4．公共財 2：需要・供給曲線を用いた分析 4.1 公共財の供給関数 4.2 公共財の需要関数と限界便益関数 4.3 公共財の需要・供給曲線とサミュエルソン条件 4.4 公共財の需要・供給関数に関連する計算問題 4.1 公共財の供給関数 C  f (G) ：生産可能性曲線 (4-1) p ＝公共財の（私的財に対する相対）価格＝政府が公共財の生産者に対して支払う価格簡単化のため、生産のための費用はゼロであるとする。   C  p G ：利潤 (4-2) （問題 4-1）等利潤線   C  p  G を G C 平面に図示しなさい。また、その C 軸との切片の値と傾きを図に記入しなさい。 C  p G （問題 4-2）生産可能性曲線 C  f (G) と等利潤線   C  p  G が交わるケースを G C 平面に図示しなさい。また、それらの交点 (Gˆ , Cˆ ) の生産パターンを選択した場合の利潤 ˆ を図示しなさい。 C ˆ  C  p  G ˆ Cˆ C  f (G) p Gˆ G G s ＝利潤を最大化する公共財の生産量（＝公共財の供給量） p   f (G s ) [ MRT ]  f (G s ) [ MRT] ＝公共財の限界費用 C s ＝私的財の供給量 C s  f (G s )  s ＝そのときの利潤  s  C s  pGs (4-3) （問題 4-3）公共財の供給量 G 、私的財の供給量 C 、そのときの利潤  を s s s 問題 4-2 の図に図示しなさい。また、利潤を最大化する条件が(4-3) であることを説明しなさい。 C s  C  f (G) ˆ  s  C  pG Cˆ Cs p Gˆ Gs  f (G s )  p G (4-3) s s 以下では、 G と C の上付き添え字ｓは省略する。 p  p s (G) [   f (G) ]：公共財の逆供給関数 (4-4) G  G s ( p) (4-5) [(4-4)を G について解いた関数] ：公共財の供給関数 C s ( p)  f (G s ( p)) ：私的財の供給関数（問題 4-4）公共財の価格が p  （ p  ）のときの公共財の供給量 G  （ G  ）を図示しなさい。また、公共財の供給曲線を図示しなさい。 C C  f (G) p p G G  p  G G  G s ( p) または p  p s (G) ･ p  p ･ G G  G 4.2 公共財の需要関数と限界便益関数 pi ＝個人 i の租税価格（ i  1, 2 ）＝個人 i の公共財１単位あたりの租税負担額  ( p)  C s ( p)  pGs ( p) ：利潤関数 (4-7) wi ＝利潤の個人 i への分配割合（ w1  w2  1 ）簡単化のため個人 i の所得は配当だけであるとする。 Ci  pi G  wi ( p) ：個人 i の予算制約式 (4-8) ＜仮定＞ ui  Ci  vi (G) ：個人 i の効用関数 (4-9) Gid ＝公共財の需要量＝個人 i の効用を最大化する公共財の消費量 pi  vi ( Gid ) [ MRSi ] (4-10) vi ( Gid ) ＝公共財の限界便益所得水準 wi ( p) が変化しても公共財の需要量 Gid は変化しない ⇒ 需要量 Gid は価格 p には依存しない。（問題 4-5） G C i 平面に予算制約線と無差別曲線を描くことで、個人 i の公共財に対する需要量 Gid が(4-10)を満たすことを説明しなさい。 Ci Ci  piG  wi ( p) pi  vi( Gipd i) Gid Ci  vi ( G)  ui G (4-10) 以下では、 Gid の添え字 i と d は省略する。 pi  pid (G) [  vi(G) ]：個人 i の公共財に対する逆需要関数 (4-11) G  Gid ( pi ) ：個人 i の公共財に対する需要関数＝(4-11)を G について解いた関数 (4-12) 4.3 公共財の需要・供給曲線とサミュエルソン条件 G * ＝ (パレート)効率的な公共財の水準 MRS1  MRS2  MRT ：サミュエルソン条件 (3-5) (4-3)、(4-10) v1(G* )  v2 (G* )   f (G* ) (4,4)、(4-11) p1d (G * )  p2d (G * )  p s (G * ) ：各個人の限界便益の和と限界費用が一致 (4-13) (G * , C1* , C2* ) ＝効率的な資源配分 (4-13) ⇒ G* Ci*  wi ( p* )  pi*G* * * ⇒ (C1 , C2 ) p *  p s (G* ) pi*  pid (G* ) （ i  1, 2 ） p1*  p2*  p* (4-14) p  p1d (G)  p 2d (G) G  G d ( p) [  p d (G) ]：公共財の逆集計需要関数：公共財の集計需要関数[(4-15)を G について解いた] (4-15) (4-16) サミュエルソン条件(4-13) ⇔ p d (G* )  p s (G* ) ⇔ G * は集計需要曲線と供給曲線の交点からもとめることができる。 (4-17) （問題 4-6）横軸に G 、縦軸に p 、 p1 、 p 2 をとった平面に個人１と個人２の公共財に対する需要曲線を描くとともに、公共財に対する集計需要曲線を描きなさい。 p , p1 , p 2 p  p1d (G)  p 2d (G) または　p  p d (G) p1  p1d (G) G p2  p2d (G) （問題 4-7）問題 4-6 の図に供給曲線を描き加えることで、 * 効率的な公共財の水準 G を図示しなさい。 p , p1 , p 2 p  p1d (G)  p 2d (G) または　p  p d (G) p  p s (G) p1  p1d (G) G G* p d (G* )  p s (G* ) p2  p2d (G) 4.4 公共財の需要・供給関数に関連する計算問題（問題 4-8）生産可能性曲線が C    G 2   であるとする（   0,   0 ）。このとき、逆供給関数 p  p s (G) と供給関数 G  G s ( p) を求めなさい。 dC  2  G dG MRT  2  G p  2  G  p s (G) G p  G s ( p) 2 （問題 4-9）個人 i の効用関数が ui  Ci  i  G    であるとき（  i  0,   G ）、個人 2 i の公共財に対する逆需要関数 pi  pid (G) 、公共財の ( 逆 ) 集計需要関数 p  p d (G) 、集計需要関数 G  G d ( p) を求めなさい。 Ci  i  G     ui 2 dC i  2 i  G    dG MRSi  2i  G    pi  2i  G     pid (G) p  2(1   2 )  G     p d (G) G p    G d ( pi ) 2(1   2 ) （問題 4-10 ）個人 i の効用関数が ui  Ci  i  G    であり、生産可能性曲線が 2 C    G 2   であるとする。このとき、サミュエルソン条件(4-13)あるいは * (4-17)を用いて効率的な公共財の水準 G を求めなさい。    2(1   2 )  G*    2  G* (1   2 )  (1   2   )G* (1   2 )  G  1   2   *