形式言語とオートマトン2008 ー第4日目？ー

Formal languages
and
Automata 2013
ーThe 8th Dayー
Tokyo University of Technology
School of Computer Science
Hiroyuki Kameda
そろそろ折り返し地点に差し掛かります。
がんばりましょう！
前回までの確認
• 有限オートマトン(FA)
– FAの定義と記述法
テープ上を一方向に動くヘッド
（テープ上の記号を順次読みながら内部状態を遷移）
M = <K, Σ, δ, q0, F> （５つ組）
状態遷移図
様相（configuration）
– FAの種類
決定性FA（DFA）
非決定性FA（ε遷移のあるものとないもの）
– 言語認識能力はどのFAでも同じ。
正規言語（正規表現）を認識
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有限オートマトンの表現(1)
• FAの概観
a1 a2
セル
入力記号
・・・
ai-1 ai
・・・
・・・
an
qk
入力テープ
ヘッド
内部状態形式言語とオートマトン2013
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有限オートマトンの表現(2)
FA = ( K, Σ, δ, q0, F )
ただし、
K ：状態の集合( Kは有限集合)
Σ ：入力アルファベット（Σは有限集合）
δ ：状態遷移関数
δ： K×Σ∋( a, qi ) → qj ∈ K
q0 ：初期状態
F ：最終状態の集合 ( F ⊆ K )
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有限オートマトンの表現(2’)
K = { r, s, t} ,
q0 = r,
δ ：
状態
r
r
s
s
t
t
Σ= { a, b },
F
={ t },
入力次の状態
a
s
b
r
a
t
b
r
a
t
b
r
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有限オートマトンの表現(3)
a
r
b
a
s
b
b
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t
a
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前回までの確認（２）
•
正規表現を認識するFAの存在とその構成法
正規表現αが与えられる。
正規表現αに対して、ε-NFA を構成する。
ε-NFA をDFAに書き換える。
DFAを状態数が最も少ない最簡形のDFA
(Min-DFA)に書き換える。
5. Min-DFAをシミュレートするプログラムを作成する。
1.
2.
3.
4.
（注）上記５の説明および、最簡形DFA存在とその求め方の
妥当性の根拠は，Myhill-Nerodeの定理により与えられる。
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前回までの確認（３）
• Pushudown automaton(PDA)
– スタックの定義
データ構造：
・配列（またはアレイ）
・リスト
・スタック
・キューなど
スタックの構造と動作（pop-up と push-down）
LIFO (Last-In First-Out) 型のメモリ
– PDAの定義と記述法
テープ上を一方向に動くヘッド＋スタックメモリ
（テープの記号を順次読み、スタック上の記号を順次
読み書きしながら内部状態を遷移）
M = < K, Σ, Γ,δ, q0, Z0, F > （７つ組）
状態遷移図
様相（configuration）
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前回までの確認（４）
スタックとPDAのイメージ図
Push down
Pop up
LIFO (Last In First Out)
最後に入れたものが最初に取り出される。
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PDAのイメージ
形式言語とオートマトン2013
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前回までの確認
• Pushdown automaton (PDA)
– PDAの種類
決定性プッシュダウンオートマトン
Deterministic pushdown automaton (DPDA)
非決定性プッシュダウンオートマトン
Nondeterministic pushdown automaton (NPDA)
– 言語認識能力はNPDAの方が高い。
FAは正規言語（正規表現）を認識
NPDAは文脈自由言語を認識
DPDAよりもNPDAの方が言語認識能力大
（注）“言語”そのものの話は後日お話します。
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今日の内容
• チューリングマシン (Turing Machine)
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授業ではこの形式のものを扱います
形式言語とオートマトン2013
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TMの定義
• TM M ＝ < Q, Γ, Σ, δ, q0, B, F > (7つ組)
–
–
–
–
Q:内部状態の集合
Γ：テープ記号の集合
Σ：入力記号の集合 ( Σ⊂ Γ )
δ：状態遷移関数
Q×Γ → Q×Γ×{ L, R }
– q0 ：初期状態 ( q0 ∈ Q)
– B:ブランク記号 ( B ∈ Γ – Σ)
– F:最終状態の集合 ( F ⊂ Q )
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TMのイメージ図
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TM の例
•
•
•
•
•
例4.1（教科書p.90）
例4.2（教科書p.95）
例4.3（教科書p.96）
例4.4（教科書p.100）
例4.5（教科書p.106）
これらを順次確認していきましょう。
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例4.1（教科書p.90）
入力文字列
• aa
• aabb
• bbaa
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•aaaabbbb
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様相(Configuration)の導入
• (q0, a1 a2 a3 ・・・ ai-1 ↓ai ai+1・・・ an )
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例4.2（教科書p.95）
M=<Q,Γ,Σ,δ,q0,B,F>
 Q={ q0, q1, q2, q3, qf }
 Σ={ a, b }
 Γ=Σ∪{a’,b’}∪{¢,$,B}
 δ：
δ(q0,a)=(q1,a’,R)
δ(q0,b’)=(q3,b’,R)
δ(q1,a)=(q1,a,R)
δ(q1,b)=(q2,b’,L)
δ(q1,b’)=(q1,b’,R)
δ(q2,a)=(q2,a,L)
δ(q2,a’)=(q0,a’,R)
δ(q2,b’)=(q2,b’,L)
δ(q3,b’)=(q3,b’,R)
δ(q3,$)=(qf,$,L)
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例4.3（教科書p.96）
• 言語 { anbnan | n>=1 } を受理するTM
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例4.3（教科書p.96）
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例4.4（教科書p.100）
• ｛ ww | w ∈ { a, b }+ ｝を受理するTM
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例4.5（教科書p.106）
• 2進数の和を計算するTM
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今日はここまで
•
•
•
•
•
少しずつ復習をしてください。
個々のものは決して難しくはありません。
引き続き頑張りましょう。
来週は理論編ですので，少し難しいです。
来週は演習もやります。
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今日の設問
• ここまでの話で、分かりにくかったものを、分
かりにくかった順にいくつか挙げてください。
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