天体放射論II

H26年度基礎天文学観測実習
「電波望遠鏡による分光撮像観測」
参考資料：
電波による観測
河野孝太郎
改訂履歴：
2012年7月30日
2012年8月6日改訂
2013年9月27日改訂
2013年10月26日改訂
（雑音温度の理論式修正）
2014年5月31日改訂
（放射輸送、分子からの放射）
・天文学教育研究センター
・ビッグバン宇宙国際研究センター
[email protected]
観測を決める/記述する重要な要素
 空間分解能
 集光力
 （電波観測特有の）強度スケール
 Ta*, Tmb, Tr, etc. flux densityの関係は？
 電波望遠鏡（アンテナ）について
 感度をきめるもの
 大気
 観測装置自身からの雑音
 これらをどう除去するか？
空間分解能
 望遠鏡の空間分解能
今回の実習：
D = 45m
λ = 13.6mm
Q: では空間分解能は？
 θ= α（λ/D）
D：望遠鏡の直径（単一鏡の場合）・最大基線長（干渉計の場
合）
α～1の定数だが、通常α≠1.0（約1.2のケースが多い）
 「Aperture illumination」との関係で決まる
 鏡面のどのくらいの割合を実際に使っているか？
 干渉計の場合、本来実現できるはずの空間分解能が、大気
の揺らぎによって実現できていない場合もある。
 これ以外にも重要な要素:画像のサンプリング
 ビームサイズに対してどのくらいの間隔でサンプリングしてい
るか？ Nyquistのサンプリング定理
Intensity scale
 単一鏡での観測結果
 「温度」での表現
 Ta* [K] ： antenna temperature
 Tmb [K] ： main-beam temperature
 Tr* [K] ： radiation temperature
 Flux densityでの表現: S [Jy] or [Jy/beam]
 干渉計での観測結果
 Flux densityでの表現: S [Jy] or [Jy/beam]
2
フラックスと輝度温度：

S
Tb 
2kB beam
実用的な式と具体例[保存版]
Tb [K] = 15.4 x （波長/[mm]）2×(S/[Jy])
×（立体角/[平方秒]）-1
= 13.6 x （波長/[mm]）2×(S/[Jy])
×（bmaj/[秒角]）-1×（bmin/[秒角]）-1
beam 
bmajbmin
4 ln 2
16” FWHP
 290平方秒
 例１：波長3mm、bmaj=bmin=4”のビーム（FWHP）で、ある天体（点源）を
観測したらその強度は1Jyであった。その輝度温度は何Kか？ 7.7K
 例２：波長0.87mm、bmaj=bmin=22”のビームで、ある天体（点源）を観測
したら輝度温度は1Kであった。そのflux密度は何Jy/(22”beam）か？
47 Jy
 例３：波長7mm、bmaj=bmin=0.001”のビームで1Jyの天体（点源）を観測
したら何Kに見えるか？ 6.7x108 K (!)
 Q: 45m望遠鏡で、23GHz帯の観測をしたとき、Tb=1Kに観測された天体
のフラックスは何Jyか？
Intensity scale:単一鏡での観測結果
 「温度」での表現
 Ta* [K] ： antenna temperature
大気吸収を補正した、天体からの電力を反映した測定
量。（直接の観測量だが、天体の輝度温度ではない）
 Tmb [K] ： main-beam temperature
= Ta*/ηmb ←主ビームと同程度のサイズの天体に対
して、天体の輝度温度を表す。
 ηmb： main beam efficiency
 Tr* [K] ： radiation temperature
= Ta*/ηfss ← 主ビームより大きく広がった天体に対して、
天体の輝度温度を表す。
 ηfss： forward spillover & scattering efficiency
得られる観測データの雑音レベル
 基本式（片偏波のみを観測する場合）
dTrms = 2 ×
Tsys
tinteg × B
Tsys システム雑音温度 [K]
tinteg 積分時間 [sec]
B 観測周波数幅 [Hz]
 例： Tsys=200K、観測周波数幅 1 MHzで10秒間の
積分をかけると、雑音レベルは何Kか？
 Tsysが小さければ小さいほど高い感度の（雑音の低
い）観測ができる。
 Tsysの中身は「大気からの雑音」と「受信装置自身の雑音」。
宇宙電波の検出方法
電波の検出方式
 Direct detection (incoherent detection)
 Radiationをphotonとして捕らえる
 ガンマ線・Ｘ線・ＵＶ・可視赤外
 Heterodyne detection (coherent detection)
 Radiationをwaveとして捕らえる
 いわゆる電波（波長～数cmあたりまではすべてこれ）
 電波（ミリ波～サブミリ波）
→ direct detection/heterodyne detection両方の
技術がapplicableな波長域
それぞれの得失を生かして、目的に応じ使い分け
Bolometer




入射したphoton（radiation）を、熱として検出。
熱として検出→超広帯域（波長依存性小）。Δf/f～0.3以上
0.3Kまで（ものによっては0.1K以下に）冷却する必要がある
振動などの雑音に弱い。
TES（超伝導遷移端）ボロメーター
Bolometer: 入力した電磁波/photonを「温度上昇」として検出（incoherent detection）
Absorber(吸収体): radiation、(particle) を吸収
Thermometer(温度計): 吸収された熱による温度上昇を測定
Thermal link(熱リンク): 熱を適度に逃がす熱抵抗(熱伝導大->検出困難、小->遅い)
TES bolometer: 温度計に Transition Edge Sensor(TES) を用いたbolometer
超伝導⇔常伝導の境界（端）で、温度に対して抵抗が急激に変化することを利用→高感度
ボロメーターの原理
「スパイダーウェブ」構造
TES
Thermal
link
SiNのウエハー
上に、 Auの
吸収体の「網」
＋TiのTES
ミリ波サブミリ波帯の検出器
「超伝導遷移端センサー」 TES
吸収体として
超伝導体
を利用
「超伝導」から「常伝導」への遷移端
吸収体の抵抗（Ω）
天体から
の放射
わずかな
温度変化でも
大きな抵抗の
変化になる！
放射が入る
 温度が微増
吸収体の温度（ケルビン）
超伝導と天文学、特にミリ波サブミリ波の関係は深い！
ミリ波サブミリ波のセンサーは手作り
ブリング直径=360μm
吸収体
1275μm
観測周波数
350GHz
(0.87mm)
金のメッシュライン
幅~2μm
厚み~10nm
超伝導遷移端
センサー
270画素
カリフォルニア大学バークレー校との協力
超伝導センサー
 SIS素子（超伝導体と絶縁体のサンドイッチ構
造）を用いた低雑音電波検出器
酸化アルミニウム（Al2O3：絶縁体）
酸化アルミニウム
（AlOx：トンネルバリア）
ニオブ
（Nb：超伝導体の電極材料)
酸化ニオブ（Nb2O5 ：絶縁体）
基板
酸化シリコン（SiO2：絶縁体）
ミリ波サブミリ波観測装置の開発
原案・作図：遠藤光
 10mスケールの構造物から、ナノメートル（数原子
層分）の構造まで！
Heterodyne receivers
(frequency conversion)
 ミリ波、特に200 GHzから300 GHzを超えるような波長が短いところでは、まだ性
能のよい増幅器がなく、パラボラで集めた電波をそのままでは増幅することができ
ない。そこで、まず周波数をより低いところに落とす（周波数変換）。
 周波数変換を行うには、I/V特性が非線形性を示す素子を用いる。
i  a0  a1V  a2V 2  a3V 3    
 このような素子に、次のような2つの信号を加える：
E1 sin(1t   ), E2 sin(2t )
このとき、電流出力のV2の項をみると、
E12
E22
1  cos(21t ) 1  cos(22t   )
2
2
 E1 E2 cos1  2  t     cos1  2  t   
このほか、様々な高調波成分が出るが、これらの中で、Filterによって必要な周波数成
分を取り出すことができれば、低い周波数への変換（down converter）もしくは高いほう
への変換（up converter）ができたことになる。ここで、2つの信号の位相差φが、周波数
変換後も保存されている点に注目。
ヘテロダイン検出器による観測の特徴
 高分散分光が得意（⇔可視・赤外・Xなど）
 低い周波数へ変換してから分光することにより高い速度分解
能が容易に得られる
 波長1.3mm（f=230GHz）で速度分解能0.1km/sを得る
→Δf=0.1MHzで0.13km/s分解能：f/Δf～2,300,000が
必要！
しかし周波数変換をしてから分光すれば小さいRで充分
 干渉計観測が可能→長い波長でも高分解能観測
VLBIでは1milliarcsecを切る世界
 デメリット
 装置としては複雑。Focal plane arrayはまだ数10素子レベ
ル ⇔ 数100 – 数10,000画素＠直接検出器アレイ
 量子雑音限界  直接検出器よりは不利（特に高い周波数）
Quantum limit of Coherent detection system
ΔE・Δt > h/4π（Heisenberg uncertainty principle）
 ΔE = hνΔn ←エネルギーの不確定性をphotonの個数の不確定性に書き
かえ
 2πνΔｔ = Δφ ←時間の不確定性を位相の不確定性に書き換え
→ Δφ・Δn > 1/2 ←位相とphoton数に関する不確定性原理
ここで、理想的な観測システムがあると仮定。
 受信したphotonをG倍に増幅する（n1個のphotonが、n2=G・n1個になって出
力）
 雑音は一切付加しない。
 位相はφ1からφ2に変化する（あるオフセットを許す）。
→ Δn1 = Δn2/G から、Δφ1・Δn1 > 1/2G （ただしG>1）
この矛盾を回避するには、(G-1)hνなる雑音が付加されるとすればよい。
入力側に換算すると(1-1/G)hν → hν（G→∞）
このような考察から、位相情報を保持したCoherent detectionの場合、
Tmin = hν/k より雑音を小さくすることはできない
100GHzで5.5K; 可視の波長までいくと~10^4Kに。
Receiver/detectorの性能を表す指標
 雑音温度 Noise temperature
 雑音指数 Noise Figure
 雑音等価電力 Noise Equivalent Power
signal
noise
Device内部で発生・付加されるnoise
「雑音」
 device内部で発生する雑音
 Thermal noise, Johnson noise
電流が流れていなくとも抵抗体中に発生する雑音
 Shot noise
電流が流れている時に、電子（またはキャリア）の流れの不均
一性で発生する雑音
 Flicker noise, 1/f noise
半導体や抵抗体に直流電流が流れるとき現れる、周波数に逆
比例するようなプロファイルを持つ雑音成分
 外来雑音
 大気からのbackground
 望遠鏡やミラーなどからのbackground
 携帯電話/違法無線など人工雑音
 etc.
Nyquist 定理 (thermal noise)
 温度Tにある抵抗体R
 これに電流計をつけて
電流値を調べてみると？
温度Tの抵抗体R
 流れる電流は0の筈 <I >＝0 しかし <I^2 >≠0
→ thermal noise（熱雑音）, Johnson noiseなどと呼ぶ。
 温度Tの平衡状態にある抵抗体Rが、単位周波数あたりに発生する熱雑
音電力は、hν<< kTの古典論的極限で
Pν = kT
（Nyquist定理）
 H. Nyquist, Phys. Rev., 32, 110-113 (1928)
 hν~kT or hν>kTになるような領域（サブミリ波のような高周波）では、
Plank関数に戻って雑音電力を評価する必要がある。
 微小な雑音を議論するときには、さらに0点振動のエネルギー hν/2kも加え
なければならない。
thermal noise (Johnson noise)
 電気的には中性、しかし電子の熱運動により不規則に
変動する電流が生じる。
 広い周波数帯域にわたりほぼ一定のエネルギー密度
がある（white noise）。
Nyquist 定理
温度Tの抵抗体R
 2つの抵抗体R（温度T）を長さl、impedance R
（=無反射）の無損失なtransmission lineでつなぐ
 熱平衡状態では、2つの抵抗体の間で雑音電力
が全ての周波数帯域幅にわたり等しい。
 ここで抵抗体を外す→導線上で、雑音電力の
長さ l
周波数に応じた定常波（固有振動）が立つ：
インピーダンスRの導線
nc
n 
2l
（cは伝播速度, n = 1,2,3,…..）
温度Tの抵抗体R
 よって、振動数νとν+dνの間に含まれる
固有振動モードの数は2l/c・dνとなる
 古典論的極限では、Boltzmann則により、運動の
1自由度あたりの運動エネルギー（の平均値）は1/2 kTに等しい。
 正弦振動では、<kinetic E> = <potential E> より、固有振動1あたり
の全エネルギーはkTである →振動数νとν+dνの間に含まれるエネル
ギーは 2l/c・kT・dνに等しい
 電磁波が導線を横切る時間Δt = l/c の間に、このエネルギーが抵抗体か
ら導線へ伝えられるので、導線が抵抗体から受け取る単位周波数あたりの
電力は P = ½・1/Δt・2l/c・kT = KT
Shot noise, Schottky noise
 デバイス内を流れる電子（またはキャリア）の個
数のゆらぎにともなう雑音
 この雑音も周波数特性としてはかなり高周波ま
でのびている
 ショット雑音電流の2乗平均値 <i s^2>∝I（電
流の平均値）
Noise temperature （雑音温度）という概念
 デバイス：入力信号に対してある働きをもつ素子
 増幅、混合、方向性結合、分波、etc.
 いろいろな「働き」とは別に、必ずもってしまう「機能」
＝減衰
 減衰（吸収）がある → そこで付加される熱雑音がある
 付加される熱雑音を、入力換算で表したのが「雑音温度」
利得G
入力Tin
利得G
出力Tout
入力Tin
出力Tout
付加雑音
入力等価付加雑音Tnoise
Radiative transferからの理解
 Opacity
τ の媒質を通るradiationがどう観測されるか
τ
Iout=Ibg× e-τ
+ Bν(Tamb) (1 - e-τ)
背景放射 Ibg
温度 Tamb (LTE)
-τ = η
e
 伝送効率 η のデバイスを通る信号がどうなるか
利得G
入力Tin
出力Tout
温度 Tamb
入力等価付加雑音T’noise
Tout = Tin × η
+ Tamb (1-η) という現実を
Tout = (Tin + Tnoise) × η
であるとみなす（入力等価換算）
⇒ Tnoise = Tamb ((1/η) – 1)
伝送効率η と雑音温度Tn
 入力換算した雑音温度
→ Tn = Tamb (1-η)/η
例：
 常温（290K）で雑音温度が50 Kのデバイスがある。この伝送
効率は？ → η=Tamb/(Tn+Tamb)から0.85
 これを冷凍機により70Kまで冷やしたとき、雑音温度はどこまで
低減できるか？ → 70 K * (1-η)/η = 12 K
i.e., 冷却することにより、デバイスからの熱雑音を低減できる。
※ 減衰量（伝送効率）が冷却しても変化しないと仮定して。
 常温で雑音温度が3000Kもあった。このときの伝送効率は？
→ 0.088（通ってくる信号は入力信号の10%以下！）
多段受信機（cascade）
 微弱な天体信号を受信するためには、100 dB以上という信号の
増幅が必要。
Q1：口径 D = 10 m、開口能率ηa = 0.6、受信帯域幅 B = 200 MHzで
flux density S = 1 Jy (= 10-26 [W/Hz/m2])の点源を観測したとき、受
信される電力は何Wか？
ヒント： W = ½ Aeff・S・B
= ½ ηa・π (D/2)2・S・B = ? [W]
Q3：これはアンテナ温度 Ta に換算して何Kだろうか？
ヒント：ナイキストの雑音定理 W = k・B・Ta
Q2：これをμWオーダーの信号強度まで増幅するために必要な増幅
度を求めよ。
 このような増幅は、一つのデバイスでは不可能。20～30dB程度の
増幅度を持つampを、何段にも組み合わせて必要な強度まで持っ
ていく。
Cascade接続したときの雑音温度
G1
G2
G3
Tin
Tn1
Tn2
Tn3
 Tinがデバイス１（利得G1, 入力等価雑音温度 Tn1）に入る
→ G1(Tin+Tn1)
 これがデバイス２（利得G2, 雑音温度Tn2）に入ると出力は
G2(G1(Tin+Tn1) + Tn2) = G2・G1 (Tin + Tn1 + Tn2/G1)
→ 一般に、cascade接続したときの、全体としての雑音温度は
Tn = Tn1 + Tn2(1/ G1) + Tn3 (1/ G1 ・ G2) + Tn4 (1/ G1 ・
G2 ・G3) + ・・・
Cascade接続したときの雑音温度
 Tn = Tn1 + Tn2(1/G1) + Tn3 (1/G1・G2) + Tn4 (1/G1・
G2・G3) + ・・・
→ amplifierの多段接続の場合、全体としての雑音温度は、ほとんど初
段（Tn1）に用いるデバイスの雑音温度で決まる。
ex. NRO 220 GHz radiometer for adoptive phase correction
初段 = harmonic mixer, NF = 7.5 dB (Tn = (10^(NF/10)-1)
* Tamb ~ 1340 K), CL = 9.2 dB ← conversion loss; gain
の逆数
2段 = low noise amp (LNA), NF = 0.5 dB (Tn = 35 K), G =
30 dB
3段 = amp, NF = 2.0 dB (Tn = 170 K), G = 30 dB
→ 全体の雑音温度は、Tn = 1340 + 35*10^(CL/10) +
170*(CL/10* 1/10^3)
システム雑音温度
 望遠鏡を天体に向けているときのtotal power
W = kBG (Tn + Ta)・ e-τ
Tnはどのくらいになるか？
 受信機が付加する雑音
 Heterodyneシステムの場合、hν/kという量子限界あり。
 通常、数倍～10倍×量子限界程度。
 受信機など観測装置が付加する雑音以外にも雑音要因あり→大
気！（特にミリ波・サブミリ波で）
 大気による減衰＋付加される雑音を含めた、「観測システム全体と
しての雑音温度」を、システム雑音温度 Tsys と呼ぶ。
 W = kBG (Tsys + Ta)・ e-τ
 受信機の雑音温度 Tn を、しばしば受信機雑音温度 TRXと呼ぶ。
 RX: receiverの略語
 TX: transmitterの略語
システム雑音温度の測定
 システム雑音温度（大気込みの受信機雑音温度）の測定
 大気圏外に出て2温度のblack bodyを見せることができ
れば通常の（実験室における）雑音温度測定と同様に測
定できる（が、不可能）。
→ある仮定（absorberと大気の物理的温度が等しい）の
もとで測定。
 Taも大気の外で測定した場合のアンテナ温度（e-τの効果
を考慮して）。→「大気外」で定義した値であることを強調
するために、 Ta* と表示することも多い。
R-Sky法によるシステム雑音温度 Tsysの測定
 空（skyと呼ぶ：ただし天体がない方向）と、常温（room
temperature）の電波吸収体（Rと呼ぶ）を見たときの電波望遠
鏡の出力を測定する。
 測定１：Skyのときの出力は：
Wsky = kGB (TRX + Tatm (1– e-τ)) = kGB Tsys e-τ
 測定２：常温のLoad（電波吸収体）をみたときの出力は：
Wroom = kGB (TRX + Troom)
→ Wroom–WSky = kGBTroom e-τ（ただし Tatm = Troomを仮定）従って、
Tsys/Troom = Wsky/(Wroom-Wsky)
→ Tsys = Troom/(Y-1), Y = Wroom/Wsky
 Y factor; よくlogで表す。その場合の単位は [dB] デシベル
ｄB（デシベル）表現
 比を表す単位。特に電波では電力比を表す際に
用いる。
X [dB] = 10 log10 (P1/P2)
 0 dB → 1倍
 3 dB → 1.995倍（約２倍）
 10 dB → 10倍、20 dB→100倍、30 dB→1000
倍、。。。。
 -3 dB → 1/1.995倍（約0.5倍）
 -10 dB → 0.1倍、-20 dB→0.01倍、-30ｄ
B→0.001倍、。。。。
 P2 = 1 mWとして、電力の絶対値の表現に使うケー
スもある。その場合の単位は [dBm]を使う。
 問： 5等級差は何dBか？
アンテナ温度
 望遠鏡を天体に向けているときのtotal power
W = kBG (Tsys + Ta)・e-τ
 Ta: 天体電波によるアンテナ温度（天体からの到来電波
の電力をNyquist定理から温度換算して表示している）
 Tsys, Taはそれぞれどのくらいのオーダーになるか？
 今日の課題参照
 Tsysはcm波帯では受信機雑音温度Tnと等しい（数K～
数10K）←大気の透過率～１
 ミリ波では数10K～数100K、サブミリ波では1000Kを超え
ることもある←大気の透過率が<1、また、Heterodyne受
信機の量子限界も大きくなる
 一般に Ta<<Tsys
 Tsysのわずかな変動でもTaが覆い隠されてしまう。
天体からの信号だけを取り出す
 Determination of Ta* based on the Chopper-Wheel
method
電波望遠鏡につなげられた「電力計」の出力
W = kBG ( Trx
+ Tatm(1-exp(-tau))
+ e-τ・Ta*)
Trx: receiver noise temperature
Tatm: physical temperature of atmosphere
Ta*: antenna temperature (added power) due to observing
astronomical source
Beam switching + Chopper wheel法
 天体を向いている状態（on-source）と天体からビームを外し
た状態（off-source）を高速に切り替える。
 かつ、常温（room temperature）の電波吸収体(通称「R」）を挿
入できるようにする。
 測定１：on-sourceのときの、電波望遠鏡の出力は：
Won = kGB (Ta*・e-τ + TRX + Tatm (1– e-τ))
 測定２：off-sourceのときの出力は：
Woff = kGB (TRX + Tatm (1– e-τ))
 測定３：常温のLoad（電波吸収体）をみたときの出力は：
Wroom = kGB (TRX + Troom)
天体信号のアンテナ温度（大気吸収補正済み）
→ Ta* = {(Won–Woff)/(Wroom–Woff)}×Troom が得られる。
ここまでのまとめ（以下の用語の意味を確認すること）
 電波の観測技術（単一鏡）
 検出方法
 コヒーレント検出 vs インコヒーレント検出
 ヘテロダイン検出器 vs ボロメーター
 「雑音」
 ナイキスト定理
 雑音温度/雑音等価電力という概念





受信機雑音温度
システム雑音温度
アンテナ雑音温度
チョッパー・ホイール法
OFF点観測、ビームスイッチ法
放射の輸送と励起
熱力学平衡 Thermodynamic equilibrium
 radiation が、その周囲の媒質（放射が通過していく物質）
と、完全に熱平衡状態にある場合：Thermodynamic
equilibrium あるいは熱力学平衡と呼ぶ。
 この時、brightness distributionはPlank関数で表され
る。（i.e., 出てくる放射 Iν は黒体放射）
 このとき、輻射強度は、平衡状態にある周囲の温度のみで決まる（
黒体放射/黒体輻射）。
2hn 3
1
In = 2
c exp æ hn ö -1
ç ÷
è kT ø
º Bn (T )
強度 Intensity
ある方向の単位立体角内から、
単位時間に単位面積を通って
入射する、単位周波数幅あたり
の電磁波のエネルギー。
[W m-2 Hz-1 str-1]
[erg s-1 cm-2 Hz-1 str-1]
cf. Flux density [W m-2 Hz-1]
局所熱力学平衡（LTE）
 このような完全な平衡状態（Iν=Bν(T)という状態；放射と、放
射が通過する媒質とが、熱力学的に平衡状態にあると考え
ればよい。dI/dℓ=0）は、現実には、かなり限定された状況
でしか観察されない。
 しかし、局所的にTEであるとみなせるとき、local
thermodynamic equilibrium (LTE; 局所熱力学平衡)
にあるという。この状態では、放射と吸収はKirchhoff則：
εν/κν=Bν(T)で関係付けられている。すなわち、
 LTEとは：
「Iν≠Bν(T)であるが、Kirchhoff則が成り立っている状態」と
定義される。
 放射が、「熱力学平衡とみなせる媒質」を通過する状況を考えれば
よい。dI/dℓ≠0。
復習その０；輻射輸送 radiative transfer
 輻射 In ( ) が、ある微小長さd なる体積要素
を通過して In
(
+d
volume emissivity
)
になるとする。
ε [W m-3 Hz-1 str-1]
absorption coefficient
κ [m-1]
“背景輻射”
I (0)
微小要素 d
  0
  0
  0
星間媒質   0
0

I ()
電磁波が媒質中を
伝搬するとき、吸収と
放射によって強度が
変化する。
吸収による変化
放射による変化
0
-kn In d
en d
dIn
= -kn In + en
すなわち
d
輻射輸送方程式の解：いくつかの例
 吸収なし
In ( ) = In ( 0) + ò en ( ¢)d ¢
0
上のエネルギー順位にある
粒子のほうが低いエネルギー
順位にある粒子より多い状態
kn < 0 メーザー
kn > 0 指数減衰
 放射（沸き出し）なし
æ
ö
In ( ) = In ( 0) exp ç - ò kn ( ¢)d ¢÷ = In ( 0) e-kn
è 0
ø
 完全熱平衡（= 放射はプランク関数）
en

-kn In + en = 0  In =
 B T 
よって

kn
Kirchhoff’s law
LTEの場合
 Iν≠Bν(T)であるが、Kirchhoff則がよい近似とし
て成り立っている場合
dIn
= -kn In + en = -kn éëIn - Bn (T )ùû
d
I ()
微小要素 d
“背景輻射”
I (0)
  0
  0
  0
星間媒質   0
0
 0
光学的厚み opacity を導入

0

0
d   d
dI
 I  B T 
d
問：この解は？
LTEの場合の輻射輸送方程式の解
 星間媒質中では 0 £ £
t n -t n ( 0)
In ( ) = In ( 0 ) e
+e
tn
0
t n ( 0)
ò
tn
 星間媒質の外では
0
Bn (T (t ')) × e dt '
-t '
£
I    I  0   I 0e  0  
  0 
 '




B
T

'

e
d '
 
0
 LTEかつ等温媒質の場合は T (t ¢) = T = const.
In ( ) = In ( 0 ) e
-t n ( 0)
(
+ Bn (T ) 1- e
-t n ( 0 )
)
復習その１：体積放射率と吸収係数
 微小体積要素の中での放射の「湧き出し」と「減衰」を記述
 volume emissivity
ε [W m-3 Hz-1 str-1]
 absorption coefficient
κ [m-1]
 これらは、マクロな（巨視的な）物理量。
 放射や吸収を実際に？担っているのは、ミクロな（微視的
な）原子・分子の性質。
 すなわち、Einstein’s A係数 and/or B係数、および、各エネル
ギー準位にある粒子の数（数密度）。
h
 
   nu Aul
4
ガスの内部運動等
による線幅の効果
h
 
  n Bu  nu Bu 
4
gu 
c2
 h  

  n Au 1  exp  
2
8
g 
 kT  
復習その２：吸収係数と光学的厚み
 マクロな物理量⇔実際の観測量
 吸収係数は、実際には視線方向の積分量とし
て観測にかかる。
z
     dz
0
 
z
c 2  
0
8 2
 
z
c 2  
0
8 2
gu
nl Aul
gl
 nu gl
1 
 nl gu

 dz

gu
nl Aul
gl

 h  
1  exp   kT   dz



復習その３：源泉関数と励起温度(Tex)
 源泉関数（source function）
＝体積放射率と吸収係数の比
1
1
nu gu
 h  
 2h  gu nl 
 h 
2h 

exp
 
 2 
 1  2 exp 
 
  1 ← n
gl

c  gl nu 
c 
 kT 
l
 kTex  
3
3
 ある物質（体積要素）が、どのくらい放射を吸収した
り放射したりするか、を示す重要な物理量。
 上の準位にある粒子数と下の準位にある粒子数（
およびそれらの準位の統計的重み）で決まる。
  準位間の粒子数はボルツマン分布で（実際にボ
ツルマン分布になっているかどうかはともかく、無理
矢理）記述できる。「励起温度」
放射輸送方程式の解とその意味
 ある空間を占める星間物質の放射を考える。
 そこでの源泉関数と励起温度が場所によらず一
定とみなせるとき、放射輸送方程式の空間方向
の積分がただちに解けて以下のようになる。
( )
( )
In (observed) = In (background) × exp -t n + Sn éë1- exp -t n ùû
背景から来た放射が
星間物質で減衰を受ける
 星間物質がLTEとみなせるなら
重要
星間物質内で
付加される放射
Σν= Bν(T)
放射強度の温度（輝度温度）表現
 Rayleigh-Jeans近似が有効な波長・温度領
域では、放射強度を温度として表現することも
問：具体的に近似が
多い。
使える波長・温度は？
 熱的な放射を考察する際に特に有効。
-1
2hn 3 é æ hn ö ù
2kn 2
In = 2 êexp çç
÷÷ -1ú = 2 TB
c êë è kTB ø úû
c
hν/kT <<1 なら
h
 h 
exp 

1


kT
 kT 
 Iνのかわりに、次式のような関係でTbを使う。
c
TB =
I
2 n
2kn
2
同じ輝度温度でも、周波数が
異なると、放射強度としては
ν2の依存で異なることに注意。
RJ近似の有効範囲
h/k = 4.79927×10-11 [K/Hz]
Line
λ

Hα
0.656 μm
[Hz]
h / k
[K]
[CI]3P2-3P1
371 μm
CO(1-0)
2.6 mm
HI
21 cm
4.57×1014
8.09×1011
1.15×1011
1.42×109
2.2×104
(問)
(問)
6.8×10-2
サブミリ波～さらに短波長側では RJ近似ではなく
Plank関数に戻って計算すべき。
問： CO(1-0)輝線では、hν/kT << 1の近似は可能か？
問：[CI] 3P2-3P1輝線では？
再結合線について
再結合線とその波長
1
nn
但し
1 1 
 RM  Z   2 2 
 n n 
2
eff
Zeff: 有効核電荷
n: 主量子数（遷移前）
n’: 主量子数（遷移後）
m

RM  R 1   m: electron mass, M: ionic mass
 M
2 2 me4
7
R 

1.097373

10
ch3
[1/m]：Rydberg constant
あるいは
e2
2(4 0 )a0
この２つは
 Ry ~ 13.60570
Ry
 R という関係。
hc
[eV]：Rydberg unit
電波領域で観測される再結合線とは
 主量子数nが大きく（電子の励起状態が高く）かつ、n’～n の
とき、λn’nは赤外～電波域に入る。
 HII regionでは、一部の電子は紫外域で放射を出してただ
ちに基底状態まで落ちるが、一部の電子は、たくさんのエネ
ルギー準位を、カスケード式に落ちながら、より長波長側（=
赤外～電波）で再結合線を出す。
 H原子の場合、n~100で電波領域にくる（cR～3.288×1015 Hz
になることを確かめよ）。
 n’=n+⊿n、かつn, n’ ≫1とすると、
1
nn
 2RM Z
2
eff
n
n3
←
2
 1 
d  2    3 dx
x
x 
再結合線の命名則
 ⊿n=1の場合がα、⊿n=2, 3, …. の場合をそれぞ
れβ、γ、…と呼ぶ。
 命名則：原子記号、イオン化の階数、主量子数（n’）、
遷移（⊿n）の順で情報を並べる
 例：ヘリウムイオンの、n=111→109の再結合線は、
HeII109β
問：これらは？
112
111
110β
110
HeII 109β
109
リュードベリ原子の性質（１）
「原子の大きさ」～励起電子の、核子からの平均距離 ∝ n2；基底状
態の半径（Bohr radius）は

4 0 2
11
a0 
 5.291772 10 [m]
2
mee
2
h
2
a

n
n番目の軌道半径は n
Z 2 me 2
 もちろん、厳密には方位量子数lによっても半径は変わってくるが、
n=10でr/a0 ～ 102, n=100で r/a0 ～ 104 程度。
→ 猛烈に「膨れ上がった」原子になっている。
 リュードベリ原子：基底状態の電子配置から、一つの電子が、主量子数n
の（極めて）大きい軌道に移った状態の原子を、「高励起原子」あるいは「リ
リュードベリ原子」と呼ぶ。物理的に興味深い状態。
リュードベリ原子の性質（２）
 小さい電離エネルギー
 何せ電子が明後日を飛んでいるので、非常に簡単に電離して
しまう。
 水素原子の式で電離エネルギーを概算すると、
 n=10の状態は0.136 eV
 n=100では、1.36 ミリeV
 室温における熱エネルギー～kT ～30ミリeV程度
→ 実験室内にn~100のリュードベリ原子を生成しても、
室内の熱で一瞬にして電離。
 実験室実験は極めて困難。
 再結合線を放射するためには、「リュードベリ状態」にある原
子が多数存在している必要がある。これは、地上の実験室で
はありえない状態。
リュードベリ原子その安住の地とは
GBT望遠鏡
1度
4分角
 地上にはない。
 天空にあった。
 HII領域（電離領域）
 電離源となる大質量星がある領
域。多量のガスとダストでしばしば可
視光では暗いことも。
 星形成を研究するよいツール
JHK3色カラー合成
例：W3（大質量星形成領域）
分子からの放射
分子が持つ全エネルギー
 核子（質量M）と電子（質量m）の運動がdecoupleしている
という断熱近似（Born – Oppenheimer近似）のもとで、
order estimationをしてみる。
 分子が持つ全エネルギー Etotは、
Etot = Erot + Evib + Eel(re)
m m
： 1
それぞれのエネルギー比はおよそ 
：
M  M
 Erot：分子の回転エネルギー
 Evib：分子の振動エネルギー
ただし、m/M
 Eel：電子の束縛（電子励起）エネルギー
~ 10-4 – 10-5
（equilibrium separation reの関数となる）
問：このエネルギー比になることを示せ。また、それぞ
れのエネルギーが観測される波長域を述べよ。
参考： Rybicki & Lightman著 “Radiative Processes in Astrophysics”,
chapter 11 (Molecular structure)の冒頭を参照
2原子分子の回転スペクトル
 多原子分子でも、直線状分子（linear molecules）なら同
様。
 分子の回転は、2つの原子を結ぶ分子の軸と直行する
軸のまわりの剛体回転（rigid rotator）で近似できるとす
る。
 このときの回転エネルギー Erotは
 Erot = hBJ(J+1)
 J：回転量子数（J=0, 1, 2, …）
 B：回転定数 B = h/(8π2I)
Iは分子の回転軸のまわりの慣性モーメント。
I=μr2 （ここでμは換算質量、rは原子間距離）
 通常の2原子分子だと、B ~ 10 - 100 GHz になる。
遠心力の効果
 現実には、分子は完全には剛体ではなく、回転
が速くなる（Jが大きくなる）と、遠心力の効果によ
り慣性モーメントが増大する。通常、その効果を
遠心力定数Dで表す。このとき、
 Erot = hBJ(J+1) – hDJ2(J+1)2
 DはBと比較して小さい（D = 100 ～ 1 kHz）ため、第
一次近似としては、遠心力定数の効果は無視してよ
いことが多い。
 が、high-Jになるほど（角運動量が大きくなるほど）当
然ながら無視できなくなる。
Linear moleculesの分子定数
分子
CO (Carbon monoxide/一
回転定数
B (GHz)
遠心力定数
D (MHz)
10-18 [esu・cm]
3.34x10-30 [C・m]
永久双極子能率
μ (Debye)
57.8975
0.189
0.10
CS
(Carbon monosulfide/
一硫化炭素)
24.58435
0.040
2.0
HCN (hydrogen cyanide/
44.31597
0.1
3.00
6.08149
0.00131
0.709
酸化炭素)
シアン化水素)
OCS (Carbonyl sulfide/酸
化硫化炭素)
HC3N
(Cyanoacetylene/
シアノアセチレン）
4.54907
3.6
Townes & Schawlow, “Microwave spectroscopy” (1955)
選択則
 選択則：⊿J = ±1
 （electric dipole transitions：すなわちpermanent
or rotationally induced electric dipole moment
を持つ場合）
 したがって、回転遷移により現れるスペクトルの周波数は
⊿Erot = 2B(J+1) or 2BJ
（J→J+1 or J→J－1の場合に対応）
 例：CO分子の回転遷移
 H2についで存在量の多い分子、H2との衝突により励起される
→ H2分子の定量に用いられる、非常に重要な分子線。
CO分子の回転遷移
http://www.strw.leidenuniv.nl/~moldata/datafiles/co.dat
Erot 
h2
J ( J  1)
エネルギー
8 I
 hBJ ( J  1)
2
Iは分子の回転軸のまわりの慣性モーメント。
I=μr2 （ここでμは換算質量、rは原子間距離）
42hB
J=6
E=116.2K
J=5
E=83.0K
J=4
E=55.3K
12hB
J=3
E=33.2K
6hB
J=2
J=1
J=0
E=16.6K
30hB
νJ=1→0 = 115.27120 GHz
20hB
2hB
裳華房「宇宙スペクトル博物館」
νJ=1→0=2B
http://www.shokabo.co.jp/sp_radio/labo/r_line/r_line.htm
E=5.3K
分子の回転運動の記述：より一般的な場合
 どのような分子でも、重心を通る軸のうち、そのまわりの慣性モ
ーメントを最小にするような軸をA軸、最大にするような軸をC軸
とすると、両者は必ず直交する（へえ〜）。この両者に直行する
軸をB軸と呼ぶ。
 このとき、この3軸を「慣性主軸」という。
 3軸のまわりの慣性モーメント（IA, IB, IC）が、
 すべて等しい  「球状コマ」
 すべて異なる  「非対称コマ」
 うち2つが等しい  「対称コマ」
球状コマ分子の例
 IA< IB=IC 扁長対称コマ
 IA=IB<IC 扁平対称コマ
「分子構造の決定」山内薫著
（岩波講座現代化学への入門）
扁長対称コマの例
（CH3Cl）
「分子の構造」第2版坪井正道著
（東京化学同人）
扁平対称コマの例（NH3とC6H6）
アンモニア分子の構造と反転遷移（1）
http://courses.washington.edu/phys432/NH3/ammonia_inversion.pdf
ファインマン物理学 V「量子力学」第8章の6「アンモニア分子」および第9章「アンモニア・メーザー」
 アンモニア分子はFig.1のような、対称コマと呼ばれるピラミッ
ド構造をもち、3つの水素原子が作る底面の上に1つの窒素原
子が位置している。
 この水素原子の作る面に対し、両側にはそれぞれ1 つのポテ
ンシャル井戸が存在し、窒素原子に対し2重のポテンシャル井
戸が形成される（Fig.2）。
Fig. 2. Double-well potential experienced by
nitrogen atom; equilibrium positions at ±z0.
アンモニア分子の構造と反転遷移（2）
http://courses.washington.edu/phys432/NH3/ammonia_inversion.pdf
ファインマン物理学 V「量子力学」第8章の6「アンモニア分子」および第9章「アンモニア・メーザー」
 井戸の間のポテンシャル障壁の高さは有限なので、トンネル
効果によって窒素原子はこの面を透過し、これをアンモニア分
子の“ 反転”と呼ぶ。この結果、窒素原子に対する振動準位
の基底状態はエネルギーの異なる2つの準位に分裂し、輝線
が放射される。
 さらに、その分裂の強度は分子の回転状態によってわずかに
異なるため、観測されるスペクトルにはアンモニア分子の回転
状態に対応した豊富な「反転遷移」が現れる。
Q：この2つの状態は、
エネルギー的には（一見）
同じに見えるのに、
なぜこの2つの遷移間
で放射が出てくるのか？
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Nitrogen-inversion-3D-balls.png
アンモニア分子の回転と反転遷移の周
波数への影響（微細構造線）
 回転定数が2つ。
B=
h
8p I B
Erot = hBJ(J +1)+ h(C - B)K
ただし J =0, 1, 2, …
K= -J, … +J
2
, C=
h
8p 2 I C
2 ※扁平コマであるアンモニア分子では、
慣性モーメントはIB<ICなので、
C-B<0であることに注意。
アンモニア分子の場合、
B=298.12GHz, C=187.43GHz
 全角運動量 P = J(J +1)
 対称軸方向(z軸=C軸)まわりの角運動量 Pz = K
2
2
 J>0かつK=Jの場合（角運動量ベクトルの向きが対称軸に平行で最大と
なる回転状態） 回転により、水素原子は窒素原子に近づくセンス。
反転遷移のポテンシャル障壁が低くなる反転遷移の周波数がK2に応
じて高くなる。
 J>0かつK<<Jの場合（角運動量のほとんどが対称軸と直行する成分で
占められている状態）回転により、水素分子間距離は小さくなる ポ
テンシャル障壁が高くなる反転遷移周波数はJ(J+1)-K2に応じて低く
なる。
窒素原子核との相互作用（超微細構造線）

窒素14Nの原子核は、核内の電荷分布の非対称性の結果として、四重極モーメントを
持つ。分子内の他の電荷が作る静電ポテンシャルと相互作用反転遷移のエネルギ
ーがシフト。

ここで、C = F(F + 1) - I(I + 1) - J(J + 1) である。I は核スピンで、14N に対し
てはI = 1 となる。F は核スピンも考慮した全角運動量 F = I + J に対応する量子
数でF = J +1、J、J-1 のいずれかの値をとる。
反転遷移ではJ およびK の値は変化しないが、F は通常の電気双極子放射における
選択則ΔF = 0、±1 にしたがって変化することができる。
J = K = 1 の場合を考えるとF は2,1,0 の値をとることができる。もしもΔF = 0 なら
ば、ΔEhyperne = 0 であり、輝線のシフトは起こらず1つのみである。ΔF = +1 に対し
ては、F = 0→1 とF = 1→2 の遷移が可能であり2つの輝線が生じる。同様に、ΔF
= -1 に対しても、F = 2→1 とF = 1→0という2つの遷移が可能。
このΔF =±1の遷移によってできる輝線が
M17SW
超微細構造線で、本来のΔF = 0 の輝線に対し、
(J,K)=(1,1)
高周波側と低周波側のそれぞれに2つずつ現れる。



Q:右図のスペクトル（観測例）で、
どの山がどの遷移に対応しているか？

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