動的計画法を用いた有向二値完全系統樹の
効率のよい列挙
森戸 一貴†，○斎藤 寿樹†† ，山口 一章†† ，増田 澄男††
（† 西部建設 †† 神戸大学）
コンピュテーション研究会-アルゴリズム研究会 連立開催（小樽） 2013年5月17-18日
種形質行列と有向二値完全系統樹
• 種形質行列 M
• すべての形質は二値 （0か1）.
• msc = 1 ⇔ 種 s は形質 c を持つ
• 有向二値完全系統樹
• 各葉が１つの種のラベルを持つ順序なし根付き木
• 各形質は一つの頂点にラベル付けされる
• 種sが形質cを持つ ⇔ ラベルsを持つ葉はラベルcを持つ頂点の子孫である
c1
c2
c3
c4
c5
c6
s1
0
0
1
1
1
0
s2
0
1
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s3
1
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1
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1
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0
0
0
0
c3
c1
c2
c4
s2
c5
s1
s4
c6
s3
s5
種形質行列と有向二値完全系統樹
Ci : 形質ciを持つ種の集合
補題 [Jannson, 2008]
種形質行列Mが有向二値完全系統樹を持つ
⇔ 任意の二つの形質ci, cj について，次の3つのいずれかが成立
(i) Ci ⊆ Cj, (ii) Cj ⊆ Ci, (iii) Ci ∩ Cj =φ
{C1, …, Cm}がラミナー族
C3={s1, s2, s4}
C4={s1, s4} C6={s3}
c1
c2
c3
c4
c5
c6
s1
0
0
1
1
1
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0
1
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0
s3
1
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0
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1
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0
0
1
1
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0
s5
1
0
0
0
0
0
C4 ⊆ C3
C3 ∩C6 = ∅
c3
c1
c2
c4
s2
c5
s1
s4
c6
s3
s5
不完全データから有向二値完全系統樹の列挙
• 入力: 不完全な種形質行列
• いくつかの要素が未知
• 出力: すべての有向二値完全系統樹
• すべての未知の要素に 0 もしくは 1 を割り当てる
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C1
C2
C3
C4
C5
C6
S1
0
0
1
1
1
0
S2
0
1
1
0
0
0
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1
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1
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0
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1
1
0
0
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1
0
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0
0
C1
C2
C3
C4
C5
C6
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1
?
1
0
S2
0
1
1
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0
S3
?
0
?
0
0
1
S1
0
0
1
1
1
0
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0
0
1
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0
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1
1
0
0
0
S5
1
0
0
?
0
0
S3
0
0
1
0
0
1
S4
0
0
1
1
0
0
S5
1
0
0
0
0
0
・
・
・
C3
C1
C6
C2
C4
S2
S5
S3
C5
S1
S4
C1
C3
S3
C4
C2
C5
S1
S4
S2
C6
S5
既存の研究
• 有向二値完全系統樹を一つ求める
• 多項式時間アルゴリズム[Pe’er et al., 2004]
• 列挙アルゴリズム[Kiyomi et al., 2012]
• 分枝限定法
ZDDを用いた手法が圧勝
• ZDDを用いた手法
• 有向二値完全系統樹の数え上げ問題
• #P完全
ZDD (Zero-suppressed Binary Decision Diagram):
組合せ集合をコンパクトに表現するデータ構造
• フロンティア法
• すべての解を保持するZDDを直接求める手法
≒ 動的計画法を使った数え上げ
本研究成果
• 有向二値完全系統樹の列挙アルゴリズムの開発
• すべての有向二値完全系統樹を保持するZDDの構築
• フロンティア法を応用したZDD構築アルゴリズムの開発
＝ 動的計画法による有向二値完全系統樹の数え上げ
2+d
• 指数時間アルゴリズム (nm2+m・D・2 O(m
C1
C2
C3
C4
C5
C6
S1
0
0
1
?
1
0
S2
0
1
1
0
0
0
S3
?
0
?
0
0
1
S4
0
0
1
1
0
0
S5
1
0
0
?
0
0
max)時間)
n：種の数
m：形質の数
D：未知の要素の数
dmax：未知の要素数が最も多い行の未知の要素数
例： D = 4, dmax = 2
アルゴリズムのアイディア
• 未知の要素を順に場合分け
枝刈り
2. 部分問題の共有
:0
:1
1.
x14
x31
C1
C2
C3
C4
C5
C6
S1
0
0
1
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1
0
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0
1
1
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0
1
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?
0
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0
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0
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0
1
1
0
0
S5
1
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0
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0
0
x31
x33
x54
1 0 1
x33
x54
x54
0 1
x33
x54
0 0
x54
0
x33
x54
x54
x54
1 0 1 0 1 0 0 0
部分問題の共有のアイディア
C1 C2 C3
S1
1
1
0
S2
0
1
0
S3
0
0
1
S4
?
0
?
S5
1
?
?
C1 C2 C3
C1⊆C2
C1∩C3=φ
C2∩C3=φ
C1⊆C2
C1∩C3=φ
C2∩C3=φ
S1
0
1
1
S2
1
1
0
S3
0
0
1
S4
?
0
?
S5
1
?
?
• すべての２列の関係が一致していたら，共有させる
• ２列の関係：包含 or 共通部分が空
• ２列の関係が決まっていないものがいくつもある
ラミナー配列によって，すべての２列の関係を保持
ラミナー配列
• すべての2列の関係もしくは関係の候補を格納する
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡
𝑆𝑢𝑝𝑠𝑒𝑡
𝐸𝑚𝑝𝑡𝑦
𝑆𝑢𝑏𝑆𝑢𝑝
𝐿𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝐶𝑖 , 𝐶𝑗 =
𝑆𝑢𝑏𝐸𝑚𝑝
𝑆𝑢𝑝𝐸𝑚𝑝
𝑆𝑢𝑏𝑆𝑢𝑝𝐸𝑚𝑝
C1
C2
C3
C4
C5
C6
S1
0
0
1
?
1
0
S2
0
1
1
0
0
0
S3
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0
1
S4
0
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1
1
0
0
S5
1
0
0
?
0
0
C1
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Ci ⊆ Cj
Cj ⊆ Ci
Ci ∩ Cj
Ci ⊆ Cj
Ci ⊆ Cj
Cj ⊆ Ci
Ci ⊆ Cj
のとき
のとき
＝ φ のとき
or Cj ⊆ Ci のとき
or Ci ∩ Cj ＝ φ のとき
or Ci ∩ Cj ＝ φ のとき
or Cj ⊆ Ci or Ci ∩ Cj ＝ φ のとき
C2
C3
C4
C5
C6
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SupEmp
Subset
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Supset
Supset
SupEmp
SupEmp
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各部分問題で保持すべき情報
• ラミナー配列
• “割り当て中の行”のすべての要素
C1
C2
C3
C4
C5
C1
C2
C3
C4
C5
C6
S1
0
0
1
0
1
0
S2
0
1
1
0
0
S3
0
0
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0
S4
0
0
1
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1
0
0
C1
C2
C3
C4
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0
0
1
0
1
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1
S2
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1
1
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1
0
0
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1
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1
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0
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C3
C4
C5
C6
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C1
Subset
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SubSup
C2
Supset
Supset
Supset
C3
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C4
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C5
C2
C3
C4
C5
C6
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Subset
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SubSup
Supset
Supset
Supset
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計算時間
n：種の数
m：形質の数
D：未知の要素の数
dmax：未知の要素数が最も多い行の未知の要素数
• ラミナー配列の初期化：O(nm2)時間
• ラミナー配列の更新：O(m)時間
• 一つの未知の要素に 0 もしくは 1 を割り当てたとき，
配列の高々m箇所が変わる
各レベルでの部分問題の数は
高々7½ m(m-1)・2dmax個
各部分問題が持つ情報
• ラミナー配列
• 探索中の行の未知の要素の値
全体の計算時間： nm2+mD7 ½ m(m-1) ・2dmax
高さD
計算機実験
• 実験データ
• msプログラム[Hudson 2002]でランダムな種形質行列を生成
• 未知の要素を持たない，有向二値完全系統樹を持つデータ
• 各要素を確率pで未知の要素に書き換え
• 確率 p：0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5
• 種の数：50, 100, 150, 200
• 形質の数：50, 100
• それぞれ100個生成
• 実験環境
• CPU : Intel Core i3 - 2120． clock freq : 3.30GHz
• Memory : 16GB
• プログラム言語：C++
• ZDDライブラリ：SAPPOROBDD
• タイムアウト２分
R
TM
実験結果（１）
実験結果（２）
ZDDによる手法
提案手法
まとめと今後の課題
• まとめ
• 有向二値完全系統樹の数え上げアルゴリズムを開発
• 動的計画法を用いた方法
• ZDDを用いた手法よりも，形質の数が少ないときは高速
• 今後の課題
• 新たな共有化の提案
• 要素順序の問題
• 並列化による高速化
• 実データを使った実験
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