電磁気学C

電磁気学C
Electromagnetics C
5/15講義分
電磁場のエネルギーと運動量
山田博仁
電磁場のエネルギー
誘電率  透磁率  の媒質中に電場 E と磁場 B が共存する場合に、空間に蓄え
られている電磁場のエネルギー密度(単位体積当たりのエネルギー) u は、
1
1 2 1
1
u   E2 
B   E2   H 2
2
2
2
2
電磁波は、この空間に存在する電磁場のエネルギーを、波数ベクトル k の方向に、
波の伝搬速度 v で運ぶ
単位体積当たりの
電磁場のエネルギー u
u
単位時間に単位面積を通過する
電磁場のエネルギー vu
vu
k
Poynting ベクトル
S  E  H  vu
v
電磁波は、単位時間に v だけ進む
u
S
v

EH
v
k
k
電磁波のエネルギー
1
1
媒質中の電磁場のエネルギー密度 u は、 u   E 2   H 2 で与えられるが、
2
2
E

平面電磁波の場合には、電場と磁場の大きさの間に

 Z の関係がある
H

1
1
従って、  E 2   H 2 つまり、電場のエネルギーと磁場のエネルギーは等しい
2
2
2
2
従って、電磁波のエネルギー密度は、 u   E   H で表せる
電場も磁場も正弦関数的に振動している場合、
E  E0 sinkz  t 
H  H 0 sinkz  t 
u は時間的にも空間的にも変動するが、1周期 (T=2p/)で平均すれば、
1
1 T 2
 1
 u   E   sin (kz  t ) dt   E02   H 02
2
T 0
 2
平面電磁波の場合、E と H は電磁波の進行方向 k に垂直な平面内にあるので、
k
と表せる。従って、
Poyntingベクトル S は、 S  E  H  vu
k
1
1
 S  v  u  v E02  v H 02
2
2
2
0
2個の点電荷間に作用する力
運動している2個の点電荷を考えたとき、それらの間に作用する力は、作用・反作
用の法則を満たしているか?
q1
E2(z1)
v1
1
B2(z1)
m
z1 1
F1
v2
q2
F2
2
E1(z2)
m2 B (z )
1 2
z2
速度 v2 で運動している2番目の点電荷 q2 が、1番目の電荷の存在する位置 z1
につくる電場および磁場を、E2(z1), B2(z1)とすると、質量 m1 電荷 q1 の1番目の点
電荷の運動に対して以下の運動方程式が成り立つ
m1
dv1
 q1 E 2 ( z1 )  q1v1  B2 ( z1 )
dt
速度 v1 で運動している1番目の点電荷 q1 が、2番目の電荷の存在する位置 z2
につくる電場および磁場を、E1(z2), B1(z2)とすると、質量 m2 電荷 q2 の2番目の点
電荷の運動に対して以下の運動方程式が成り立つ
m2
dv 2
 q2 E1 ( z 2 )  q2 v 2  B1 ( z 2 )
dt
2個の点電荷間に作用する力
さて、それぞれの点電荷の電荷密度と電流密度は、
1 ( x)  q1 3 ( x  z1 )
i1 ( x)  q1v1 3 ( x  z1 )
2 ( x)  q2 3 ( x  z2 )
i2 ( x)  q2v2 3 ( x  z2 )
Coulombの法則より、
q
x  z1
E1 ( x)  1
4p0 x  z1 3
E2 ( x ) 
q2 x  z2
4p 0 x  z2 3
B2 ( x) 
0 q2 v2  ( x  z2 )
3
4p
x  z2
Biot-Savartの法則より、
B1 ( x) 
従って、
0 q1 v1  ( x  z1 )
3
4p
x  z1
m1
dv1 q1q2 z1  z2 0 q1q2 v1  (v2  ( z1  z2 ))


3
dt 4p0 z1  z2 3
4p
z1  z2
m2
dv2 q1q2 z2  z1 0 q1q2 v2  (v1  ( z2  z1 ))


3
3
dt 4p 0 z2  z1
4p
z2  z1
2個の点電荷間に作用する力
m1
dv1 q1q2 z1  z2 0 q1q2 v1  (v2  ( z1  z2 ))


3
3
dt 4p0 z1  z2
4p
z1  z2
m2
dv2 q1q2 z2  z1 0 q1q2 v2  (v1  ( z2  z1 ))


3
3
dt 4p 0 z2  z1
4p
z2  z1
上式は、夫々の点電荷が他の点電荷からの力の作用の下で運動する時の運動
方程式。右辺第1項は、他の電荷からの静電力を現し、第2項は、他の電荷が作
る磁場内で受けるアンペールの力を表している。
上の2式の和をとると、
 qq
d
1
(m1v1  m2v2 )  0 1 2
[v1  (v2  ( z1  z2 ))  v2  (v1  ( z2  z1 ))]
3
dt
4p z2  z1
y
0
0
v2
z2 - z1
従って、点電荷間の静電力は作用・反作用の法則を満たしているが、アンペール
の力はこれを満たしていない。このため、二つの点電荷の全運動量は保存しない。
x
v1
何故でしょう ?
z
z1 - z2
2個の点電荷間に作用する力
前の議論では、二つの点電荷の全運動量が保存しなかった。
即ち、二つの点電荷間で作用反作用の法則が成り立たなかった理由は ?
理由その1. 電磁場の運動量を考慮に入れていなかった
・外力によって点電荷が加速されると、その点電荷は電磁波を放射する
・そしてその電磁波も、点電荷と同様に運動量 Ge.m. を持っている
・従って、電磁波の運動量をも考慮に入れてこそ運動量保存則が成立する
つまり、
d
(m1v1  m2 v 2  Ge.m.)  0
dt
理由その2. 自己場の影響を考慮に入れていなかった
・ E2(z1) や B2(z1) は、点電荷2が点電荷1の存在する位置 z1 に作る電場およ
び磁場
・しかし、点電荷1自身も、点電荷1の存在する位置 z1 に電場および磁場を
作るはずであり、この影響をも考慮する必要がある
微視的体系における運動方程式
領域 V の中に多数の点電荷が存在
q1 m1
z1
i 番目の点電荷に対する運動方程式は、
q3 m3
z3
q2 m2
z2
領域 V
qj mj
zj
qi mi
zi
d 2 zi (t )
dzi (t )

3 
3
3
mi

d
x
q

(
x

z
(
t
))
E
(
x
,
t
)

q

(
x

z
(
t
))

B
(
x
,
t
)
i
i
i
  i

dt 2
dt

V
  gradi V ( zi (t )  z j (t ))
i j
ここで、
V ( zi  z j )  G
mi m j
zi  z j
G: 万有引力定数
全点電荷に対して和をとると、
N
N
d N


3 
3
3 
3
m
v
(
t
)

d
x
q

(
x

z
(
t
))
E
(
x
,
t
)

d
x
q

(
x

z
(
t
))
v
(
t
)
 B( x, t )



i i
i
i
i
i
i






dt i 1
 i 1

 i 1

V
V
N
N
  gradi V ( zi (t )  z j (t ))
i 1 i  j
0
万有引力に関しては、作用・反作用の
法則が満たされている
微視的体系における運動方程式
N
N
d N


3 
3
3 
3
m
v
(
t
)

d
x
q

(
x

z
(
t
))
E
(
x
,
t
)

d
x
q

(
x

z
(
t
))
v
(
t
)
 i i  
i
i
i
i

 i
  B( x , t )

dt i 1
i 1

 i 1

V
V
N
div D( x, t )   qi 3 ( x  zi (t ))
i 1
D( x, t ) N dzi (t ) 3
rot H ( x, t ) 
  qi
 ( x  zi (t ))
t
dt
i 1

d N
D( x, t ) 

3 
m
v
(
t
)

d
x
E
(
x
,
t
)
div
D
(
x
,
t
)

rot
H
(
x
,
t
)


B
(
x
,
t
)
すると、


 ii  

dt i 1

t




V
ここでの電磁場は、点電荷系の自己場を含む
ファラデーの電磁誘導法則を用いると、

D
B D
( D  B) 
 B  D

 B  D  rot E
t
t
t
t
従って、上式の被積分関数は、
D

E div D  rot H  B 
 B  E div D  B  rot H  D  rot E  ( D  B )
t
t
1

  0 ( E div E  E  rot E ) 
B  rot B   0 0 ( E  H )
0
t
微視的体系における運動方程式
d N
mi vi (t )   d 3 x[ 0 ( E ( x, t )div D( x, t )  E ( x, t )  rot E ( x, t ))

dt i 1
V
1

0
B( x, t )  rot B( x, t )   0 0
N
ここで、
GM (t )   mi vi (t )

( E ( x, t )  H ( x, t ))]
t
Ge.m.(t )   0  0  ( E ( x , t )  H ( x , t )) d 3 x
i 1
と置くと、
V
d
[GM (t )  Ge.m. (t )]   d 3 x 0 E ( x, t )div E ( x, t )  E ( x, t )  rot E ( x, t )
dt
V
  d 3x
x 成分は、
V
1
0
B( x, t )div B( x, t )  B( x, t )  rot B( x, t )
0
( E div E  E  rot E ) x  E x div E  [ E y (rot E ) z  E z (rot E ) y ]
同様に、x 成分は、
 E E y E z 
 E E 
 E E 
  E y  y  x   E z  x  z 
 E x  x 

y
z 
y 
x 
 z
 x
 x
 1
1
1  

  E x2  E y2  E z2   ( E x E y )  ( E x E z )
x  2
2
2  y
z
( B div B  B  rot B) x 
 1 2 1 2 1 2  

B

B

B

(
B
B
)

( Bx Bz )
x
y
z 
x y

x  2
2
2  y
z
微視的体系における運動方程式
マトリクス形式で表すと、
 2 1 2
 Ex  E
2
Txz( e ) 


Tyz( e )    0  E y E x

(e) 
Tzz 

 Ez Ex

 Txx( e ) Txy( e )
 (e)
 Tyx Tyy( e )
 T (e) T (e)
zy
 zx
ここで、
Txx( e ) 
0
2
( E x2  E y2  E z2 )
Ex E y
E y2 
1 2
E
2
Ez E y
Txy(e)   0 Ex Ey



E y Ez 

1 2
2
Ez  E 
2

Ex Ez
Txz(e)   0 Ex Ez
磁場に関しても、
 Txx( m ) Txy( m )
 (m)
Tyy( m )
 Tyx
 T (m) T (m)
zy
 zx
 2 1 2
 Bx  B
(m)
2
Txz 


1 
Tyz( m )  
B y Bx


0
Tzz( m ) 

 Bz Bx

Bx B y
1
B y2  B 2
2
Bz B y



B y Bz 

1 
Bz2  B 2 
2 
Bx Bz
微視的体系における運動方程式
これらを用いると、
 0 ( E div E  E  rot E ) x 
ただし、
1
0
( B div B  B  rot B) x 
Txx Txy Txz


x
y
z
Ti j  Ti (je)  Ti (jm)
この Ti j は電磁場におけるマクスウェルの応力テンソル
領域 V にわたって積分し、ガウスの定理を用いて領域 V を囲む閉曲面 S 上の
面積分に置き換えると
 Txx ( x, t ) Txy ( x, t ) Txz ( x, t ) 
V d x  x  y  z 
3


  Txx ( x, t )nx ( x )  Txy ( x, t )n y ( x )  Txz ( x, t )nz ( x ) dS
S
 Fx (t )
d
従って、
[G M (t )  Ge.m. (t )]  F (t )
dt
F(t) は、領域 V 内に存在する点電荷系と電磁場に、外部から作用する電磁的な力
電磁場の運動量
この式の意味するところは、
d
[G M (t )  Ge.m. (t )]  F (t )
dt
N
GM (t )   mi vi (t )
i 1
Ge.m.(t )   0  0  ( E ( x , t )  H ( x , t )) d 3 x
点電荷系の全運動量
V
電磁場の全運動量
領域 V 内の点電荷系と電磁場に外部から作用する電磁的な力
点電荷系の電磁場に対する運動量保存則
電磁場の運動量密度
g   0 0 E ( x, t )  H ( x, t )   0 0 S ( x, t )
電磁場の運動量
G   gdV   S ( x, t ) 
V
V
S(x, t) は Poynting ベクトル
U は電磁場のエネルギー
1
U k
S
(
x
,
t
)

v 2 V
v k
U   udV
V

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