Grafieken van functies en vergelijkingen

Grafieken van functies en vergelijkingen
Grafieken van functies
6-0
en vergelijkingen
Grafieken van functies en
vergelijkingen
Inhoud
6.1 Systematisch onderzoek
Houd rekening met:
¨
• Snijpunten met de coordinaatassen
• Kritieke punten
• Intervallen waar f stijgend of dalend is
1. Systematisch onderzoek van grafieken
• Convexiteit en buigpunten
• Extrema
• Asymptoten
• Gedrag als x → ±∞
• Gedrag als y → ±∞
2. Kegelsneden
• Asymptoten
¨
3. Poolcoordinaten
en parametervergelijkingen
• Poolcoordinaten
¨
en krommen
• Convexiteit
• Geparametriseerde krommen in R2
Grafieken van functies en vergelijkingen
Convexiteit en buigpunten
Grafieken van functies
6-2
en vergelijkingen
• Als f convex is op een interval I en xP , xQ ∈ I , dan
ligt het lijnstuk door de twee punten P (xP , f (xP ))
en Q(xQ, f (xQ)) boven de grafiek van f .
• Als f 00(x) ≥ 0 voor elke x in een interval I dan
noemen we f convex op I (of opwaarts gebogen)
• Als f 00(x) ≤ 0 voor elke x in een interval I dan noe-
• Als f concaaf is op een interval I en xP , xQ ∈ I ,
dan ligt het lijnstuk door de twee punten P (xP , f (xP ))
en Q(xQ, f (xQ)) onder de grafiek van f .
men we f concaaf op I (of neerwaarts gebogen)
y
y
y
Q
P
x
Convex (links) en concaaf (rechts).
x
a
xP
c dx x xQ b
x
De grafiek is convex: het lijnstuk P Q ligt boven de grafiek.
Grafieken van functies en vergelijkingen
Grafieken van functies
6-4
en vergelijkingen
Buigpunten
Tweede afgeleide test
Een buigpunt is een punt waar het verloop van de
grafiek overgaat van convex naar concaaf, of omgekeerd van concaaf naar convex.
• Als de tweede afgeleide van f continu is, dan moet
f 00(x) = 0 in een buigpunt.
f continu en afleidbaar is in een open
interval ]a, b[. Stel c ∈ ]a, b[ met f 0(c) = 0. Dan geldt
Neem aan dat
• Als f 00(c) > 0 dan bereikt f in c een lokaal mini•
mum.
Als f 00(c)
< 0 dan bereikt f in c een lokaal maxi-
mum.
Grafieken van functies en vergelijkingen
Grafieken van functies
6-6
en vergelijkingen
Asymptoten
Horizontale asymptoten
Een asymptoot van een kromme is een rechte met de
eigenschap dat de afstand van een punt van de kromme
tot de rechte de limiet nul heeft als het punt zich (in
een of andere richting) langs de kromme naar oneindig
beweegt.
y = b is een horizontale asymptoot van
de grafiek van f indien
De rechte
• lim f (x) = b
asymptoot op +∞
• lim f (x) = b
asymptoot op −∞
x→+∞
x→−∞
y
of
y
b
Q
y=b
P’’
Q
α
P
P
P’
x
x
Grafieken van functies en vergelijkingen
Grafieken van functies
6-8
en vergelijkingen
Verticale Asymptoten
Schuine Asymptoten
x = a is een verticale asymptoot
van de grafiek van f indien
= ax + b is een schuine asymptoot van
de grafiek van f indien
• lim f (x) = ±∞
•
x→+∞
•
x→−∞
De verticale rechte
x→a+
of
• lim f (x) = ±∞.
x→a−
De rechte y
lim (f (x) − ax − b) = 0
of
lim (f (x) − ax − b) = 0.
Dan is
y
a=
of
x=a
a=
Q
f (x)
en b = lim (f (x) − ax)
x→−∞ x
x→−∞
lim
P
a
x
Grafieken van functies en vergelijkingen
6.2 Kegelsneden
f (x)
en b = lim (f (x) − ax)
x→+∞ x
x→+∞
lim
Grafieken van functies
6-10
en vergelijkingen
Cirkel
Een kromme in het vlak kan ook gegeven worden door
Een cirkel is de meetkundige plaats van alle punten van
een vergelijking
het vlak die op een gegeven afstand
F (x, y) = C.
• Als F (x, y) = y−f (x), dan correspondeert F (x, y) =
0 met de grafiek van f .
• Niet elke vergelijking F (x, y) = C correspondeert
met de grafiek van een functie.
Een kegelsnede is
• een kromme die ontstaat door de snijding van een
kegel met een vlak,
• een grafiek van een vergelijking F (x, y) = C waarin
F (x, y) een uitdrukking is van de tweede graad in
x en y
F (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f.
R > 0 liggen
van een gegeven punt P met coordinaten
¨
(a, b).
• De afstand van Q(x, y) tot P (a, b) is
q
d(P, Q) = (x − a)2 + (y − b)2.
• Punten op de cirkel met middelpunt P en straal
R > 0 voldoen aan
q
(x − a)2 + (y − b)2 = R
of ook
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
Grafieken van functies en vergelijkingen
Ellips
Grafieken van functies
6-12
en vergelijkingen
Een ellips wordt gedefinieerd als de verzameling van de
punten van het vlak waarvan de som van de afstanden
F1 en F2 constant is.
• Kies x-as als rechte door F1 en F2 en neem het
midden van F1F2 als oorsprong.
y
tot twee gegeven punten
• Stel 2a is de som van de afstanden tot F1 en F2
• Dan behoort P (x, y) tot de ellips als
q
q
2
2
(x + c) + y + (x − c)2 + y 2 = 2a
• Dit kan herwerkt worden tot
x2 y 2
+
= 1,
a2 b 2
y
b 2 = a2 − c2 .
b
b
P
P
F1
F1
c
0
F2
a
Grafieken van functies en vergelijkingen
Parabool
c
x
0
a
F2
x
Grafieken van functies
6-14
en vergelijkingen
y
Een parabool wordt gedefinieerd als de meetkundige
plaats van de punten van het vlak waarvan de afstand
tot een gegeven rechte gelijk is aan de afstand tot een
gegeven punt dat niet op deze rechte ligt. De rechte
wordt richtlijn genoemd en het punt wordt brandpunt
genoemd.
• Zij Q de loodrechte projectie van het brandpunt F
op de richtlijn.
• Kies de rechte F Q als y -as.
• Kies de oorsprong als het midden van het lijnstuk
F Q.
• De afstand van F tot de oorsprong noemen we p.
• De afstand van een punt P (x, y) tot de richtlijn is
|y + p|.
p
p
P(x,y)
//
F
//
O
y
x
x
Q
l
• De afstand van een punt P (x, y) tot de richtlijn is
|y + p|.
p
• De afstand van P tot F is x2 + (y − p)2.
• P behoort tot de parabool als
q
x2 + (y − p)2 = |y + p|.
• Dit kan omgevormd worden tot 4py = x2 .
Grafieken van functies en vergelijkingen
Hyperbool
Grafieken van functies
6-16
en vergelijkingen
• P (x, y) behoort tot de hyperbool als
q
q
2
2
2
2
(x + c) + y − (x − c) + y = 2a.
Een hyperbool wordt gedefinieerd als de meetkundige
plaats van de punten van het vlak waarvoor het verschil
van de afstanden tot twee gegeven punten
• Dit kan herwerkt worden tot
F1 en F2
x2
y2
−
=1
a2 b 2
constant is.
• Stel coordinaten:
¨
F1(−c, 0) en F2(c, 0).
• Stel 2a is het verschil van de afstanden tot F1 en F2.
met b2
y
= c2 − a2 .
Een hyperbool heeft twee asymptoten.
• Als de hyperbool gegeven wordt door de canonieke
2
y2
vergelijking x2 − 2 = 1, dan zijn
a
b
P(x,y)
F1
O
b
y= x
a
x
F2
b
y=− x
a
en
de schuine asymptoten.
Grafieken van functies en vergelijkingen
Grafieken van functies
6-18
en vergelijkingen
6.3.1 Krommen in poolcoordinaten
¨
(Pool-)coordinaatlijnen
¨
y
• r = C1 is cirkel rond O met straal C1
• θ = C2 is een halfrechte door O met hoek C2 met
positieve x-as
P(x,y)
y
r
θ=π/2
θ=3π/4
θ
0
x
θ=π/4
x
r=3
r=2
¨
• (r, θ) zijn de poolcoordinaten
van P .
• Verband met de rechthoekige cartesische coordinaten:
¨
x = rcosθ en y = rsinθ
• Omgekeerd

q
 bgtan y
x
r = x2 + y 2 en θ =
 π + bgtan y
x
r=1
θ=π
θ=0
θ=5π/4
θ=7π/4
θ=3π/2
als x
>0
als x
<0
Grafieken van functies en vergelijkingen
Kromme in poolcoordinaten
¨
Grafieken van functies
6-20
en vergelijkingen
Voorbeeld
¨
• Een kromme kan in poolcoordinaten
gedefinieerd
worden door
r = f (θ)
(∗)
Neem
π
π
≤θ≤
2
2
• Teken voor groot aantal waarden van θ het punt met
afstand r = cosθ van de oorsprong op de halfrechte
die een hoek maakt van θ met de positieve x-as.
r = cosθ
−
met
• Dan krijgen we een kromme die lijkt op een cirkel:
Grafieken van functies en vergelijkingen
r = cosθ
is ook echt een cirkel!
Grafieken van functies
6-22
en vergelijkingen
• In cartesische coordinaten:
¨
q
x
x
r = x2 + y 2 en cosθ = = p
.
r
x2 + y 2
p
• Vergelijking x2 + y 2 = √ x , oftewel
6.3.2 Geparametriseerde krommen
• Stel f en g zijn continue functies gedefinieerd op
[a, b]
• Voor elke t ∈ [a, b] bepalen f en g een punt P (x, y)
met
x = f (t),
x2+y 2
x2 + y 2 = x.
• Dit kunnen we herschrijven tot
2
1 2
1
x−
+ y2 =
.
2
2
• Dit is de vergelijking van de cirkel met middelpunt
(1/2, 0) en straal 1/2.
y = g(t).
y
P(x,y)
y=g(t)
x
x=f(t)
a
t
b
Grafieken van functies en vergelijkingen
• Wanneer t het interval [a, b] doorloopt, beschrijft P
de kromme K
K = {(f (t), g(t)) | t ∈ [a, b]}.
• K heeft parametrisatie
x = f (t),
y = g(t)
Grafieken van functies
6-24
en vergelijkingen
Voorbeeld
• De kromme
x = x0 + R cost
met 0 ≤ t ≤ 2π .
y = y0 + R sint
• Dit is een parametrisatie van de cirkel met middelpunt
(x0, y0) en straal R.
P(x,y)
y
R
t
y0
x0
x
Grafieken van functies en vergelijkingen
Grafieken van functies
6-26
en vergelijkingen
Parametrisatie van ellips
• De kromme
x = x0 + a cost
met 0 ≤ t ≤ 2π .
y = y0 + b sint
• Dit is een parametrisatie van de ellips met middelpunt
(x0, y0) en halve assen a en b.
Parametrisatie van hyperbool
• De kromme
• Dit is een parametrisatie van e´ en
´ tak van een hyperbool.
P(x,y)
P(x,y)
t
y0
b
a
x0
F1
x
x = a cosh t
met t ∈ R.
y = b sinh t
y
y
O
F2
x

Download Report