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計測工学
-測定の誤差と精度1計測工学
2010年5月10日 Ⅰ限目
授業内容

前回の続き

2.1 数値計算における誤差

2.2 計算過程での誤差

2.3 測定の精度
数値と接頭語の使い方
単位の

接頭語(乗数)
倍
数
接頭語
名称
記号
1030
-
10-1
ｄ
1027
-
10-2
ｃ
1024
Ｙ
10-3
ｍ
1021
Ｚ
10-6
μ
1018
Ｅ
1015
Ｐ
1012
Ｔ
109
Ｇ
106
Ｍ
103
ｋ
102
ｈ
101
ｄａ
10-9
10-12
ｎ
ｐ
10-15
ｆ
10-18
ａ
10-21
10-24
z
y
英語
数値と接頭語の使い方
単位の

接頭語(乗数)
100
*
倍
数
接頭語
名称
記号
英語
1030
グルー
チョ
-
Grouch
o
1027
ハーポ
-
Harpo
1024
ヨッタ
Ｙ
Yotta
1021
ゼッタ
Ｚ
Zetta
1018
エクサ
Ｅ
Exa
1015
ペタ
Ｐ
Peta
*
10-1
デシ
ｄ
Deci
10-2
センチ
ｃ
Centi
10-3
ミリ
ｍ
Milli
10-6
マイクロ
μ
Micro
10-9
ナノ
ｎ
Nano
1012
テラ
Ｔ
Tera
10-12
ピコ
ｐ
Pico
109
ギガ
Ｇ
Giga
10-15
フェムト
ｆ
Femto
106
メガ
Ｍ
Mega
10-18
アト
ａ
Atto
103
キロ
ｋ
Kilo
10-21
ゼプト
z
Zepto
102
ヘクト
ｈ
Hecto
10-24
ヨクト
y
Yocto
101
デカ
ｄａ
Deca
数値と接頭語の使い方

数値は0.1～1000の間に入るように選ぶのが
望ましい
– 1.2×104 N → 12kN
– 0.00394m → 3.94mm
– 1401 Pa → 1.401 kPa
機械力学におけるＳＩ組立単位
速度[m/s] , 加速度[m/s2]
 質量[kg] , 力[N]=[kg・m/s2], モーメント[N・m]
 力の単位の換算 1[kgf] = 9.80665[N]
 周波数、振動数[Hz]=[/s]
 回転速度[rpm] revolution per minute
[rps] revolution per second
 減衰係数 [N・s/m]または[kg/s]

授業内容

2.1 数値計算における誤差

2.2 計算過程での誤差

2.3 測定の精度
2.1 数値計算における誤差

2.1.1 誤差とは

2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

2.1.3 有効数字

2.1.4 有効数字のしくみ
2.1 数値計算における誤差

2.1.1 誤差とは

2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

2.1.3 有効数字

2.1.4 有効数字のしくみ
2.1.1 誤差とは

誤差(error)：測定値の不確かさ
測定値から真の値を差し引いたもの
2.1.1 誤差とは
(1)母集団(population)
同一条件下で求められるべきすべて(無限個)
の測定値
 (2)標本(sample)
同一条件下でランダムに抽出される有限個の
測定値
正確な母集団を収集することは不可能なため、
標本を用いる

2.1 数値計算における誤差

2.1.1 誤差とは

2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

2.1.3 有効数字

2.1.4 有効数字のしくみ
2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

数値の丸め(rounding)：四捨五入が一般的
(１) 与えられた数値が1つしかない場合：
正の数値：単純に四捨五入
負の数値：絶対値に四捨五入
e.g. 表2.1：丸めの幅に注意
2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

数値の丸め：四捨五入が一般的
(2) 与えられた数値が2つの隣り合う整数倍：
偶数倍の方を選択
e.g. 12.25, 12.45
2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

数値の丸め：四捨五入が一般的
(3) 丸めは常に一回のみとする
e.g. 2.445
2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

数値の丸め：四捨五入が一般的
(3) 丸めは常に一回のみとする
e.g. 2.445
複数回の丸めによって
2.5 と 3.0と誤差が大きくなり得る
2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

数値の丸め：四捨五入が一般的
(4)
末端数値が5のときは注意
e.g. 2.445
複数回の丸めによって
2.5 と 3.0と誤差が大きくなり得る
2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

数値の丸め：四捨五入が一般的
(4)
末端数値が5のときは注意
1つ上の桁が…
1) 奇数 ⇒ 切り上げる
2) 偶数 ⇒ 切り捨てる
e.g. 12.335, 12.345
2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

数値の丸め：四捨五入が一般的
(4)
末端数値が5のときは注意
1つ上の桁が…
1) 奇数 ⇒ 切り上げる
2) 偶数 ⇒ 切り捨てる
e.g. 12.335, 12.345
2.1 数値計算における誤差

2.1.1 誤差とは

2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

2.1.3 有効数字

2.1.4 有効数字のしくみ
2.1.3 有効数字

有効数字(significant figure):
初めて誤差が入ってくる桁までとった数字
e.g. 12.3, 2.34, 0.0456, 789×10
2桁までは正しく，3桁目が怪しい
2.1.3 有効数字

(1) 例の125.7mmは算術数で表現されるmm
の単位と目分量の小数点以下にて構成
(小数点以上は正確、以下は不正確)
125
126
2.1.3 有効数字

(1) 例の125.7mmは算術数で表現されるmm
の単位と目分量の小数点以下にて構成
(小数点以上は正確、以下は不正確)
125
126
2.1.3 有効数字

(1) 例の125.7mmは算術数で表現されるmm
の単位と目分量の小数点以下にて構成
(小数点以上は正確、以下は不正確)
125.70mmとすると、0.7mmまで正確
125
126
2.1.3 有効数字
(2) 工学系の有効数字：3～4桁。
3桁でとめるのが通常。粗い推定では2桁
(3)演算を施す定数π、√…1～2桁多くとって計算し、
結果を四捨五入し有効数字を制限
2.1 数値計算における誤差

2.1.1 誤差とは

2.1.2 四捨五入と切り捨てによる誤差

2.1.3 有効数字

2.1.4 有効数字のしくみ
2.1.4 有効数字のしくみ
真値T1, T2を測定
 それぞれの測定値M1, M2
 それぞれの測定誤差ε1，ε2 とする


T1 = M1±ε1， T2 = M2±ε2
T1 の範囲： (M1-ε1) < T1< (M1+ε1)
2.1.4 有効数字のしくみ

和差：総合誤差として誤差の加算を行う
T1±T2≒(M1±M2)±(ε1+ε2)

積：
T1×T2≒M1M2±(M2ε1+M1ε2)

商：
T1/T2 ≒ M1/M2±ε
ε=M1/M2(ε1/M1+ε2/M2)
ε：総合誤差， ε1/M1，ε2/M2：相対誤差

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