen, wordt gegeven in
volgende propositie.
Propositie 3.7. [21] Zij T : L × L → L een gladde t-norm met volgende verzameling
idempotente elementen:
J = {0 = xi0 < xi1 < ... < xim−1 < xim = 1}.
Dan wordt de implicator I1T gegeven door:

 xmin{n+1−ik ,ik+1 +j−i} , als er een idempotent element xik ∈ L bestaat
zodat (xi , xn+1−j ) ∈ [xik , xik+1 ]2 ,
I1T (xi , xj ) =

max{xn+1−i , xj },
elders.
Bewijs.
Stel dat er een xik ∈ L bestaat zodat (xi , xn+1−j ) ∈ [xik , xik+1 ]2 . Dan,
I1T (xi , xj ) = N (T (xi , xn+1−j ))
= N (xmax{ik ,i+n+1−j−ik+1 } )
= xmin{n+1−ik ,ik+1 +j−i} .
In het andere geval hebben we dat
I1T (xi , xj ) = N (min{xi , xn+1−j })
= max{xn+1−i , xj }.
Om te zien aan welke eigenschappen dit soort implicatoren voldoet, beschouwen we eerst
volgend lemma.
34
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
Lemma 3.8. [21] Zij T een gladde t-norm op L. Dan zijn volgende stellingen equivalent:
(i) T is de Archimedische t-norm;
(ii) T (xi , N (xi )) = 0, voor alle xi ∈ L;
(iii) er bestaat een i met 0 < i < n + 1 zodat T (xi , N (xi )) = 0.
Bewijs.
(i) ⇒ (ii) Dit volgt uit de definitie van de Archimedische t-norm:
T (xi , N (xi )) = T (xi , xn+1−i )
= xmax{0,i+(n+1−i)−(n+1)}
= x0
= 0.
(ii) ⇒ (iii) Triviaal.
(iii) ⇒ (i) Stel uit het ongerijmde dat T niet de Archimedische t-norm is en zij xj het
kleinste idempotente element van T , verschillend van 0 en 1. Dan geldt er noodzakelijk
dat xj > min{xi , N (xi )}, aangezien T (xj , xj ) = xj > 0 = T (xi , N (xi )).
◦ Als xj < max{xi , N (xi )}, dan volgt uit Eigenschap 2.23 dat
T (xi , N (xi )) = min{xi , N (xi )} =
6 0.
Contradictie.
◦ Als max{xi , N (xi )} ≤ xj , dan volgt uit Eigenschap 2.23 dat
T (xi , N (xi )) = T (xi , xn+1−i ) = xmax{0,i+n+1−i−j} = xn+1−j 6= 0.
Contradictie.
Bijgevolg moet T de Archimedische t-norm zijn.
Nu zijn we klaar om eigenschappen (P3) en (P4) te onderzoeken.
Propositie 3.9. [21] Zij T een gladde t-norm op L. Dan zijn volgende stellingen equivalent:
(i) T is de Archimedische t-norm;
(ii) I1T voldoet aan (P4);
(iii) I1T voldoet aan (P3).
Bewijs.
(i) ⇒ (ii) Uit Voorbeeld 3.6 volgt dat I1T (xi , xj ) = 1 = xn+1 als en slechts als min{n +
1, n + 1 + j − i} = n + 1, m.a.w. als i ≤ j, dus als xi ≤ xj , voor alle (xi , xj ) ∈ L2 .
(ii) ⇒ (iii) Triviaal.
(iii) ⇒ (i) Wegens (P3) geldt dat I1T (xi , xi ) = 1 voor alle xi ∈ L. Dit kan enkel als
T (xi , N (xi )) = 0 voor alle xi ∈ L. Uit Lemma 3.8 volgt dan dat T Archimedisch is.
3.1. S-IMPLICATOREN
35
Propositie 3.10. [21] Zij T een t-norm op L. Dan voldoet I1T aan (P5) en (P6).
Bewijs. (Eigen bewijs)
Het bewijs volgt meteen uit de definitie van een t-norm en negator:
I(xi , 0) = N (T (xi , N (0))
= N (T (xi , 1))
= N (xi ),
dus (P5) is voldaan.
I(xi , xj ) = N (T (xi , N (xj ))
= N (T (xi , xn+1−j ))
≥ N (xn+1−j )
= xj ,
dus (P6) is voldaan.
Voor de veralgemeende modus ponens geldt het volgende:
Propositie 3.11. [21] Zij T een gladde t-norm op L. Dan voldoet I1T aan (P7) als en
slechts als T de Archimedische t-norm is.
Bewijs.
⇒ Beschouw (P7) met a = xi en b = 0, dan krijgen we T (xi , I1T (xi , 0)) = T (xi , N (xi )) =
0 voor alle xi ∈ L, wegens Propositie 3.10. Wegens Lemma 3.8 volgt dat T de Archimedische t-norm is.
⇐ Zij T de Archimedische t-norm, dan is I1T de Lukasiewicz implicator wegens Voorbeeld
3.6. Er volgt:
T (xi , I(xi , xj )) = T (xi , min{xn+1 , xn+1+j−i })
= max{0, xi−(n+1)+min{n+1,n+1+j−i} }
= max{0, xmin{i,j} }
= min{xi , xj }
≤ xj ,
voor alle (xi , xj ) ∈ L2 . Bijgevolg geldt (P7).
Propositie 3.12. [21] Zij T een t-norm op L. Dan voldoet I1T aan (P8) als en slechts
als T = min, of dus wanneer I1T de Kleene-Dienes-implicator is:
I1T (xi , xj ) = max{xn+1−i , xj }.
Bewijs.
We vinden:
I1T (xi , N (xi )) = N (xi )
⇐⇒ N (T (xi , xi )) = N (xi )
⇐⇒ T (xi , xi ) = xi ,
voor alle xi ∈ L en dit laatste is het geval als en slechts als T = min.
36
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
Omtrent de gladheid geldt het volgende:
Propositie 3.13. [21] Zij T een t-norm op L. Dan is de implicator I1T glad als en slechts
als T glad is.
Bewijs.
Voor iedere t-norm T op L geldt:
I1T (xi , xj ) = xk
⇐⇒ N (T (xi , N (xj )) = xk
⇐⇒ N (T (xi , xn+1−j ) = xk
⇐⇒ T (xi , xn+1−j ) = xn+1−k .
Als T glad is, volgt op triviale wijze dat I1T dit ook is.
Voor de niet-gladde t-normen T nM en T(N ) geldt het volgende:
Propositie 3.14. [21] Zij T nM het nilpotent minimum. Dan I1T nM = R0 (zie Figuur 3.1)
waarbij
xn+1 ,
als i ≤ j,
R0 (xi , xj ) =
xmax{n+1−i,j} , elders.
xn+1
xn+1
max{xn+1−i , xj }
x0
x0
xn+1
Figuur 3.1: De structuur van R0 .
Bewijs. (Eigen bewijs)
We vinden:
I1T nM (xi , xj ) = N (T nM (xi , N (xj )))
= N (T nM (xi , xn+1−j ))
N (x0 ),
als i + (n + 1 − j) ≤ n + 1,
=
N (min{xi , xn+1−j }), elders,
xn+1 ,
als i ≤ j,
=
xmax{n+1−i,j} , elders.
Dus I1T nM = R0 .
3.1. S-IMPLICATOREN
37
Propositie 3.15. [21] Zij T een gladde t-norm zodat T(N ) een t-norm is, dan wordt I1T(N )
(zie Figuur 3.2) gegeven door:

als i ≤ j,
 xn+1 ,
xk+j−i ,
als n + 1 − k ≤ j < i ≤ k,
I1T(N ) (xi , xj ) =
(3.1)

xmax{n+1−i,j} , elders.
xn+1
xn+1
xk
xk+j−i
N (xk )
max{xn+1−i , xj }
x0
x0
N (xk )
xk
xn+1
Figuur 3.2: De structuur van I1T(N ) .
Bewijs. (Eigen bewijs)
We vinden:
I1T( N ) (xi , xj ) = N (T(N ) (xi , N (xj )))
= N (T(N ) (xi , xn+1−j ))

N (x0 ),
als i + (n + 1 − j) ≤ n + 1,



N (xi+(n+1−j)−k ),
als i + (n + 1 − j) > n + 1 en
=
(i, n + 1 − j) ∈ [n + 1 − k, k]2 ,



N (min{xi , xn+1−j }), elders,

als i ≤ j,
 xn+1 ,
xk+j−i ,
als n + 1 − k ≤ j < i ≤ k,
=

xmax{n+1−i,j} , elders.
Dus I1T(N ) voldoet aan (3.1).
38
3.2
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
R-implicatoren
Elke R-implicator kan geschreven worden als:
I2T (xi , xj ) = max{xk | xk ∈ L ∧ T (xi , xk ) ≤ xj }, voor alle (xi , xj ) ∈ L2 ,
waarbij T een t-norm is.
Voor iedere gegeven t-norm T op L kunnen we dus de operator I2T defini¨eren, dewelke
een randoperator blijkt te zijn.
Propositie 3.16. [21] Voor iedere t-norm T is I2T een randoperator.
Bewijs. (Eigen bewijs)
Zij T een t-norm en I2T de bijhorende R-implicator. Dan
I2T (1, xj ) = max{xk | xk ∈ L ∧ T (1, xk ) ≤ xj }
= max{xk | xk ∈ L ∧ xk ≤ xj }
= xj .
Bijgevolg is I2T een randimplicator.
We onderzoeken welke van de eigenschappen (P1)–(P8) gelden voor R-implicatoren. We
starten met volgende karakterisatie:
Eigenschap 3.17. [21] Zij I : L × L → L een functie. Dan is I een randimplicator die
voldoet aan (P1) en (P4) als en slechts als er een t-norm T op L bestaat zodat I = I2T .
Bewijs.
⇐ Zij I = I2T . Wegens Propositie 3.16 is I een randoperator. Om aan te tonen dat I
voldoet aan (P1), bewijzen we eerst dat
I2T (xi , I2T (xj , xk )) = I2T (T (xi , xj ), xk ), ∀(xi , xj , xk ) ∈ L3 .
(3.2)
Om dit aan te tonen, volstaat het te bewijzen dat de verzamelingen A en B, gegeven door
A = {xl | xl ∈ L ∧ T (xi , xl ) ≤ I2T (xj , xk )}
en
B = {xl | xl ∈ L ∧ T (T (xi , xj ), xl ) ≤ xk },
gelijk zijn.
Uit de definitie van I2T volgt dat een element xl ∈ L voldoet aan
T (xi , xl ) ≤ I2T (xj , xk )
als en slechts als het voldoet aan
T (xj , T (xi , xl )) ≤ xk .
Hieruit volgt meteen dat A = B.
3.2. R-IMPLICATOREN
39
Het uitwisselingsbeginsel (P1) volgt nu uit (3.2) en de commutativiteit van T :
I2T (xi , I2T (xj , xk )) = I2T (T (xi , xj ), xk )
= I2T (T (xj , xi ), xk )
= I2T (xj , I2T (xi , xk )).
Dat I2T aan (P4) voldoet is duidelijk:
I2T (xi , xj ) = 1
⇐⇒ max{xk | xk ∈ L ∧ T (xi , xk ) ≤ xj } = 1
⇐⇒ xi ≤ xj .
⇒ Zij I een randimplicator die voldoet aan (P1) en (P4). Definieer T : L × L → L als
volgt:
T (xi , xj ) = min{xk | xk ∈ L ∧ I(xi , xk ) ≥ xj }, ∀(xi , xj ) ∈ L2 .
T is niet-dalend in beide componenten en heeft xn+1 = 1 als neutraal element. Om aan
te tonen dat T een t-norm is, rest ons enkel de commutativiteit en associativiteit aan te
tonen.
1. Voor de commutativiteit moeten we enkel volgende gelijkheid bewijzen:
{xk | xk ∈ L ∧ I(xi , xk ) ≥ xj } = {xk | xk ∈ L ∧ I(xj , xk ) ≥ xi }
Welnu,
I(xi , xk ) ≥ xj
⇐⇒ I(xj , I(xi , xk )) = 1
⇐⇒ I(xi , I(xj , xk )) = 1,
wegens eigenschappen (P4) en (P1). Analoog hebben we
I(xj , xk ) ≥ xi ⇐⇒ I(xj , I(xi , xk )) = 1.
Bijgevolg zijn de twee verzamelingen gelijk.
2. Voor de associativiteit, tonen we de gelijkheid
T (T (xi , xj ), xk ) = T (xi , T (xj , xk ))
aan. Het volstaat dan om aan te tonen dat de verzamelingen A en B, gegeven door
A = {xl | xl ∈ L ∧ I(xk , xl ) ≥ T (xi , xj )}
en
B = {xl | xl ∈ L ∧ I(xi , xl ) ≥ T (xj , xk )}
gelijk zijn.
Merk op dat uit de definitie van T volgt dat
I(xi , T (xi , xj )) ≥ xj
(3.3)
40
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
en
T (xi , I(xi , xj )) ≤ xj .
(3.4)
Dus als xl ∈ A, dan geldt er
I(xk , xl ) ≥ T (xi , xj )
en bijgevolg
I(xi , I(xk , xl )) ≥ I(xi , T (xi , xj )).
Wegens het uitwisselingsbeginsel (P1) en ongelijkheid (3.3) volgt nu dat
I(xk , I(xi , xl )) ≥ xj
en bijgevolg
T (xj , xk ) ≤ T (I(xk , I(xi , xl )), xk ) = T (xk , I(xk , I(xi , xl ))) ≤ I(xi , xl ),
waarbij de laatste ongelijkheid volgt uit (3.4). Er volgt dat xl ∈ B. We hebben dus
aangetoond dat A ⊆ B. Op analoge wijze volgt B ⊆ A en dus A = B. Hieruit volgt
de associativiteit van T .
We hebben bewezen dat de gedefinieerde T een t-norm is. Wegens diens definitie volgt
meteen dat I = I2T :
I2T (xi , xj ) = max{xk | xk ∈ L ∧ T (xi , xk ) ≤ xj }
= max{xk | xk ∈ L ∧ min{xl ∈ L | I(xi , xl ) ≥ xk } ≤ xj }
= I(xi , xj ).
Opmerking 3.18. [21] Voor elke t-norm T geldt dat
T (xi , xj ) ≤ xk ⇐⇒ xj ≤ I2T (xi , xk ),
m.a.w. elke t-norm op L voldoet aan het residu-principe, in tegenstelling tot op het eenheidsinterval, waar enkel linkscontinue t-normen hieraan voldoen.
Dit volgt uit volgende eigenschap:
Eigenschap 3.19. [28] Een t-norm T voldoet aan het residuprincipe als en slechts als
T compleet-distributief is t.o.v. het supremum, m.a.w. voor iedere familie (xi )i∈I en voor
iedere y ∈ [0, 1]:
T (sup xi , y) = sup T (xi , y).
i∈I
i∈I
Aangezien L een eindige ketting is, is het supremum gelijk aan het maximum. Er volgt
meteen dat T aan het residu-principe voldoet.
Propositie 3.20. [21] Zij T een gladde t-norm op L. Dan zijn volgende stellingen equivalent:
(i) T is de Archimedische t-norm;
3.2. R-IMPLICATOREN
41
(ii) de implicatoren I1T en I2T zijn gelijk;
(iii) I2T voldoet aan (P2) (contrapositiviteit t.o.v. N ).
Bewijs.
(i) ⇒ (ii) Zij TL de Archimedische t-norm. Wegens Voorbeeld 3.6 weten we dan dat
I1TL (xi , xj ) = xmin{n+1,n+1+j−i} . Voor I2TL geldt:
I2TL (xi , xj ) = max{xk | xk ∈ L ∧ TL (xi , xk ) ≤ xj }
= max{xk | xk ∈ L ∧ max{x0 , xi+k−(n+1) } ≤ xj }
= max{xk | xk ∈ L ∧ x0 ≤ xj ∧ xi+k−(n+1) ≤ xj }
= max{xk | xk ∈ L ∧ xi+k−(n+1) ≤ xj }
= max{xk | xk ∈ L ∧ i + k − (n + 1) ≤ j}
= max{xk | xk ∈ L ∧ k ≤ n + 1 + j − i ∧ k ≤ n + 1}
= xmin{n+1,n+1+j−i} .
We bekomen dat I1TL = I2TL .
(ii) ⇒ (iii) Als I1T = I2T , dan volgt wegens Eigenschap 3.5 dat I2T voldoet aan (P2).
(iii) ⇒ (i) Als I2T voldoet aan (P2), dan tonen we aan dat
I2T (xi , xj ) = N (T (xi , N (xj )) voor alle (xi , xj ) ∈ L2 .
(3.5)
Stel dat I2T (xi , xj ) = xk , dan volgt uit het residu-principe (Opmerking 3.18) dat T (xi , xk )
= T (xk , xi ) ≤ xj en bijgevolg I2T (xk , xj ) ≥ xi . Uit de contrapositiviteit volgt dat
I2T (N (xj ), N (xk )) ≥ xi
en opnieuw wegens het residu-principe:
T (N (xj ), xi ) ≤ N (xk ),
of equivalent hiermee:
xk = I2T (xi , xj ) ≤ N (T (xi , N (xj ))).
Dit bewijst de eerste ongelijkheid van (3.5). Voor de andere ongelijkheid van (3.5), maken
we opnieuw gebruik van het residu-principe, de commutativiteit van T en de contrapositiviteit van I2T . Stel xk = N (T (xi , N (xj )), dan
N (T (xi , N (xj )) = xk
=⇒ T (xi , N (xj )) ≤ N (xk )
⇐⇒ T (N (xj ), xi ) ≤ N (xk )
⇐⇒ xi ≤ I2T (N (xj ), N (xk ))
⇐⇒ xi ≤ I2T (xk , xj )
⇐⇒ T (xk , xi ) ≤ xj
⇐⇒ T (xi , xk ) ≤ xj
⇐⇒ xk ≤ I2T (xi , xj )
=⇒ N (T (xi , N (xj )) ≤ I2T (xi , xj ).
Bijgevolg geldt I2T = I1T , maar dan voldoet I1T aan (P4) wegens Eigenschap 3.17. Uit
Propositie 3.9 volgt dan dat T Archimedisch is.
42
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
Propositie 3.21. [21] Zij T een t-norm, dan voldoet I2T aan (P3).
Bewijs. (Eigen bewijs)
Wegens Eigenschap 3.17 geldt I2T (xi , xj ) = 1 als xi ≤ xj . Er volgt meteen dat I2T (xi , xi ) =
1.
Propositie 3.22. [21] Zij T een gladde t-norm, dan voldoet I2T aan (P5) als en slechts
als T Archimedisch is.
Bewijs. (Eigen bewijs)
⇒ Als I2T aan (P5) voldoet, dan geldt T (xi , N (xi )) = 0. Wegens Lemma 3.8 volgt dat
dit laatste geldt als en slechts als T Archimedisch is.
⇐ Als TL de enige gladde Archimedisch t-norm is, bekomen we:
I2TL (xi , 0) = max{xk | xk ∈ L ∧ TL (xi , xk ) ≤ 0}
= max{xk | xk ∈ L ∧ xmax{0,i+k−(n+1)} = 0}
= max{xk | xk ∈ L ∧ k ≤ n + 1 − i}
= xn+1−i
= N (xi ).
Bijgevolg voldoet I2TL aan (P5).
Propositie 3.23. [21] Zij T een gladde t-norm, dan voldoet I2T aan (P6) en (P7).
Bewijs.
Dit volgt meteen uit de definitie van I2T .
Opmerking 3.24. [21] Aangezien I2T voldoet aan (P4), kan deze nooit voldoen aan (P8).
Als N (xi ) ≥ xi , dan volgt uit (P4) immers dat I2T (xi , N (xi )) = 1. Voor N (xi ) 6= 1 zien
we meteen dat (P8) niet voldaan is.
De uitdrukking van de implicatoren I2T , afgeleid van gladde t-normen, wordt gegeven in
volgende propositie.
Propositie 3.25. [21] Zij T : L × L → L een gladde t-norm met volgende verzameling
idempotente elementen:
J = {0 = xi0 < xi1 < ... < xim−1 < xim = 1}.
Dan wordt de implicator I2T gegeven door:

1,
als xi ≤ xj ,



xik+1 +j−i , als er een idempotent element xik ∈ L bestaat
I2T (xi , xj ) =
zodat xik ≤ xj < xi ≤ xik+1 ,



xj ,
elders.
Bewijs.
Wegens Eigenschap 3.17 voldoet I2T aan (P4), dus I2T (xi , xj ) = 1 als xi ≤ xj . Als
anderzijds xi > xj geldt, dan kunnen we twee gevallen onderscheiden:
3.2. R-IMPLICATOREN
43
◦ Stel dat er een xik ∈ L bestaat zodat xik ≤ xj < xi ≤ xik+1 . Dan geldt wegens
Eigenschap 2.23:
T (xi , xik+1 +j−i ) = xmax{ik ,i+ik+1 +j−i−ik+1 }
= xmax{ik ,j}
= xj ,
terwijl voor iedere waarde l > ik+1 + j − i geldt dat T (xi , xl ) > xj . Dus I2T (xi , xj ) =
xik+1 +j−i .
◦ Anderzijds hebben we, opnieuw wegens Eigenschap 2.23, dat
T (xi , xj ) = min{xi , xj }
= xj ,
terwijl voor iedere waarde k > j geldt dat T (xi , xk ) > xj . Dus I2T (xi , xj ) = xj .
Voor R-implicatoren is de gladheid niet algemeen voldaan, zoals we zien in volgende
propositie.
Propositie 3.26. [21] Zij T een gladde t-norm. Dan is I2T glad als en slechts als T de
Archimedische t-norm is.
Bewijs.
⇒ Wegens Eigenschap 3.17 voldoet I2T aan (P4). Er geldt bijgevolg dat I2T (x1 , x1 ) = 1
en I2T (x1 , x0 ) < 1. De gladheid impliceert dat I2T (x1 , x0 ) = xn , of dus I2T (x1 , 0) = N (x1 ).
Wegens het residu-principe volgt dat T (x1 , xn ) = T (x1 , N (x1 )) = 0. Uit Lemma 3.8 volgt
dat T de Archimedische t-norm is.
⇐ Zij T de Archimedische t-norm, dan volgt uit Propositie 3.20 dat I2T = I1T . Wegens
Propositie 3.13 volgt dat I2T glad is.
Voor de niet-gladde t-normen T nM en T(N ) geldt het volgende:
Propositie 3.27. [21] Zij T het nilpotent minimum. Dan I1T nM = I2T nM = R0 waarbij
xn+1 ,
als i ≤ j,
R0 (xi , xj ) =
xmax{n+1−i,j} , elders.
Bewijs. (Eigen bewijs)
In Propositie 3.14 werd reeds aangetoond dat I1T nM = R0 .
Per definitie geldt I2T nM (xi , xj ) = max{xk | xk ∈ L ∧ T nM (xi , xk ) ≤ xj }. Welnu,
x0 ,
als k ≤ n + 1 − i,
nM
T (xi , xk ) =
min{xi , xk }, elders.
Voor iedere k ≤ n+1−i is T nM (xi , xk ) ≤ xj voldaan. Als k > n+1−i moet min{xi , xk } ≤
xj . We bekomen:
xn+1 ,
als i ≤ j,
I2T nM (xi , xj ) =
xmax{n+1−i,j} , elders.
Er volgt dat I2T nM = R0 .
44
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
Propositie 3.28. [21] Zij T een gladde t-norm zodat T(N ) een t-norm is, dan wordt I2T(N )
gegeven door:

als i ≤ j,
 xn+1 ,
xk+j−i ,
als n + 1 − k ≤ j < i ≤ k,
I2T(N ) (xi , xj ) =
(3.6)

xmax{n+1−i,j} , elders.
Bijgevolg is I1T(N ) = I2T(N ) .
Bewijs. (Eigen bewijs)
In Propositie 3.15 werd reeds aangetoond dat I1T(N ) aan (3.6) voldoet. Per definitie geldt
I2T(N ) (xi , xj ) = max{xl | xl ∈ L ∧ T(N ) (xi , xl ) ≤ xj }. Welnu,

als i + l ≤ n + 1,
 x0 ,
xi+l−k ,
als i + l > n + 1 en (i, l) ∈ [n + 1 − k, k]2 ,
T(N ) (xi , xl ) =

min{xi , xl }, elders.
Voor iedere l ≤ n + 1 − i is T nM (xi , xl ) ≤ xj voldaan. Als l > n + 1 − i en (i, l) ∈
[n + 1 − k, k]2 , dan moet xi+l−k ≤ xj . In het derde geval moet min{xi , xl } ≤ xj . We
bekomen:

als i ≤ j,
 xn+1 ,
xk+j−i ,
als n + 1 − k ≤ j < i ≤ k,
I2T(N ) (xi , xj ) =

xmax{n+1−i,j} , elders.
3.3. QL-IMPLICATOREN
3.3
45
QL-implicatoren
Definitie 3.29. [20] Een binaire operator I : L × L → L wordt een QL-operator
genoemd wanneer er een t-norm T en een t-conorm S op L bestaan, zodat I gegeven
wordt door
I(xi , xj ) = S(N (xi ), T (xi , xj )), ∀(xi , xj ) ∈ L2 .
Als I een implicator is, dan noemen we I een QL-implicator.
Merk op dat deze operator niet noodzakelijk een implicator is:
Eigenschap 3.30. [20] Zij T een gladde t-norm en S een gladde t-conorm, dan is de bijhorende QL-operator een QL-implicator als en slecht als S gelijk is aan de Archimedische
t-conorm.
Bewijs. (Eigen bewijs)
Zij I een QL-operator met bijhorende t-norm T en t-conorm S. Dan voldoet I aan
volgende eigenschappen:
1. I is niet-dalend in de tweede component. Dit volgt meteen uit het feit dat T en S
in beide argumenten niet-dalend zijn.
2. We vinden:
I(0, 0) = S(N (0), T (0, 0))
= S(1, 0)
= 1.
3. We vinden:
I(1, 1) = S(N (1), T (1, 1))
= S(0, 1)
= 1.
4. We vinden:
I(1, 0) = S(N (1), T (1, 0))
= S(0, 0)
= 0.
5. Voor een willekeurige gladde t-conorm S geldt niet dat I niet-stijgend is in de eerste
component. Stel dat S niet gelijk is aan de Archimedische t-conorm. Dan bestaat
er wegens Eigenschap 2.50 een idempotent element van S, xl ∈ L \ {0, 1}, dus
S(xl , xl ) = xl . Bovendien geldt ∀xi ∈ L dat
I(xi , 1) = S(N (xi ), T (xi , 1))
= S(N (xi ), xi ).
46
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
Aangezien xn ≥ xl en N (xn ) = x1 ≤ xl , bekomen we
S(N (xn ), xn ) = max{N (xn ), xn }
= xn
<1
= S((N (xn+1 ), xn+1 ).
Er geldt dus dat
I(xn , 1) < I(1, 1).
I is dus niet dalend in de eerste component voor S 6= SL en is bijgevolg geen
implicator.
Als S gelijk is aan de Archimedische t-conorm, dan bekomen we:
I(xi , xj ) = SL (N (xi ), T (xi , xj ))
= SL (xn+1−i , xl )
= xmin{n+1,n+1−i+l}
= xn+1−i+l ,
waarbij T (xi , xj ) = xl ≤ xi . Zij xk ∈ L zodat i ≤ k. Aangezien T glad is,
voldoet T wegens Propositie 2.13 aan de Lipschitz-voorwaarde. Dus geldt voor
xl = T (xi , xj ) en xm = T (xk , xj ) dat m − l ≤ k − i of m.a.w. i − l ≤ k − m, waaruit
I(xi , xj ) = xn+1−i+l ≥ xn+1−k+m = I(xk , xj ) volgt. I is dus dalend in de eerste
component.
Bijgevolg is I een implicator als en slechts als S gelijk is aan de Archimedische t-conorm.
Elke QL-implicator kan bijgevolg geschreven worden als:
I3T (xi , xj ) = SL (N (xi ), T (xi , xj )) voor alle (xi , xj ) ∈ L2 ,
waarbij N de sterke negator is, T een t-norm en SL de Archimedische t-conorm.
Voor iedere gegeven t-norm T op L kunnen we dus de operator I3T defini¨eren, dewelke
een randoperator blijkt te zijn.
Propositie 3.31. [20] Voor iedere t-norm T is I3T een randoperator.
Bewijs. (Eigen bewijs)
Zij T een t-norm en I3T de bijhorende QL-implicator. Dan
I3T (1, xj ) = SL (N (1), T (1, xj ))
= SL (0, xj )
= xj .
Bijgevolg is I3T een randimplicator.
3.3. QL-IMPLICATOREN
47
Enkele vaak gebruikte t-normen zijn T = min en T gelijk aan de Archimedische t-norm.
We bekomen dan volgende QL-implicatoren:
Lemma 3.32. [20] Als T = min, dan is I3T de Lukasiewicz-implicator. Als T de Archimedische t-norm is, bekomen we de Kleene-Dienes-implicator.
Bewijs. (Eigen bewijs)
1. Zij TM = min, dan
I3TM (xi , xj ) = SL (N (xi ), TM (xi , xj ))
= SL (xn+1−i , min{xi , xj })
= xmin{n+1,(n+1−i)+min{i,j}}
= xmin{n+1,n+1−i+j}
= IL (xi , xj ).
2. Zij TL de Archimedische t-norm, dan
I3TL (xi , xj ) = SL (N (xi ), TL (xi , xj ))
= SL (xn+1−i , xmax{0,i+j−(n+1)} )
= xmin{n+1,(n+1−i)+max{0,i+j−(n+1)}}
= x(n+1−i)+max{0,i+j−(n+1)}
= xmax{n+1−i,j}
= IKD (xi , xj ).
We onderzoeken welk van de eigenschappen (P1)–(P8) gelden voor QL-implicatoren. (P5)
is geldig voor iedere QL-implicator:
Propositie 3.33. [20] Zij T een t-norm en I3T de bijhorende QL-implicator. Dan voldoet
I3T aan (P5).
Bewijs. (Eigen bewijs)
Zij T een t-norm en I3T de bijhorende QL-implicator. Dan
I3T (xi , 0) = SL (N (xi ), T (xi , 0))
= SL (N (xi ), 0)
= N (xi ).
Dus I3T voldoet aan (P5).
Propositie 3.34. [20] Zij T een t-norm en I3T de bijhorende QL-implicator. Als I3T aan
(P1) voldoet, dan ook aan (P2).
Bewijs. [22]
Wegens Propositie 3.33 voldoet I3T aan (P5). Als I3T bovendien ook aan het uitwisselingsprincipe voldoet, dan geldt voor iedere (xi , xj ) ∈ L2 :
I3T (N (xj ), N (xi )) = I3T (N (xj ), I3T (xi , 0))
= I3T (xi , I3T (N (xj ), 0))
= I3T (xi , xj ).
Bijgevolg is I3T contrapositief t.o.v. N .
48
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
(P1) geldt echter niet altijd, zoals volgende propositie duidelijk maakt:
Propositie 3.35. [20] Zij T een gladde t-norm en I3T de bijhorende QL-implicator. Dan
zijn volgende stellingen equivalent:
(i) I3T voldoet aan (P1);
(ii) er bestaat een gladde t-norm T 0 zodat
I3T (xi , xj ) = N (T 0 (xi , N (xj )) voor alle (xi , xj ) ∈ L2 ,
of dus zodat I3T = I1T 0 ;
(iii) T = min of T is de Archimedische t-norm.
Bewijs. [22]
(i) ⇒ (ii) Als I3T aan (P1) voldoet, dan volgt wegens Propositie 3.34 dat I3T ook aan
(P2) voldoet. Wegens Eigenschap 3.5 moet I3T een S-implicator zijn. Aangezien I3T glad
is, moet T 0 ook glad zijn wegens Propositie 3.13.
(ii) ⇒ (iii) We delen het bewijs op in twee stappen.
1. Als I3T aan (ii) voldoet, dan voldoet I3T wegens Eigenschap 3.5 ook aan (P2). Als
xi ∈ L een idempotent element is van T , dan geldt
SL (xi , T (N (xi ), N (xi ))) = I3T (N (xi ), N (xi ))
= I3T (xi , xi )
= SL (N (xi ), T (xi , xi ))
= SL (N (xi ), xi )
= xn+1 .
Noteer T (N (xi ), N (xi )) = xl ≤ xn+1−i . We hebben dat xn+1 = SL (xi , xl ) =
xmin{n+1,i+l} = xi+l , dus i + l = n + 1 en ook xl = xn+1−i . N (xi ) is dus een
idempotent element van T .
2. Veronderstel dat T noch het minimum, noch de Archimedische t-norm is. Dan
bestaan er (xi , xj ) ∈ (L \ {0, 1})2 zodat xi een idempotent element is van T , maar
xj niet. Bijgevolg bestaat er ook een xr ∈ L, 0 < xr < 1, zodat xr een idempotent
element is van T en xr+1 niet. Uit de gladheid van T volgt dan dat T (xr , xr ) = xr =
T (xr+1 , xr+1 ). Wegens de vorige stap en (ii) geldt
I3T (xr , xr ) = xn+1 = N (T 0 (xr , N (xr )))
en bijgevolg T 0 (xr , N (xr )) = 0. Wegens Lemma 3.8 volgt dan dat T 0 (xi , N (xi )) = 0
voor alle xi ∈ L. Anderzijds geldt
I3T (xr+1 , xr+1 ) = SL (N (xr+1 ), T (xr+1 , xr+1 )) = SL (N (xr+1 ), xr ) = xn .
Wegens (ii) volgt dat N (T 0 (xr+1 , N (xr+1 ))) = xn . We hebben dan dat T 0 (xr+1 ,
N (xr+1 )) = x1 , wat een contradictie levert.
T moet bijgevolg het minimum of de Archimedische t-norm zijn.
3.3. QL-IMPLICATOREN
49
(iii) ⇒ (i) Uit Lemma 3.32 volgt dat als T = min, dat dan I3T de Lukasiewicz-implicator
is. In het geval dat T Archimedisch is, is I3T de Kleene-Dienes implicator. Deze implicatoren voldoen aan het uitwisselingsbeginsel:
I3TM (N (xj ), N (xi )) = xmin{n+1,n+1+(n+1−i)−(n+1−j)}
= xmin{n+1,n+1+j−i}
= I3TM (xi , xj )
en
I3TL (N (xj ), N (xi )) = xmax{n+1−(n+1−j),n+1−i}
= xmax{j,n+1−i}
= I3TL (xi , xj ).
Propositie 3.36. [20] Zij T een gladde t-norm en I3T de bijhorende QL-implicator. Dan
zijn volgende stellingen equivalent:
(i) T = min;
(ii) I3T voldoet aan (P4);
(iii) I3T voldoet aan (P3).
Bewijs. (Eigen bewijs)
(i) ⇒ (ii) Als T = min, dan is I3T de Lukasiewicz-implicator. Er volgt meteen dat (P4)
voldaan is:
I3T (xi , xj ) = xmin{n+1,n+1+j−i} = 1
⇐⇒ n + 1 ≤ n + 1 + j − i
⇐⇒ i ≤ j
⇐⇒ xi ≤ xj .
(ii) ⇒ (iii) Triviaal.
(iii) ⇒ (i) Veronderstel dat (P3) geldt voor I3T , dan geldt I3T (xi , xi ) = 1 voor alle
xi ∈ L. Er geldt bovendien dat
SL (xi , xj ) = xmin{n+1,i+j} = xn+1
⇐⇒ n + 1 ≤ i + j.
We bekomen dus dat
I3T (xi , xi ) = 1
⇐⇒ SL (N (xi ), T (xi , xi )) = 1
⇐⇒ SL (xn+1−i , T (xi , xi )) = xn+1
⇐⇒ n + 1 ≤ n + 1 − i + l
⇐⇒ i ≤ l,
50
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
waarbij T (xi , xi ) = xl , maar
T (xi , xi ) ≤ min{xi , xi } = xi ,
dus xl ≤ xi ,
dus l ≤ i,
dus l = i. Er volgt dat T = min.
Propositie 3.37. [20] Zij T een t-norm en I3T de bijhorende QL-implicator. Dan voldoet
I3T aan (P6).
Bewijs. (Eigen bewijs)
Zij T een t-norm en I3T de bijhorende QL-implicator. Wegens Propositie 3.31 is I3T een
randoperator, dus I3T (1, xj ) = xj . Aangezien I3T niet-stijgend is in de eerste component,
volgt I3T (xi , xj ) ≥ xj . Dus I3T voldoet aan (P6).
Propositie 3.38. [20] Zij T een gladde t-norm en I3T de bijhorende QL-implicator. Dan
zijn volgende stellingen equivalent:
(i) T is de Archimedische t-norm;
(ii) I3T voldoet aan (P7);
(iii) I3T voldoet aan (P8).
Bewijs. (Eigen bewijs)
(i) ⇒ (ii) Als T de Archimedische t-norm is, dan is I3T de Kleene-Dienes-implicator
wegens Lemma 3.32. Er geldt:
T (xi , I3T (xi , xj )) = T (xi , xmax{j,n+1−i} )
= xmax{0,i+max{j,n+1−i}−(n+1)}
= xmax{0,i+j−(n+1),i+n+1−i−(n+1)}
= xmax{0,i+j−(n+1)}
= T (xi , xj )
≤ xj ,
voor alle (xi , xj ) ∈ L2 . Dus I3T voldoet aan (P7).
(ii) ⇒ (i) Er geldt:
I3T (xi , 0) = SL (N (xi ), T (xi , 0))
= SL (N (xi ), 0)
= N (xi ), ∀xi ∈ L,
dus aangezien (P7) geldt volgt dat
T (xi , I3T (xi , 0)) ≤ 0, ∀xi ∈ L,
m.a.w. T (xi , N (xi )) = 0, ∀xi ∈ L.
Wegens Lemma 3.8 volgt dat T de Archimedische t-norm is.
3.3. QL-IMPLICATOREN
51
(i) ⇒ (iii) Als T de Archimedische t-norm is, dan is I3T de Kleene-Dienes-implicator.
Er geldt:
I3T (xi , N (xi )) = I3T (xi , xn+1−i )
= xmax{n+1−i,n+1−i}
= xn+1−i
= N (xi ),
voor alle xi ∈ L. Dus I3T voldoet aan (P8).
(iii) ⇒ (i) I3T voldoet aan (P8), dus voor xi ∈ L geldt:
I3T (xi , N (xi )) = N (xi )
⇐⇒ SL (N (xi ), T (xi , N (xi )) = N (xi )
⇐⇒ xmin{n+1,(n+1−i)+l} = xn+1−i
⇐⇒ i = 0 of l = 0
⇐⇒ T (xi , N (xi )) = 0, ∀xi ∈ L \ {0},
waarbij T (xi , N (xi )) = xl . Wegens Lemma 3.8 volgt dat T de Archimedische t-norm
is.
De uitdrukking van de implicatoren I3T , afgeleid van gladde t-normen, wordt gegeven in
volgende propositie.
Propositie 3.39. [20] Zij T : L × L → L een gladde t-norm met volgende verzameling
idempotente elementen:
J = {0 = xi0 < xi1 < ... < xim−1 < xim = 1}.
Dan wordt de implicator I3T gegeven door:

 xmax{n+1+ik −i,n+1+j−ik+1 } , als er een idempotent element xik ∈ L
bestaat zodat (xi , xj ) ∈ [xik , xik+1 ]2 ,
I3T (xi , xj ) =

xn+1−i+min{i,j} ,
elders.
Bewijs. (Eigen bewijs)
Stel dat er een xik ∈ L bestaat zodat (xi , xj ) ∈ [xik , xik+1 ]2 . Dan geldt wegens Eigenschap
2.23:
I3T (xi , xj ) = SL (N (xi ), T (xi , xj ))
= SL (xn+1−i , xmax{ik ,i+j−ik+1 } )
= xmin{n+1,n+1−i+max{ik ,i+j−ik+1 }}
= xn+1−i+max{ik ,i+j−ik+1 }
= xmax{n+1+ik −i,n+1+j−ik+1 } .
In het andere geval hebben we, opnieuw wegens Eigenschap 2.23, dat
I3T (xi , xj ) = SL (N (xi ), T (xi , xj ))
= SL (xn+1−i , xmin{i,j} )
= xmin{n+1,n+1−i+min{i,j}}
= xn+1−i+min{i,j} .
52
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
Omtrent de gladheid geldt het volgende:
Propositie 3.40. [20] Zij T een t-norm op L. Dan is de implicator I3T glad als en slechts
als T glad is.
Bewijs. (Eigen bewijs)
Voor iedere t-norm T op L geldt:
I3T (xi , xj ) = SL (N (xi ), T (xi , xj ))
= SL (xn+1−i , T (xi , xj ))
= xmin{n+1,n+1−i+l}
= xn+1−i+l ,
waarbij T (xi , xj ) = xl . De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat T (xi , xj ) = xl ≤ xi , dus
n + 1 − i + l ≤ n + 1. We onderscheiden twee gevallen:
1. Als T niet glad is, dan is T (xi , xj−1 ) = xl0 met l0 ≤ l − 2. Bijgevolg is I3T (xi , xj−1 ) =
xn+1−i+l0 met n + 1 − i + l0 ≤ n + 1 − i + l − 2, dus ook I3T is niet glad.
2. Als T glad is, dan volgt op triviale wijze dat I3T eveneens glad is.
We sluiten deze sectie af met een voorbeeld van een niet-gladde QL-implicator die tevens
de R0 -implicator is.
Propositie 3.41. [20] Zij N de sterke negator, TM het minimum en S nM het nilpotent
maximum. Dan is de operator gegeven door
I(xi , xj ) = S nM (N (xi ), TM (xi , xj ))
voor alle (xi , xj ) ∈ L2 een QL-implicator. Bovendien is deze implicator I de gekende
R0 -implicator:
xn+1 ,
als i ≤ j,
R0 (xi , xj ) =
xmax{n+1−i,j} , elders.
Bewijs. (Eigen bewijs)
We vinden:
I(xi , xj ) = S nM (N (xi ), TM (xi , xj ))
= S nM (xn+1−i , min{xi , xj })
nM
S (xn+1−i , xi ), als i ≤ j,
=
S nM (xn+1−i , xj ), elders,
xn+1 ,
als i ≤ j,
=
xmax{n+1−i,j} , elders.
Dus I = R0 .
3.4. OVERZICHT
3.4
53
Overzicht
We vatten de resultaten van de vorige secties samen in volgende tabel. Zij T een gladde
t-norm. Dan gelden de eigenschappen (P1)–(P8) onder volgende voorwaarden:
(P1)
S-implicatoren
altijd
R-implicatoren
altijd
(P2)
altijd
(P3)
(P5)
(P6)
(P7)
T Archimedisch
of (P4)
T Archimedisch
of (P3)
altijd
altijd
T Archimedisch
T Archimedisch
of I2T = I1T
altijd
(P8)
T = min
(P4)
altijd
T Archimedisch
altijd
altijd
nooit
QL-implicatoren
T = min of
T Archimedisch
(P1)
T = min
of (P4)
T = min
of (P3)
altijd
altijd
T Archimedisch
of (P8)
T Archimedisch
of (P7)
Bovendien zijn zowel S-, R-, als QL-implicatoren randimplicatoren. Zowel S- als QLimplicatoren zijn steeds glad als de bijhorende t-norm glad is. Voor R-implicatoren geldt
dit niet algemeen, slechts in het geval van de Archimedische t-norm.
In het geval van niet-gladde t-normen of t-conormen, behaalden we volgende resultaten:
als T nM het nilpotent minimum is, bekomen we I1T nM = I2T nM = R0 . Ook voor T(N ) is
I1T(N ) = I2T(N ) . Als we S nM en TM gebruiken, is de bijhorende QL-operator gelijk aan de
R0 -implicator.
54
3.5
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
Vergelijking met het eenheidsinterval
We vergelijken kort de voornaamste resultaten in het discrete geval met deze op het
eenheidsinterval.
Op het eenheidsinterval worden de besproken implicatoren op volgende wijze gedefinieerd
voor (x, y) ∈ [0, 1]2 :
(i) S-implicatoren: IS,N (x, y) = S(N (x), y);
(ii) R-implicatoren: IR (x, y) = max{z | z ∈ [0, 1] ∧ T (x, z) ≤ y};
(iii) QL-implicatoren: IQL (x, y) = S(N (x), T (x, y));
waarbij T een t-norm is, S een t-conorm en N een sterke negator. De gevallen waarin
(iii) een QL-implicator is, worden besproken in [7, 27].
Ook op het eenheidsinterval geldt dat zowel S-, R-, als QL-implicatoren steeds randimplicatoren zijn. Wanneer we continue t-normen en t-conormen beschouwen, bekomen we
dat de eigenschappen (P1)–(P8) onder volgende voorwaarden geldig zijn [1, 12, 23, 26]:
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(P5)
(P6)
(P7)
(P8)
IS,N
altijd
altijd
(P4)
(P3)
altijd
altijd
IS,N = IKD
IR
altijd
IR = IS,N met S de
N -duale van T
altijd
altijd
(P2)
altijd
altijd
nooit
IQL
0
IQL = IS,N
(P1)
(P4)
(P3)
altijd
altijd
T (x, N (x)) = 0, ∀x
of S = max
Hierbij is IKD (x, y) = max{1 − x, y} de (continue) Kleene-Dienes-implicator. Voor de
Lukasiewicz-implicator hebben we IL (x, y) = min{1, 1 − x + y}. Merk op dat de voorwaarde opdat IQL aan (P8) voldoet, overeenkomt met T Archimedisch in het discrete
geval (Lemma 3.8). Ook voor IS komt de voorwaarde overeen: voor T = min geldt in het
discrete geval immers dat I1TM = IKD .
Voor (P7) zijn er geen algemene resultaten voor S- of QL-implicatoren. In het discrete
geval kan dit wel omdat er dan slechts ´e´en sterke negator N bestaat en in het geval van
de QL-implicator bestaat er slechts ´e´en t-conorm, namelijk SL , zodat deze een implicator
is. In het discrete geval, voldoen I1T en I3T aan (P7) indien T de Archimedische t-norm
is.
Zowel de Lukasiewicz t-norm TL als de product t-norm TP zijn Archimedische continue
t-normen op het eenheidsinterval. Als we het Ns -duale paar (TL , SL ) beschouwen, met
Ns (x) = 1 − x de standaardnegator, dan is de bijhorende ISL ,Ns gelijk aan IL . Aangezien dit ook een R-implicator is, voldoet deze aan (P7). Ook de bijhorende IQL (gelijk
3.5. VERGELIJKING MET HET EENHEIDSINTERVAL
55
aan IKD ) voldoet aan (P7). Voor het Ns -duale paar (TP , SP ) geldt (P7) niet voor de
corresponderende S-implicator ISP ,Ns : immers, voor a = 0.5 en b = 0 vinden we
TP (a, ISP ,Ns (a, b)) = a(1 − a + ab) = 0.25 > 0 = b.
IQL is zelfs geen implicator in dat geval: IQL (x, y) = 1 − x + yx2 is immers niet overal
dalend in x. Het geval TP , SL , Ns geeft wel een QL-implicator, maar deze voldoet niet
aan (P7): immers, voor a = 0.5 en b = 0 vinden we
TP (a, IQL (a, b)) = a(1 − a + ab) = 0.25 > 0 = b.
56
HOOFDSTUK 3. IMPLICATOREN
Hoofdstuk 4
Uninormen
4.1
Definities en eigenschappen
In dit vierde hoofdstuk onderzoeken we een eerste veralgemening van t-normen en tconormen, namelijk uninormen. We zullen zien dat de enige gladde uninormen de tnormen en t-conormen zijn. Daarom geven we nog enkele andere concepten in verband
met gladheid. Op deze manier kunnen we het analogon van de karakterisatie voor continue
uninormen bespreken. Ook karakteriseren we idempotente uninormen op analoge wijze
als op het eenheidsinterval, bespreken we kort de dualiteit en gaan vervolgens dieper
in op uninormen met gladde onderliggende t-normen en t-conormen, in het bijzonder
idempotente en Archimedische.
We bestuderen uninormen op een eindige ketting L = {0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 =
1}.
Definitie 4.1. [17] Een uninorm op L is een functie U : L × L → L zodat voor iedere
(xi , xj , xk ) ∈ L3 volgende axioma’s voldaan zijn:
(U1) U (xi , xj ) = U (xj , xi )
(commutativiteit),
(U2) U (U (xi , xj ), xk ) = U (xi , U (xj , xk ))
(associativiteit),
(U3) U (xi , xj ) ≤ U (xi , xk ) voor xj ≤ xk
(stijgend),
(U4) U (xi , xe ) = xi voor een zekere xe ∈ L
(neutraal element).
Als xe = xn+1 bekomen we een t-norm, voor xe = x0 een t-conorm.
Definitie 4.2. Zij U een uninorm op L. We noemen een element xi ∈ L een idempotent
element van U als U (xi , xi ) = xi . We noteren de verzameling van idempotente elementen
van U door I(U ).
Uit de definitie van een uninorm volgt meteen dat de elementen 0 en 1 idempotente
elementen zijn voor iedere uninorm. We noemen deze dan ook de triviale idempotente
elementen. Een uninorm noemen we idempotent als alle elementen in L idempotente
elementen zijn.
We behandelen nu enkele basiseigenschappen van uninormen.
57
58
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
Propositie 4.3. [17] Zij U een uninorm op L met neutraal element xe ∈ L. Zij xi ∈ L.
Dan:
(i) U (xi , 1) = 1 voor alle xi ≥ xe en U (xi , 0) = 0 voor alle xi ≤ xe ;
(ii) U (U (0, 1), xi ) = U (0, 1) voor alle xi ∈ L;
(iii) U (0, 1) ∈ {0, 1}.
Bewijs.
(i) Dit volgt meteen uit het stijgend zijn van U .
(ii) Als xi ≥ xe , dan volgt wegens (i) dat U (xi , 1) = 1 en dan
U (0, 1) = U (0, U (xi , 1)) = U (U (0, 1), xi ).
Als xi ≤ xe , dan volgt wegens (i) dat U (xi , 0) = 0 en dan
U (0, 1) = U (U (xi , 0), 1) = U (xi , U (0, 1)).
(iii) Uit (i) volgt dat U (0, 0) = 0 en U (1, 1) = 1. Stel U (0, 1) ≤ xe , dan
U (0, 1) = U (U (0, 0), 1) = U (0, U (0, 1)) ≤ U (0, xe ) = 0.
Als U (0, 1) ≥ xe , dan
U (0, 1) = U (0, U (1, 1)) = U (U (0, 1), 1) ≥ U (xe , 1) = 1.
Er volgt dat U (0, 1) ∈ {0, 1}.
Voor iedere discrete uninorm U op L geldt dus dat U (0, 1) = U (1, 0) ∈ {0, 1}. We noemen
U conjunctief als U (0, 1) = 0. We noemen U disjunctief als U (0, 1) = 1.
Definitie 4.4. [17] Een uninorm U noemen we glad als voor iedere xi ∈ L geldt dat
(U (xi , xj ) = xk ∧ U (xi−1 , xj ) = xl ∧ U (xi , xj−1 ) = xm )
=⇒ (k − 1 ≤ l ≤ k ∧ k − 1 ≤ m ≤ k).
Propositie 4.5. [17] Zij U een uninorm op L met neutraal element xe . Als U glad is,
dan xe ∈ {0, 1}.
Bewijs.
We onderscheiden twee gevallen.
1. Als U (0, 1) = 0, dan volgt uit de gladheid dat U (x1 , 1) ≤ x1 . Als we deze redenering
herhalen, bekomen we dat U (xi , 1) ≤ xi voor alle xi ∈ L. In het bijzonder geldt
U (xe , 1) ≤ xe , maar U (xe , 1) = 1. Er volgt dat xe = 1.
2. Het geval U (0, 1) = 1 is analoog. We bekomen dan xe = 0.
4.1. DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN
59
Gevolg 4.6. [17] Zij U een uninorm op L met neutraal element xe . Als U glad is, is U
een t-norm of t-conorm.
Aangezien de enige gladde uninormen de t-normen en t-conormen zijn, introduceren we
een begrip om gladheid in een punt uit te drukken.
Definitie 4.7. [17] Zij U een binaire operator op L. We noemen U glad in een punt
(xi , xj ) als voor U (xi , xj ) = xk en (i − 1, j − 1) ∈ {0, 1, ..., n + 1}2 geldt dat
(U (xi−1 , xj ) = xl ∧ U (xi , xj−1 ) = xm ) =⇒ (k − 1 ≤ l ≤ k ∧ k − 1 ≤ m ≤ k).
Uit deze definitie blijkt dat iedere binaire operator U op L glad is in het punt (0, 0).
Bovendien is U glad als en slechts als U glad is in ieder punt (xi , xj ) ∈ L2 .
Vervolgens introduceren we het begrip pseudogladheid.
Definitie 4.8. [17] Zij U een uninorm op L met neutraal element 0 < xe < 1.
(i) We noemen U linkspseudoglad als U glad is alle (xi , xj ) ∈ L2 , behalve in punten
(xi , xe ) met xi ∈ {xe+1 , ..., 1}.
(ii) We noemen U rechtspseudoglad als U glad is alle (xi , xj ) ∈ L2 , behalve in punten
(xi , xe ) met xi ∈ {0, ..., xe−1 }.
Noteer [0, xe ] = {0 = x0 < x1 < ... < xe } en [xe , 1] = {xe < xe+1 < ...xn+1 = 1}. De
structuur van iedere links- of rechtspseudogladde uninorm U op L met neutraal element
0 < xe < 1 kan als volgt beschreven worden: de beperking tot [0, xe ]2 is een t-norm T ,
terwijl de beperking tot [xe , 1]2 een t-conorm S is. Voor iedere (xi , xj ) ∈ Ce = [0, xe [ ×
]xe , 1] ∪ ]xe , 1] × [0, xe [ geldt dat min{xi , xj } ≤ U (xi , xj ) ≤ max{xi , xj }. We noteren
U = hT, xe , Si.
Definitie 4.9. [25] Een binaire operator U :
neutraal element 0 < xe < 1 als er een t-norm
bestaat zodat U gegeven wordt door

 T (xi , xj ),
S(xi , xj ),
U (xi , xj ) =

min{xi , xj },
L2 → L is een uninorm in Umin met
T op [0, xe ] en een t-conorm S op [xe , 1]
als (xi , xj ) ∈ [0, xe ]2 ,
als (xi , xj ) ∈ [xe , 1]2 ,
elders.
(4.1)
We noteren deze uninorm als U = hT, xe , Simin .
We zien meteen dat een uninorm U in Umin conjunctief is. De structuur van U =
hT, xe , Simin wordt weergegeven in Figuur 4.1.
Definitie 4.10. [25] Een binaire operator U : L2 → L is een uninorm in Umax met
neutraal element 0 < xe < 1 als er een gladde t-norm T op [0, xe ] en een gladde t-conorm
S op [xe , 1] bestaat zodat U gegeven wordt door

als (xi , xj ) ∈ [0, xe ]2 ,
 T (xi , xj ),
S(xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [xe , 1]2 ,
U (xi , xj ) =

max{xi , xj }, elders.
We noteren deze uninorm als U = hT, xe , Simax .
60
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
1
xn
1
xn
min
S
xe+1
xe+1
0 x1 xe−1
xe
xe
xe+1 xn 1
xe−1
xe−1
T
x1
0
0
x1
min
x1
0
xe−1 xe xe+1
xn
1
Figuur 4.1: De structuur van een uninorm U = hT, xe , Simin .
1
xn
1
xn
max
S
xe+1
xe+1
0 x1 xe−1
xe
xe
xe+1 xn 1
xe−1
xe−1
T
x1
0
0
x1
x1
0
xe−1 xe xe+1
max
xn
1
Figuur 4.2: De structuur van een uninorm U = hT, xe , Simax .
Een uninorm U in Umax is disjunctief is. De structuur van U = hT, xe , Simax wordt
weergegeven in Figuur 4.2.
Op het eenheidsinterval worden conjunctieve en disjunctieve uninormen met neutraal element e beschouwd. Er bestaat een karakterisatie voor conjunctieve uninormen U waarvoor
U (·, 1) continu is op [0, e[ en voor disjunctieve uninormen U waarvoor U (0, ·) continu is
op ]e, 1]. Deze worden gekarakteriseerd door uninormen in Umin en Umax respectievelijk
[2].
Ook in het discrete geval willen we zulke karakterisaties. Aangezien enkel de t-normen en
t-conormen glad zijn, beschouwen we links- en rechtspseudogladde uninormen op L. De
voorwaarden voor de karakterisaties in het discrete geval zijn sterker, we hebben minder
vrijheid dan in het continue geval. De karakterisatie ziet er als volgt uit:
Eigenschap 4.11. Zij U een uninorm op L met neutraal element 0 < xe < 1.
(i) U is linkspseudoglad als en slechts als U = hT, xe , Simin .
(ii) U is rechtspseudoglad als en slechts als U = hT, xe , Simax .
Een linkspseudogladde uninorm is bijgevolg conjunctief, een rechtspseudogladde disjunctief.
4.1. DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN
61
Bewijs.
We bewijzen enkel (i), aangezien (ii) analoog is.
⇐ Het is duidelijk dat de operatoren gegeven door (4.1) steeds linkspseudogladde uninormen zijn (zie Figuur 4.1).
⇒ Zij U een linkspseudogladde uninorm. Aangezien U niet glad is in het punt (1, xe ),
bekomen we dat U (1, xe−1 ) < xn , en dus U (1, 0) = 0 wegens Propositie 4.3. Aangezien U
wel glad is in ieder punt (xi , 1) met xi 6= xe , volgt dat U (x1 , 1) ≤ x1 en ook U (xi , 1) ≤ xi
voor alle xi < xe . Anderzijds geldt U (xi , 1) ≥ U (xi , xe ) = xi . We bekomen dus dat
U (xi , 1) = xi voor alle xi < xe . Aangezien U (xi , xe ) = xi , volgt uit de monotoniciteit en
de commutativiteit dat U (xi , xj ) = min{xi , xj } wanneer min{i, j} < e < max{i, j}.
Noteer T de beperking van U tot [0, xe ]2 , dan:
◦ T is een uninorm op [0, xe ] die bovendien glad is;
◦ T (xi , xe ) = xi voor alle xi ∈ [0, xe ].
Wegens Gevolg 4.6 is T een t-norm op [0, xe ]. Op analoge wijze bewijzen we dat de
beperking S van U tot [xe , 1] een t-conorm is.
Dit bewijst (4.1).
Gevolg 4.12. [17] Zij U een uninorm op L die links- or rechtspseudoglad is. Dan is U
idempotent als en slechts als T = min en S = max.
Gevolg 4.13. [17] Er zijn precies n2n uninormen op L die links- of rechtspseudoglad zijn
en 2n van hen zijn idempotent.
Bewijs.
Zij U een uninorm op L, met neutraal element 0 < xe < 1 en zij U links- of rechtspseudoglad. We weten dat U een combinatie is van een gladde t-norm T op [0, xe ] en een gladde
t-conorm S op [xe , 1]. [0, xe ] heeft e + 1 elementen, [xe , 1] heeft er n + 2 − e. In beide
gevallen (U links- of rechtspseudoglad) geldt wegens Gevolg 2.26 en Gevolg 2.57 dat er
precies 2e−1 mogelijkheden zijn voor T en 2n−e voor S. Bijgevolg zijn er 2e−1 2n−e = 2n−1
mogelijkheden voor U in ieder geval (links of rechts), dus 2n in totaal.
Aangezien er n mogelijke waarden voor e zijn, zijn er precies n2n uninormen op L die
links- of rechtspseudoglad zijn.
Het is duidelijk dat er precies 2n van hen idempotent zijn.
62
4.2
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
Idempotente uninormen
In deze sectie gaan we dieper in op idempotente uninormen. Voor de karakterisatie van
een idempotente uninorm, hebben we eerst enkele eigenschappen nodig. Analoog als op
het eendheidsinterval [2] geldt volgende eigenschap.
Eigenschap 4.14. [3] Zij U een idempotente, associatieve, stijgende binaire functie op
L met neutraal element x0 < xe < xn+1 . Dan bestaat er een dalende functie g : L → L
met g(xe ) = xe zodat

als xj ≤ g(xi ) en g(xi ) > 0,
 min{xi , xj },
min{xi , xj } of max{xi , xj }, als xj = g(xi ) = 0,
U (xi , xj ) =
(4.2)

max{xi , xj },
elders.
Bewijs.
We delen het bewijs op in vijf stappen.
(i) U is idempotent met neutraal element xe , dus er geldt dat U (xi , xi ) = xi , U (xi , xe ) =
U (xe , xi ) = xi voor iedere xi ∈ L. Aangezien U stijgend is, is U (xi , xj ) = U (xj , xi ) =
xi voor alle xi ≤ xj ≤ xe . Dit bewijst dat U (xi , xj ) = min{xi , xj } voor (xi , xj ) ∈
[x0 , xe ]2 . Op analoge wijze kunnen we aantonen dat U (xi , xj ) = max{xi , xj } voor
(xi , xj ) ∈ [xe , xn+1 ]2 .
(ii) Beschouw vervolgens de functie g : L → L gedefinieerd door

 max{xk | xk ∈ L ∧ U (xi , xk ) = min{xi , xk }}, als xi ≤ xe ,
0, als xi > xe en min{xk | xk ∈ L ∧ U (xi , xk ) = max{xi , xk }} = 0,
g(xi ) =

min{xk−1 | xk−1 ∈ L ∧ U (xi , xk ) = max{xi , xk }}, elders.
De functie g is duidelijk goed gedefinieerd en g(xe ) = xe . Bovendien geldt voor alle
xi < xe dat g(xi ) ≥ xe en U (xi , xj ) = min{xi , xj } wanneer xj ≤ g(xi ). Op gelijkaardige wijze geldt dat voor alle xi > xe dat g(xi ) ≤ xe en U (xi , xj ) = max{xi , xj }
als xj > g(xi ). Het is nog niet duidelijk dat g dalend is. We tonen eerst aan dat U
gegeven wordt door (4.2) in volgende stappen.
(iii) Beschouw xi < xe en noteer g(xi ) = xl . We bewijzen per inductie dat U (xi , xl+k ) =
max{xi , xl+k } = xl+k voor alle k ≥ 1 waarvoor l + k ≤ n + 1. Eerst tonen we de
bewering aan voor k = 1. Stel uit het ongerijmde dat U (xi , xl+1 ) ≤ xl , dan volgt
uit (ii) en uit U (xi , xl+1 ) ≥ U (xi , xl ) (aangezien xl = g(xi ) ≥ xe ) dat
U (xi , U (xi , xl+1 )) = min{xi , U (xi , xl+1 )} = xi .
Wegens de associativiteit en de idempotentie van U volgt dat
xi = U (xi , U (xi , xl+1 )) = U (U (xi , xi ), xl+1 ) = U (xi , xl+1 ),
wat een contradictie oplevert met de definitie van g: we bekomen dus dat U (xi , xl+1 )
= min{xi , xl+1 } maar g is net zo gedefinieerd dat voor xi < xe geldt dat
xl = g(xi ) = max{xk | xk ∈ L ∧ U (xi , xk ) = min{xi , xk }}.
4.2. IDEMPOTENTE UNINORMEN
63
Stel nu dat de bewering geldt voor k, dan bewijzen we dit voor k + 1.We weten dan dat U (xi , xl+k ) = xl+k . Uit het stijgend zijn van U volgt meteen dat
U (xi , xl+k+1 ) ≥ xl+k . Bovendien weten we dat er geldt dat min ≤ U ≤ max, dus
U (xi , xl+k+1 ) ≤ xl+k+1 . Bijgevolg U (xi , xl+k+1 ) ∈ {xl+k , xl+k+1 }. Als we veronderstellen dat U (xi , xl+k+1 ) = xl+k , bekomen we de volgende contradictie:
xl+k = U (xi , xl+k+1 )
= U (xi , U (xl+k+1 , xl+k+1 ))
= U (U (xi , xl+k+1 ), xl+k+1 )
= U (xl+k , xl+k+1 )
= xl+k+1 ,
waarbij de laatste gelijkheid volgt uit het feit dat U zich als het maximum gedraagt
op [xe , xn+1 ]2 wegens (i).
(iv) Zij xi > xe zodat g(xi ) = xl > 0. We bewijzen per inductie dat U (xi , xl−k ) =
min{xi , xl−k } = xl−k voor alle k ≥ 0 zodat xl−k ≥ 0. We tonen de bewering aan
voor k = 0. Stel uit het ongerijmde dat U (xi , xl ) > xl , dan volgt uit (ii) dat
U (xi , U (xi , xl )) = max{xi , U (xi , xl )} = xi .
Wegens de associativiteit en de idempotentie van U volgt dan dat
xi = U (xi , U (xi , xl )) = U (U (xi , xi ), xl ) = U (xi , xl ),
wat, wegens het feit dat g(xi ) = xl > 0, in tegenspraak is met de definitie van g. Deze
stelt immers dat xl+1 de kleinste waarde is waarvoor U (xi , xl+1 ) = max{xi , xl+1 }
= xi .
Stel nu dat de bewering geldt voor k, dan bewijzen we dit voor k + 1. We weten dat
U (xi , xl−k ) = xl−k en, als we veronderstellen dat U (xi , xl−(k+1) ) = xl−k , bekomen we
de volgende contradictie:
xl−k = U (xi , xl−(k+1) )
= U (xi , U (xl−(k+1) , xl−(k+1) ))
= U (U (xi , xl−(k+1) ), xl−(k+1) )
= U (xl−k , xl−(k+1) )
= xl−(k+1) ,
waarbij de laatste gelijkheid volgt uit het feit dat U zich als het minimum gedraagt
op [x0 , xe ]2 .
(v) Zij xi > xe zodat g(xi ) = 0. Dan geldt ofwel dat min{xk | xk ∈ L ∧ U (xi , xk ) =
max{xi , xk }} = 0, en dus dat U (xi , 0) = max{xi , 0} = xi , ofwel dat min{xk−1 |
xk−1 ∈ L ∧ U (xi , xk ) = max{xi , xk }} = x0 . In het laatste geval geldt dat U (xi , xj ) =
max{xi , xj } voor alle j > 0. Stel nu dat U (xi , 0) = xa > 0, dan
U (xi , U (xi , 0)) = U (xi , xa ) = max{xi , xa } = xi ,
terwijl uit de associativiteit en idempotentie van U volgt dat
U (xi , U (xi , 0)) = U (U (xi , xi ), 0) = U (xi , 0) = xa .
64
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
Dit impliceert dat xi = xa en dus dat U (xi , 0) = xi = max{xi , 0}. Er volgt dat
min{xk | xk ∈ L ∧ U (xi , xk ) = max{xi , xk }} = 0, wat een tegenstrijdigheid oplevert:
dit is immers niet zo want we zitten hier in het derde geval van de definitie van g
en xi > xe werd verondersteld. Bijgevolg is U (xi , 0) = 0 = min{xi , 0}.
Als we bovenstaande stappen samennemen, is het duidelijk dat U gegeven wordt door
(4.2). De monotoniciteit van U impliceert dan onmiddellijk dat g dalend is.
Er geldt niet noodzakelijk dat U commutatief is in punten van het type (xi , xl ) met
g(xi ) = xl , alsook (xi , xl+1 ) of (xi , xl−1 ). We illustreren dit met een voorbeeld.
Voorbeeld 4.15. [3] Beschouw L = {0, 0.25, 0.50, 0.75, 1} en definieer g : L → L (zie
Figuur 4.3) als
0.50,
als xi ≤ 0.50,
g(xi ) =
1 − xi , elders.
1
0.75
0.50 •
•
•
•
0.25
0
0
0.25
0.50
0.75
•
1
Figuur 4.3: Grafiek van de functie g in Voorbeeld 4.15.
Zij G de binaire operatie op L gedefinieerd als
min{xi , xj }, als xj ≤ g(xi ),
G(xi , xj ) =
max{xi , xj }, elders.
De waarden voor G(xi , xj ) worden weergegeven in Tabel 4.1.
G
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0
0
0
0
0
0.25 0.50
0
0
0.25 0.25
0.25 0.50
0.25 0.75
1
1
0.75 1
0.75 1
0.75 1
0.75 1
0.75 1
1
1
Tabel 4.1: Waarden voor G(xi , xj ).
We zien meteen dat G idempotent, associatief en stijgend is en neutraal element 0.50
heeft. G is evenwel niet commutatief, er geldt bijvoorbeeld G(0; 0.75) 6= G(0.75; 0).
4.2. IDEMPOTENTE UNINORMEN
65
Voor de karakterisatie van een idempotente uninorm hebben we nog enkele definities
nodig.
Definitie 4.16. [3] Zij g : L → L een dalende functie. We defini¨eren diens gecompleteerde grafiek Fg als volgende deelverzameling van L2 :
Fg = ({0} × [g(0), 1]) ∪ ({1} × [0, g(1)]) ∪ {(xi , xj ) | (xi , xj ) ∈ [0, xn ] × [0, 1] ∧
g(xi+1 ) ≤ xj ≤ g(xi )}.
Definitie 4.17. [3] We noemen een deelverzameling F van L2 symmetrisch als voor
alle (xi , xj ) ∈ L2 geldt dat
(xi , xj ) ∈ F ⇐⇒ (xj , xi ) ∈ F.
Bovenstaande definitie drukt uit dat een deelverzameling F van L2 symmetrisch is ten
opzichte van de diagonaal {(xi , xi ) | xi ∈ L}. We introduceren een gelijkaardig begrip
voor een dalende functie g : L → L.
Definitie 4.18. [3] We noemen een dalende functie g : L → L symmetrisch als diens
gecompleteerde grafiek Fg symmetrisch is.
Voorbeeld 4.19. [3] We geven een symmetrische dalende functie g : L → L zodat diens
gewoonlijke grafiek niet symmetrisch is. Beschouw L = {0, 0.25, 0.50, 0.75, 1} en definieer
g : L → L als

als xi = 0,
 1,
0.50, als xi ∈ {0.25, 0.50},
g(xi ) =

0,
elders.
De (gewoonlijke) grafiek van g is de verzameling
{(0, 1), (0.25, 0.50), (0.50, 0.50), (0.75, 0), (1, 0)},
terwijl de gecompleteerde grafiek Fg gegeven wordt door
Fg = {(0, 1), (0, 0.75), (0, 0.50), (0.25, 0.50), (0.50, 0.50),
(0.50, 0.25), (0.50, 0), (0.75, 0), (1, 0)}.
Het is duidelijk dat Fg symmetrisch is (Figuur 4.5), en bijgevolg g ook, terwijl de grafiek
van g niet symmetrisch is (Figuur 4.4).
66
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
1•
0.75
0.50
•
•
0.25
0.50
0.25
0
0
•
0.75
•
1
Figuur 4.4: Grafiek van de functie g in Voorbeeld 4.19.
1
0.75 0.50 0.25
0
0
0.25
0.50
0.75
1
Figuur 4.5: Grafiek van de gecompleteerde grafiek Fg in Voorbeeld 4.19.
Lemma 4.20. [3] Zij g : L → L een dalende functie. Volgende uitspraken zijn equivalent:
(i) g is symmetrisch;
(ii) g(xi ) = 0 voor alle xi > g(0) en de verzameling Fg,0 is symmetrisch, waarbij
Fg,0 = {(xi , xj ) | (xi , xj ) ∈ [0, g(0)]2 ∧ g(xi+1 ) ≤ xj ≤ g(xi )}
(met de afspraak dat g(xn+2 ) = 0);
(iii) g(xi ) = 1 voor alle xi < g(1) en de verzameling Fg,n is symmetrisch, waarbij
Fg,1 = {(xi , xj ) | (xi , xj ) ∈ [g(1), 1]2 ∧ g(xi+1 ) ≤ xj ≤ g(xi )}
(met de afspraak dat g(xn+2 ) = 0).
Bewijs.
(i) ⇐⇒ (ii) Als g(0) = 1, dan moeten we niets bewijzen. Er geldt dan immers dat
Fg,0 = Fg want {0} × [g(0), 1] is dan beperkt tot het koppel (0, 1), wat een element van
Fg,0 is, en voor {1} × [0, g(1)] geldt, als xi ∈ [0, g(1)], dat 0 = g(xn+2 ) ≤ xi ≤ g(1).
4.2. IDEMPOTENTE UNINORMEN
67
Veronderstel nu dat g(0) < 1. Het volstaat aan te tonen dat als g symmetrisch is, dan geldt
g(xi ) = 0 voor alle xi > g(0). Welnu, als g symmetrisch is, dan is Fg ook symmetrisch
en (0, xi ) ∈ Fg voor alle xi ≥ g(0). Dus ook (xi , 0) ∈ Fg voor alle xi ≥ g(0) en bijgevolg
g(xi+1 ) ≤ 0 ≤ g(xi ) voor alle xi ≥ g(0). Er volgt dat g(xi ) = 0 voor alle xi > g(0).
(i) ⇐⇒ (iii) Analoog.
Lemma 4.21. [3] Zij g : L → L een dalende functie zodat g(0) < 1 . Volgende uitspraken
zijn equivalent:
(i) g is symmetrisch;
(ii) g(xi ) = 0 voor alle xi > g(0) en g(g(xi )) ≥ xi voor alle xi ∈ [0, g(0)];
(iii) g(xi ) = 0 voor alle xi > g(0) en voor alle (xi , xj ) ∈ [0, g(0)]2 geldt dat
xj ≤ g(xi ) ⇐⇒ xi ≤ g(xj ).
Bewijs.
(i) ⇒ (ii) Uit Lemma 4.20 volgt dat g(xi ) = 0 voor alle xi > g(0) en dat Fg,0 symmetrisch is. Bijgevolg geldt voor alle xi ∈ [0, g(0)] dat
(xi , g(xi )) ∈ Fg,0 =⇒ (g(xi ), xi ) ∈ Fg,0 =⇒ xi ≤ g(g(xi )).
(ii) ⇒ (iii) Beschouw (xi , xj ) ∈ [0, g(0)]2 zodat xi ≤ g(xj ), dan impliceert het dalend
zijn van g dat g(xi ) ≥ g(g(xj )) ≥ xj . Op analoge wijze volgt uit xj ≤ g(xi ) dat xi ≤ g(xj ).
(iii) ⇒ (i) Wegens Lemma 4.20 volstaat het aan te tonen dat Fg,0 symmetrisch is. Beschouw (xi , xj ) ∈ Fg,0 , dan g(xi+1 ) ≤ xj ≤ g(xi ) en bijgevolg xi ≤ g(xj ). Als we anderzijds
veronderstellen dat g(xj+1 ) > xi , dan
xi+1 ≤ g(xj+1 ) =⇒ xj+1 ≤ g(xi+1 ) =⇒ xj < g(xi+1 ),
wat tegenstrijdig is met het feit dat (xi , xj ) ∈ Fg,0 . We besluiten dat g(xj+1 ) ≤ xi en dus
(xj , xi ) ∈ Fg,0 , wat bewijst dat Fg,0 symmetrisch is.
Lemma 4.22. [3] Beschouw xe ∈ L zodat x0 < xe < xn+1 en zij g : [0, xe ] → [xe , 1] een
dalende functie zodat g(xe ) = xe . Dan bestaat er precies ´e´en symmetrische uitbreiding
van g, g¯ : L → L, gegeven door

als xi ≤ xe ,
 g(xi ),
max{xk | xk ∈ [0, xe ] ∧ g(xk ) ≥ xi }, als xe ≤ xi ≤ g(0),
(4.3)
g¯(xi ) =

0,
als xi > g(0).
Bewijs.
Wegens Lemma 4.21 moeten we enkel aantonen dat g¯(¯
g (xi )) ≥ xi voor alle xi ∈ [0, g¯(0)],
aangezien per definitie g¯(xi ) = g(xi ) = 0 voor alle xi > g¯(0). We onderscheiden drie
gevallen:
(i) Als xi < xe , dan g¯(xi ) = g(xi ) ≥ xe en bijgevolg
g¯(¯
g (xi )) = max{xk | xk ∈ [0, xe ] ∧ g(xk ) ≥ g(xi )} ≥ xi .
68
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
(ii) Als xi = xe , dan g¯(¯
g (xe )) = g¯(g(xe )) = g¯(xe ) = g(xe ) = xe .
(iii) Als xi > xe , dan g¯(xi ) ≤ xe en bijgevolg
g¯(¯
g (xi )) = g(¯
g (xi )) = g(max{xk | xk ∈ [0, xe ] ∧ g(xk ) ≥ xi }) ≥ xi .
Wegens Lemma 4.21(iii) is deze uitbreiding uniek.
We hebben nog een laatste definitie en bijhorende propositie nodig.
Definitie 4.23. [16] We noemen een binaire operator F : L2 → L lokaal intern indien
deze aan de volgende voorwaarde voldoet:
F (xi , xj ) ∈ {xi , xj }, voor alle (xi , xj ) ∈ L2 .
Propositie 4.24. [16] Als F : L2 → L een lokaal interne, stijgende en commutatieve
operator is, dan is F ook associatief.
Bewijs.
Zij (xi , xj , xk ) ∈ L3 met xi ≤ xj ≤ xk . Dan geldt F (xi , xj ) ≤ F (xi , xk ) ≤ F (xj , xk ).
Rekening houdend met het lokaal intern zijn van F , komen volgende combinaties voor:
xi
F (xi , xj )
xi
F (xi , xk )
F (xj , xk )
xj
F (xi , F (xj , xk )) xi
F (F (xi , xj ), xk ) xi
xi
xi
xk
xi
xi
xi
xk
xj
xi
xk
xi
xk
xk
xk
xk
xj
xi
xj
xj
xj
xj
xi
xk
xi
xk
xj
xk
xj
xj
xj
xj
xk
xk
xk
xk
Aangezien F stijgend is, zijn de derde, vijfde, zesde en zevende optie niet mogelijk. De
tabel reduceert tot:
xi
F (xi , xj )
F (xi , xk )
xi
F (xj , xk )
xj
F (xi , F (xj , xk )) xi
F (F (xi , xj ), xk ) xi
xi
xi
xk
xi
xi
xi
xk
xk
xk
xk
xj
xk
xk
xk
xk
Er volgt dat F associatief is indien F lokaal intern, stijgend en commutatief is.
We kunnen nu een karakterisatie geven van idempotente uninormen op L, analoog als
voor linkscontinue idempotente uninormen op het eenheidsinterval [2].
Eigenschap 4.25. [3] Een binaire operator U op L met neutraal element x0 < xe < xn+1
is een idempotente uninorm als en slechts als er een dalende functie g : [x0 , xe ] → [xe , xn+1 ]
bestaat met g(xe ) = xe zodat:
min{xi , xj }, als xj ≤ g¯(xi ) en xi ≤ g¯(x0 ),
U (xi , xj ) =
(4.4)
max{xi , xj }, elders,
waarbij g¯ de unieke symmetrische uitbreiding van g is, gegeven door (4.3).
4.2. IDEMPOTENTE UNINORMEN
69
Bewijs.
Als U een idempotente uninorm is, dan volgt uit Eigenschap 4.14 dat U gegeven wordt
door (4.2) voor een zekere dalende functie g : L → L. De commutativeit van U en Lemma
4.21 impliceren dat g symmetrisch moet zijn:
(i) Aangezien g(0) ≥ g(xe ) = xe , volgt uit (4.2) dat
0, als xj ≤ g(0),
U (0, xj ) =
xj , als xj > g(0).
Wegens de commutativiteit van U is dit gelijk aan
0,
als g(xj ) > 0,
U (xj , 0) =
0 of xj , als g(xj ) = 0.
Dus als xj > g(0), dan U (xj , 0) = U (0, xj ) 6= 0. Bijgevolg moet gelden dat als
xj > g(0), dan g(xj ) = 0.
(ii) Nu geldt voor alle (xi , xj ) ∈ (L \ {0})2 :
U (xi , xj ) = min{xi , xj }
⇐⇒ xj ≤ g(xi ) ∧ g(xi ) > 0
⇐⇒ xi ≤ g(xj ) ∧ g(xj ) > 0,
wegens de commutativiteit van U . Aangezien (xi , xj ) ∈ (L \ {0})2 , herleidt dit tot
xj ≤ g(xi ) ⇐⇒ xi ≤ g(xj ).
Wegens (i), (ii) en Lemma 4.21(iii) volgt nu dat g symmetrisch is. Uit de symmetrie van
g volgt wegens Lemma 4.22 dat g = g¯ . Wegens Lemma 4.21(iii) volgt dan dat U gegeven
wordt door (4.4).
Als U gegeven wordt door (4.4), is deze duidelijk idempotent, commutatief en stijgend
met neutraal element xe . Bovendien geldt U (xi , xj ) ∈ {xi , xj } voor alle (xi , xj ) ∈ L2 .
Bijgevolg geldt wegens Propositie 4.24 dat U ook associatief moet zijn. We besluiten dat
U een idempotente uninorm is.
Als een gevolg van het eenduidig verband tussen dalende functies g : [0, xe ] → [xe , 1]
met g(xe ) = xe en idempotente uninormen op L met neutraal element xe , kunnen we het
totaal aantal idempotente uninormen makkelijk bepalen.
Eigenschap 4.26. [3] Zij L = {0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1} met n ≥ 1.
(i) Het aantal idempotente uninormen op L met neutraal element xe ∈ L wordt gegeven
door
n+1
Ie,n+1 =
.
e
(ii) Het totaal aantal idempotente uninormen op L wordt gegeven door
In+1 =
n+1
X
e=0
Ie,n+1 = 2n+1 .
70
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
Bewijs.
Het volstaat om (i) te bewijzen. We tellen eerst het aantal posities waarop g een overgang
naar een lagere functiewaarde vertoont. We noteren het
waarden voor
aantal verschillende
n+1−e+1
g door j. Voor de (verticale) waarden van g zijn dan
keuzen mogelijk.
j
Deze worden logischerwijze geordend van groot naar klein, aangezien g een dalende functie
is.
de (horizontale) plaatsen waar een overgang naar een lager niveau gebeurt, zijn
Voor e−1
mogelijkheden. Er zijn dus j − 1 overgangen. We sommeren over het aantal
j−1
verschillende waarden j.
Als we alle mogelijke dalende functies g : [x0 , xe ] → [xe , xn+1 ] met g(xe ) = xe tellen,
bekomen we dus
e X
n+1−e+1
e−1
Ie,n+1 =
.
j−1
j
j=1
m
m
Aangezien
=
voor alle 0 ≤ k ≤ m, bekomen we
k
m−k
Ie,n+1
e X
e−1
n+1−e+1
=
.
e−j
j
j=1
We passen de Vandermonde identiteit toe en bekomen dat dit gelijk is aan
n+1
e
.
We sluiten deze sectie af met enkele belangrijke families van idempotente uninormen.
Voorbeeld 4.27. [3] Beschouw de functie g : [x0 , xe ] → [xe , xn+1 ] gedefinieerd als
1, als xi < xe ,
g(xi ) =
xe , als xi = xe ,
en diens symmetrische uitbreiding g¯ : L → L gegeven door

als xi < xe ,
 1,
xe ,
als xi = xe ,
g¯(xi ) =

xe−1 , elders.
De overeenkomstige uninorm gedefinieerd door (4.4) is de enige idempotente uninorm in
Umin , namelijk U = hTm , xe , Sm imin . De functie g¯ wordt weergegeven in Figuur 4.6 voor
L = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1} en xe = 0.6.
Voorbeeld 4.28. [3] Beschouw de constante functie g : [x0 , xe ] → [xe , xn+1 ] gedefinieerd
als g(xi ) = xe en diens symmetrische uitbreiding g¯ : L → L gegeven door
xe , als xi < xe ,
g¯(xi ) =
0, elders.
De overeenkomstige uninorm gedefinieerd door (4.4) is de enige idempotente uninorm in
Umax , namelijk U = hTm , xe , Sm imax . De functie g¯ wordt weergegeven in Figuur 4.7 voor
L = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1} en xe = 0.6.
4.2. IDEMPOTENTE UNINORMEN
1•
71
•
•
0.8
•
0.6
0.4
•
•
0.8
1
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
Figuur 4.6: Grafiek van de functie g¯ voor L = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1} en xe = 0.6.
1
0.8
0.6 •
•
•
•
0.2
0.4
0.6
0.4
0.2
0
0
•
0.8
•
1
Figuur 4.7: Grafiek van de functie g¯ voor L = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1} en xe = 0.6.
Voorbeeld 4.29. [3] We bekomen een speciaal geval indien we de functie g gelijk nemen
aan de sterke negator N (xi ) = xn+1−i . g heeft enkel een vast punt als n oneven is en dan
wordt dit vast punt gegeven door x n+1 . Dus als n oneven is, dan is de binaire operator
2
U (xi , xj ) =
min{xi , xj }, als xj < xn+1−i ,
max{xi , xj }, elders,
een idempotente uninorm die voortkomt uit de functie g : [0, x n+1 ] → [x n+1 , 1], gegeven
2
2
door g(xi ) = xn+1−i voor alle xi ∈ [0, x n+1 ]. De overeenkomstige functie g¯ wordt gegeven
2
door g¯(xi ) = xn+1−i voor xi ∈ L. In Figuur 4.8 wordt de functie g¯ weergeven voor n
oneven en L = {0, 0.25, 0.50, 0.75, 1}.
Voorbeeld 4.30. [3] We beschouwen het analoge geval van Voorbeeld 4.29 voor n even.
De binaire operator U is dan ook een idempotente uninorm, maar in dit geval komt deze
voort van de functie g : [0, x n+2 ] → [x n+2 , 1] gegeven door
2
2
(
g(xi ) =
xn+1−i , als xi < x n+2 ,
2
x n+2 ,
als xi = x n+2 .
2
2
72
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
1•
•
0.75
•
0.50
•
0.25
0
0
0.25
0.50
•
1
0.75
Figuur 4.8: Grafiek van de functie g¯ voor n oneven en L = {0, 0.25, 0.50, 0.75, 1}.
De overeenkomstige functie g¯ wordt gegeven door
(
xn+1−i , als xi 6= x n+2 ,
2
g¯(xi ) =
x n+2 ,
als xi = x n+2 ,
2
2
en wordt weergegeven in Figuur 4.9 voor n even en L = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}.
1•
•
0.8
•
0.6
•
0.4
•
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
•
1
Figuur 4.9: Grafiek van de functie g¯ voor n even en L = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}.
We bekomen

,
 min{xi , xj }, als xj < xn+1−i en xi 6= x n+2
2
xj ,
als xi = x n+2 ,
U (xi , xj ) =
2

max{xi , xj }, elders.
4.3. DUALITEIT
4.3
73
Dualiteit
Definitie 4.31. [17] Zij N de sterke negator en U een uninorm op L. Dan defini¨eren we
de N-duale van U door U ∗ met
U ∗ (xi , xj ) = N (U (N (xi ), N (xj ))), ∀(xi , xj ) ∈ L2 .
Uit deze definitie volgt dat als U een uninorm is met neutraal element xe , dan is U ∗ een
uninorm met neutraal element N (xe ) = xn+1−e :
(U1) Zij (xi , xj ) ∈ L2 . Dan
U ∗ (xi , xj ) = N (U (N (xi ), N (xj )))
= N (U (N (xj ), N (xi )))
= U ∗ (xj , xi ).
U ∗ is dus commutatief.
(U2) Zij (xi , xj , xk ) ∈ L3 . Dan
U ∗ (xi , U ∗ (xj , xk )) = N (U (N (xi ), N (U ∗ (xj , xk ))))
= N (U (N (xi ), N (N (U (N (xj ), N (xk ))))))
= N (U (N (xi ), U (N (xj ), N (xk ))))
= N (U (U (N (xi ), N (xj )), N (xk )))
= N (U (N (N (U (N (xi ), N (xj )))), N (xk )))
= U ∗ (U ∗ (xi , xj ), xk ).
U ∗ is dus associatief.
(U3) Zij xi ≤ xk , dan N (xi ) ≥ N (xk ). Bijgevolg U (N (xi ), N (xj )) ≥ U (N (xk ), N (xj )).
Er volgt dat N (U (N (xi ), N (xj ))) ≤ N (U (N (xk ), N (xj ))), dus U ∗ is stijgend.
(U4) Zij xi ∈ L, dan
U ∗ (xi , N (xe )) = N (U (N (xi ), N (N (xe ))))
= N (U (N (xi ), xe ))
= N (N (xi ))
= xi .
N (xe ) is dus het neutrale element voor U ∗ .
Verder volgt dat als U glad is in (xi , xj ), dan is U ∗ glad in (N (xi ), N (xj )). Als U (0, 1) = 0,
dan U ∗ (0, 1) = 1 en omgekeerd. Er zijn dus geen uninormen die zichzelf als duale hebben.
Propositie 4.32. Zij N de sterke negator en U een uninorm op L. Dan geldt (U ∗ )∗ = U .
74
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
Bewijs. (Eigen bewijs)
We vinden:
(U ∗ )∗ (xi , xj ) = N (U ∗ (N (xi ), N (xj ))
= N (N (U (N (N (xi )), N (N (xj )))))
= U (xi , xj ),
wegens de involutiviteit van N .
Propositie 4.33. [17] Zij U een uninorm op L met neutraal element 0 < xe < 1. Als U
links(rechts)pseudoglad is, dan is U ∗ rechts(links)pseudoglad.
Bewijs.
Zij U linkspseudoglad. Aangezien xn+1−e het neutrale element van U ∗ is, moeten we enkel
bewijzen dat
U ∗ (xi , xn+2−e ) > xi+1 als xi ∈ {0, ..., xn−e }.
Als xi ∈ {0, ..., xn−e } dan xn+1−i ∈ {xe+1 , ..., 1} en aangezien U linkspseudoglad is, geldt
U (xn+1−i , xe−1 ) < xn−i . Dus
U ∗ (xi , xn+2−e ) = N (U (N (xi ), N (xn+2−e )))
= N (U (xn+1−i , xe−1 ))
> N (xn−i )
= xi+1 .
Propositie 4.34. [17] Zij U = hT, xe , Si een uninorm op L met T en S glad en neutraal
element 0 < xe < 1. Noteer T en S de gladde t-norm en gladde t-conorm geassocieerd
met U .
(i) Als U linkspseudoglad is, dan wordt U ∗ gegeven door
 ∗
als (xi , xj ) ∈ [0, xn+1−e ]2 ,
 S (xi , xj ),
∗
T ∗ (xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [xn+1−e , 1]2 ,
U (xi , xj ) =

max{xi , xj }, elders.
(ii) Als U rechtspseudoglad is, dan wordt U ∗ gegeven door
 ∗
als (xi , xj ) ∈ [0, xn+1−e ]2 ,
 S (xi , xj ),
∗
T (xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [xn+1−e , 1]2 ,
U (xi , xj ) =

min{xi , xj }, elders.
In beide gevallen is T ∗ (S ∗ ) de duale van T (S).
Bewijs.
Het bewijs volgt meteen uit Propositie 4.33 en Eigenschap 4.11.
4.4. ONDERLIGGENDE GLADDE T-(CO)NORMEN
4.4
75
Uninormen met gladde onderliggende t-normen
en t-conormen
We bespreken eerst enkele algemene resultaten over uninormen op L, die in volgende
subsecties gebruikt zullen worden. Het eerste resultaat gaat over de waardes die een
uninorm kan aannemen in een punt (xr , xn+1 ) waarbij xr een idempotent element van U
is, met x0 < xr < xe .
Lemma 4.35. [25] Zij U een uninorm op L. Als xr een idempotent element van U is,
met x0 < xr < xe , dan U (xr , xn+1 ) ∈ {xr , xn+1 }.
Bewijs.
Zij U (xr , xn+1 ) = xs , dan r ≤ s ≤ n + 1. We onderscheiden twee gevallen:
1. Als e ≤ s, dan hebben we enerzijds
U (xs , xn+1 ) = U (U (xr , xn+1 ), xn+1 ) = U (xr , xn+1 ),
anderzijds volgt uit het stijgend zijn van U dat
U (xs , xn+1 ) ≥ U (xe , xn+1 ) = xn+1 .
Bijgevolg U (xr , xn+1 ) = xn+1 .
2. Als s < e, dan geldt:
xr = U (xr , xr ) ≤ U (xs , xr ) ≤ U (xe , xr ) = xr ,
dus xr = U (xs , xr ). Bijgevolg geldt
xr = U (xs , xr ) = U (U (xn+1 , xr ), xr ) = U (xn+1 , U (xr , xr )) = U (xn+1 , xr ).
In dit geval bekomen we U (xr , xn+1 ) = xr .
Op analoge wijze geldt volgend lemma voor een idempotent element xr met e < r < n +1:
Lemma 4.36. [25] Zij U een uninorm op L. Als xr een idempotent element van U is,
met xe < xr < xn+1 , dan U (xr , x0 ) ∈ {xr , x0 }.
Uit Lemma 4.35 kunnen we een bijzonder geval afleiden:
Lemma 4.37. [25] Zij U een gladde uninorm op L. Als xr een idempotent element van
U is, met x0 < xr < xe en U (xr , xn+1 ) = xr , dan U (xk , xl ) = min{xk , xl } voor alle
(k, l) ∈ {(i, j) | i ≤ r ≤ e ≤ j of j ≤ r ≤ e ≤ i}.
Bewijs.
Zij (k, l) ∈ {(i, j) | i ≤ r ≤ e ≤ j}. Aangezien U (xr , xn+1 ) = U (xr , xe ) = xr , volgt uit het
stijgend zijn van U dat U (xr , xs ) = xr voor alle xe ≤ xs ≤ xn+1 . In het bijzonder geldt
dan dat U (xr , xl ) = xr . Wegens de associativiteit en de commutativiteit van U geldt nu
dat
min{xk , xl } = xk = U (xr , xk ) = U (U (xr , xl ), xk ) = U (xr , U (xl , xk ))
= U (xr , U (xk , xl )) = U (U (xr , xk ), xl ) = U (xk , xl ).
De tweede gelijkheid volgt uit (2.2) als U glad is op [0, xe ]. Het andere geval is analoog.
Bijgevolg geldt U (xk , xl ) = min{xk , xl }.
76
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
Op analoge wijze geldt volgend lemma voor een idempotent element xr met e < r < n +1:
Lemma 4.38. [25] Zij U een uninorm op L. Als xr een idempotent element van U is,
met xe < xr < xn+1 en U (xr , x0 ) = xr , dan U (xk , xl ) = max{xk , xl } voor alle (k, l) ∈
{(i, j) | i ≤ e ≤ r ≤ j of j ≤ e ≤ r ≤ i}.
Om de uninormen met gladde onderliggende t-normen en t-conormen te classificeren,
onderscheiden we volgende gevallen:
1. T = min en S = max;
2. T = TL en S = SL ;
3. T = min en S = SL ;
4. T = TL en S = max;
5. T of S zijn ordinale sommen van respectievelijk gladde t-normen of gladde t-conormen.
4.4.1
Het idempotente geval: T = min en S = S = max
In het geval dat T = min en S = max bekomen we een idempotente uninorm U , dewelke
reeds besproken werd. We herhalen de belangrijkste resultaten:
Eigenschap 4.39. [3] Een binaire operator U op L met neutraal element x0 < xe < xn+1
is een idempotente uninorm als en slechts als er een dalende functie g : [x0 , xe ] → [xe , xn+1 ]
bestaat met g(xe ) = xe zodat:
min{xi , xj }, als xj ≤ g¯(xi ) en xi ≤ g¯(x0 ),
U (xi , xj ) =
max{xi , xj }, elders,
waarbij g¯ de unieke symmetrische uitbreiding van g is, gegeven door

als xi ≤ xe ,
 g(xi ),
max{xk | x0 ≤ xk ≤ xe ∧ g(xk ) ≥ xi }, als xe ≤ xi ≤ g(x0 ),
g¯(xi ) =

0,
als xi ≥ g(x0 ).
Over het aantal idempotente uninormen geldt volgende eigenschap:
Eigenschap 4.40. [3] Zij L = {0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1} met n ≥ 1.
(i) Het aantal idempotente uninormen op L met neutraal element xe ∈ L wordt gegeven
door
n+1
Ie,n+1 =
.
e
(ii) Het totaal aantal idempotente uninormen op L wordt gegeven door
In+1 =
n+1
X
e=0
Ie,n+1 = 2n+1 .
4.4. ONDERLIGGENDE GLADDE T-(CO)NORMEN
4.4.2
77
Lukasiewicz t-norm en t-conorm
We beschouwen het geval waarin de onderliggende t-norm en t-conorm Lukasiewicz operatoren zijn.
Propositie 4.41. [25] Zij U = hT, xe , Si een conjunctieve (disjunctieve) uninorm op L.
Als T = TL (S = SL ) en S (T ) is glad, dan is U een uninorm in Umin (Umax ).
Bewijs. (Eigen bewijs)
We bewijzen het eerste geval, het tweede is immers analoog. Beschouw U = hTL , xe , Si
met S een gladde t-conorm en U (0, 1) = 0. Zij (xi , xj ) ∈ L2 met xi ≤ xe en xj > xe . Dan
geldt enerzijds
U (xi , U (xe−1 , xj )) = U (U (xi , xe−i ), xj )
= U (TL (xi , xe−i ), xj )
= U (max{x0 , xi+(e−i)−e }, xj )
= U (x0 , xj )
= x0 ,
aangezien U conjunctief is. Anderzijds weten we dat U (xe−1 , xj ) ≥ min{xe−i , xj } = xe−i ,
zodat
U (xi , U (xe−1 , xj )) = 0
⇐⇒ U (xe−1 , xj ) ≤ xe−i of xi ∈ {x0 , xe }
⇐⇒ U (xe−1 , xj ) = min{xe−i , xj } of xi ∈ {x0 , xe }
aangezien U (xe−1 , xj ) ≤ xe−i als en slechts als TL (xi , U (xe−1 , xj )) = 0.
Nu is U (x0 , xj ) = x0 = min{x0 , xj }, dus we bekomen dat U (xi , xj ) = min{xi , xj } voor
alle xi ∈ [x0 , xe ] en voor alle xj ∈ ]xe , xn+1 ].
Gevolg 4.42. [25] Er zijn slechts twee uninormen op L, n ≥ 1 met neutraal element xe ,
x0 < xe < xn+1 , met onderliggende operatoren T = TL en S = SL :
◦ Als U conjunctief is, dan U ≡ hTL , xe , SL imin .
◦ Als U disjunctief is, dan U ≡ hTL , xe , SL imax .
De structuur deze twee gevallen wordt weergegeven in Figuur 4.10 en Figuur 4.11.
Met dit resultaat kunnen we het aantal uninormen met onderliggende Lukasiewicz operatoren bepalen (inclusief de gevallen waarbij xe = x0 en xe = xn+1 ).
Gevolg 4.43. [25] Het totaal aantal uninormen op L, n ≥ 0, zodat de onderliggende
operatoren T = TL en S = SL zijn, is 2(n + 1).
78
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
1
min
SL
TL
min
xe
0
0
xe
1
Figuur 4.10: De structuur van een conjunctieve uninorm met onderliggende operatoren
T = TL en S = SL .
1
max
SL
TL
max
xe
0
0
xe
1
Figuur 4.11: De structuur van een disjunctieve uninorm met onderliggende operatoren
T = TL en S = SL .
4.4.3
T = min en S = SL
We beschouwen het geval waarin de onderliggende t-norm het minimum is en de t-conorm
de Lukasiewicz t-conorm.
Wegens Propositie 4.41 weten we reeds dat als de uninorm disjunctief is en S = SL , dan
U = hT, xe , Simax . De structuur van een uninorm met T = min en S = SL wordt gegeven
door volgende propositie:
Propositie 4.44. [25] Zij U = hT, xe , Si een uninorm op L zodat T = min en S = SL .
Zij x0 ≤ xr ≤ xe het kleinste element waarvoor U (xr , xn+1 ) = max{xr , xn+1 } = xn+1 .
Dan wordt U gegeven door:

min{xi , xj }, als (xi , xj ) ∈ [x0 , xe ]2 ,




als (xi , xj ) ∈ [xe , xn+1 ]2 ,
 SL (xi , xj ),
max{xi , xj }, als xr ≤ xi < xe < xj ≤ xn+1
U (xi , xj ) =


of xr ≤ xj < xe < xi ≤ xn+1 ,



min{xi , xj }, elders.
De structuur van U wordt weergegeven in Figuur 4.12.
4.4. ONDERLIGGENDE GLADDE T-(CO)NORMEN
79
1
max
min
SL
xe
max
xr
TM
min
0
0
xr
xe
1
Figuur 4.12: De structuur van een uninorm met onderliggende operatoren T = TM en
S = SL .
Bewijs. (Eigen bewijs, gedeeltelijk gebaseerd op het bewijs van Stelling 5.10 in [6])
We weten reeds dat voor U = hTM , xe , SL i geldt

als (xi , xj ) ∈ [x0 , xe ]2 ,
 min{xi , xj },
SL (xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [xe , xn+1 ]2 ,
U (xi , xj ) =

min{xi , xj } ≤ U (xi , xj ) ≤ max{xi , xj }, elders.
Als xr = x0 , dan is U disjunctief. Wegens Propositie 4.41 is U een uninorm in Umax en is
het gestelde bewezen.
Veronderstel x0 < xr ≤ xe .
1. We tonen eerst aan dat U (xi , xj ) = min{xi , xj } voor (xi , xj ) ∈ [x0 , xr [ × ]xe , xn+1 ] ∪
]xe , xn+1 ] × [x0 , xr [.
Beschouw xr−1 en zij x0 ≤ xr−1 < xe . Dan is xr−1 een idempotent element van U :
er geldt immers U (xr−1 , xr−1 ) = TM (xr−1 , xr−1 ) = xr−1 . Wegens Lemma 4.35 geldt
U (xr−1 , xn+1 ) ∈ {xr−1 , xn+1 }. Uit de definitie van xr volgt dan dat U (xr−1 , xn+1 ) =
xr−1 . Vervolgens passen we Lemma 4.37 hier op toe. We bekomen dat U (xk , xl ) =
min{xk , xl } voor alle (k, l) ∈ {(i, j) | i < r ≤ e ≤ j of j < r ≤ e ≤ i}.
2. Er rest ons nog aan te tonen dat U (xi , xj ) = max{xi , xj } voor (xi , xj ) ∈ [xr , xe [ ×
]xe , xn+1 ] ∪ ]xe , xn+1 ] × [xr , xe [.
◦ Welnu, uit xi < xe < xj volgt U (xi , xj ) > xe . Stel immers dat U (xi , xj ) ≤ xe ,
dan
U (xi , U (xj , xn+1−j+e )) = U (xi , SL (xj , xn+1−j+e ))
= U (xi , xn+1 )
= xn+1 ,
wegens xi ≥ xr en de definitie van xr . Anderzijds geldt
U (xi , U (xj , xn+1−j+e )) = U (U (xi , xj ), xn+1−j+e )
≤ U (xe , xn+1−j+e )
= xn+1−j+e
< xn+1 ,
80
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
want xj > xe . Dit levert een tegenstrijdigheid op.
◦ Uit xi < xe < xj en U (xi , xj ) > xe volgt U (xi , xj ) = max{xi , xj }. Immers, stel
xe < U (xi , xj ) < xj . SL is glad (en dus deelbaar), dus ∃xk ∈ ]xe , xn+1 [ zodat
U (xk , U (xi , xj )) = xj . Aangezien xk > xe , volgt analoog als in het vorige punt
dat U (xk , xi ) > xe . U (U (xk , xi ), xj ) = xj is dan enkel mogelijk als xj = 1 of
U (xk , xi ) = xe . In het eerste geval bekomen we U (xi , xj ) = 1 = max{xi , xj }.
Het laatste geval levert opnieuw een contradictie. Bijgevolg moet U (xi , xj ) =
max{xi , xj } = xj .
Met behulp van dit resultaat bepalen we het aantal uninormen met T = min en S = SL .
Gevolg 4.45. [25]
(i) Het aantal uninormen U = hTM , xe , SL i op L met n ≥ 1 wordt gegeven door
M Le,n+1 = e + 1.
(ii) Het totaal aantal uninormen op L, n ≥ 0, zodat de onderliggende operatoren T =
min en S = SL zijn, is
M Ln+1 =
n+1
X
M Le,n+1 =
e=0
4.4.4
(n + 1)(n + 2)
+ 1.
2
T = TL en S = max
We beschouwen het geval waarin de onderliggende t-norm de Lukasiewicz t-norm is en
de t-conorm het maximum. Dit is gelijkaardig aan de vorige sectie en de bewijzen volgen
wegens de dualiteit.
De structuur van een uninorm met T = TL en S = max wordt gegeven door volgende
propositie:
Propositie 4.46. [25] Zij U = hT, xe , Si een uninorm op L zodat T = TL en S = max.
Zij xe ≤ xr ≤ xn+1 het grootste element waarvoor U (xr , x0 ) = min{xr , x0 } = x0 . Dan
wordt U gegeven door:

TL (xi , xj ),




 max{xi , xj },
min{xi , xj },
U (xi , xj ) =





max{xi , xj },
als (xi , xj ) ∈ [x0 , xe ]2 ,
als (xi , xj ) ∈ [xe , xn+1 ]2 ,
als xr ≤ xi ≤ xe ≤ xj ≤ xn+1
of xr ≤ xj ≤ xe ≤ xi ≤ xn+1 ,
elders.
De structuur van U wordt weergegeven in Figuur 4.13.
Met behulp van dit resultaat bepalen we het aantal uninormen met T = TL en S = max.
Gevolg 4.47. [25]
(i) Het aantal uninormen U = hTL , xe , SM i op L met n ≥ 1 wordt gegeven door
LM e,n+1 = n + 1 − (e − 1).
4.4. ONDERLIGGENDE GLADDE T-(CO)NORMEN
81
1
max
xr
SM
min
xe
TL
0
0
max
min
xe
xr
1
Figuur 4.13: De structuur van een uninorm met onderliggende operatoren T = TL en
S = SM .
(ii) Het totaal aantal uninormen op L, n ≥ 0, zodat de onderliggende operatoren T = TL
en S = max zijn, is
LM n+1 =
n+1
X
LM e,n+1 =
e=0
(n + 1)(n + 2)
+ 1.
2
Als we bovenstaande resultaten beschouwen, vatten we het aantal uninormen van de vier
besproken gevallen samen in Tabel 4.2 en Tabel 4.3.
SM
SL
n+1
e+1
e
n + 1 − (e − 1)
2
TM
TL
Tabel 4.2: Het aantal uninormen U = hT, xe , Si met neutraal element xe ∈ L, 0 < e <
n + 1, afhankelijk van de onderliggende operatoren.
SM
TM
TL
SL
(n+1)(n+2)
2
2n+1
(n+1)(n+2)
2
+1
+1
2(n + 1)
Tabel 4.3: Het totaal aantal uninormen U = hT, xe , Si met T en S idempotent of Archimedisch.
Merk op dat in zo’n tabel bepaalde gevallen dubbel geteld worden. Zo is T = TL zowel
omvat in de gevallen U = hTL , xe , SM i, als U = hTL , xe , SL i. Als xe = xn , bekomen we dat
SL = SM , dus deze uninorm wordt dubbel geteld, zowel voor TL , als TM . We bekomen
twee dubbels. Anderzijds beschouwen we het geval xe = x1 . In dit geval is TL = TM , zowel
voor SL als SM . en bekomen we opnieuw twee dubbels. In totaal zijn er vier dubbels.
Hiermee rekening houdend, bekomen we volgende propositie:
Propositie 4.48. [25] Het totaal aantal uninormen op L, n ≥ 0, zodat hun onderliggende
operatoren idempotent of Archimedisch zijn, wordt gegeven door 2n+1 + (n + 1)(n + 4) − 2.
82
HOOFDSTUK 4. UNINORMEN
Hoofdstuk 5
T-operatoren
5.1
Definities en eigenschappen
We hebben reeds een eerste veralgemening van t-normen en t-conormen besproken in het
vorige hoofdstuk, namelijk de uninormen. Een tweede veralgemening zijn de t-operatoren,
die in dit hoofdstuk aan bod zullen komen. T-operatoren worden gekarakteriseerd. Dit
gebeurt op gelijkaardige wijze als in het continue geval. We zullen aantonen dat er slechts
´e´en type idempotente t-operatoren bestaat, namelijk de (max, min)-operatoren. Verder
onderzoeken we de distributiviteitsvoorwaarde, dewelke analoog is aan de voorwaarde op
het eenheidsinterval.
We bestuderen t-operatoren op een eindige ketting L = {0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 =
1}.
We herhalen eerst de definitie van een gladde operator.
Definitie 5.1. [17] Een niet-dalende binaire operator F noemen we glad als voor iedere
xi ∈ L geldt dat
(F (xi , xj ) = xk ∧ F (xi−1 , xj ) = xl ∧ F (xi , xj−1 ) = xm )
=⇒ (k − 1 ≤ l ≤ k ∧ k − 1 ≤ m ≤ k).
We defini¨eren een t-operator F op L als volgt:
Definitie 5.2. [17] Een t-operator op L is een functie F : L × L → L zodat voor iedere
(xi , xj ) ∈ L2 volgende axioma’s voldaan zijn:
(F1) F (xi , xj ) = F (xj , xi )
(commutativiteit),
(F2) F (F (xi , xj ), xk ) = F (xi , F (xj , xk ))
(associativiteit),
(F3) F (xi , xj ) is glad,
(gladheid),
(F4) F (0, 0) = 0 en F (1, 1) = 1
(randvoorwaarden).
83
84
HOOFDSTUK 5. T-OPERATOREN
We weten dat F stijgend is. Als F (0, 1) = 0 dan bekomen we een t-norm, als F (0, 1) = 1
een t-conorm. Merk op dat het enige verschil tussen t-operatoren en uninormen is dat
t-operatoren de voorwaarde van een neutraal element vervangen door de gladheid. De
structuur van beide operatoren is dus vrij gelijkaardig. We komen hier op terug nadat we
een karakterisatie voor t-operatoren geven.
Definitie 5.3. Zij F een t-operator op L. We noemen een element xi ∈ L een idempotent element van F als F (xi , xi ) = xi . We noteren de verzameling van idempotente
elementen van F door I(F ).
Uit de definitie van een t-operator volgt meteen dat de elementen 0 en 1 idempotente
elementen zijn voor iedere t-operator. We noemen deze dan ook de triviale idempotente
elementen. Een t-operator noemen we idempotent als alle elementen in L idempotente
elementen zijn.
In Eigenschap 5.8 karakteriseren we t-operatoren op L. Hiervoor defini¨eren we eerst het
begrip gerichte algebra en bewijzen we twee lemma’s.
Definitie 5.4. [17] Zij (L, ≤) een partieel geordende verzameling met minimum 0 en
maximum 1. We noemen (L, ≤, T, S, N ) een gerichte algebra als deze voldoet aan:
(L1) T en S zijn binaire, commutatieve en associatieve operatoren op L zodat T (1, 1) = 1
en S(0, 0) = 0;
(L2) N : L → L is een involutieve operator zodat N (T (xi , xj )) = S(N (xi ), N (xj ));
(L3) xi ≤ xj als en slechts als er een xk ∈ L bestaat zodat xi = T (xj , xk ) als en slechts
als er een xl ∈ L bestaat zodat xj = S(xi , xl ).
In dit geval noemen we T een EN-operator en S een OF-operator van de gerichte algebra
L. We zeggen ook dat N een negatie op L is en dat S en T N -duale operatoren zijn.
Opmerking 5.5. In het geval dat L een eindige ketting is, bekomen we dat T een gladde
t-norm is en S een gladde t-conorm. Immers, T en S zijn stijgend en hebben respectievelijk
neutraal element 1 en 0:
◦ Zij (xi , xj , xl ) ∈ L3 . Om te bewijzen dat T stijgend is, moeten we aantonen dat voor
xi ≤ xj geldt dat T (xi , xl ) ≤ T (xj , xl ). Dit is equivalent met (∃xm ∈ L)(T (xi , xl ) =
T (xm , T (xj , xl ))). Aangezien xi ≤ xj , geldt wegens (L3) dat
(∃xk ∈ L)(xi = T (xj , xk )).
Bijgevolg geldt dat
T (xi , xl ) = T (T (xj , xk ), xl ) = T (xk , T (xj , xl )).
We hebben dus een gepaste xm ∈ L gevonden, namelijk xm = xk . T is dus stijgend.
Het bewijs voor S is analoog.
◦ Vervolgens tonen we aan dat 1 een neutraal element is voor T . Zij xi ∈ L. Aangezien
xi ≤ xi , volgt uit (L3) dat (∃xk ∈ L)(xi = T (xi , xk )). Uit het stijgend zijn volgt
dan xi ≤ T (xi , 1). Welnu, stel xi < T (xi , 1) = xm voor een xm ∈ L. Wegens (L3)
volgt uit xm = T (xi , 1) dat xm ≤ xi . Dit levert een tegenstrijdigheid. Bijgevolg is
T (xi , 1) = xi voor alle xi ∈ L. Op analoge wijze geldt dat 0 een neutraal element is
voor S.
5.1. DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN
85
We tonen in volgende lemma’s aan dat we gladde t-normen en t-conormen bekomen door
0 en 1 als neutraal element toe te voegen aan een t-operator.
Lemma 5.6. [17] Zij F een t-operator op L. Als F (xi , 1) = xi voor alle xi ∈ L, dan
is xi ≤ xj als en slechts als er een xk ∈ L bestaat zodat xi = F (xj , xk ) en dus is F een
t-norm.
Bewijs.
Als er een xk ∈ L bestaat zodat xi = F (xj , xk ), dan volgt uit de monotoniciteit dat
xi = F (xj , xk ) ≤ F (xj , 1) = xj .
Zij anderzijds xi ≤ xj , beschouw twee gevallen om aan te tonen dat er een xk ∈ L bestaat
zodat xi = F (xj , xk ).
◦ Als 0 = xi ≤ xj , volgt wegens de monotoniciteit dat F (xi , xj ) ≤ min{xi , xj } en dus
F (0, xj ) = 0.
◦ Als 0 < xi ≤ xj , beschouwen we
m = max{xr | xr ∈ L ∧ F (xj , xr ) < xi }.
Aangezien F (xj , 1) = xj , geldt m < n + 1. Door de definitie van m hebben we dat
F (xj , xm+1 ) ≥ xi , maar uit de gladheid volgt dat F (xj , xm ) = xi−1 en F (xj , xm+1 ) =
xi .
Bijgevolg hebben we een xk ∈ L gevonden zodat F (xj , xk ) = xi .
Lemma 5.7. [17] Zij F een t-operator op L. Als F (xi , 0) = xi voor alle xi ∈ L, dan
is xi ≤ xj als en slechts als er een xl ∈ L bestaat zodat xj = F (xi , xl ) en dus is F een
t-conorm.
Bewijs.
Als er een xl ∈ L bestaat zodat xj = F (xi , xl ), dan volgt uit de monotoniciteit dat
xj = F (xi , xl ) ≥ F (xi , 0) = xi .
Zij anderzijds xi ≤ xj , beschouw twee gevallen om aan te tonen dat er een xl ∈ L bestaat
zodat xj = F (xi , xl ).
◦ Als 1 = xj ≥ xi , volgt wegens de monotoniciteit dat F (xi , xj ) ≥ max{xi , xj } en dus
F (xi , 1) = 1.
◦ Als 1 > xj ≥ xi , beschouwen we
m = min{xr | xr ∈ L ∧ F (xi , xr ) > xj }.
Aangezien F (xi , 0) = xi , geldt m > 0. Door de definitie van m hebben we dat
F (xi , xm−1 ) ≤ xj , maar uit de gladheid volgt dat F (xi , xm ) = xj+1 en F (xi , xm−1 ) =
xj .
Bijgevolg hebben we een xl ∈ L gevonden zodat F (xi , xl ) = xj .
86
HOOFDSTUK 5. T-OPERATOREN
We zijn nu klaar om een karakterisatie van t-operatoren op L te geven op een gelijkaardige
manier als op het eenheidsinterval [19].
Eigenschap 5.8. [17] Zij F : L × L → L is een afbeelding en xk ∈ L zodat F (0, 1) = xk .
Dan is F een t-operator op L als en slechts als er een gladde t-conorm S op [x0 , xk ] en
een gladde t-norm T op [xk , xn+1 ] bestaat, zodat

 S(xi , xj ), als (xi , xj ) ∈ [x0 , xk ]2 ,
T (xi , xj ), als (xi , xj ) ∈ [xk , xn+1 ]2 ,
F (xi , xj ) =
(5.1)

xk ,
elders.
We noteren deze t-operator door F = (k, T, S) met k ∈ {0, 1, ..., n+1} zodat xk = F (0, 1).
De structuur hiervan wordt weergegeven in Figuur 5.1.
1
xk
T (xi , xj )
S(xi , xj )
xk
xk
0
0
xk
1
Figuur 5.1: De structuur van een t-operator F = (k, T, S).
Bewijs.
⇐ Alle operatoren F die voldoen aan (5.1) zijn t-operatoren. De commutativiteit,
gladheid en F (0, 0) = S(0, 0) = 0 en F (1, 1) = T (1, 1) = 1 zijn duidelijk. Er rest enkel
nog de associativiteit aan te tonen, met behulp van gevalsonderscheiding.
1. Zij (xi , xj , xl ) ∈ [x0 , xk ]3 . Dan
F (xi , F (xj , xl )) = F (xi , S(xj , xl )) = S(xi , S(xj , xl )) = S(S(xi , xj ), xl )
= F (S(xi , xj ), xl ) = F (F (xi , xj ), xl ).
2. Zij (xi , xj ) ∈ [x0 , xk ]2 en xl elders. Dan
F (xi , F (xj , xl )) = F (xi , xk ) = S(xi , xk ) = xk = F (S(xi , xj ), xl )
= F (F (xi , xj ), xl ).
3. Zij (xi , xl ) ∈ [x0 , xk ]2 en xj elders. Dan
F (xi , F (xj , xl )) = F (xi , xk ) = S(xi , xk ) = xk = S(xk , xl )
= F (xk , xl ) = F (F (xi , xj ), xl ).
5.1. DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN
87
4. Zij (xj , xl ) ∈ [x0 , xk ]2 en xi elders. Dan
F (xi , F (xj , xl )) = F (xi , S(xj , xl )) = xk = S(xk , xl )
= F (xk , xl ) = F (F (xi , xj ), xl ).
5. Zij (xi , xj , xl ) ∈ [xk , xn+1 ]3 . Dan
F (xi , F (xj , xl )) = F (xi , T (xj , xl )) = T (xi , T (xj , xl )) = T (T (xi , xj ), xl )
= F (T (xi , xj ), xl ) = F (F (xi , xj ), xl ).
6. Zij (xi , xj ) ∈ [xk , xn+1 ]2 en xl elders. Dan
F (xi , F (xj , xl )) = F (xi , xk ) = T (xi , xk ) = xk
= F (T (xi , xj ), xl ) = F (F (xi , xj ), xl ).
7. Zij (xi , xl ) ∈ [xk , xn+1 ]2 en xj elders. Dan
F (xi , F (xj , xl )) = F (xi , xk ) = T (xi , xk ) = xk
= F (xk , xl ) = F (F (xi , xj ), xl ).
8. Zij (xj , xl ) ∈ [xk , xn+1 ]2 en xi elders. Dan
F (xi , F (xj , xl )) = F (xi , T (xj , xl )) = xk
= F (xk , xl ) = F (F (xi , xj ), xl ).
⇒ Zij F nu een t-operator op L en F (0, 1) = xk . Dan
F (xk , 1) = F (F (0, 1), 1) = F (0, F (1, 1)) = F (0, 1) = xk
en wegens de monotoniciteit geldt F (xi , 1) = xk voor 0 ≤ i ≤ k. Op gelijkaardige wijze
geldt F (0, xk ) = xk en
F (xk , xk ) = F (F (1, 0), xk ) = F (1, F (0, xk )) = F (1, xk ) = xk .
Er volgt dat
F (xi , xj ) = xk voor alle 0 ≤ i ≤ k ≤ j ≤ n + 1
(aangezien xk = F (0, xk ) ≤ F (xi , xj ) ≤ F (xk , 1) = xk ) en wegens de commutativiteit
geldt dit ook voor 0 ≤ j ≤ k ≤ i ≤ n + 1. Het is duidelijk dat de beperking van F tot
[xk , xn+1 ] een t-norm is op [xk , xn+1 ].
Bovendien tonen we aan dat F (xj , 1) = xj voor alle j ∈ {k +1, . . . , n+1}. Stel dat dit niet
zo zou zijn en beschouw i = min{k+1, . . . , n | F (xi , 1) 6= xi }. Aangezien F (xi−1 , 1) = xi−1
en F (xi , 1) 6= xi , volgt uit de gladheid dat F (xi , 1) = xi−1 en ook
F (xi+1 , 1) ≤ xi , . . . , F (xn , 1) ≤ xn−1 ,
wat een tegenstrijdigheid oplevert met de gladheid, aangezien F (1, 1) = 1. Dus F (xj , 1) =
xj voor alle j ∈ {k + 1, . . . , n + 1} en wegens Lemma 5.6 is F een gladde t-norm van een
gerichte algebra op [xk , xn+1 ]. Op analoge wijze volgt uit Lemma 5.7 dat F een gladde
t-conorm is op [x0 , xk ].
88
HOOFDSTUK 5. T-OPERATOREN
1
min ≤ U ≤ max
S
T
min ≤ U ≤ max
xe
0
0
xe
1
Figuur 5.2: De structuur van een uninorm U = hT, xe , Si.
Zoals eerder opgemerkt, is het enige verschil tussen t-operatoren en uninormen dat toperatoren de voorwaarde van een neutraal element vervangen door de gladheid. De
structuur van beide operatoren is dus vrij gelijkaardig. Om de gelijkaardige structuur van
uninormen en t-operatoren te benadrukken, geven we in Figuur 5.2 nogmaals de structuur
van een uninorm U = hT, xe , Si.
In de literatuur wordt vaak over een nullnorm gesproken.
Definitie 5.9. [10] Een nullnorm op L is een functie V : L × L → L zodat voor iedere
(xi , xj , xk ) ∈ L2 volgende axioma’s voldaan zijn:
(V1) V (xi , xj ) = V (xj , xi )
(commutativiteit),
(V2) V (V (xi , xj ), xk ) = V (xi , V (xj , xk ))
(associativiteit),
(V3) V (xi , xj ) ≤ V (xi , xk ) voor xj ≤ xk
(stijgend),
(V4) V (xi , xa ) = xa voor een zekere xa ∈ L
(absorberend element),
(V5) V (xi , 0) = xi voor xi ∈ [x0 , xa ] en V (xj , 1) = xj voor xj ∈ [xa , xn+1 ].
Nu blijkt dat de definities van een t-operator en van een gladde nullnorm dezelfde operatoren omschrijven: t-operatoren vallen samen met gladde nullnormen. Beide operatoren
zijn immers commutatief, associatief en stijgend. Uit (V5) volgt dat (F4) meteen voldaan
is. Een gladde nullnorm is dus steeds een t-operator. Anderzijds is F (0, 1) = xk een
absorberend element. Uit de karakterisatie in Eigenschap 5.8 volgt (V5): aangezien F
een t-conorm is op [x0 , xk ] is 0 hier een neutraal element. Op [xk , xn+1 ] is F een t-norm,
bijgevolg is 1 hier een neutraal element.
Uit de karakterisatie van t-operatoren bekomen we meteen:
Gevolg 5.10. [17] Zij F een t-operator op L. Dan is F idempotent als en slechts als
S = max en T = min.
Definitie 5.11. [17] Een idempotente t-operator op L noemen we een (max, min)operator.
5.1. DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN
89
Gevolg 5.12. [17] Er bestaan precies 2n+1 + n2n−1 t-operatoren op L en precies n + 2
van hen zijn (max, min)-operatoren.
Bewijs.
Zij F een t-operator op L = {0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1} en beschouw
xk = F (0, 1). We onderscheiden drie gevallen:
◦ Als xk = x0 = 0, dan is F een gladde t-norm op L en wegens Gevolg 2.26 bestaan
er precies 2n verschillende.
◦ Als xk = xn+1 = 1, dan is F een gladde t-conorm op L en wegens Gevolg 2.57
bestaan er precies 2n verschillende.
◦ Als 0 < xk < 1, dan is F een combinatie van een gladde t-conorm op [0, xk ] en een
gladde t-norm op [xk , 1] zoals in (5.1). Wegens Gevolg 2.57 zijn er 2k−1 mogelijkheden voor S en wegens Gevolg 2.26 zijn er 2n−k mogelijkheden voor T . Dit levert
2k−1 2n−k = 2n−1 combinaties op.
In totaal zijn er dus 2n + 2n + n2n−1 t-operatoren op L. Het aantal (max, min)-operatoren
is duidelijk gelijk aan n + 2.
Aangezien er slechts ´e´en sterke negator N op L bestaat, kunnen we de N -duale van F
bepalen en we noteren deze door F ∗ .
Definitie 5.13. Zij F = (k, T, S) een t-operator op L. Dan defini¨eren we de N -duale
door F ∗ (xi , xj ) = N (F (N (xi ), N (xj ))).
Uit deze definitie volgt dat als F een t-operator is met xk = F (0, 1), dan is F ∗ een
t-operator met N (xk ) = N (F (0, 1)) = N (F (N (1), N (0)) = F ∗ (1, 0):
(F1) Zij (xi , xj ) ∈ L2 . Dan
F ∗ (xi , xj ) = N (F (N (xi ), N (xj )))
= N (F (N (xj ), N (xi )))
= F ∗ (xj , xi ).
F ∗ dus is commutatief.
(F2) Zij (xi , xj , xk ) ∈ L3 . Dan
F ∗ (xi , F ∗ (xj , xk )) = N (F (N (xi ), N (F ∗ (xj , xk ))))
= N (F (N (xi ), N (N (F (N (xj ), N (xk ))))))
= N (F (N (xi ), F (N (xj ), N (xk ))))
= N (F (F (N (xi ), N (xj )), N (xk )))
= N (F (N (N (F (N (xi ), N (xj )))), N (xk )))
= F ∗ (F ∗ (xi , xj ), xk ).
F ∗ is dus associatief.
90
HOOFDSTUK 5. T-OPERATOREN
(F3) Zij (xi , xj , xk , xl , xm ) ∈ L5 . Zij F ∗ (xi , xj ) = xk , F ∗ (xi−1 , xj ) = xl en F ∗ (xi , xj−1 ) =
xm . Dan
F (N (xi ), N (xj )) = N (xk ), F (N (xi−1 ), N (xj )) = N (xl )
en F (N (xi ), N (xj−1 )) = N (xm ).
Aangezien F glad is, volgt dat n + 1 − k ≤ n + 1 − l ≤ (n + 1 − k) + 1 en
n + 1 − k ≤ n + 1 − m ≤ (n + 1 − k) + 1. Bijgevolg geldt k − 1 ≤ l ≤ k en
k − 1 ≤ m ≤ k, dus F ∗ is glad in (xi , xj ).
(F4) We vinden
F ∗ (0, 0) = N (F (N (0), N (0)))
= N (F (1, 1))
= N (1)
=0
en
F ∗ (1, 1) = N (F (N (1), N (1)))
= N (F (0, 0))
= N (0)
= 1.
Uit de definitie volgt meteen volgende eigenschap:
Eigenschap 5.14. [17] Zij F = (k, T, S) een t-operator op L. Dan is de N -duale van F
gegeven door F ∗ = (n + 1 − k, S ∗ , T ∗ ).
Gevolg 5.15. Zij N de sterke negator en F een t-operator op L. Dan (F ∗ )∗ = F .
Gevolg 5.16. [17] Er bestaan autoduale t-operatoren op L als en slechts als n oneven
en
is. In dat geval is een t-operator F = (k, T, S) autoduaal als en slechts als k = n+1
2
S = T ∗.
Bewijs.
Zij F = (k, T, S) een t-operator. Opdat F autoduaal is, moet er gelden dat xk = N (xk ) =
xn+1−k , of dus k = n + 1 − k. Dit geldt als en slechts als n oneven is en k = n+1
.
2
5.2. DISTRIBUTIVITEITSVOORWAARDEN VOOR T-OPERATOREN
5.2
91
Distributiviteitsvoorwaarden voor t-operatoren
In deze sectie bestuderen we de vergelijking
F1 (xi , F2 (xj , xk )) = F2 (F1 (xi , xj ), F1 (xi , xk )) voor alle (xi , xj , xk ) ∈ L3 ,
(5.2)
waarbij F1 = (k1 , T1 , S1 ) en F2 = (k2 , T2 , S2 ) twee t-operatoren zijn.
Eerst bewijzen we dat de tweede t-operator idempotent moet zijn.
Lemma 5.17. [18] Zij F1 = (k1 , T1 , S1 ) en F2 = (k2 , T2 , S2 ) twee t-operatoren zodat F1
en F2 voldoen aan (5.2). Dan moet F2 idempotent zijn en wegens Gevolg 5.10 bekomen
we dat dan T2 = min en S2 = max.
Bewijs.
Neem xj = xk = 1 in (5.2). Dan bekomen we dat
F1 (xi , 1) = F2 (F1 (xi , 1), F1 (xi , 1)) voor alle xi ∈ L
en bijgevolg geldt F2 (xi , xi ) = xi voor alle xi ≥ k1 .
Als we xj = xk = 0 in (5.2) nemen, bekomen we op analoge wijze
F1 (xi , 0) = F2 (F1 (xi , 0), F1 (xi , 0)) voor alle xi ∈ L
en er volgt dat F2 (xi , xi ) = xi voor alle xi ≤ k1 .
Bijgevolg moet S2 = max en T2 = min.
We onderscheiden vervolgens twee verschillende gevallen: het geval k1 ≤ k2 en het geval
k2 ≤ k1 . De bekomen resultaten zijn analoog als deze op het eenheidsinterval.
Propositie 5.18. [18] Zij F1 = (k1 , T, S) en F2 = (k2 , T 0 , S 0 ) twee t-operatoren met
k1 ≤ k2 . Dan voldoen F1 en F2 aan (5.2) als en slechts als F2 idempotent is (T 0 = min en
S 0 = max) en T een ordinale som van twee t-normen T1 en T2 zodat F1 volgende structuur
heeft (zie Figuur 5.3):

S(xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [x0 , xk1 ]2 ,




T1 (xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [xk1 , xk2 ]2 ,



T2 (xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [xk2 , xn+1 ]2 ,
F1 (xi , xj ) =
(5.3)
min{xi , xj }, als (xi , xj ) ∈ [xk1 , xk2 ] × [xk2 , xn+1 ]




∪ [xk2 , xn+1 ] × [xk1 , xk2 ],



xk1 ,
elders.
Bewijs.
⇒ Als F1 en F2 voldoen aan (5.2), dan weten we reeds dat F2 idempotent moet zijn
(Lemma 5.17). We bepalen de structuur van F1 in volgende stappen:
1. Eerst berekenen we de waarden F1 (xi , xk2 ) voor alle xi ∈ L. We nemen xj = 1 en
xk = 0 in (5.2) en bekomen
F1 (xi , xk2 ) = F2 (F1 (xi , 1), F1 (xi , 0)),
92
HOOFDSTUK 5. T-OPERATOREN
1
min
T2
T1
min
xk1
xk2
xk1
xk1
S
0
0
xk1
xk2
1
Figuur 5.3: De structuur van F1 zodat F1 en F2 distributief zijn met k1 ≤ k2 .
dus voor alle xi ≥ k1 geldt dat F1 (xi , xk2 ) = F2 (xi , xk1 ). Aangezien F2 een (max,
min)-operator is, bekomen we
xi , als xi ∈ [xk1 , xk2 ],
F1 (xi , xk2 ) =
xk2 , als xi ∈ [xk2 , xn+1 ].
2. Als een gevolg van bovenstaande stap en de associativiteit van F1 , geldt voor alle
(xi , xj ) ∈ L2 , zodat xk1 ≤ xi ≤ xk2 ≤ xj , dat
F1 (xi , xj ) = F1 (F1 (xi , xk2 ), xj ) = F1 (xi , F1 (xk2 , xj )) = F1 (xi , k2 ) = xi ,
dus F1 (xi , xj ) is het minimum wanneer xk1 ≤ min{xi , xj } ≤ xk2 ≤ max{xi , xj }.
3. De eerste stap impliceert ook dat de t-norm T een ordinale som van twee t-normen
T1 en T2 moet zijn en dus wegens de voorgaande resultaten, moet F1 zijn zoals in
(5.3).
⇐ Anderzijds, als de structuur van F1 gegeven wordt in (5.3) en F2 idempotent is, dan
kunnen we bewijzen dat ze distributief zijn door volgende gevallen te onderscheiden:
1. Het geval waarbij (xi , xj , xk ) ∈ [x0 , xk1 ]3 volgt uit de distributiviteit van S en max.
2. Het geval waarbij (xi , xj , xk ) ∈ [xk1 , xk2 ]3 volgt uit de distributiviteit van T1 en max.
3. Het geval waarbij (xi , xj , xk ) ∈ [xk2 , xn+1 ]3 volgt uit de distributiviteit van T2 en
min.
4. Al de andere gevallen zijn gelijkaardig, dus we bewijzen enkel ´e´en van hen bij wijze
van voorbeeld. Stel bijvoorbeeld dat xi ≤ xk1 ≤ xj ≤ xk2 en xk1 ≤ xk ≤ xk2 , dan
F1 (xi , F2 (xj , xk )) = F1 (xi , max{xj , xk }) = xk1
en
F2 (F1 (xi , xj ), F1 (xi , xk )) = F2 (xk1 , xk2 ) = xk1 .
5.2. DISTRIBUTIVITEITSVOORWAARDEN VOOR T-OPERATOREN
93
In het geval k2 ≤ k1 wordt de propositie als volgt:
Propositie 5.19. [18] Zij F1 = (k1 , T, S) en F2 = (k2 , T 0 , S 0 ) twee t-operatoren met
k2 ≤ k1 . Dan voldoen F1 en F2 aan (5.2) als en slechts als F2 idempotent is (T 0 = min
en S 0 = max) en S een ordinale som van twee t-conormen S1 en S2 zodat F1 volgende
structuur heeft (zie Figuur 5.4):

S1 (xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [x0 , xk2 ]2 ,




S2 (xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [xk2 , xk1 ]2 ,



T (xi , xj ),
als (xi , xj ) ∈ [xk1 , xn+1 ]2 ,
F1 (xi , xj ) =
(5.4)
max{xi , xj }, als (xi , xj ) ∈ [x0 , xk2 ] × [xk2 , xk1 ]




∪ [xk2 , xk1 ] × [x0 , xk2 ],



xk 1 ,
elders.
1
xk1
T
xk1
max
S2
xk1
xk2
max
S1
0
0
xk2
xk1
1
Figuur 5.4: De structuur van F1 zodat F1 en F2 distributief zijn met k2 ≤ k1 .
Bewijs.
⇒ Als F1 en F2 voldoen aan (5.2), dan weten we reeds dat F2 idempotent moet zijn
(Lemma 5.17). Als we xj = 1 en xk = 0 nemen in (5.2), dan bekomen we op dezelfde
manier als in de vorige propositie
xk2 , als xi ∈ [x0 , xk2 ],
F1 (xi , xk2 ) =
xi , als xi ∈ [xk2 , xk1 ].
Verdere analoge redeneringen leveren (5.4).
⇐ Anderzijds, als de structuur van F1 gegeven wordt in (5.3) en F2 idempotent is, dan
kunnen we bewijzen dat ze distributief zijn door gevalsonderscheiding, analoog als bij de
vorige propositie.
Uit Propositie 5.18 en Propositie 5.19 volgt dat in het geval van twee idempotente toperatoren, twee (max, min)-operatoren steeds distributief zijn.
94
HOOFDSTUK 5. T-OPERATOREN
Hoofdstuk 6
Andere aggregatieoperatoren
6.1
Definities en eenvoudige voorbeelden
We sluiten dit werk af met een kort hoofdstuk over aggregatieoperatoren. Voor veel
aggregatieoperatoren op het eenheidsinterval volstaat het om het analogon op L te nemen.
In enkele gevallen, zoals het wiskundige gemiddelde M , het gewogen gemiddelde W en
het geordende gewogen gemiddelde OWA, is dit echter niet gedefinieerd op L. In dit geval
ronden we (naar boven of onder) af naar het dichtstbijzijnde element uit L.
We veronderstellen in dit hoofdstuk dat L ⊆ [0, 1] met x0 = 0 en xn+1 = 1. In dit
hoofdstuk beschouwen we l-tuples van elementen uit L. We zullen deze steeds noteren als
(x1 , ...xl ), waarbij xj ∈ L de j-de component van het l-tuple is. Dit is verschillend van
xj ∈ L, wat het (geordende) (j + 1)e element uit L voorstelt.
Definitie 6.1. [13] Zij l ∈ N. Een aggregatieoperator op L is een functie A : Ll → L
zodat
(A1) A(x1 , ..., xl ) ≤ A(y 1 , ..., y l ) als xj ≤ y j voor alle j ∈ {1, ..., l}
(A2) A(0, ..., 0) = 0 en A(1, ..., 1) = 1
(stijgend),
(randvoorwaarden).
Definitie 6.2. Zij A een aggregatieoperator op L. We noemen een element xi ∈ L
een idempotent element van A als A(xi , ..., xi ) = xi . We noteren de verzameling van
idempotente elementen van A door I(A).
Uit de definitie van een aggregatieoperator volgt meteen dat de elementen 0 en 1 idempotente elementen zijn voor iedere aggregatieoperator. We noemen deze dan ook de triviale
idempotente elementen. Een aggregatieoperator noemen we idempotent als alle elementen in L idempotente elementen zijn.
Voorbeeld 6.3. We hebben reeds enkele binaire operatoren gezien die aan de definitie
van een aggregatieoperator voldoen (waarbij l = 2). Volgende onder hen zijn idempotent:
1. Een t-norm T is een aggregatieoperator. Wegens Propositie 2.8(iii) is het minimum
de enige idempotente t-norm op L.
2. Een t-conorm S is een aggregatieoperator. Wegens Propositie 2.38(iii) is het maximum de enige idempotente t-conorm op L.
95
96
HOOFDSTUK 6. ANDERE AGGREGATIEOPERATOREN
3. Een uninorm U is een aggregatieoperator. Idempotente uninormen op L worden
gekarakteriseerd door Eigenschap 4.25.
4. Een t-operator F is een aggregatieoperator. De enige idempotente t-operatoren zijn
de (max, min)-operatoren.
Aangezien een implicator I dalend is in de eerste component, kan deze nooit een aggregatieoperator zijn.
Definitie 6.4. Zij l ∈ N. Zij A : Ll → L een aggregatieoperator. We noemen A symmetrisch als
A(x1 , ..., xl ) = A(xσ(1) , ..., xσ(l) )
met σ een willekeurige permutatie van {1, ..., l}.
Voor l = 2 valt de definitie van symmetrie samen met die van commutativiteit.
Voorbeeld 6.5. De aggregatieoperatoren uit Voorbeeld 6.3 zijn symmetrisch.
Definitie 6.6. [15] Zij l ∈ N. Een l-dimensionaal gemiddelde of kortweg een gemiddelde op L is een functie A : Ll → L zodat min ≤ A ≤ max.
Opmerking 6.7. [15] Wegens de monotoniciteit kunnen gemiddeldes gekarakteriseerd
worden door hun idempotentie: een niet-dalende functie A : Ll → L is een gemiddelde
als en slechts als A(xi , ..., xi ) = xi voor alle xi ∈ L.
Gevolg 6.8. Een functie A : Ll → L is een idempotente aggregatieoperator als en slechts
als A een gemiddelde is.
Voorbeeld 6.9. [29] We bespreken enkele eenvoudige voorbeelden van idempotente
aggregatieoperatoren of gemiddeldes.
Zij (x1 , x2 , ..., xl ) ∈ Ll . We breiden het binaire minimum en maximum uit naar ldimensionale operatoren en noteren de maximum (M1 ) en minimum (M2 ) operatoren
door:
M1 (x1 , x2 , ..., xl ) = max{xj };
j
1
2
l
M2 (x , x , ..., x ) = min{xj }.
j
Verder defini¨eren we de mediaan (M3 ) operator:
( l+1
b 2 , als l oneven is,
M3 (x1 , x2 , ..., xl ) =
l
b2 ,
als l even is,
waarbij bj het j-de grootste argument is. Deze drie operatoren zijn idempotent, symmetrisch en monotoon en dit zijn de meest eenvoudige aggregatieoperatoren. Ze worden
meestal gebruikt om andere operatoren te maken.
Opmerking 6.10. Merk op dat het rekenkundig gemiddelde M geen aggregatieoperator is:
l
1X j
1
l
M (x , ..., x ) =
x
l j=1
zit immers niet noodzakelijk in L. Dezelfde opmerking geldt voor het gewogen gemiddelde. Hier komen we later op terug wanneer we gewogen t-(co)normen bespreken.
6.1. DEFINITIES EN EENVOUDIGE VOORBEELDEN
97
Gewogen mediaan aggregatie is wel mogelijk:
Zij {(w1 , x1 ), (w2 , x2 ), ..., (wl , xl )} een verzameling koppels waarbijPxj ∈ L en wj diens
geassocieerde gewicht. Hierbij geldt wj ∈ [0, 1], ∀j ∈ {1, 2, ..., l} en lj=1 wj = 1.
Verder herordenen we de xj zodat bk de k-de grootste is van alle xj . Dan is {(u1 , b1 ),
(u2 , b2 ), ..., (ul , bl )} de geordende verzameling van {(w1 , x1 ), (w2 , x2 ), ..., (wl , xl )}, waarbij
uk het gewicht is geassocieerd met de xj die bk wordt: als bijvoorbeeld bk = x5 , dan is
uk = w 5 .
P
Definitie 6.11. [29] Zij Di = ij=1 uj . Als
WM ((u1 , b1 ), (u2 , b2 ), ..., (ul , bl )) = bc ,
met c zodat Dc−1 < 0.5 en Dc ≥ 0.5, dan noemen we WM een gewogen mediaan
operator.
De gewogen mediaan is de geordende waarde van de argumenten waarvoor de som van de
gewichten de waarde 0.5 overschrijdt en c is de cross over waarde. De WM operator is
idempotent, symmetrisch en monotoon.
Een volgende eenvoudige aggregatieoperator is de ordinale OWA operator. Het fundamentele aspect van een OWA operator is het herordenen. Op het eenheidsinterval wordt
de OWA operator met geassocieerde
gewichtenvector w = (w1 , w2 , ..., wl ) gedefinieerd als
Pl
j (j)
1
2
l
OWAw (x , x , ..., x ) = j=1 w x [30]. Hierbij zijn de xj herordend zodat x(j) de j-de
grootste is. De ordinale vorm van de OWA operator defini¨eren we als volgt:
Definitie 6.12. [29] Een afbeelding OOWA : Ll −→ L noemen we een ordinale OWA
(OOWA) operator van dimensie l als het een geassocieerde gewichtenvector w = (w1 , w2 ,
..., wl ) heeft zodat wj ∈ L, ∀j ∈ {1, 2, ..., l}, wi ≤ wj als i < j, maxj {wj } = 1 en
OOWA(x1 , x2 , ..., xl ) = max{wj ∧ bj },
j
met bj de j-de grootste van de xj .
De OOWA operatoren zijn idempotent, symmetrisch en monotoon.
Voorbeeld 6.13. [29] Als w = (1, 1, ..., 1) of w = (1, 0, ..., 0) dan reduceert de OOWA
operator tot de M1 operator. Als w = (0, ..., 0, 1) dan bekomen we de M2 operator. In
het geval dat w = (α, ..., α, 1) dan wordt de OOWA operator
OOWA(x1 , x2 , ..., xl ) = (α ∧ max{xj }) ∨ min{xj }.
j
j
Deze operator noemen we een max-min gewogen gemiddelde operator.
98
6.2
HOOFDSTUK 6. ANDERE AGGREGATIEOPERATOREN
Aggregatieoperatoren met onderliggende gladde
t-(co)normen
We herhalen de karakterisatie van deelbare of dus gladde t-conormen met J = {0 =
xi0 < xi1 < ... < xim−1 < xim = 1} de verzameling van diens idempotente elementen (zie
Eigenschap 2.54):
Eigenschap 6.14. [24] Een t-conorm S op L is glad als en slechts als er een m ∈ N
bestaat met 0 < m ≤ n + 1 en een deelverzameling J van L, J = {0 = xi0 < xi1 < ... <
xim−1 < xim = 1} zodat S gegeven wordt door:

 xmin{ik+1 ,i+j−ik } , als er een idempotent xik ∈ J bestaat
zodat (xi , xj ) ∈ [xik , xik+1 ]2 ,
S(xi , xj ) =
(6.1)

max{xi , xj },
elders.
Zij S een deelbare t-conorm op L gegeven door (6.1). Definieer
gik : [xik , xik+1 ] → [0, ∞] : xi 7→ xi−ik ,
(−1)
met k ∈ {0, 1, ..., m}. Het pseudo-invers gik
: [0, ∞] → [xik , xik+1 ] wordt gegeven door
(−1)
gik (xi ) = sup{xr | xr ∈ [xik , xik+1 ] ∧ gik (xr ) ≤ xi }.
Zij (xi , xj ) ∈ L2 . Dan kan S geschreven
 (−1)
 gik (gik (xi ) + gik (xj )),
S(xi , xj ) =

max{xi , xj },
worden als volgt [15]:
als er een idempotent xik ∈ J bestaat zodat
(xi , xj ) ∈ [xik , xik+1 ]2 ,
elders.
We kunnen nu een nieuwe aggregatieoperator op L defini¨eren: de gewogen t-conorm Sw .
Definitie 6.15. [15] Zij w = (w1 , w2 , ..., wl ) ∈ [0, 1]l een normale gewichtenvector. Zij
S : L2 → L een deelbare t-conorm met J = {0 = xi0 < xi1 < ... < xim−1 < xim = 1}
de verzameling van diens idempotente elementen. De gewogen t-conorm Sw : Ll → L
wordt gegeven door

P
sup{xr | xr ∈ [xik , xik+1 ] ∧ xr ≤ lj=1 wj max{xj , xik }},



als er een idempotent xik ∈ J bestaat zodat
Sw (x1 , x2 , ..., xl ) =

max{xj | wj > 0} ∈ ]xik , xik+1 ],


0, elders.
Er bestaat een een-eenduidig verband tussen deelbare t-normen en deelbare t-conormen
op L via de vergelijking van Frank (2.59):
T (xi , xj ) = xl ∧ S(xi , xj ) = xm =⇒ l + m = i + j, ∀(xi , xj ) ∈ L2 .
Bijgevolg kunnen we de bijhorende gewogen deelbare t-normen op L op gelijkaardige wijze
defini¨eren.
6.2. ONDERLIGGENDE GLADDE T-(CO)NORMEN
99
Definitie 6.16. [15] Zij w = (w1 , w2 , ..., wl ) ∈ [0, 1]l een normale gewichtenvector. Zij
T : L2 → L een deelbare t-norm met J = {0 = xi0 < xi1 < ... < xim−1 < xim = 1} de
verzameling van diens idempotente elementen. De gewogen t-norm Tw : Ll → L wordt
gegeven door

P
inf{xr | xr ∈ [xik , xik+1 ] ∧ xr ≥ lj=1 wj min{xj , xik+1 }},



als er een idempotent xik ∈ J bestaat zodat
Tw (x1 , x2 , ..., xl ) =

min{xj | wj > 0} ∈ [xik , xik+1 [,


1, elders.
Notatie 6.17. Zij y ∈ R zodat ∃xi ∈ L : xi ≤ y ≤ xi+1 . Dan gebruiken we volgende
notatie:
byc = xi en dye = xi+1 .
Voorbeeld 6.18. [15] De enige deelbare Archimedische t-conorm op L is de Lukasiewicz
t-conorm SL . Zij wu de uniforme gewichtenvector: wu = ( 1l , ..., 1l ). De corresponderende
gewogen t-conorm (SL )wu : Ll → L wordt dan gegeven door
l
1X j
(SL )wu (x , ..., x ) = sup{xr | xr ∈ L ∧ xr ≤
x } = bM (x1 , ..., xl )c,
l j=1
1
l
wat gezien kan worden als het ondergemiddelde op L.
Anderzijds bestaat er slechts ´e´en Archimedische t-norm op L, namelijk de de Lukasiewicz
t-norm TL . De corresponderende gewogen t-conorm (TL )wu : Ll → L wordt dan gegeven
door
l
1X j
1
l
x } = dM (x1 , ..., xl )e,
(TL )wu (x , ..., x ) = inf{xr | xr ∈ L ∧ xr ≥
l j=1
wat gezien kan worden als het bovengemiddelde op L.
Voorgaand voorbeeld geeft dus een mogelijke oplossing voor het gestelde probleem in
Opmerking 6.10: in plaats van het wiskundige gemiddelde te gebruiken (wat niet in L
zit), gebruiken we het onder- of bovengemiddelde op L. We passen dezelfde methode toe
voor gewogen gemiddeldes en introduceren een ondergewogen gemiddelde op L als
(SL )w gegeven door [15]
(SL )w (x1 , ..., xl ) = bW (x1 , ..., xl )c
en een bovengewogen gemiddelde als (TL )w :
(TL )w (x1 , ..., xl ) = dW (x1 , ..., xl )e,
waarbij W
gemiddelde is op het eenheidsinterval, gedefinieerd als W (x1 , x2 ,
Plhet gewogen
l
j j
..., x ) = j=1 w x .
Ook onder- en boven ordinale OWA operatoren op L kunnen op deze manier ge¨ıntroduceerd worden door [15]
(OWAl )∗ = bOWAc
(6.2)
en
(OWAl )∗ = dOWAe,
(6.3)
waarbij OWA het geordende gewogen gemiddelde is op het eenheidsinterval. Een andere
mogelijkheid is natuurlijk de OOWA-operator uit Definitie 6.12 te gebruiken.
100
HOOFDSTUK 6. ANDERE AGGREGATIEOPERATOREN
Opmerking 6.19.P[15] Als we een algemene gewichtenvector v = (v 1 , ..., v l ) ∈ [0, ∞[l
beschouwen zodat lj=1 v j > 0, normaliseren we eerst: w = Pl v vj . Vervolgens stellen
j=1
we Sv = Sw (Tv = Tw ).
Hoofdstuk 7
Conclusie
In dit werk worden de voornaamste eigenschappen over aggregatieoperatoren op eindige
kettingen besproken. Eerst wordt er kort ingegaan op de ordinale schaal waarmee we
zullen werken. In de overige hoofdstukken gaan we telkens dieper in op een bepaalde
operator.
Zo worden t-normen, negatoren en t-conormen in het tweede hoofdstuk uitvoerig besproken. Het voornaamste resultaat is de karakterisatie van gladde t-normen, dit door
ordinale sommen van Lukasiewicz t-normen. Deze laatste zijn de enige gladde Archimedische t-normen. Aangezien er in het discrete geval slechts ´e´en sterke negator bestaat, volgt
wegens de dualiteit een analoge karakterisatie voor gladde t-conormen. Ook voorbeelden van niet-gladde t-(co)normen worden besproken, waarvan het nilpotent minimum
(maximum) en de veralgemening hiervan de voornaamste zijn. We controleren ook de
voorwaarden waaraan deze veralgemening moet voldoen opdat dit een t-(co)norm is.
Het derde hoofdstuk gaat over implicatoren. Hierin onderzoeken we drie types: Simplicatoren, R-implicatoren en QL-implicatoren. We kunnen slechts van een QL-implicator spreken onder bepaalde voorwaarden. Deze voorwaarden worden onderzocht. Doordat
er slechts ´e´en sterke negator bestaat, kunnen we iedere implicator koppelen aan een welbepaalde t-norm. In dit hoofdstuk onderzoeken we of deze drie soorten implicatoren aan
acht veelvoorkomende eigenschappen voldoen. We tonen ook aan dat zij allen randimplicatoren zijn.
Veralgemeningen van t-normen en t-conormen worden besproken onder de vorm van uninormen en t-operatoren. De enige gladde uninormen zijn t-normen en t-conormen. Alternatieve vormen van gladheid worden onderzocht zodat we het analogon van de karakterisatie van continue uninormen kunnen geven. Ook wordt er onderzocht wat er
gebeurt als de onderliggende t-(co)normen glad zijn. Verder worden idempotente uninormen gekarakteriseerd zoals op het eenheidsinterval. De dualiteit van uninormen wordt
kort aangehaald.
In het hoofdstuk over t-operatoren worden EN- en OF-operatoren gedefinieerd. Dit blijken
t-normen en t-conormen te zijn. Verder worden t-operatoren gekarakteriseerd en ook
de distributiviteitsvoorwaarde wordt onderzocht. Beide zijn volledig analoog aan het
continue geval.
101
102
HOOFDSTUK 7. CONCLUSIE
We sluiten af met de algemene definitie van aggregatieoperator en zien dat t-normen en
t-conormen, alsook hun veralgemeningen, hieraan voldoen. Verder worden er enkele specifieke voorbeelden vermeld zoals het rekenkundig gemiddelde, het gewogen gemiddelde,
gewogen t-(co)normen en de OWA-operator.
Bijlage A
Summary
Complex evaluation systems, in which multiple experts evaluate the alternatives based on
multiple criteria, can be difficult to handle [9]. One of the main issues can be to obtain a
“good” aggregation of these evaluations in order to get a global score for each alternative
for each expert. The next step would be to find an overall score for each alternative. This
way we would be able to choose the “best”(one ore more) of them.
The unit interval is often used for such an evaluation scale. However, there is an undesirable effect linked to this kind of scale, which Yager [31] called the “tyranny of numbers”:
these numbers are far to precise in regards to what the user actually meant.
Yager suggests to use an finite ordinal scale for evaluating, instead of the entire interval
[0, 1]. Such an ordinal scale could represent simple linguistic labels. This is discussed
shortly in the first chapter.
The main goal of this thesis is to create an overview of a number of properties on aggregation operators.
After the short introduction in the first chapter, we look into the mathematical representation of this scale by using an infinite chain L = {0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1}.
We define t-norms and t-conorms on this chain, analogous to the case on the unit interval,
and we study some of the corresponding properties.
An important concept is that of a “smooth function”, this is the discrete counterpart of
continuous functions on the unit interval. We characterize smooth t-norms by ordinal
sums of Archimedian t-norms. Since there is only one type of smooth Archimedian tnorm, the Lukasiewicz t-norm, this expression is a lot more simple than in the continuous
case.
There exists a unique strong negator, so using the duality we can characterize smooth
t-conorms similarly. We also discuss some examples of non-smooth t-(co)norms. The
most important ones are the nilpotent minimum (maximum) and its generalization. We
check under which conditions these generalizations are t-(co)norms.
[24] Apart from t-norms and t-conorms, we discuss some other related operators on L.
We divide these in three different classes:
103
104
BIJLAGE A. SUMMARY
1. Operators based on t-norms and t-conorms.
As is the case on [0, 1], implication operators on finite chains can be constructed
using t-norms and t-conorms. Three types of implicators are discussed in the third
chapter: S-implicators, R-implicators and QL-implicators. We check under which
condition this last one is in fact an implicator. Since there is a unique strong
negator, we can link each implicator to a certain t-norm. We show that each of
these implicators are left neutral. We consider eight important properties, like the
exchange principle and the identity principle, and see which implicators satisfy which
property.
2. Generalizations of t-norms and t-conorms.
The most important generalizations are uninorms and t-operators. The only smooth
uninorms are t-(co)norms. We define alternative types of smoothness, so we can
consider the analogue of the characterization of continuous uninorms on the unit
interval. We see what happens if the underlying t-(co)norms are smooth. Furthermore, we characterize idempotent uninorms and shortly mention the duality.
For t-operators, we give a characterization and the distributivity condition, both of
which are analogous to the continuous case.
3. Other related operators.
Other aggregation operators on [0, 1] are translated to finite chains in the final
chapter. It turns out that t-(co)norms and their generalizations satisfy this definition. Some other examples are mentioned, like the arithmetic mean, the (ordinal)
weighted mean and weighted t-(co)norms.
Bibliografie
[1] M. Baczy´
nski and B. Jayaram. Fuzzy Implications. Springer-Verlag, Berlin, 2008.
[2] B. De Baets. Idempotent uninorms. European Journal of Operational Research,
118:631–642, 1999.
[3] B. De Baets, J. Fodor, J. Torrens, and D. Ruiz-Aguilera. Idempotent uninorms on
finite ordinal scales. International Journal of Uncertainty, 17(1):1–14, 2009.
[4] B. De Baets and R. Mesiar. Triangular norms on product lattices. Fuzzy Sets and
Systems, 104(1):61–75, 1999.
[5] S. D´ıaz, J. L. Garc´ıa-Lapresta, and S. Montes. Consistent models of transitivity for
reciprocal preferences on a finite ordinal scale. Information Sciences, 178(13):2832–
2848, 2008.
[6] P. Dryg´as. On properties of uninorms with underlying t-norm and t-conorm given
as ordinal sums. Fuzzy Sets and Systems, 161:149–157, 2010.
[7] J. Fodor. On contrapositive symmetry of implications in fuzzy logic. In Proceedings
of EUFIT’93, pages 1342–1348, 1993.
[8] J. Fodor. Contrapositive symmetry of fuzzy implications. Fuzzy Sets and Systems,
69:141–156, 1995.
[9] J. Fodor. Preferences and decisions without numbers. In Proceedings of Budapest
Tech International Jubilee Conference : Science in Engineering, Economics and Education, pages 377–384, 2004.
[10] J. Fodor. Some classes of associative binary operations in fuzzy set theory. In Proc.
2nd Slovakian - Hungarian Joint Symposium on Applied Machine, pages 1–5, 2004.
[11] M. Grabisch. How to score alternatives when criteria are scored on an ordinal scale.
Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 15:31–44, 2008.
[12] P. Burillo H. Bustince and F. Soria. Automorphisms, negations and implication
operators. Fuzzy Sets and Systems, 134:209–229, 2003.
[13] E.P. Klement, R. Mesiar, and E. Pap. Triangular Norms. Kluwer Academic Publishers, 2000.
[14] E.P. Klement, R. Mesiar, and E. Pap. Triangular norms. position paper III: Continuous t-norms. Fuzzy Sets and Systems, 145:439–454, 2004.
105
106
BIBLIOGRAFIE
[15] A. Koles´arov´a, G. Mayor, and R. Mesiar. Weighted ordinal means. Information
Sciences, 177(18):3822–3830, 2007.
[16] J. Mart´ın, G. Mayor, and J. Torrens. On locally internal monotonic operations. Fuzzy
sets and systems, 137:27–42, 2003.
[17] M. Mas, G. Mayor, and J. Torrens. t-operators and uninorms on a finite totally
ordered set. International Journal of Intelligent Systems, 14:909–922, 1999.
[18] M. Mas, G. Mayor, and J. Torrens. The distributivity condition for uninorms and
t-operators. Fuzzy Sets and Systems, 128:209–255, 2002.
[19] M. Mas, G. Mayor, and J. Torrens. T-operators. International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 7:31–50, 2004.
[20] M. Mas, M. Monserrat, and J. Torrens. QL-implications on a finite chain. In Proc.
Eusflat - 2003, pages 281–284, 2003.
[21] M. Mas, M. Monserrat, and J. Torrens. S-implications and R-implications on a finite
chain. Kybernetika, 40(1):3–20, 2004.
[22] M. Mas, M. Monserrat, and J. Torrens. On two types of discrete implications. International Journal of Approximate Reasoning, 40:262–279, 2005.
[23] M. Mas, M. Monserrat, and J. Torrens. QL-implications versus D-implications. Kybernetika, 42(3):351–366, 2006.
[24] G. Mayor and J. Torrens. Triangular norms on discrete settings. In E.P. Klement
and R. Mesiar, editors, Logical, Algebraic, Analytic, and Probabilistic Aspects of
Triangular Norms, pages 189–230. Elsevier, Amsterdam, 2005.
[25] D. Ruiz-Aguilera and J. Torrens. Discrete uninorms with smooth underlying operators. In Proceedings of the 8th Conference of the European Society for Fuzzy Logic
and Technology (EUSFLAT 2013), pages 456–462, 2013.
[26] Y. Shi. A Deep Study of Fuzzy Implications. PhD thesis, Ghent University, 2009.
[27] E. Trillas, C. del Campo, and S. Cubillo. When QM-operators are implication functions and conditional fuzzy relations. International Journal of Intelligent Systems,
15(7):647–655, 2000.
[28] E. Turunen. Mathematics behind fuzzy logic. Physica-Verlag, 1999.
[29] Zeshui Xu. Linguistic aggregation operators: An overview. In Fuzzy Sets and Their
Extensions: Representation, Aggregation and Models, pages 163–181. 2008.
[30] R. R. Yager. Applications and extensions of OWA aggregations. International Journal of Man-Machine Studies, 37(1):103–122, 1992.
[31] R. R. Yager. Non-numeric multi-criteria multi-person decision making. Group Decision and Negotiation, 2:81–93, 1993.
Index
(max, min)-operator, 88
R0 , 36, 43, 52
S(N ) , 27
T(N ) , 15
Lukasiewicz
implicator, 30
t-conorm, 19
t-norm, 5
aggregatieoperator, 95
max − min gewogen gemiddelde, 97
gewogen mediaan, 97
maximum, 96
mediaan, 96
minimum, 96
ordinale OWA, 97
Archimedisch
glad, 12, 24
karakterisatie, 12, 24
t-conorm, 24
t-norm, 11
autoduale t-operator, 90
boven ordinale OWA, 99
bovengemiddelde, 99
bovengewogen gemiddelde, 99
contrapositiviteit, 30
deelbaar
representatietheorema, 10, 23
t-conorm, 22
t-norm, 8
distributiviteit, 91
drastische
t-conorm, 19
t-norm, 5
duaal paar, 20
Frankvergelijking, 26
gecompleteerde grafiek, 65
gemiddelde, 96
gerichte algebra, 84
gewogen t-conorm, 98
gewogen t-norm, 99
glad, 83
in een punt, 59
karakterisatie, 13, 25
QL-implicator, 52
R-implicator, 43
S-implicator, 36
t-conorm, 22
t-norm, 8
uninorm, 58
idempotent
aggregatieoperator, 95
t-conorm, 21
t-norm, 6
t-operator, 84
uninorm, 57
identiteitsbeginsel, 30
implicator, 29
Kleene-Dienes-implicator, 30
lingu¨ıstische schaal, 1
linkspseudoglad, 59
karakterisatie, 60
Lipschitz voorwaarde, 8, 22
lokaal intern, 68
maximum, 19
minimum, 5
N-duale
t-conorm, 19
t-norm, 19
t-operator, 89
uninorm, 73
negator, 6
nilpotent
t-conorm, 21
t-norm, 6
nilpotent maximum, 27
107
108
nilpotent minimum, 15
nullnorm, 88
onder ordinale OWA, 99
ondergemiddelde, 99
ondergewogen gemiddelde, 99
ordeningsprincipe, 30
ordinale som, 9, 23
QL-implicator, 45
karakterisatie, 51
QL-operator, 45
R-implicator, 38
karakterisatie, 42
randoperator, 29
rechtspseudoglad, 59
karakterisatie, 60
residu-principe, 40
S-implicator, 31
karakterisatie, 33
symmetrisch
aggregatieoperator, 96
functie, 65
uitbreiding, 67
verzameling, 65
t-conorm, 19
t-norm, 5
t-operator, 83
karakterisatie, 86
uitwisselingsbeginsel, 30
uninorm, 57
Umax , 59
Umin , 59
veralgemeende modus ponens, 30
INDEX

ISOFLEX DP/TDX TECHNISCHE FICHE

Wijziging Ontslagrecht_beeindiging dienstverband

7 Extra opgaven 2014

6 Gemeenschappelijk met de x-as

Bewijs opgave over 120°

Proeftentamen Functies en Reeksen

WV 60 Plus - Kärcher Center Van Mol oost

het overlijdensbericht (in PDF-formaat)

VABB-SHW versie IIIbis en IV

2015 prijslijst Medvet