FEM勉強会（第4回）

FEM勉強会（第5回）
材料非線形問題の
FEM解析について
平成23年1月1２日
園田恵一郎
復習：材料非線形問題とは？
(a) 線形弾性
応力 
(b) 非線形弾性
(a)
(c) 弾・塑性
(b)
(d) 完全塑性
(c)
(d)
ひずみ
0
p
e
弾・塑性問題：降伏関数、負荷
関数、流動則（次回に解説）
モデルの選択：非線形弾性モデルか、弾塑性モデルか？
σ
σ2
鋼：
再降伏
後続降伏
fsy
0
ε
εp
初期降伏
σ1
ｰfsy
σ2
σ
圧縮
コンクリート：
fc'
f ｔ'
破壊規準
ε
fc '
引張
f ｔ ' f c'
σ1
非線形弾性モデルでのFEM解析
時間：ｔ＝0、Δt、2Δt、3Δt、……
t 時刻のひずみと応力
t (a)
ε
t B (a) t U
σ (a) t Ct ε (a)
t
剛性方程式（外力と内力のつりあい）
t
R F
t
Rt K t U
t
t
F

t
B
( a )T t
t
CB
( a )T
dV
(a) V (a)
t
K
B
(a) V (a)
 U
(a) t

t
(a) V (a)
(a)T t
CBdV ( a )
B
( a )T t
σdV ( a )
t時刻からｔ＋Δｔ時刻の解へ：修正ニュートン法による反復・収束計算
t t
Rt t F  0
t  t
F
(a) V (a)
初期条件： i=0
t  t
t
T t  t
(a)
B
σ
dv

U ( 0)  t U ；
t  t
F ( 0)  t F
KU (i ) t t Rt t F (i 1)
t  t
t  t
U (i )  t t U (i 1)  U (i )
F (i )  
T t  t (i )
(a)
B
σ
dV

(a) V (a)
t t
σ (i ) t t σ (i1)  t C(i ) BU (i )
i=1,2,3,…
圧縮領域のコンクリートに対する非線形弾性モデル
fｃ‘
1軸応力－ひずみ曲線（コンクリート標準示方書による）
コンクリートの多軸応力状態での応力－ひずみ関係
八面体直応力σ0とせん断応力τ0と対応するひずみ、および割線弾性係数
0
 0  K 0 0 (1  a 0  b 0  c 0  ...........)
 0 (1  a 0  b 02  c 03  ......)
0
 0  G0 0 (1  a'  0  b'  0 2  c'  03  .........) t G 
 0 (1  a'  0  b'  02  c'  03  .....)
2
1
3
 0  ( 1   2   3 )
1
 0  (1   2   3 )
3
0 
3
t
K
1
( 1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 2   1 ) 2
3
0 
1
(1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 3  1 ) 2
3
応力増分とひずみ増分の関係
d 0  K 0 d 0 (1  2a 0  3b 02  4c 03  ......)
d 0  G0 d 0 (1  2a'  0  3b'  02  4c'  03  ......)
初期弾性係数
K0 
Ec
3(1  2 )
G0 
Ec
2(1   )
表示：  0   oct , 0   oct
八面体直応力と八面体せん断応力
σn 


  
 2
1 cos120
2
cos120
1
 1   2   3    oct
3

n  1/ 3,1/ 3,1/ 3
  
2
2
cos120

2

s3
r=τoct
ｒ
θ
s2
s1
π平面上での破壊基準
主応力空間での３軸応力状
態の破壊基準
σ t  s1  s 2  s3  2 J 2   oct
2
2
2
なぜ八面体か？
3
σ
120

n  1/ 3,1/ 3,1/ 3
τoct
n  (1/ 3,1/ 3,1/ 3)
σoct
120
120

2
０
σ3
1
4
 oct
 oct  2  J 2
J2 
3
1
  kk
3
σ1
1
1
sij sij  ( ij   oct ij )( ij   oct ij )
2
2
1
2
八面体（octahedral）の面
σ2
２軸圧縮応力状態でのコンクリート
 oct
 oct
σ2/σ1
 oct
 oct
例題：
１軸応力・ひずみ：
  Ec0 (1  a  b  2 )
(1   ) cr   cc   cc /  cr
a 
 cc  cr ( cr   cc )
2
 oct 
x
3
 oct 
2
2
x
3
3
 oct 
(1   ) cr   cc   cc /  cr
b
 cc  cr ( cr   cc )
2
2
( x   y ) 2  ( y   z ) 2  ( z   x ) 2
3
 oct 
x y z
3
  2/3
 cr  3.5 103
多軸応力・ひずみ関係への拡張
 oct
(1  2 s ) x

3
 oct 
2 2 (1   s )
 x
3
 3
Eco 
3
3K s ( oct ) 
 1  a
  oct  b 
1  2 s 
1  2 s
 1  2 s

Gs ( oct ) 
 z   s  x
2


2
  oct 






3
3
   oct 2 
  oct  b 
1  a
 2 2 (1   ) 
2 2 (1   s ) 
2 2 (1   s )

s 

2 Ec 0
 ij  2Gs ( oct ) ij  [3K s ( oct )  2Gs ( oct )] 
~
 x   E s
   ~ '
s
 y   E
~
 z   E s'
 
 xy   0
 yz   0
  
 zx   0
 y   s  x
~
 E s'
~
Es
~
 E s'
0
0
0
~
 E s'
~
 E s'
~
Es
0
0
0
0
0
0
~
Gs
0
0
0
0
0
0
~
Gs
0
0  x 
  
0   y 
0  z 
 
0   xy 
0   yz 
~   
Gs   zx 
 kk
3
 ij
~
Es  K s ( oct )  4Gs ( oct ) / 3
~
Es'  K s ( oct )  2Gs ( oct ) / 3
~
Gs  Gs ( oct )

σ  Cs ε
σ  x
平面ひずみ問題：
 E~s
 ~
C s   E s'
 0

平面応力問題：
 y  xy T

ε  x
y
 z   yz   zx  0
~
 E s'
~
Es
0
0

0
~
G s 
 z   yz   zx  0
~' ~' 2 ~
 E~  E~ ' 2 / E~
 (Es  Es / Es ) 0 
s
s
s
 ~

~' 2 ~
~
~' 2 ~
'
C s   ( E s  E s / E s )
Es  Es / Es
0
~ 

0
0
G
s


 xy T
例題：コンクリート標準示方書での１軸応力・ひずみ関係を基礎にした場合
  Ec0 (1  a  b  2 )
 2 f c'
1 
1
a 

1  31 
2 cm 
Ec 0  cu






2 f c' 
 /  cm 3
b    cm 
E c 0 

f c'  30N/mm2
1軸応力・ひずみ曲線
35
応力σ（N/mm2)
30
25
20
3次曲線近似
C示方書
15
10
5
0
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035
0.004
ひずみ（ε）
k1  0.85
f cd'  f ck'  0.85 f c'  255N/mm2
'
 cu
 0.35103
多軸応力・ひずみ関係への変換
x
Ec 0
2
  x (1  a  x  b  x )
3
3

 3
Ec 0
3

  oct 1  a
  oct  b 
1  2 s
1  2 s

 1  2 s
 oct 
 oct

2


2
  oct 






Ec 0
2
3
3
2



x 
  oct 1  a
  oct  b

 2 2 (1   )  oct 
3
2(1   s )
2
2
(
1


)


s
s 

 3
Ec 0 
3
3K s ( oct ) 
 1  a
  oct  b 
1  2 s 
1  2 s
 1  2 s

2


2
  oct 





Ec 0 
3
3
2


Gs ( oct ) 
  oct  b

1  a
 2 2 (1   )  oct 
2(1   s ) 
2 2 (1   s )

s 

 ij  2Gs ( oct ) ij  [3K s ( oct )  2Gs ( oct )] 
 kk
3
 ij
３次元問題
行列表示
~
 x   E s
   ~ '
s
 y   E
~
 z   E s'
 
 xy   0
 yz   0
  
 zx   0
σ  Cs  ε
~
Es  K s ( oct )  4Gs ( oct ) / 3
平面ひずみ問題
 E~s
 ~
C s   E s'
 0

~
 E s'
~
Es
0
~
 E s'
~
Es
~
 E s'
0
0
0
~
 E s'
~
 E s'
~
Es
0
0
0
0
0
0
~
Gs
0
0
0
0
0
0
~
Gs
0
~
Es'  K s ( oct )  2Gs ( oct ) / 3
0  x 
  
0   y 
0  z 
 
0   xy 
0   yz 
~   
Gs   zx 
~
Gs  Gs ( oct )
平面応力問題
0

0
~
G s 
~' ~' 2 ~
 E~  E~ ' 2 / E~

(
E
0
s
s
s  Es / Es )
 ~s

~' 2 ~
~
~' 2 ~
'
C s   ( E s  E s / E s )
Es  Es / Es
0
~ 

0
0
Gs 


３次曲線近似：   Ec0 (1  a  b  2 )
による割線弾性係数の計算結果）
応力σｘ（N/mm2)（圧縮）
35
30
Epsx
Eps0
Gam0
25
20
15
10
5
0
-0.002
-0.001
0
0.001
0.002
Epsx,Eps0,Gam0
0.003
0.004
0.005
40000
弾性係数（N/mm2)
35000
30000
25000
3Ks=
Gs=
20000
15000
10000
5000
0
0
0.0005
0.001
0.0015 0.002 0.0025
ひずみ（εｘ）
 s  1/ 6
0.003
(一定）
0.0035
0.004
既往の実験による検討
 octp 
1p 
2
 1     2 1p
3
1  3.65
 fc '
(1   ) 2
コンクリートの体積ひずみ特性

K t  K 0 (1  Cexp oct )
 octp
K s  K 0 (1 
 oct

0
C exp
 octp
d oct )
数値解析による検討（要素テスト）
１軸応力状態
 oct 
1   2   3
3
 
s
 1    oct' 
0
 f c 

1
3
 oct 
1   2   3
3
 3 oct 
s

 1  2.5
' 
0
 fc 
2

2
1
3
(1  2 s )
 0  1/ 6
35
30
σ1(N/mm2)
25
20
Eps0
Tau0
15
10
5
0
-0.001
0
0.001
0.002
0.003
0.004
εoct、γoct
0.005
0.006
0.007
0.008
例題：Gsの変化
 3 
s

 1  2.5 oct
' 
0
 fc 
2
 0  1/ 6
弾性係数３Ks,Gs（N/mm2)
Gs=
12000
10000
Gs=
8000
6000
4000
2000
0
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
ひずみ（εｘ）
0.0025
0.003
0.0035
0.004
σ1
3軸圧縮応力状態でのコンクリート
σ2
σ3= σ3
σ1
３軸圧縮応力状態でのコンクリートの破壊基準（実験結果）
Richard(1928)の実験データ
0
Balmer(1949)の実験データ
0
静水圧下でのコンクリートの挙動，Green et.(1973)

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