Toestandsruimte
∀ ψ (r) ∈ F
ψ
⇔
golffuncieruimte
∈ Er
toestandsruimte
“ket”
bij meerdere dynamische variabelen
{ r , σ ,...}
Er , Eσ ,...
∀ ψ (r, σ ,...) ∈ F
⇔
ψ
∈ E met E = E r ⊗ Eσ ⊗...
abstracte toestandsruimte stelt een lineaire vectorruimte voor :
ψ 1 en ψ 2 ∈ E
nulvector ψ 0 = 0
{ ϕi
,i = 1, n}
⇒
λ1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ∈ E
lineair onafhankelijk als uit
basisvectoren van een compleet set
n
∑ ci ϕ i
i =1
Φ =
n
=0
∑ ci ϕ i
i =1
c1 = c2 = ... = cn = 0
Toestandsruimte
bij elke lineaire ruimte
E
∀
ψ
duale lineaire ruimte
E*
∈ E 
→ complex getal χ ( ψ ) 
→
χ
∈ E*
lineair functionaal
χ( ψ ) ⇒
χψ
scalair product
bra ket
"bracket"
“bra”
Toestandsruimte
Correspondentie tussen "ket" en "bra" vectoren :
∀ ψ
(i)
(ii)
∈ E ⇔ ψ
∈ E*
correspondentie tussen de ket en bra vectoren wordt bepaald door het scalair product
χψ
(iii)
bra ψ
= Hermitisch toegevoegde van de ket
ψ
Representaties in de toestandsruimte :
a) discrete basis :
{ ϕi
,i = 1, n}
Orthonormaliteitsrelatie
Compleetheidsrelatie
n
∑
i =1
b) continue basis :
{α }
ϕi ϕ j = δ ij
ϕi ϕi = 1
Orthonormaliteitsrelatie
α ' α = δ (α '− α )
Compleetheidsrelatie
∫ dα α α = 1
Lineaire operatoren in toestandsruimte
ψ ' = A ψ
superpositie eigenschap :
product :
ψ' =cψ
ˆ ˆ)
( AB
ˆ (λ ψ + λ ψ
A
1 1
2 2
(
ψ = Aˆ Bˆ ψ
,c = 0
A
) = λ1Aˆ ψ1
ˆ ψ
+ λ2 A
2
(λ1 , λ2 = arbitraire, complexe getallen)
)
ψ'
ψ = 1ˆ ψ
inverse van een operator :
ψ ' = A ψ
=B
−1
A
Let wel
•
−1 = 1
AA
en
ψ = B ψ '
= BA
= 1 en
AB
⇒
B
=0
A,
−1A
=1
A
de inverse van een lineaire operator bestaat niet altijd !
•
als twee lineaire operatoren een inverse vertonen, dan bezit hun product ook
een inverse :
−1
ˆ ˆ)
( AB
ˆ −1
ˆ −1A
=B
Lineaire operatoren in toestandsruimte
ˆ ψ )= ϕ A
ˆ ψ = ( ϕ A)
ˆ ψ
ϕ (A
begrip matrixelement van een operator :
scalair product
Pϕ = ϕ ϕ
projectie operator :
(met ϕ ∈ E en genormeerd volgens ϕ ϕ = 1)
Pϕ2 = Pϕ
Pˆϕ ψ = ϕ ϕ ψ
complex getal
projectie op een deelruimte :
P n =
n
∑ ϕi
i =1
ϕi .
scalair product
{ ϕi
P n ψ =
,i = 1, n} met
n
∑ ϕi
i =1
ϕ i ϕ j = δ ij met i, j = 1,...n.
ϕi ψ
P n2 = P n ,
projecteert op deelruimte
+ van lineaire operator A
A
⇔
ψ ' = ψ A +
Hermitisch toegevoegde
ψ ' = A ψ
ψ ' ϕ = ϕ ψ ' * met ψ ' = A ψ volgt dat :
ˆ+ ϕ = ϕ A
ˆψ
ψ A
*
Lineaire operatoren in toestandsruimte
+ )+ = A
(wederkerig)
(A
) + = λ*A
+ (λ = arbitraire, complexe constante)
( λA
+B
)+ = A
+ +B
+
(A
)+ = B
+A
+ (let op de volgorde !)
(AB
Hermitische operator :
+ =A
A
als
projectieoperator Pϕ = ϕ ϕ
*
ψ Aϕ = ϕ Aψ
is Hermitisch
het product van twee Hermitische operatoren is ook Hermitisch enkel als
Hermitisch toegevoegde in Dirac notatie :
 λ → λ*

 →
 →

ˆ
ˆ+
→
A
A

B
+
ˆ
ˆ
→B

,B
=0
A
Matrixrepresentatie in de toestandsruimte
discrete basis
{ ϕi
,i = 1, n}
arbitraire toestandsket
1
 
0
.
ϕ1 =  
0
.
 
0
;
0
 
1
.
ϕ2 =  
0
.
 
0
analoog in bra-ruimte :
scalair product :
;
En
Φ ∈ En
...
;
 0
 
 0
.
ϕi =  
1
.
 
 0
(
Ψ ⇒ b1*
(
Ψ Φ = b1* b*2
Φ =
n
∑ ci ϕ i
i =1
;
b*2
...
;
 0
 
 0
.
ϕn =  
 0
.
 
1
b*3 . . b*n
b*3 . . b*n
)
)
 c1 
 
 c2 
n
 c3 
*
  = ∑ b i ci
i =1
 . 
 . 
 
 cn 
met c i = ϕ i Φ
 c1 
 
 c2 
 . 
Φ ⇒ 
 . 
 . 
 
 cn 
Matrixrepresentatie in de toestandsruimte
Een operator werkend in de n-dimensionele toestandsruimte wordt voorgesteld door een n x n
vierkantsmatrix.
n
n
ˆ =∑ ∑ ϕ
A
i
i =1 j=1
 A11 A12

 A 21 A 22

.
.

=
 Ai1 Ai2

.
 .
A
 n1 A n2
ϕi Aˆ ϕ j
.
.
.
.
ϕ
A ij = ϕ i A
j
n
ϕj = ∑ ∑
i =1 j=1
. A1n 

A 2 j . A 2n 

.
.
. 
Aij . Ain 

.
.
. 
A nj . A nn 
. A1j
.
n
ϕi Aij ϕ j