第6課輻射の方程式 II

H：化学平衡
２００６年１１月２７日
単位名
学部 :天体輻射論I
大学院：恒星物理学特論IV
教官名
中田好一
授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。
成績は「レポート＋出欠」でつけます。
授業の内容は下のHPに掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
休講：１２月４日、１月１５日、１月２９日
Ｈ．１．化学平衡
ａ1A1＋ａ2A2＋ａ3A3＋ ….＝ ΣａjＡj＝０
例
Ｈ２－２Ｈ＝０
ＨーＨ＋－ｅ＝０
水素の解離
水素の電離
ＣＯ－Ｃ－Ｏ＝０
一酸化炭素の形成
最初の例では、a1=1, A1=H2, a2=-2, A2=H である。
ｎｊ＝ｎ（Aj)=Ajの数密度を求める問題を考えよう。
孤立系（エネルギーＵ、体積Ｖ、粒子数Ｎが一定）では、エントロピー極大が平衡に対
応するが、温度Ｔ，圧力Ｐが一定の環境では、ギブスの自由エネルギー
G=U-TS+PV =ΣμjNj が極値をとる。（μｊはｊ-種粒子の化学ポテンシャル）
上の反応では、１回の反応でΔＮｊ＝ａｊの変化が起きるから、ｄＲ回では、
ｄＮj＝ａjｄＲ。そこで、Ｔ，Ｐ一定下での化学反応（Ｎｉが変化）を考えると、
ｄＧ＝－ＳｄＴ＋ＶｄＰ＋ΣμｊｄＮｊ＝ ΣμｊｄＮｊ＝（Σμｊａｊ）ｄＲ＝０
したがって化学平衡の条件は、
Σａｊμｊ＝０
 j  kT ln
一般に、気体の化学ポテンシャルμｊは、
nj
nQ , j Z in, j
ｎｊ＝Ｎｊ／Ｖ＝ Ajの数密度（個/ｃｍ３）、
ｎＱ、ｊ＝（2πmｊkT/ｈ２）３/２＝Ajの量子密度（個/ｃｍ３）、
Ｚin,j＝Σexp (－Ein,j/kT)=Ajの内部状態分配関数
である。
前節の平衡条件、
a 
j
j
0
に上のμｊの式を代入すると、
 a ln n   a ln n
j
nj
aj
  nQ j j Z in j
a
aj
j
 K T 
j
Qj
Z in j

（質量作用の法則）
粒子の内部自由エネルギーＦin は、内部分配関数Ｚｉｎ
と
Ｆin＝－kT ｌｎＺin ＝－kT ｌｎ[Σexp (－Ein/kT)] で結ばれているから、
Πｎjａj＝Π[ｎＱjνj exp(-ａj Ｆinj/kT)] と書く場合もある。
例１：励起準位
Ａｉ－Ａｊ＝０
下図のような、ｊ準位とｉ準位の間の遷移を反応の一つと見なす。
ａｉ =1, Zi＝ｇi exp(－Ei/kT),
ａｊ =-1, Zj＝ｇj exp(－Ej/kT)
この場合、 Zi ,、 Zj の表式に∑記号がないことに注意。
さらに、ｎＱ＝（2πmkT/ｈ２）３/２＝共通なので、質量作用の法則を書き下すと、
Πｎjａj＝ｎi1ｎj－1
Π[ｎＱjａj Ｚinjａj ]= [ｎＱi1 Ｚini1 ] [ｎＱj－１Ｚinj－１ ] ＝Ｚini1 Ｚinj－１
 E 
exp  i 
ni g i
 kT   g i exp  Ei  E j


nj g j
kT
 Ej  g j



exp 

kT


特にｊ＝０（基底状態）の時、
g 
 E 
ni  n0  i  exp   i 
 kT 
 g0 
=励起原子の数密度



統計重み数密度
ｇｉ
ｎi
ｇｊ
ｎj
ｇｏ
ｎ0
Ｅｉ
Ｅｊ
例２：水素の（第１励起／基底）比
n1 8
 10.15eV 
 exp 

no 2
kT 

5040
51156

10.15

 4  10 T
 4  10 T
ｇ１＝８
n１
E１＝１０．１５ｅＶ
 n1 
51156
log10   0.602 
T
 no 
n0
ｇ０＝２
log(n1/no)
０
Ｔ＜１００００Ｋ（Ａ０より晩期型星）
では、log（ｎ１/ｎｏ）＜－５で大変－２
小さいことが分かる。
Ｔ＝８５０００Ｋでｎ１＝ｎｏとなり、－４
Ｔ∞ではｎ１/ｎｏ＝４に接近す－６
０
る。
T=１００００
Ａ０型
T=４２０００
T=３００００
Ｏ５型
Ｂ０型
１
２
３
(５１１５６/T)
４
5
例３：ボルツマンの式 (Boltzmann’s formula)
ある原子の総数密度をｎとし、うち基底状態にｎｏ、第１励起状態にｎ１、第
２励起状態にｎ２，．．．あるとする。ｎ＝ｎｏ＋ｎ１＋ｎ２＋．．．である。
前節の例１で示したように
gi
 Ei 
ni  no
exp 

go
 kT 
なので
 E1 
 E2 
 E3 
Z  go  g1 exp 
  g2 exp 
  g3 exp 
  ．．．
 kT 
 kT 
 kT 
n  no  n1  n2  ．．．
 n
n 
 E 
 E 
 o  go  g1 exp  1   g2 exp  2   ...  o Z
go 
 kT 
 kT 
 go
したがって、
 Ei 
exp 

kT 

ni  n  gi 
Z
とすると、
ｇ２ E２
ｇ１ E１
ｇo E=0
例４：水素原子の電離
Ｈ＋＋ｅ－Ｈ＝０ (I=inization energy)
内部エネルギーの相対的な値の決め方には注意がいる。
自由電子と陽子の内部エネルギーをそれぞれ０とする。すると、中性水素
原子の内部エネルギーは ‐Ⅰ となる（基底状態のみ考えている）。Ⅰは電離
エネルギーで水素では１３．６ｅＶである。
電子のスピン上向き、下向きの２状態を考えるので、（原子核の方は無視）
電子とＨ原子のＺｉｎには２が入ってくる。
H
E ：
＋
+
e
0
0
g ：１
２
Zin ：１
２
ー
ｎＱ：（2πｍＨkT/ｈ２）３/２（2πｍekT/ｈ２）３/２
Ｈ
＝０
-I
２
２ｅｘｐ（Ｉ/ｋＴ）
（2πｍＨkT/ｈ２）３/２
nj
aj
  nQ j j Z in j
a
aj
 K T 
（質量作用の法則）を前頁の電離に適用する。
H（中性水素原子）を I 、 H＋（水素イオン）を II と表すと、
１・ＨＩＩ＋１・Ｅｅ－１・ＨＩ＝０
ａII=1, ａ（ｅ）＝1, ａI＝‐１だから、質量作用の法則は、
nII  ne nQ, II  nQ, e Z in, II  Z in, e

nI
nQ, I
Z in, I
3
 2 mII kT   2 me kT 


 
2
2
h
  h


2
 2 mI kT 


2
 h

3
2
3
2

2 me kT  2
2
 I 


exp


3
I
h
 
 kT 
2  exp 
 kT 
nII  ne 2 me kT  2
 I 

exp  

3
nI
h
 kT 
3
3
：サハの電離式（Ｓａｈａｅｑｕａｔｉｏｎ）
例５：水素分子の解離２Ｈ－Ｈ２＝０
電離の時とは違って、今度は水素原子の内部エネルギーを０とする。すると、
水素分子基底状態の内部エネルギーは－Ｄである。Ｄは解離エネルギー
（ＤｉｓｏｃｉａｔｉｏｎＥｎｅｒｇｙ）で、水素ではＤ＝４．４７ｅＶである。
２H
ー
Ｈ２
＝０
E ：
0
-D（-4.476eV)
g ：
２
４（Ｓ＝０ ortho，１ para）
Zin ：
２
4 ｅｘｐ（D/ｋＴ）
ｎＱ：（2πｍＨkT/ｈ２）３/２
ａ（Ｈ）＝２、
（2π2ｍＨkT/ｈ２）３/２
ａ（Ｈ２）＝－１であるから、質量作用の法則は、
1
 2mH kT    2 2mH kT   2 2
nH
 D


 
  exp 
3
3
nH 2 
h
h
4
 kT 
 

2
32
2
32

mH kT 3 2


 exp 
h3
D


 kT 
Ｈ．２．サハの式
（Ｓａｈａｅｑｕａｔｉｏｎ）
原子の電離度はサハの式によって決まる。
ｎｉ，０＝ｉ回電離イオン基底状態の数密度
ｎｉ＋１，０＝（ｉ＋１）回電離イオン基底状態の数密度
ｎｅ＝電子の数密度
Ｉｉ，０＝ｉ回電離イオン基底状態からの電離エネルギーとすると、
ni 1,0ne 22mekT 3 2 gi 1,0
 I 


 exp  i ,0 
ni ,0
gi ,0
 kT 
h3
ｎｉ＝ｉ回電離イオンの数密度（基底状態＋励起状態）
ｎｉ＋１＝（ｉ＋１）回電離イオンの数密度（基底状態＋励起状態）
に対しては、上式を少し変えた以下の式が成立する。
 Ii ,0 
ni 1ne 22mekT 3 2 Zi 1



 exp  
3
ni
Zi
 kT 
h
Ｚｉ＝Σｇｉ・ｅｘｐ（－Ｅ/ｋＴ）（＝ｉ回電離イオンの分配関数）は前出のＺｉｎと同じ
水素原子の電離に関しては、
nH ne
nH
32

2me kT 


 exp 
h3
I 


 kT 
ｎ（ｅ）が全てＨから供給されている必要はない。
実際、低温環境では電子はアルカリ金属（Ｎａ，Ｋ）の電離が主な
供給源である。
しかし、高温になると水素の電離で作られる電子が圧倒的となる。
すべての電子が水素から供給されている場合、ｎ（ H＋）＝ｎ（ｅ）なので、
ne  nH
1
3/ 4


2

m
kT

e
2
 exp 
h3 / 2
I 


2
kT


exp(‐I/２kT)の因子がボルツマン型のexp(‐I/kT)と異なることに注意。
例１：水素のみから成る星の大気
早期型星大気でのガス圧として、 log Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定する。
サハの式をガス圧
P=nkT で表して、
Z II  1
nII  ne 2 me kT  2
 I 

exp 

3
nI
h
 kT 
3
PII  Pe kT  2 me kT  2
 I 

exp 

3
PI
h
 kT 
3
ZI  2
(励起状態を無視)
Pe=PII、Pg=PI+PII+Pe
を代入すると、
log10(PII2 / PI) = －13.6(5040/T) + 2.5 logT－0.48
2
PII
68544
log10

 2.5 log10 T  0.48
Pg  2PII
T
 (kT )
B0
B0
T
A0
30500
PI
NII/NI
G0
K0
9500
7500
6300
5350
177.5
1.17
0.0137
1.07E-4
1600
590
60
6.6
0.58
0.0083
1980
3040
3150
3160
1.9×105
0.30
0.020
0.0021
1.8×10－4
1
0.2３
0.02
0.0021
1.8×10－4
PII2 / (Pg – ２×PII) 3.0E8
PII (erg/cm3)
F0
NII/(NI+NII)
0
-1
 N II
log10 
 N I  N II


 -2
B0
A0
K0
-3
-4
4.5
4.0
log T
3.5
例２バルマー線 (Balmer lines) 強度と星のスペクトル型
バルマー線は水素原子主量子数
ｎ＝２ ｉ (=3, 4, ...)への吸収線である。
n=3
したがって、星のバルマー線強度はｎ１が大き
くなるほど強くなる。混乱しやすい慣用法なの
で注意しておくが、ｎ１の１は第１励起状態の１
で、主量子数はｎ＝２である。
Ｈ．１．例２の計算から n1/n0 を見てみると、
Ｈα線
n=2
n=1
下のように温度が高くなると急に大きくなる。
スペクトル型
Ｂ０
表面温度(K)
30,500
ｎ１/ ｎ０
Ａ０
9,500
Ｆ０
Ｇ０
Ｋ０
7,500
6,300
5,350
0.083 1.64E-5 6.00E-7 3.01E-8 1.09E-9
ｎ１/ｎ０はＢ０型ではＡ０型の５０００倍になる。
では、バルマー線は高温度星ほど強いであろうか？
n3
n2
Ｈβ線
n1
n0
NH＝ NI ＋ NII
NI１
NII
NI
電離平衡
NI０
ボルツマン分布
（励起）
主系列星大気の総ガス圧を、log10Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定し、
星の有効温度を log10T（K) =３．５、３．６、．．．、４．５とする。
この時に、log10（NI１/NI ）、 log10（NI/NH）、 log10（ NI１/NH）
がどう変わるだろうか。
ＰＩ＝水素原子の分圧、ＰＩＩ＝水素イオン（陽子）の分圧とおくと、
Ｐｅ＝ＰＩＩであり、サハの式は以下のようになる。
2
log10
PII
68544

 2.5 log10 T  0.48  A
Pg  2PII
T
まず、Ｐｇ＝１０３．５に対し、上の式を解いてＰIIを求め、
次に、ＰI ＝ＰII ２・１０－Ａ
からＰI を決める。
次に、
NI１/NI ＝g1exp(-E1/kT) / [g0+ g1exp(-E1/kT) +…]
≒ ４・exp(-E1/kT) / [１+ ４・exp(-E1/kT)]
NI/NH＝ＰI/ＰH ＝ＰI/（Ｐｇ－ PII ）
NI１/NＨ＝（ NI１/NI ）・（ NI/NH ）
を計算して次ページの表を得る。
ｌｏｇＴ３．５
３．６
３．７
３．８
３．９
４．０
４．１
４．２
４．３
４．４
４．５
Ａ -13.405 -8.697 -4.906 -1.843 +0.640 2.665 4.325
5.695
6.834
7.791
8.602
1581
PII 1.11E-5 2.52E-3 0.198
6.72
113
832
1526
1578
ＰI
3149
2936
1498
110
5.02
3162
3162 3162
1581
1581
0.366 0.0404 6.25E-3
Log(NI１/NI )
-15.685 –12.380 –9.779 –7.737 -6.133 -4.871 -3.877 -3.092 -2.472 -1.981 -1.592
Log(NI/NH)
0.0
0.0
0.0
0.0
-0.016 -0.192 -1.172 -2.500 -3.635 -4.592 -5.403
Log(NI１/NH)
-15.685 -12.380 -9.779 -7.737 -6.149 -5.063 -5.049 -5.592 -6.107 -6.573 -6.995
水素（原子＋イオン）中の第１励起原子の割合
０
Log(NI/NH)
Log(NI１/NI )
－５
Log(NI１/NH)
－１０
スペクトル型
Ｍ
Ｋ
Ｇ
Ｆ
Ａ
Ｂ
－１５
３．５
ｌｏｇＴ
３．６
３．７
３．８
３．９
４．０
４．１
４．２
４．３
４．４
４．５
Ｈβ
Ｈβ
Ｈα
Ｈα
Ｈ．３．電子の供給源
恒星大気の温度が高い時には、大量に存在する水素の電離が自由電子の供給
源となる。しかし、低温になると水素の電離度が下がり、電子を供給できなくなる。
そうすると、存在比は水素より小さいが電離エネルギーが小さくて電離しやすい
アルカリ金属が電子供給の役割を担うようになる。
種族ＩＩの星のように低金属量の星では低温でも依然として水素の役割が大きい。
高温大気
低温大気
水素イオン
水素原子
水素
電子
アルカリ
金属
アルカリ金属イオン
アルカリ金属、Li, Na, K, Sc,..、電離エネルギーが低い。
存在比は小さいが、電離しやすいので、Te < ５000 K (Ｋ型より晩期 ) では
ＫとNa が電子の主な供給源である。
電離エネルギー
30
He
電離エネルギー
25
Ne
20
Ar
15
H
10
B
5
Li
Na
Al
K
0
0
5
10
15
原子番号
20
25
30
そこで、簡単なモデルで大気中の電子がどのくらい存在するかを調べてみよう。下
図の実線は主系列星大気の典型的な（τ≒０．６）ガス圧である。
電子供給源として、水素ＨとナトリウムＮａのみを考え、それぞれが独立に電子を出
した時どこで役割が入れ替わるかを計算してみる。元素組成は、ＮＨ：ＮＨｅ：ＮＮａ＝
１：０.１：２×１０－６とする。
５
主系列星大気のガス圧 Pg の
表面温度 Te による変化
ｌｏｇ１０Ｐｇ
（erg/cm3）
４
３
３．６
３．８
４．０
４．２
ｌｏｇ１０Ｔｅ(K)
４．４
水素が電子供給源の場合
ＰＨ＝ＰＨＩＩ＋ＰＨＩとおくと、
ＰＨｅ＝０．１ＰＨ
Ｐｅ＝ＰＨＩＩ
Ｐｇ＝Ｐｅ＋１．１ＰＨ
なので、
したがって、ＰＨＩ＝ＰＨ－Ｐｅ＝（Ｐｇ－Ｐｅ）/１．１－Ｐｅ＝（Ｐｇ－２．１Ｐｅ）/１．１
圧力で書いたサハの式は、Ｐｇ＝Ｐｅ＋ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ＋ＰＨｅを用いると、
PePHII
1.1 Pe2
68534
log10
 log10

 2.5 log10 T  0.48  A
PHI
Pg  2.1Pe
T
前ページのグラフとＰｇ＝Ｐｅ＋ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ＋ＰＨｅから上の式を解くと、
温度
Ｐｇ(erg/cm3)
A
Ｐｅ (erg/cm3)
４０００
100000
2.450×１０－9
0.015
５０００
85000
1.144×１０－５
0.94
６０００
62000
3.478×１０－３
14.0
７５００
17000
1.170
134.4
１００００
1300
462.4
419.6
２５０００
1900
5.929×107
904.7
ＮＨＩ
電子がＮａから供給されるとき
Ｎａの電離エネルギーは５.１４ｅＶと低い。Ｎａ存在比が低いので、ＰｇへのＰｅの
影響は考えなくてよい。したがって、ＰＮａ＝ＰＮａＩ＋ＰＮａＩＩとし、
ＰＮａ＝Ｐｇ×２×１０－６/１.１
ＰＮａＩＩ＝Ｐｅ
ＰＮａＩ＝ＰＮａ－Ｐｅ
に注意して、サハの電離平衡の式をＮａに対して書くと、
PePNaII
Pe2
25905
log10
 log10

 2.5 log10 T  0.48  B
6
PNaI
1.8210 Pg  Pe
T
Pg(erg/cm3)
Ｂ
４０００
100000
111.9
0.182
0.182
５０００
85000
3858
0.155
0.155
６０００
62000
44450
0.113
0.113
７５００
17000
567100
0.031
0.031
１００００
1300
8.501×１０６ 0.0023
0.0023
２５０００
1900
3.011×10９
0.0034
T
ＰＮａ (erg/cm3)
0.0034
Pe (erg/cm3)
どの場合もＮａが完全電離としての解、Ｐｅ＝ＰＮａ＝Ｐｇ×２×１０－６/１.１
結局、Ｔ＜４５００ＫではＮａ
Ｔ＞４５００ＫではＨが電子の供給源となっていることが分かった。
２
１
ｌｏｇ１０Ｐｅ
（erg/cm3）
０
－１
－２
Ｈ起源の
電子圧
－３
３．６
３．８
Ｎａ起源の電子圧
４．０
４．２
ｌｏｇ１０Ｔｅ(K)
４．４
Ｈ．４．一般の原子の電離
Ａ＋＋ｅ－Ａ＝０ (I=inization energy)
質量作用の法則まで戻ると、
ａ１＝１
ａ２＝１
ａ３＝－１
ｎ（Ａ＋）ｎ（ｅ）／ｎ（Ａ）＝[ｎＱ（Ａ＋）ｎＱ（ｅ）／ｎＱ（Ａ）][Ｚ（Ａ＋）Ｚ（ｅ）／Ｚ（Ａ）]
イオンと原子の質量はほぼ等しいので、ｎＱ（Ａ＋）＝ｎＱ（Ａ）
電子のスピン上向き、下向きの２状態を考えるので、Ｚ（ｅ）＝２。
自由電子とイオンの内部エネルギーをそれぞれ０とする。すると、中性原子
の内部エネルギーは ‐Ⅰ となる（基底状態のみ考えている）。Ⅰは電離
エネルギー。Ｚ（Ａ＋）＝ｕ（Ａ＋）、Ｚ（Ａ）＝ｕ（Ａ）exp(I/kT)
ｕ（Ａ＋）＝ｇ０＋ｇ１ｅｘｐ（－Ｅ１／ｋＴ）＋ｇ２ｅｘｐ（－Ｅ２／ｋＴ）+….
結局、
ｎ（Ａ＋）ｎ（ｅ）/ｎ(Ａ) ＝[u（Ａ＋）２／u（Ａ）]（2πｍekT/ｈ２）３/２ exp(‐I/kT)
天文ではＰｅ（電子圧）を与えて計算する例が多い。
Ｐｅ＝ｎ（ｅ）ｋＴを使い、数値を入れて
ｌｏｇ[ｎ（Ａ＋）/ｎ(Ａ) ]
＝ｌｏｇ［ u（Ａ＋）／u（Ａ）］+log 2 +(5/2) log T －ｌｏｇＰｅ－Ⅰ(eV)(5040/T)－0.48
（Ｐｅの単位は erg/cm3）
Negative Hydrogen H‐（水素負イオン）
Ｈ＋ｅ－ H－＝０
Wildt 1939. ApJ, 89, 295.”Electron affinity in Astrophysics”
水素負イオンはⅠ＝０．７５４ｅＶという非常に浅い準位を持つ。したがって、
高温の星の大気には存在しない。Ｇ型より晩期の星では非常に重要な
光の吸収源である。
水素負イオンの束縛状態は、二つの電子がスピン上向き、下向きの両方を
占めるので、総スピン＝０であり、統計重みｇ＝１である。
自由電子と中性水素の内部エネルギーをそれぞれ０とする。すると、Negative
Hydrogen H－（陰性水素とは言わない）イオンの内部エネルギーは ‐Ⅰ となる
（基底状態のみ考えている）。
Ｈ．５．解離平衡
分子雲や晩期型星大気では分子の形成を考慮する必要がある。
Ａ＋Ｂ ⇔ Ｃという分子形成を考えよう。注意すべきは、この反応式は実際
には起きていなくても構わないことである。
水素分子形成を例にとると、H+H＝H2 という反応は直接には起こらず、水素分
子は実際には星間ダストの上で形成されると考えられている。それでも、平衡を
考える際には A, B, C の持つエネルギーの高さだけが問題となる。
化学平衡での A, B, C の数密度ｎA, ｎB, ｎC は質量作用の法則で決まる。
nA  nB nQ, A  nQ, B Z in, A  Z in, B


nC
nQ, C
Z in, C
2 mA kT 
h3
3
2

2 mB kT  2

3
2 mC kT  2
h3
3
数密度ｎから圧力 P ＝ｎｋTの表示に変えると、

Z in, A  Z in, B
Z in, C
h3
 2 mA mB kT  3 2 Z in, A  Z in, B
PA  PB nA kT  nB kT
　

 kT 
2
PC
nC kT
h mC
Z in, C


3
Z in, A  Z in, B
5
 2 M  2
2
  2   kT  
 K P (T )
Z in, C
 h 
宇宙標準組成比では原子数の比は、Ｈ：Ｃ：Ｏ＝１：０.３６ ×１０－３：０.８５×１０－３
したがって通常のＭ型星の大気中には、OがCの約２倍存在する。M型星大気の
温度は４０００K以下であり、このように低い温度ではCOが安定な分子種である。
COの乖離エネルギーはDCO=11.1eVと大きいことが原因である。
このため、ＣはＣＯとして消費されつくす。後に残るＯがＯＨやＨ２ＯのOが入った分
子を作る。
炭素星ではＣ：Ｏ比が逆転している。炭素星ではCOとして消費されつくすのはOで
残ったＣがＣ２やＣＨを作る。
このように、M型星とC型星では大気中に形成される分子の種類が異なり、それは
スペクトルの形に大きく影響している。
例：Ｇ－Ｋ－Ｍ型星の大気組成
Ｈ，Ｃ，Ｏが全て原子であったと仮定した時の仮想圧力をＰHO、ＰCＯ、ＰOＯ、
とする。ＰCＯ、ＰOＯ＜＜ＰHＯである。
与えられた、ＰHＯ、ＰCＯ、ＰOＯとＴに対し、ＰＨ、ＰＣ、ＰＯ、ＰＨ２、……ＰＨ２Ｏを
決める問題を考えてみよう。
ＰＨ０＝１０００，ＰＣ０＝０．５，ＰＯ０＝１ｅｒｇ/ｃｍ３
ＰＨ２＝ＰＨ２/ＫＨ２
ＰＯＨ＝ＰＨ＋２ＰＨ２＋ＰＯＨ＋ＰＣＨ＋２ＰＨ２Ｏ
ＰＯ２＝ＰＯ２/ＫＯ２
ＰＯＣ＝ＰＣ＋２ＰＣ２＋ＰＣＨ＋ＰＣＯ
ＰＣ２＝ＰＣ２/ＫＣ２
ＰＯＯ＝ＰＯ＋２ＰＯ２＋ＰＯＨ＋ＰＣＯ＋ＰＨ２Ｏ
ＰＯＨ＝ＰＯＰＨ/ＫＯＨ
ＰＣＨ＝ＰＣＰＨ/ＫＣＨ
ＰＣＯ＝ＰＣＰＯ/ＫＣＯ
ＰＨ２Ｏ＝ＰＯＨＰＨ/ＫＨ２Ｏ
求める未知数はＰＨ、ＰＯ、ＰＣ、ＰＨ２、ＰＯ２、ＰＣ２、ＰＯＨ、ＰＣＯ、ＰＣＨ、ＰＨ２Ｏの１０個
である。高温では原子優勢、低温ではＨ２とＣＯ、Ｈ２Ｏが大量にできる。
ｌｏｇ１０Ｋｐ（Ｔ）を下の表に示す。Ｋｐ（Ｔ）の単位はdyn/cm2である。
COに対するＫｐ（Ｔ）が小さいことに注意せよ。
Ｔ
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
4,000
5,000
6,000
Ｈ２
-11.09
-3.56
0.42
2.82
4.40
6.36
7.70
8.48
Ｏ２
-13.32
-4.79
-0.13
2.35
4.11
6.27
7.71
8.59
Ｃ２
-18.54
-8.48
-2.87
-0.04
2.04
4.61
6.31
7.29
ＯＨ
-11.05
-3.65
0.21
2.61
3.95
5.94
6.44
8.16
ＣＨ
-6.53
-0.67
2.26
4.31
5.55
7.06
8.14
8.76
ＣＯ
-42.98
-24.74
-14.33
-9.43
-5.67
-0.89
2.12
3.92
Ｈ２Ｏ
-13.61
-5.05
-0.53
2.17
3.95
6.13
7.62
8.46
Ｃ
Ｆ１＝ＰＨ２ーＰＨ２/ＫＨ２、F2＝ＰＯ２ーＰＯ２/ＫＯ２、…、
F10=ＰＯＯー（ＰＯ＋２ＰＯ２＋ＰＯＨ＋ＰＣＯ＋ＰＨ２Ｏ）とするとき、
ある温度Tで与えられたＫＨ２、ＫＯ２、…、ＰＯOに対して、
F1=0, F2=0, … F9=0, F10=0となるＰＨ、ＰＯ、ＰＣ、．．．ＰＣＨ、ＰＣＯ、ＰＨ２Ｏ
を求める問題である。
１０変数の連立式なので、一般には、
（１）適当な初期値からスタートして、
（２）ヤコビ行列の逆行列を作り、
（３）F1=0, F2=0, … F9=0, F10=0が満たされるまで、ＰＨ、ＰＯ、．．．ＰＨ２Ｏを
変えていくのだが、逆行列がうまく求まらない場合があるので注意が必要。
例えば、ＰＨ、ＰＯ、ＰＣのみを独立変数と考え、残りの分圧は平衡式から厳密
に求め、F8＝０, F9＝０, F10=0 を満たすＰＨ、ＰＯ、ＰＣを探す方法などもある。
解離平衡　Po(H)=1000、Po(O)=１, Po(C)=0.5　（dyn/cm2)
4
2
H2
O2
C2
OH
CH
CO
H2O
H
O
C
log P(dyn/cm2)
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
1000
2000
3000
4000
温度（K)
5000
6000
Ｈ．６．散光星雲の輻射過程１
電離水素
ｈν＞ｈνＯ＝１３.６ｅＶの
フォトンを電離フォトンと呼ぶ。
ｈν
基底状態の水素
電離フォトンの放出数　P（個/秒）
50
49
log P
高温度星
48
47
46
O5
O6
O7
O8
O9
O9.5
スペクトル型
B0
B0.5
散光星雲の輻射過程２
光電離
ｈν
ｅ
Ｈ
ｐ
再結合
ｈν
散光星雲の輻射過程３
光電離
特にσ１（ｎ＝１から自由状態への光吸収）が重要。
ＮＨ：ｎ＝１状態のＨ数密度
Ｉν（ｒ）＝ＩνＳ（ｒ）＋ＩνＤ（ｒ）
Ｎｅ：電子数密度
ＩνＳ（ｒ）：星からの輻射
Ｎｐ：プロトン数密度
ＩνＤ（ｒ）：星雲内の発光輻射
Ｊν（ｒ）＝ＪνＳ（ｒ）＋ＪνＤ（ｒ）ＪνＳ（ｒ）：星からの平均輻射強度
ＪνＤ（ｒ）：星雲内の発光平均輻射強度
Ａ：光電離レート（回/ｃｍ３/ｓｅｃ）
Ｐｈｏｔｏｉｏｎｉｚａｔｉｏｎ
Ａ＝ＮＨ∫νＯ∞ （４πＪν/ｈν） σ１νｄν
σ１ν ＝６×１０－１８（νｏ / ν）３ｃｍ２
再結合
Ｒ：再結合レート（回/ｃｍ３/ｓｅｃ）
Ｒ＝ＮｐＮｅα（Ｔ）
Ｒｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ
α＝再結合係数（ｒｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ）
散光星雲の輻射過程４
再結合
α＝
α１
αＢ
＋
free
free
ｎ＝
３
２
Ｈν＜ｈνｏ
ｈν＞ｈνｏ＝１３.６ｅＶ
１
Ｔ（Ｋ）
α(cm3sec-1)
α１
αＢ
５,０００
6.82 ×10-13
2.28 ×10-13
4.54 ×10-13
１０,０００
4.18 ×10-13
1.58 ×10-13
2.60 ×10-13
２０,０００
2.51 ×10-13
1.08 ×10-13
1.43 ×10-13
散光星雲の輻射過程５
ｈν＝１３．６ｅＶのフォトンが星間雲中をどのくらい動けるか考えよう。
平均自由行程＝Ｌ、水素原子密度＝Ｎとすると、Ｌｙｍａｎ連続吸収端で
σ＝６×１０－１８ｃｍ２だから、τ＝ＮσＬ＝１より、
Ｌ＝１/Ｎσ＝１．６×１０１９ｃｍ－２ /Ｎ＝５．４×１０－３（１０３ｃｍ－３/Ｎ）ｐｃ
高温天体（Ｏ型星や惑星状星雲）の周りの星雲（半径Ｒ）の密度が高いと、
Ｌ＜＜Ｒとなる。このような星雲での電離、再結合を考える。
平均輻射強度Ｊν ＝（Ｆν /４π）＋Ｓν
Ｆν /４π＝中心星からの電離フォトン
Ｓν ＝星雲内再結合で生み出された電離フォトン
（１）光電離率＝再結合率（Ａ＝Ｒ）
ＮＨ∫νＯ∞ （４πＪν/ｈν） σ１νｄν＝ＮｐＮｅα（Ｔ）
（２）星の電離フォトンの吸収率＝再結合線の脱出率
散光星雲の輻射過程６
（２）続き
光電離
自由電子
星の電離フォトン
α＝ α１＋ αＢ
ｎ＝１
αＢ
再結合
非電離フォトン
α１
星雲から脱出
電離フォトン
その場で吸収
ガス密度の高い星雲では、電離フォトンのＬ＜＜Ｒであり、α１（自由電子→ｎ＝１への
再結合）で放出された電離フォトンは直ちに吸収されて光電離を起こす。
αＢ（自由電子→ｎ＝2，３, ．．への再結合）で放出された非電離フォトンは吸収されず
星雲から逃げ出す。
上の図から判るように、星からの電離フォトンの吸収＝αＢ再結合の必要がある。
散光星雲の輻射過程７
（２）続き（星の光）
中心星からのフラックス＝Ｌν、電離フォトンフラックス= Ｐ（個/ｓｅｃ）とする。
τν （Ｒ）＝τｏ（ν/νｏ）－３＝中心からの光学深さ
τｏ（Ｒ）＝∫０ＲＮＨ（ｒ） σ０ｄｒ
Ｆν（Ｒ）＝Ｌνｅ－τν /（４πＲ２）
前ページの、
星からの電離フォトンの吸収＝αＢ再結合、
を式にすると、
ＮＨ∫σν（Ｌν /ｈν）ｅ－τν /（４πＲ２）ｄν＝ＮｐＮｅαＢ
例：Ｏ型星周囲の電離
Ｏ型星（電離フォトン放出率 P＝１０４９/ｓｅｃ）の周囲Ｈ密度N=Np+ＮH ＝１０４/ｃｍ３、ガ
ス温度 T ＝１０，０００Ｋをとる。
NH=ξN, Np=Ne=(1-ξ)Nとする。
星からＲ＝１ｐｃ（３．０８×１０１６ｃｍ）離れた点での電離フォトンの個数フラックスは、
∫νＯ∞ （４πＪν/ｈν）ｄν＝１０４９ /ｓｅｃ/４π（３．０８×１０１８ｃｍ）２＝８．４ ×１０１０/ｃｍ２ /ｓｅｃ
光電離レートＡ＝１０４ξ ８．４ ×１０１０６×１０－１８＝５ ×１０－３ξ （回/ｃｍ３/ｓｅｃ）
再結合レートＲ＝ＮｐＮｅα＝ (1-ξ) ２１０８ 4.18 ×10-13 （回/ｃｍ３/ｓｅｃ）
Ａ＝Ｒから、 ξ＝８×10-３＜＜１
その時、ｈν＝１３．６ｅＶのフォトンの平均自由行程Ｌは、
τ＝ＮH σ１νＬ＝１より、Ｌ＝１/（１０４×６×１０－１８）＝１．６×１０１３ｃｍ＜＜Ｒ
レポート問題Ｈ
出題１１月２７日
提出１２月１１日
レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。
Ｈ．１．宇宙の物質を水素のみと仮定する。
水素原子の数密度＝NI
NH＝ NI ＋ NII
水素イオン数密度＝NII＝Ｎｅ＝電子の数密度
電離度＝Ｘ＝ NII / NＨ
熱平衡を仮定し、サハの式を用いて
縦軸： 0 < log T(K) < 8
横軸： -10 < log NH （ｃｍ－３）< 30
の面内に、Ｘ＝０．９９９９, ０．５, ０．０００１のラインを引け。
Ｈ．２．現在の宇宙輻射の温度To＝2.7K、水素原子数密度 No=５×１０－７ｃｍ－３
とする。ビッグバン宇宙の進化経路は、スケールパラメター＝a として、
T=To/a、 NH ＝ No /a3 で表される。Ｈ．１のグラフ上に進化経路を引き、
Ｘ＝0.5 となるときの温度Ｔ１をグラフから求めよ。
Ｈ．３．Ｘ＜０．５の中性原子領域では電子による光散乱が効かなくなり、ガスは輻
射と切り離される（decoupling）。この領域ではガス温度ＴｇはＴｇ∝ａ－２で変
化する。Ｈ．１の図にdecoupling後のガス温度の変化を書き込め。

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