2001年度経済統計処理講義内容

第6章物価指数
ｰ経済統計ｰ
この章の内容
Ⅰ 物価指数の考え方
a)
b)
個別価格指数
平均指数
ⅰ）単純平均指数
ⅱ）加重平均指数
c) 金額比指数
ⅰ）ラスパイレス指数
ⅱ）パーシェ指数
Ⅱ 数量指数
a)
b)
個別数量指数
平均指数
ⅰ）単純平均指数
c) 金額比指数
ⅱ）加重平均指数
Ⅲ 指数に関するいくつかの検討
a)
b)
c)
フィッシャーのテスト
ⅰ）時点逆転テスト
ⅱ）要素逆転テスト
ラスパイレス指数とパーシェ指数の関係
経済理論との対応
Ⅳ 物価指数の実際
a)
b)
c)
消費者物価指数
ⅰ）データの源泉
ⅱ）基準の改定
ⅲ）作成される指数の種類
企業物価指数、企業向けサービス価格指数
貿易価格指数
Ⅰ 物価指数の考え方
（
例）
100gあたりの肉の値段
牛肉
豚肉
1990年
200円
150円
2000年
240円
160円
とり肉
120円
140円
a) 個別価格指数
牛肉 1990年を基準（100）とすると、2000年は
240
100  120
200
となる。これが2000年の牛肉の価格指数である。
同様に、豚肉は
160
100  106.7
150
とり肉は 140 100  116.7
120
となる。
一般に第i品目の個別価格指数は
pti
100 比較時点の価格（t期）
p0i
と表すことができる。
基準時点の価格（0期）
（
例）
100gあたりの肉の値段
牛肉
豚肉
1990年0期
200円 p01 150円 p02
2000年t期
240円 pt1 160円 pt2
とり肉
120円 p03
140円 pt3
個別価格指数によって、各品目ごとの価格変化はわかった。しかし、
物価を考えるには、全体での価格変化が分からなくてはならないので
は？

b) 平均指数
ⅰ）単純平均指数
各品目の個別価格指数の単純平均を考える。
この例では
120 106.7116.7
 114.1
3
となる。これを和記号（Σ）を用いて表すと
1 n pti
100

n i1 p0i
となる。
＜和記号Σ（シグマ）について＞
n
X
i 1
i
とは、i=1からnまでXiをすべて加えるということである。
n
すなわち、
X
i 1
i
 X1  X 2    X n
単純平均指数は「物価」を表す指数として、自然な発想である。
しかし、次のような問題点がある。
各品目の購入頻度を考慮に入れていない
単純平均指数では高い頻度で購入する野菜の価格変化も、購入する
頻度の低い車の価格変化も、同等に扱ってしまう。
→ この問題の対処法が加重平均指数
ⅱ）加重平均指数
加重平均指数は、各品目の個別価格指数をウエイトをつけて平均した
ものである。
1
 wi
n
pti
wi
100

p0i
i 1
pt1
ptn
1

(w1
  wn
) 100
p0n
 wi p01
加重平均指数では、購入頻度を表すウエイトとしてどのようなものを選
ぶかが問題である。
購入数量をウエイトに用いる。 → 自然な考え方であるが、単位の相
違の問題がある。
（例）牛肉300gとCD5枚を購入した場合、ウエイトとして300, 5とい
う単位の異なる2つを用いることは問題である。
そのため、購入数量は金額換算し、購入金額をウエイトとする。
金額＝価格 × 数量
（piqi）
（pi）
（qi）
c) 金額比指数
「物価」とは、経済全体としての財やサービスの価格である。
基準時と比較時の2つの時点では、平均的な家計†が購入する品目の
パターンは異なる。もしこの2つの時点において、購入する品目のパ
ターンが同じであるとしたなら、2時点間の購入金額の合計の相違は、
各品目の価格変化を原因とするものであり、その比は、2時点間の物価
の比をあらわす。
† 経済全体の購入量を世帯数で割った、算術平均の定義に合致する家計が存
在したとしよう。
基準時の購入金額の合計は
比較時の購入金額の合計は
であり、
p q
p q
0i 0i
ti ti
pq
購入数量を基準時の数量（q0i）で一定としたもの
PL (t )   ti 0i
－ラスパイレス指数
 p0i q0i
購入数量を比較時の数量（qti）で一定としたもの
pq
PP (t )   ti ti
－パーシェ指数
 p0i qti
ⅰ）ラスパイレス指数
ラスパイレス指数は、購入数量を基準時の数量で一定としたときの購
入金額の合計の比であり、
pq

P (t ) 
p q
ti 0i
L
0i 0 i
と表される。
これは、加重平均指数において、wi=p0iq0iとおくと、
1
 p0i q0i
pq


p q
pti
 p0i q0i p0i
ti 0i
0i 0i
となる。すなわち、加重平均指数の1種であり、実際の計算はこの加
重平均の形でおこなわれる。
ⅱ）パーシェ指数
パーシェ指数は、購入数量を比較時の数量で一定としたときの購入金
額の合計の比であり、
pq

P (t ) 
p q
ti ti
P
0i ti
と表される。
これは、
(
pti 1 1
1
p
q
(
) )

ti ti
p0i
 ptiqti
と表すことができる。これは、wi=ptiqtiとした加重調和平均である。
実際の計算は、次のように求めれば良い。
pq

P (t ) 
p
p pq
ti ti
P
0i
ti ti
ti
（
例）
100gあたりの肉の値段と購入金額
牛肉
p0i
1990年価格
200円 p01
購入金額 p0iq0i
1000円 p01q01
0期
購入数量 q0i
pti
2000年価格
t期
購入金額 ptiqti
購入数量 qti
豚肉
150円 p02
600円 p02q02
とり肉
120円 p03
360円 p03q03
500g q01
400g q02
300g q03
240円 pt1
960円 pt1qt1
160円 pt2
960円 pt2qt2
140円 pt3
420円 pt3qt3
400g qt1
600g
qt2
300g qt3
（
例）
100gあたりの肉の値段と購入金額
牛肉
p0i
1990年価格
200円 p01
購入金額 p0iq0i 1000円 p01q01
0期
pti
2000年価格
240円 pt1
購入金額 ptiqti
960円 pt1qt1
t期
豚肉
150円
600円
160円
960円
p02
p02q02
pt2
pt2qt2
ラスパイレス指数
PL (t ) 
1
 p0i q0i
 p0i q0i
pti
p0i
1000120  600106.7  360116.7
1000 600  360
120000 64000 42000

1000 600  360
226000

 115.3
1960

とり肉
120円
360円
140円
420円
p03
p03q03
pt3
pt3qt3
ラスパイレス指数
（
例）
100gあたりの肉の値段と購入金額
牛肉
p0i
1990年価格
200円 p01
購入金額 p0iq0i
1000円 p01q01
0期
購入数量 q0i
pti
2000年価格
t期
購入金額 ptiqti
豚肉
150円 p02
600円 p02q02
とり肉
120円 p03
360円 p03q03
500g q01
400g q02
300g q03
240円 pt1
960円 pt1qt1
160円 pt2
960円 pt2qt2
140円 pt3
420円 pt3qt3
購入数量 qti
400g qt1
600g
qt2
300g qt3
購入数量 q0i
500g q01
400g q02
300g q03
（
例）
100gあたりの肉の値段と購入金額
牛肉
p0i
1990年価格
200円 p01
購入金額 p0iq0i 1000円 p01q01
0期
pti
2000年価格
240円 pt1
購入金額 ptiqti
960円 pt1qt1
t期
パーシェ指数
豚肉
150円
600円
160円
960円
p02
p02q02
pt2
pt2qt2
とり肉
120円
360円
140円
420円
pq

P (t ) 
p
p pq
ti ti
P
0i
ti ti
ti
960  960  420
1
1
1
960
 960
 420
120
106.7
116.7
960  960  420

8  9  3.6
2340

 113.6
20.6

p03
p03q03
pt3
pt3qt3
パーシェ指数
（
例）
100gあたりの肉の値段と購入金額
牛肉
p0i
1990年価格
200円 p01
購入金額 p0iq0i
1000円 p01q01
0期
豚肉
150円 p02
600円 p02q02
とり肉
120円 p03
360円 p03q03
購入数量 q0i
500g q01
400g q02
300g q03
購入数量 qti
400g qt1
600g
300g qt3
240円 pt1
960円 pt1qt1
160円 pt2
960円 pt2qt2
pti
2000年価格
t期
購入金額 ptiqti
購入数量 qti
400g qt1
600g
qt2
qt2
140円 pt3
420円 pt3qt3
300g qt3
Ⅱ 数量指数
a) 個別数量指数
第i品目の基準時の購入数量をq0i、比較時の購入数量をqtiとすると、
個別数量指数は qti となる。
b) 平均指数
q0i
ⅰ）単純平均指数
1 qti
個別の数量指数を単純平均したもの 
n q0i
ⅱ）加重平均指数
加重平均指数は、各品目の個別数量指数をウエイトをつけて平均した
ものである。
qti
1
w

i
w
q0i
 i

q
q
1
(w1 t1   wn tn )
q0n
 wi q01
数量指数においても、購入金額をウエイトとすることが考えられる。
c) 金額比指数
基準時と比較時の2つの時点において、すべての品目の価格が同じ
であるとしたなら、2時点間の購入金額の合計の比は、2時点間の購入
数量の比をあらわす。
価格を基準時の価格（p0i）で一定としたもの
－ラスパイレス数量指数
p q

Q (t ) 
p q
0i ti
L
0i 0 i
価格を比較時の価格（pti）で一定としたもの
－パーシェ数量指数
pq

Q (t ) 
p q
ti ti
P
ti 0i
Ⅲ 指数に関するいくつかの検討
a) フィッシャー(Fisher)のテスト
物価指数が満たすべき基準として、フィッシャーはいくつかのものを設定
した。その中の代表的なものが次の2つである。


時点逆転テスト－基準時と比較時を逆転しても矛盾しない
要素逆転テスト－価格と数量を逆転しても矛盾しない
ⅰ）時点逆転テスト
1990年基準指数
2000年基準指数
1990年 2000年
100
125
100
80
1990年を基準としたとき、2000年に125となる指数があったとする。
この指数について2000年を基準とした指数を作成しなおすことを考え
てみよう。
5
この指数は2000年は1990年の 4 倍となっている。したがって、
2000年を基準とした指数では、1990年は2000年の 4 倍の80となる
5
はずである。
これが基準時と比較時の逆転である。
時点逆転テストはこれが成り立つかどうかをテストするものであり、基
準時と比較時を逆転した指数を考え、元の指数とかけあわせたものが
1になるかどうかで判断する。
p p
（たとえば個別価格指数を考えると ti  0i  1 となってこのテストを
p0i pti
満たしている）
＜ラスパイレス指数の場合＞
PL (t )  P
R
L
pq
p q


(t ) 

p q p q
ti 0i
0i ti
0 i 0i
ti ti
1
基準時と比較時を逆転した指数
ラスパイレス指数は時点逆転テストを満たさない。
＜パーシェ指数の場合＞
PP (t )  P
R
P
p q p q

(t ) 

p q p q
ti ti
0i 0 i
0i ti
ti 0i
1
基準時と比較時を逆転した指数
パーシェ指数は時点逆転テストを満たさない。
ラスパイレス指数、パーシェ指数ともに時点逆転テストを満たさない。
ラスパイレス指数とパーシェ指数を幾何平均したものを考える。（これ
をフィッシャー指数という。）
PF (t )  PL (t )  PP (t ) 
p q  p q
p q p q
ti 0i
ti ti
0i 0i
0i ti
＜フィッシャー指数の場合＞
PF (t )  P (t ) 
R
F
p q  p q
p q p q
ti 0i
ti ti
0i 0i
0i ti

p q p q
p q p q
0i ti
0i 0i
ti ti
ti 0i
基準時と比較時を逆転した指数
フィッシャー指数は時点逆転テストを満たす。
=1
ⅱ）要素逆転テスト
基準時と比較時の購入金額の合計の比を考えると
pq
M (t )   ti ti
 p0i q0i
である。この金額の変化には、価格の変化と数量の変化の両方が含
まれるが、価格指数P(t)と数量指数Q(t)を考えると、
M(t) = P(t)×Q(t)
という関係が成り立つことが望ましい。この関係を金額条件という。
価格と数量の役割を逆転したものは、価格指数と数量指数であるが、
要素逆転テストはこれらに矛盾がないということを、金額条件が満たさ
れるかどうかによって判断するものである。
（たとえば個別価格指数と個別数量指数を考えると
pti qti
pti qti


p0i q0i p0i q0i
となってこのテストを満たしている）
＜ラスパイレス指数の場合＞
pq
p q


P (t )  Q (t ) 

p q p q
L
ti 0i
0i ti
0i 0 i
0i 0i
L
pq


p q
ti ti
0i 0 i
ラスパイレス指数は単独では要素逆転テストを満たさない。
＜パーシェ指数の場合＞
p q p q

P (t )  Q (t ) 

p q p q
P
ti ti
ti ti
0i ti
ti 0i
P
pq


p q
ti ti
0i 0i
パーシェ指数は単独では要素逆転テストを満たさない。
ただし、次のような組み合わせを考えることができる。
＜ラスパイレス価格指数－パーシェ数量指数の場合＞
pq
pq


P (t )  Q (t ) 

p q p q
L
ti 0i
ti ti
0i 0i
ti 0i
P
pq


p q
ti ti
0i 0 i
要素逆転テストを満たす。
＜パーシェ価格指数－ラスパイレス数量指数の場合＞
p q p q

P (t )  Q (t ) 

p q p q
P
ti ti
0i ti
0i ti
0i 0i
L
要素逆転テストを満たす。
pq


p q
ti ti
0i 0 i
ラスパイレス指数、パーシェ指数ともに単独では要素逆転テストを満た
さない。では、単独でこのテストを満たす指数はないであろうか？
＜フィッシャー指数の場合＞
PF (t )  QF (t ) 

p q  p q  p q  p q
p q p q p q p q
( p q )
pq


( p q )
p q
ti 0i
ti ti
0i ti
ti ti
0i 0i
0i ti
0i 0i
ti 0i
2
ti ti
ti ti
2
0i 0i
0i 0i
フィッシャー指数は要素逆転テストを満たす。
なお、フィッシャー数量指数はラスパイレス数量指数とパーシェ数量指
数の幾何平均であり、
QF (t )  QL (t )  QP (t ) 
である。
p q  p q
p q p q
0i ti
ti ti
0i 0i
ti 0i
b) ラスパイレス指数とパーシェ指数の関係

ボルトキヴィッチの関係式
s p sQ
PP (t )  PL (t )
r
PL (t )
PL (t ) QL (t )
sP －個別価格指数の標準偏差
sQ －個別数量指数の標準偏差
r －個別価格指数と個別数量指数の相関係数
いう関係式が成り立つ。
通常、価格が上昇した物の購入数量は相対的に小さくなるので、r<0
となる。
PL(t), PQ(t), sP, sQ のいずれも＋であることから、通常の場合
PP (t )  PL (t )
 0  PP (t )  PL (t )
PL (t )
となり、ラスパイレス指数はパーシェ指数より大きくなる。
また、通常、個別品目の価格変化や数量変化のちらばりは、時間の
経過とともに大きくなるので、sP, sQ は時間の経過とともに大きくなる。
したがってラスパイレス指数とパーシェ指数のズレは時間の経過ととも
に大きくなる。
⇒ パーシェ・チェックの必要性
＜日本の消費者物価指数＞
日本の消費者物価指数はラスパイレス指数により算出されている。
ラスパイレス指数のメリットには、ウエイト（購入金額）に基準時の1時
点のみを用いればよいことがある。
（パーシェ指数は各比較時点ごとのウエイト(購入金額)を用いなくては
ならない。）
ラスパイレス指数
基準時
比較時1
比較時2
比較時3
p0i
pti
pti
pti
p0iq0i
パーシェ指数
p0i
pti
pti
pti
ptiqti
ptiqti
ptiqti
5年に1度の基準改定の時にパーシェ・チェックをおこない、ラスパイレ
ス指数の信頼性を確認している。
c) 経済理論との対応
ミクロ経済学で用いられる効用理論の観点から物価指数を考えてみる。
x2
Qt
Q0
x1
x1,x2の2財のみからなる市場を
考える。
基準時の所得をy0とすると、消費
者は予算制約の範囲内で効用を
最大化しようとするので、
y0=p01x1+p02x2
となるように購入量を決める。
この解がQ0(q01,q02)である。
同様に比較時の所得をytとすると、 yt=pt1x1+pt2x2の解が比較時の
購入数量Qt(qt1,qt2)となる。
「真の指数」＝同じ効用を得るために必要な金額の比
と定義する。
比較時の価格体系のもとで、基準
時と同じ効用を得るためには、
Qt*(qt1*,qt2*)
という購入数量をとればよい。
したがって、このとき真の指数は
x2
Qt
Qt*
Q0*
Q0
I0
となる。
pq


p q

ti ti
0i 0 i
x1
同様に基準時の価格体系のもとで、比較時と同じ効用を得るためには、
Q0*(q01*,q02*) という購入数量をとればよい。
このとき真の指数は
It
となる。
pq


p q
ti ti

0i 0i
Qt*とQ0を比較する。
Q0はQt*の接線の右上方にあるこ
とから、比較時の価格体系であれ
ばQ0を購入する際の予算は、
Qt* を購入する際の予算より大き
くなる。よって、
x2
Qt
Qt*
Q0*
Q0

p
q
 ti ti   ptiq0i
x1
pq


p q

ti ti
pq


p q
ti 0i
0i 0i
 I 0  PL (t )
0i 0i
となる。
同様にQ0*とQtとを比較すると、QtはQ0*の接線の右上方にあること
から、基準時の価格体系であればQtを購入する際の予算は、 Q0* を
購入する際の予算より大きくなる。よって、
となる。
 p q   p0i qti

0i 0i
pq


p q
ti ti

0 i 0i
pq


p q
ti ti
0i ti
 It  PP (t )
以上のことから、
I0<PL(t)
ラスパイレス指数は真の指数I0の上限
PP(t)<It
パーシェ指数は真の指数Itの下限
I0とIt の大小関係がわからないことから、ラスパイレス指数とパー
シェ指数の大小関係を直接導くことはできないが、効用関数が一定とい
う条件をつければ、 I0 = It となる。その場合にはラスパイレス指数と
パーシェ指数がそれぞれ真の指数の上限と下限ということになる。
Ⅳ 物価指数の実際
おもな物価指数

消費者物価指数（総務省統計局）
企業物価指数、企業向けサービス価格指数（日本銀行）

貿易価格指数(財務省関税局)

a) 消費者物価指数（Consumer Price Index）
平均的な世帯が日常購入する財・サービスの価格の動き
をとらえた指数
 ラスパイレス指数で算出
 5年ごとにウエイトの改定(現在は平成22年(2010年)基
準)をおこない、過去の指数との接続をおこなう。
 基準改定の際、パーシェチェックによって指数の妥当性の
検討をおこなう。

ⅰ) データの源泉
PL (t ) 
 p0i q0i
p
pti
p0i
q
0i 0i


ウエイト－家計調査平成22年平均1か月間の1世帯当たり品目別
消費支出金額(2人以上世帯)
価格－小売物価統計調査(基幹統計)
全国約26000店舗・事業所（価格の調査、各地区内の販売数量
または従業者規模等の大きい店舗の
順に、価格取集数に応じた店舗を選定）
約25000民営借家世帯(家賃の調査)
約530旅館(宿泊料の調査)
⇒ 588品目を指数に採用
※ 指数に採用される品目は、各品目への支出が消費支出全体の1
万分の1以上が目安になっている。
ⅱ) 基準の改定
物価指数は5年に1度†基準の改定がおこなわれる。
基準改定とは、家計消費の変化に対応して、指数採用品目の改廃、ウエ
イトの変更などをおこなうことである。
基準改定時に、過去の指数は新しいウエイトで再計算すべきであるが、
採用品目の改廃などがあるため、非常に困難であり、指数の接続という
方法が用いられる。
1995年を基準とした場合、1998年
1995年
1998年
2000年
は102.5、2000年は101.5であった。
100(基準時)
102.5
101.5
98.5
101.0
100(基準時) 2000年の基準改訂の際にこれらを
接続するには、それぞれの数字を101.5で割れば良い。1998年であれ
ば 102.5÷101.5×100=101.0となり、1995年であれば
100÷101.5×100=98.5となる。

※ ラスパイレス指数は時点逆転テストを満たさないため、理論的にはこ
のような接続は正しくないが、実際上使わざるをえない。
† 5年に1度では、消費構造の変化に対応しきれない面があるので、中間
年における品目・ウエイトの見直しをおこなった。2008年1月に一部改変
(第3のビールの追加、ブラウン管型テレビの統合など)された。
ラスパイレス指数で計算される消費者物価指数が妥当であるかどうか
を、パーシェ・チェックによって検証する。
パーシェ・チェックは次のような式である。

PP (t )  PL (t )
PL (t )
年次
昭和45年(40年基準)
昭和50年(45年基準)
昭和55年(50年基準)
昭和60年(55年基準)
平成2年(60年基準)
平成7年(H2年基準)
平成12年(H7年基準)
平成17年(H12年基準)
平成22年(H17年基準)
総合指数(持家の帰属家賃を除く)
ラスパイレス指数(L)
パーシェ指数(P)
130.4
126.0
172.4
171.0
137.2
134.6
114.4
113.3
106.2
105.5
106.4
106.2
101.0
99.9
97.3
94.9
99.7
93.1
（P-L)/L
-3.4
-0.8
-1.9
-1.0
-0.7
-0.2
-1.1
-2.5
-6.6
ⅲ) 作成される指数の種類
＜連鎖指数＞
0期を基準時とし、t期を比較時とする物価指数をI0,tとあらわすと、連
鎖指数は
I0,1×I1,2×・・・×It-1,t
というように、前年のウエイトを使う指数を順次接続していく。
この指数は消費構造の変化に速やかに対応することができる。（ただ
し、ウエイトを毎年求める労力がかかる）
実際のデータを見ると、ラスパイレス指数による消費者物価指数と、
連鎖指数との差はあまりない。
b) 企業物価指数（Corporate Goods Price Index）、
企業向けサービス価格指数（Corporate Service Price Index）



企業物価指数は企業間で取引される商品の価格をとらえた指数
企業向けサービス価格指数は企業間で取引されるサービス（商品輸送など）
の価格をとらえた指数であり、企業物価指数と対をなしている。
ともにラスパイレス指数で算出
＜企業物価指数＞
2000年基準への改定(2002年12月公表分)において、卸売物価指数
（Wholesales Price Index）から名称変更
企業物価指数
国内企業物価指数（910品目）
輸出物価指数（222品目）
輸入物価指数（293品目）
国内企業物価指数は生産者、1次卸、2次卸の中で価格決定に最も影響を与
える部分を調査している。
c) 貿易価格指数


税関を通過する際の提出資料により、輸出と輸入の価格指数を作成
フィッシャー指数で算出

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