輻射基礎論ーI - Institute of Astronomy, Univ. of

第２課
黒体輻射とカラー
２．１．黒体輻射の式
熱平衡にある振動数νの輻射を考える。フォトンの個数は常に揺らいでいる
フォトン１個のエネルギー＝ｈν
２個のエネルギー＝２ｈν
１個状態の確率 ∝ Ｐ１＝exp (ーｈν/kT)
２個状態の確率 ∝ Ｐ２＝exp (ー２ｈν/kT)
ｎ個のエネルギー＝ｎｈν
ｎ個状態の確率 ∝ Ｐｎ＝exp (ーｎｈν/kT)
振動数＝νの時（２）
（周波数をνに限った時の、）フォトンｎ個の状態の確率Ｐｎは、
 n h 
exp 

 kT 
Pn 


 h   2h 
1

exp






 



kT
kT







h  
 h   2h 

1

exp






 

 


 kT  
 kT   kT 

分配関数 Z 
 n h 
exp 

kT

  exp  n h 1  exp  h  
Pn 




kT
kT
 h 




Z

 kT 
1
 h 
1  exp 

kT


振動数＝νの時
（３）
振動数νのフォトンの平均個数
n   nPn


 h 
 2h 
 3h 
1
exp


2
exp


3
exp











kT
kT
kT











 h 
 2h 
 3h 
1

exp


exp


exp











kT
kT
kT








 dZ h / kT  
 h 
exp


 d h / kT  
1
kT
 




Z h / kT 

 h  
 h  
1  exp  kT  exp kT   1

 

 

大きな箱
（１）
熱平衡にある大きな箱。その一部をΔＸ・ΔＰとする。
その中の光子数の平均値を計算しよう。
ΔＰ
フォトンの量子状態は
ΔＸ
Ｐ
Δp3Δx 3= h3毎に2（偏光）
である。
Ｘ
大きな箱
（２）
Δx 3=ΔＶ，Δp3＝ dΩp2dp なので、
量子状態の数は２Δx 3Δp3 ／h3 ＝２ΔＶdΩp2dp／h3
状態１つにつき、平均フォトン数＝ 1／ [ exp (ｈν/kT)－１] だったから、
ΔＮ=（ΔＶ・ΔＰ／ｈ３）＜ｎ＞
N 2dp 2 dp
1

V
 h 
h3
exp   1
 kT 
2
1
 h   hd  1
 2d  
 3
c
c
  
 h exp E   1
 
 kT 
 dd
2 2
1
c3 exp E   1
 kT 
B(T,ν）の表現
1.1.の最後で、輻射強度Ｉと光子数密度ｎの関係Ｉ（ｋ,ν）＝cεｎ（ｋ、ν）を
求めた。ε=ｈν、ｎ＝ｄＮ／ｄＶとおくと、黒体輻射の輻射強度Ｂ（Ｔ、ν）は、
 dN 
BT , dd  ch

dV



2h3
1
dd
2
c exp E   1
 kT 
すなわち
BT ,  
2h3
1
c 2 exp h   1
 kT 
２．２．黒体輻射の数値表現
h=6.626×10-34 Js, k=1.381×10-23 J/K, ｃ＝2.998×10^8 m/s なので、
•x= hν/kT=hc/kλT =1.4388/λ(μｍ)T4(K)とおくと、(T4=T/104)
B(ν)＝(2h/c2)ν3/[exp(hν/kT)-1]
＝1.3338×10 -19 T(K) 3 x 3 /(exp x - 1) W/m2/Hz
3
x
 1.3338 107 T K 
Jy
expx   1
3.397 107
1
2

W/m
/Hz
m 3 exp  14388   1
 m T K  


19
3.397 10
1

Jy
m 3 exp  14388   1
 m T K  


3
注意：計算しやすさのため、式をλで表現している。
B(λ)＝ B(ν)（ｃ/λ２）
＝ (2hc２/λ５) / [exp(ch/λkT)-1]
8
1.191 10
B   
5
m 
1
 14388 
exp 
 1
 m T K  
2
W/m /m
B(T,ν)ν＝ B(T,λ)λ もよく使われる。
νB(T,ν) ＝ (2k4/h3c2) T4ｘ4/[exp(ｘ)-1]
=(σT4)(15/π5)ｘ4/[exp(ｘ)-1]
x
4
9
2
 2.78  10 T K 
W/m
exp x   1
8
1.191 10
1
2

W/m
4
 14388 
m 
exp 
 1
 m T K  
4
Ｉ(ν)ν＝Ｉ(λ)λ 表示の利点＝
νとλが対称に扱える。
（BlackbodyＢ(ν,T)に限らず Intensity 一般に通用するのでＩで話す）
Ｉ（λ）＝（ｃ/λ２）Ｉｏ
例：Ｉ（ν）＝Ｉｏ＝一定
Ｉ(ν)
Ｉ(λ)
Ｉｏ
ν
λ
Ｉ(ν)ν＝Ｉ(λ)λ 表示では
λＩ（λ）
νＩ(ν)
logν
logλ
Ｉ(ν)ν＝Ｉ(λ)λ 表示の利点（２）
総輻射強度（total intensity）の計算
dＩ= Iνdν= Iνν(dν/ν)=2.30 [Iνν] dlogν ＝ 2.30 [Iλλ] dlogλ
νＩν
λＩλ
logν
総輻射強度（total intensity）を概算する際には、 νＩν ＝λＩλ
のピーク値にピーク幅を掛ければよい、 Δlogλ[λＩλ]max 、
ので便利。
logλ
Ｂ(T)=∫B(T,ν)dν= ∫B(T,λ)dλ
Ｂ(T,ν)＝ (2hν3/c2)/[exp(hν/kT)-1]
を全波長域で積分すると、全輻射強度Ｂ（Ｔ）が出る。
Ｂ(T)=∫B(T,ν)dν
=∫(2hν3/c2)/[exp(hν/kT)-1] dν
＝(2k4/h3c2) T4∫x3dx/[exp(ｘ)-1]
=(2k4/h3c2) (π4/15)T4
＝(σ/π)T4
∫x3dx/[exp(ｘ)-1]= (π4/15)
σ = 2π5k4/15h3c2 ＝5.6696 10 ー8 W/m2/K4
= ステファンボルツマン係数
注意：温度Ｔの黒体表面
から放射される輻射率はπ
Ｂ（Ｔ）＝σＴ４
Intensity = (σ/π)T4
Flux = σT4
黒体輻射のピーク（１）
黒体輻射のピーク位置は、表現法で変わる。
dE=B(λ)dλ= B(ν)dν=[B(ν)ν]dlnν
B(ν)＝ [B(λ)λ/ν]＝ [B(λ)λ２/ｃ]なので、
B(λ)
B(λ)λ
＝[B(ν)ν]
B(ν)
logλ
図に見えるように、ピーク位置波長はＢ（ν）が一番長い。
Ｂ（λ）が短く、Ｂ（λ）λが中間。
黒体輻射のピーク（２）
ＷｉｅｎＬａｗ
ピーク位置は、
Ｂ（ T, λ）＝ (2k5T5/c3h4) ｘ5/[exp(ｘ)-1]
νB(T,ν) ＝ (2k4/h3c2) T4ｘ4/[exp(ｘ)-1]=(σT4)(15/π5)ｘ4/[exp(ｘ)-1]
Ｂ（ T, ν）＝ (2k３T３/c２h２) ｘ３/[exp(ｘ)-1]
から、
（ｘ＝ hν/kT=hc/kλT =1.4388/λ(μｍ)T4(K) ）
Fn(x)=ｘｎ/[exp(ｘ)－1] を微分して、dFn(x)/dx=0から、
B(T,λ)
Fn(x)
ｘ
T4λμ
ｘ5/[exp(ｘ)-1]
4.965
0.290
νB(T,ν) ＝ B(λ)λ
ｘ4/[exp(ｘ)-1]
3.92
0.367
B(T,ν)
ｘ３/[exp(ｘ)-1]
2.82
0.510
レーリー・ジーンズ近似
と
ウイーン近似
レーリー・ジーンズ近似（ｈν/ｋＴ＜＜１）
BT ,  
BT ,  
2h3
c2
2hc2
5
ウイーン近似
１）
2h
1
2h3 kT
 2 2kT
 2
 2kT 2  2
 h 
c h
c

exp   1
 kT 
1
2hc2 kT 2ckT
 5
 4
ch
 ch 


exp
 1
 kT 
（ｈν/ｋＴ＞＞
3
 h 
BT ,   2 exp 

kT


c
2hc2
 ch 
BT ,   5 exp 


kT



黒体輻射強度のグラフ表示
黒体輻射は同じ形
3
 h 
 
3
3
2h
1
2k
kT
BT ,   2
 2 2 T3  
 h 
c exp h   1 c h
exp   1
 kT 
 kT 
したがって、あるＴでＢ（ν、Ｔ）で下図
log Bν
logＴ+Δ logＴの時は
log Bν
３Δ logＴ
Δ logＴ
logν
logν
黒体輻射のエネルギー密度
エネルギー密度Ｕは、Ｕ＝∬ε（ν）ｎ（Ω、ν）ｄνｄΩから、
Ｕ＝４πＢ／ｃ
＝（４π／ｃ）(σ/π)T4
＝（４ σ ／ｃ）T4
＝ａ T4
a=8π５ｋ４/１５ｃ３ｈ３＝radiation density constant
=7.5659 10-16 J/m3/K4
２．３．等級とカラー
等級＝フラックスの対数表示
天文等級の定義 m(λ)=－2.5 log[F(λ)]＋定数
F λ
mλ＝  2.5 log
Foλ
F(λ)：天体の波長λでのフラックス
Fo(λ)：規準フラックス
明るくなると、天文等級は下がる。
１等の差＝log Fで０．４の差、Ｆで１００．４＝２．５倍の違い
定数を決めるためには、ゼロ等級に対応する規準フラックスFo(λ)を決める
必要がある。
ベガのフラックスを規準とし、幾つかの補正を加えたシステムが用いられる。
詳しい説明は次回に。
カラー
フラックスの勾配⇒カラー
フラックス⇒等級
勾配を指定する方法は幾つも考えられる：
Ｆ
単純にはｄＦ（ λ ）/ｄλ、ｄＦ（ ν ）/ｄν
近接した２波長λ1 、λ2でのフラックスの比、
Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）を用いてもよい。
天文ではフラックス比の対数表示、カラー、を採用している。
カラー（ λ1 、λ2 ）＝－２．５ log[Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）]+定数
λ１
λ２
２．３．黒体輻射のカラー
波長λ１、 λ２での等級がｍ（λ１）、ｍ（λ２）の天体のカラー
＝ｍ（λ１）－ｍ（λ２）
注意： λ１＜λ２が天文の習慣である。
-1
ｍ（λ１）－ｍ（λ２）＝０．６
ｍ
0
ｍ（λ１）－ｍ（λ２）＝０
1
λ１
λ２
距離とカラー
Ｌ（λ）の放射スペクトルを持つ星を距離Ｄから観測する。
星のカラーｍ（λ１）－ｍ（λ２）はＤにより変化するだろうか？
F λ1 
mλ1 ＝  2.5 log
Foλ1 
F λ2 
mλ2 ＝  2.5 log
Foλ2 
F λ1 
Foλ1 
mλ1   mλ2 ＝  2.5 log
 2.5 log
F λ2 
Foλ2 
Lλ1 
Lλ2 
F λ1 ＝
F λ2 ＝
2
4D
4D 2
天体スペクトル
F λ1  Lλ1 
よって
10
＝
F λ2  Lλ2  ｍ（λ）
カラーｍ（λ１）－ｍ（λ２）は距
離により変化しない。
距離が２倍の
12
天体スペクトル
14
λ
カラーの表現 (1)
天文でよく使われる波長：
Ｂ＝ｍ（0.44μｍ）
Ｖ＝ｍ（0.55μｍ）
Ｆｏ（Ｂ）＝４０００Ｊｙ
Ｆｏ（Ｖ）＝３６００Ｊｙ
１Ｊｙ＝１０-２６W／ｍ２／Ｈｚ
天体
F(B
（Ｊｙ）
)
F(V)
Ｖ
Ｂ－Ｖ温度
色
（Ｊｙ）
シリウス１.４９３ ×１０４１.３５６ ×１０４
太陽
Ｂ
－１.４３
－１.４４０.０１９４００白
１.１０２×１０１４１.８０４×１０１４－２６.１０－２６.７５０.６５５７８０黄
ベテルギウス
６６３
２３８０
１.９５
０.４５１.５０３３７０赤
カラーの表現 (2)
B
0.6
Log Ｆ(ν)
V
天文表現
B-V=1
(4,500K)
0.4
0.2
0.5
(6,000K)
0
0
(10,000K)
-0.2
-0.5
0
log λ(μ）
カラー大
赤い
小
青い
有効温度
黒体の壁からのフラックス
Ｉ＝Ｂ（Ｔ）
＝ ∫B(T)cosθdΩ
θ
＝ πＢ(T）
＝ σT4
星の表面からの輻射は黒体とは異
なるが、星の表面積Ｓと光度Ｌから
Ｌ＝ＳσT4となるＴを求め、星の有効
温度Ｔｅとする。
Ｌ＝∫σT4dＳ
例１：太陽の有効温度
太陽常数(solar constant)Ｓは地球軌道での太陽フラックスで、
Ｓ＝１．３７ｋＷ／ｍ２である。
太陽有効温度＝Ｔ  表面でのフラックスＦ＝σＴ４．
太陽半径＝Ｒ、太陽地球距離＝Ｄとすると
４Ｒ２Ｆ＝４πＤ２Ｓ
σＴ４＝（Ｄ／Ｒ）２Ｓ
Ｄ／Ｒ＝２１５
σ = 5.6696 10 -8 W/m2/K4
Ｔ４＝２１５２（１３７０／５．６７０１０－８）
Ｔ＝５７８０Ｋ
例2：Ｖｅｇａの視半径
Vega
Ａ０Ｖ
Ｖ＝０．０２
Ｔeff＝９６００Ｋ
Ｆν（Ｖ＝０）＝３６００Ｊｙ
Ｆvega=πＢ（Ｔ，ν＝Ｖ）（Ｒ／Ｄ）２
Ｂ（Ｔ，ν＝Ｖ）＝ 1.3338 10 ７ T(K) 3 [ x 3 / (exp x - 1) ] Jy
ｘ＝ 1.4388/λ(μｍ)T4(K)
＝1.4388/0.55/0/96=2.725
[ x 3 /(exp x - 1) ] =1.419
πＢ（Ｔ，ν＝Ｖ）＝π1.3338 10 ７ 9600 3 1.419=5.261 10 19 Jy
3600 10-0.4x0.02 ＝5.261 1019 (R/D)2
R/D=(3600 10-0.4x0.02 10 –19/ 5.261)1/2=8.196 10-10
問題２：出題１０月１８日提出１０月２５日
Ａ，Ｂのどちらかに解答せよ。
天文学科の学生はなるべくＢ。
Ａ．黒体の
輻射強度は
光子密度は、
2h3
1
82
1
BT ,  
nT ,  
c 2 exp h   1
c3 exp h   1
 kT 
 kT 
１辺がＬの立方体の中に温度Ｔの黒体輻射が満ちている。ＬをゆっくりとａＬま
で引き伸ばす。
λ
ａλ
Ｌ
ａＬ
この過程で中の光子一つ一つの波長λはａλとなり、光子数に増減はないと考
える。
（１）その時、輻射強度と光子密度は下のようになる。ただし、Ｔ´ ＝Ｔ/ａ
82
1
nT ,  
c3 exp h   1
 kT' 
BT ,  
（２）輻射エネルギー密度はどう変化するか？
2h3
1
c 2 exp h   1
 kT' 
Ｂ．Ｂ型とＭ型の星からなる連星を考える。それぞれの星の温度と光度は、
T(K)
L(Lo)
Ｂ型星
30,000
50,000
M型星
3,000
10,000
である。
（１）２つの星のそれぞれのカラー（Ｂ－Ｖ）を求めよ。
（２）２星の間隔が望遠鏡の分解能以下のため、この連星は一つの
星（光度60,000Lo)として観測された。この時のカラー（Ｂ－Ｖ）
はいくつか？

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