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核子とパイ中間子系での
“ずり粘性係数”について
arXiv:0711.1034 [hep-ph]
（PRDに掲載予定）
板倉数記（ＫＥＫ、総研大）
登壇者大友洋（東大理）
森松治（ＫＥＫ、東大理、総研大）
2007年 11/21 原子核・ハドロン物理：横断研究会
目次
１、動機、目的
・”ずり粘性係数（η）”とは？
・ ηが注目されるわけ
・なぜパイ中間子と核子のガスか？
２、方法
３、結果、議論
・ηの
温度依存性
バリオン化学ポテンシャル依存性
・η/sの
４、まとめ
温度依存性
バリオン化学ポテンシャル依存性
（s：エントロピー密度）
５、今後の展望
１、動機、目的
”ずり粘性係数”とは？
平衡から微小にずれた非平衡状態を特徴づける輸送係数
z
F
z
x
F
x
pull!
Ｌ
Vx : 流れ速度
Vx
F

A
L
一般的に書くと
Vx
Tzx  
z
ηが注目されるわけ
(ⅰ)完全流体模型を用い、重イオン衝突実験の結果を再現した
v2 : 楕円流れ
完全流体
非中心衝突
粘性ゼロ
y
z
強結合系
x
y
z
x
Adler,Afanasiev
etal.,PRL.91, (2003) 18
（ⅱ）”ずり粘性係数”（η）/エントロピー密度（s）に関する推測
（推測１） η/sは普遍的な下限を持つ
AdS/CFT対応が予言する下限（KSS bound）

強結合系
s
Kovtun, Son and Starinets ’05

1
4
（推測２） QCDにおいて、η/sは相転移点近傍で最小値を与える
・定性的に
・様々な系にて（水、ヘリウム、窒素など）
Hirano and Gyulassy ’06
Csernai, Kapusta and McLerran ’06
水
Ｐ

liquid
solid
22.06MPa
s
600Pa
Ｔ
gas
T (K )
273Ｋ
647K
なぜパイ中間子と核子のガスか？
これまでの仕事
系
衝突における散乱振幅
相互作用低エネルギー有効理論
パイ中間子のみのガス
Chen and Nakano
PL B 647(2004)371
現象論
Dobado,Llanes-Estrade,
Eur.Phys.J.C50(2007) 647
パイ中間子のみのガスにおける結果（追試計算）

s
低エネルギー有効理論
現象論
KSS bound
・T < Tc (カイラル相転移)で減少する。
・Tc近傍で、KSS boundを
わってしまう！
・KSS boundをわらないが、
十分小さい！
T (MeV )
核子を導入する動機
（Ⅰ） KSS boundに抵触する可能性がある

1
小

s

s
大
小？
（Ⅱ）バリオン化学ポテンシャルμ依存性を調べる事ができる
T
QGP
ハドロン-クォーク相転移
Liquid-gas相転移
ガス
ハドロン相
CSC
相構造が

s

の振舞いに、どう反映する？
これまでの仕事
系
相互作用
パイ中間子と核子のガス
低エネルギー有効理論
現象論
Chen et al. (2007)
hep-ph/0703230
？
 Prakash, Prakash,

and Welke,
 Venugopalan

Phys.Rept,227(1993)321
　
目的
・ η/sの議論なし
・限られたμとＴのみ
・量子統計の効果なし
パイ中間子と核子のガスにおいて、現象論による相互作用
（散乱振幅）を用い、ηとη/sのＴ、μ依存性を調べる
３、方法
ずり粘性係数の定義
Tij  2 (
iV j   jVi
2
1
  ij vVv )   ij vVv
3
 2 (iV j )trl   ijvVv
 : ずり粘性係数、 ：体積粘性係数
Tij : エネルギー運動量テンソル、 V :流れ速度
運動学的な表式
 Tij  g  d p
3
pi p j
E
 f  g N  d p
3
pi p j
 fN
EN
 f : 分布関数の平衡からのずれ
ここで、ずり方向の速度のずれしか考えないとすると
 f  B ( p, T ,  )  (iV j )trl ,  f N  BN ( p, T ,  )  (iV j )trl
よって、
pi p j
pi p j


3
3
 Tij   g  d p
B  g N  d p
BN   (iV j )trl
E
EN
分けられる！


 2(  N )  2
相対論的ボルツマン方程式
df  f

 v  f  C[ f , f N ]  C[ f , f ]
dt
t
k1
df N
 C [ f N , f  ]  C[ f N , f N ]
dt
衝突項
C[ f A , f B ] 
k2
弾性散乱を考える
k3
p
g
d f A (k1 ) f B (k 2 )1  f A (k3 ) 1  f B ( p)   1  f A (k1 ) 1  f B (k2 )  f A (k3 ) f B ( p)

2
量子統計性（ボゾンは＋、フェルミオンは－）
2
M
4 ( 4)
d    dk i

(
2

)
 (k1  k 2  k3  p)
3
(2 Ei )( 2 )
i 1, 2 , 3
散乱振幅
f  f   f
( 0)
fN  fN  fN
( 0)
の
 f
 fN
・低エネルギー有効理論
・現象論（実験値のフィット）
の１次までとる。
（チャップマンエンスコッグ法）
 el ：弾性散乱断面積
低エネルギー有効理論（LO）
現象論的
（微分散乱断面積をフィット）
フィットした領域
 el (mb)
 : s  1.15GeV
 N : s  2.00GeV
 NN : s  2.04GeV
s　(MeV )
 el (mb)
 el (mb)
s　(MeV )
s　(GeV )
T (MeV )
留意すべき点。
（一）散乱エネルギーがフィット
した領域を超えていないか？
T  50 MeV
現象論
 s  '
  500MeV
<p>+∑
低エネルギー有効理論
 (MeV )
p  f N (MeV )
( 0)
（二）十分、希薄か？
①
②

d
N
d
p (MeV )
①
 1
T (MeV )
 1
d ：相互作用長 
1
m
 ：の平均自由行程
N ：Nの平均自由行程
②
 (MeV )
~940MeV
４、結果、議論
（Ⅰ） ηの結果
 (GeV 3 )
μ大
ηは、μで増加している？
当初の予想は
1


小
 (GeV 3 )
横軸μでプロットしてみると、

   




T (MeV )
N
T= 100MeV
N
確かに減少
μが大きいところでは支配的
 (MeV )
（Ⅱ） η/sの温度依存性
エントロピー密度
平衡状態で評価する
低エネルギー有効理論（ＬＯ）
現象論


s
s
URASiMA
S.Muroya & N.Sasaki
μ大
T (MeV )
・現象論的な相互作用を用いると、KSS boundを下回らなくなる
・バリオン化学ポテンシャル（μ）が大きくなるとη/sは下がる → sの効果
・クォーク-ハドロン相転移点近傍に向け減少する
・ハドロンカスケード計算（URASiMA）から得られた結果とコンシステント
URASiMA
Monte Carlo hadronic collision event generator
T (MeV )
（Ⅲ） η/sのバリオン化学ポテンシャル（μ）依存性
（ⅰ）温度が高いところ
T=50MeV

s
T=100MeV
たしかにμに対して単調減少
（ⅱ）温度が低いところ
 (MeV )
急激な減少
T=10MeV

s
μが大きなところでは、
単調減少ではない！
 (MeV )
詳しく調べると、、
現象論
①μ≒940MeVを中心とした谷構造


s
s
②温度が高くなるにつれて谷は
浅くなる（T=20MeVでは平坦）
忘れてはならない二つの事柄
（一）散乱エネルギーがフィット
した領域を超えていないか？
 (MeV )
（二）十分、希薄か？
水
？
liquid-gas相転移
が見えている？
T

15MeV
940MeV
現象論
（二）十分、希薄か？
T (MeV )
①

s
谷の底
②
 (MeV )
①

d
 (MeV )
 1
②
N
d
940MeV
 1 ガスが希薄ではなくなるところ
・谷の底から右側（μ>940MeV）の値は、定量的には信頼できない
→１次相転移の跳びが見えない、相転移点の定量的な評価はできない
・ガスが希薄でなくなるところが谷の底と一致
liquid-gas相転移
クロスオーバーにいくにしたがい谷が浅くなる
を見ている？
５、まとめ
パイ中間子、核子のガスにおいて、現象論による散乱振幅
を用いた計算では、
・核子の効果は、η とη/sの値に、大きな影響をもたらす
ηは、μが大きいところでは、核子の寄与が支配的になる
η/sは、μ の増加に伴って、減少する (Tが低いところでは激減する)
・η/sはKSS boundを、わることはない
・η/sの振舞いは相構造を反映している可能性がある
６、今後の展望
・ハドロン-クォーク相転移点に近づくために、より重い粒子（Ｋ中間子、
φ中間子など）を取り入れる
・liquid-gas相転移点周辺を理解するために平均場の影響も含
め、粘性を議論する
・他の輸送係数（熱伝導率、体積粘性係数）も計算する
Backup slides
（推測２） η/sは相転移点周辺で特徴的な振る舞いをする
・ＱＣＤにて（定性的に） T.Hirano and M.Gyulassy, nucl phys.A769(2006)71

s
T
Tc
・様々な系にて（水、ヘリウム、窒素など）
水
Csernai, Kapusta and McLerran,PRL.97(2006)152303
Ｐ

liquid
solid
s
22.06MPa
600Pa
Ｔ
gas
T (K )
273Ｋ
647K
η/sは普遍的な下限を持つ。
Gauge theory
N = 4 super Yang-Mills theory
強結合
≠
QCD
P.Kovtun, D.T.Son and
A.O.Starinets(2005)Phys.Rev.lett.94,111601
Gravity
AdS/CFT対応
D3-brane
弱結合
M.Natsuume(2007)hep-ph/0701201

s

1
4
ππ
B.Ananthanarayan, et.al.(2000)
K.L.Au et.al. (1987)PR.D.35,1633
πＮ
P.Bareyre ,et.al. (1967)PR,165
Hyams, et.al. (1973)Nucl.phys.B,64,134
ＮＮ
NN online(Nijimegen)
平衡状態での温度、バリオン密度相図
T
QGP
Hadron
phase
CSC
μ
Le Chatelierの原理
他からある系に外力が加えられた時、系はその影響を最小限にする様に振舞う。
V
V
Vで補修しようとする。
外力
空間
Tij  2 (
iV j   jVi
2
空間
1
  ij vVv )   ij vVv
3
 : ずり粘性係数、 ：体積粘性係数
平衡からのわずかな「ずれ」を仮定している。
ずり粘性の簡単な評価方法（by Maxwell）
仮定1、運動学的な粒子系を考える。
（粒子間相互作用は衝突のみ！）
平均自由行程
1
l
(n : 粒子密度、  : 衝突断面積 )
n

l
z  0, x  0での単位面積当たりの圧力Tzxを考える。
ro  l
r0 : 相互作用長
上平面の図
Ｚ
Ｘ
圧力＝粒子の総力積＝質量×速度×粒子数
Tzx
仮定2、平衡状態の時の速度分布が成り立つとする。
z=0、x=0の単位面積において単位時間に単位立体角
ｄΩ方向からやってくる粒子の数は
d
N ( )  n v cos 
4
z
x
v

d
仮定3、速度場はz=0の周りで、以下の様に展開できるとする。
 V 
Vx (l cos )  Vx (0)  l cos  x 
 z  z 0
よって、単位面積に入ってくる粒子の速度は
z=0の速度と相対的に見て
 V 
V  Vx (l cos )  Vx (0)  l cos  x 
 z  z 0
z
x
l

よって、圧力は
Tzx  m  N ( )  V ( )
と書ける。
l
2  Vx 
Tzx  m n v  d cos  

4
 z  z 0
 Vx 
  

 z  z 0

mv
3
ずり粘性の簡単な評価方法（by Maxwell）
仮定1、運動学的な粒子系を考える。
（粒子間相互作用は衝突のみ！）
平均自由行程
1
l
(n : 粒子密度、  : 衝突断面積 )
n

l
ro  l
r0 : 相互作用長
仮定2、平衡状態から微少にずれた非平衡状態と考える。

mv
m : 粒子質量
3
v : 平均速度

mv
3
粘性の性質
・相互作用が強いと、小さくなる。
・系を構成する粒子の種類のみならず、一般に温度、
密度依存性を持つ。
模型が妥当な場合
・運動学的な系である。（気体）
ずり粘性の簡単な見積もり

mv
3
・実験値にfitしたもの
・カイラル摂動論から
導かれるもの（主要項
のみ）
混合系での“ずり粘性”の簡単な評価
mi ni  vi 
i li
 


3
l
i
i
i
i
 ij 1  mi / m j
 ij 
 ii
2
i
nj
1    ij
ni
j i
li : i番目要素の平均自由行程
 ij : i番目要素と j 番目要素との散乱断面積
[パイ中間子のみの系]
df
 C[ f , f ]
dt
手順
ボルツマン方程式
（局所）平衡状態の場合
df 0
 C[ f 0 , f 0 ]  0
dt
1
1
v
V

(
,
)
f0 
,


2
2
1 v
1 v
exp(p V )  1
衝突項
C[ f A , f B ] 
k1
k3
k2
p
ro  l
r0 : 相互作用長
g
 d f A (k1 ) f B (k 2 )1  f A (k3 ) 1  f B ( p)   1  f A (k1 ) 1  f B (k 2 )  f A (k3 ) f B ( p)
2
d 
  dk
i 1, 2 , 3
M
i
散乱振幅
2
(2 Ei )( 2 )
 (2 )  (k1  k 2  k3  p)
4
3
4
散乱振幅　M
カイラルラグラジアン
2
m 
1 2  
L  D     D
2
2

 2
2
1
D
1

2
f
2
 2   2 
 1   2    2   
 f   f 
1
(2 I  1) | M ( I ) |2

9 I 0,1, 2
1
4
2

21m  9s 2  24m s  3(t  u ) 2
9 f
| M |2 


カイラル摂動論
p
4f 
の展開。
適用限界
p  4f  1GeV
局所平衡状態への補正
Chapman-Enskog法
df 0
 C[ f 0 , f ]  C[f , f 0 ]
dt
f  f 0  f
一方、
Tij  2 (
iV j   jVi
2
f
x
1
  ij vVv )   ij vVv
3
 2 (iV j )trl   ijvVv
ここで
  dp
pi p j
E
f ( p)
( p i p j )trl
f  f 0 (1  f 0 ) B( p)
( iV j )trl
T i j
とおく。
pi p j
( p p )trl
Tij   dp
f 0 (1  f 0 ) B( p)
(iV j )trl
E
T
つまり、B(p)について解ければ「ずり粘性」がわかる！
df 0
 C[ f 0 , f ]  C[f , f 0 ]
dt
( p i p j )trl
f  f 0 (1  f 0 ) B( p)
( iV j )trl
T


(
nV
)0
連続の式

i
f 0 p
左辺＝   i f 0
t E
エネルギー保存則  T   0
( pi p j )trl
pi
pi
T

 f 0 (1  f 0 ){ 2 (iT  i P) 
(iV j )trl  i ( )  X (iVi )}
T
hn
ET
E
T
p V 
 
T  
X   ( )n  ( ( )  2 )
n T
Cv T T
T

hn
T
 i ( )   ( iT   i P)   i 
T
T
hn
 f 0 (1  f 0 )
( pi p j ) trl
ET
 F ( B( p ))
B( p) 
(i )
直交関数 B ( p) での展開
( 2 y )
3
直交条件
d p
p
 (2 )3 f0 (1  f0 ) E
p
y
g
(i )
b
B
 i ( p)
i
B( r ) B( s )   r ,s
多項式 B (i ) ( p) の最も高次の係数は１とする。
（多項式はmonicであるとする。）
B ( 0 ) ( p)  1
B ( p)  p  a1
B( 2) ( p)  p 2  b1 p  b2
B(3) ( p)  p3  c1 p2  c2 p  c3

(1)
 f 0 (1  f 0 )
( pi p j ) trl
ET
B ( 0 )  F ( B( p))
ボルツマン方程式に
d3 p
py  
(r )
(r )
ˆ
ˆ
f
(
1

f
)
(
p
p
)
B

d
p
K
(
B
) をかけて解く！
trl
 (2 )3 0 0 T
 
 dpK ( B ( 0 ) )  C[ f , f ( B ( 0) ( p))], dp K ( B ( 0) )  C[ f , f ( B (1) ( p ))]　 dp K ( B ( 0) )  C[ f , f ( B ( N ) ( p ))] 


 b0 
 L    
  
 
(1)
(0)
(1)
(1)
d
p
K
(
B
)

C
[
f
,

f
(
B
(
p
))]


 0    dp K ( B )  C[ f , f ( B ( p ))],　



 b1 

  
 



  
 
0 
   dp K ( B ( N ) )  C[ f , f ( B ( 0) ( p ))],　 dp K ( B ( N ) )  C[ f , f ( B ( N ) ( p ))] bN 




3
y
(1 y )
p
( )
0
3 0
B( p) 
b B (i ) ( p)
L

d p
f (1  f ) p
(2 )
切断近似
g

１次
L   dp K ( B ( 0 ) )  C[ f , f ( B ( 0) ( p ))]b0
２次
(0)
(0)
(0)
(1)
 b 
 L    dp K ( B )  C[ f , f ( B ( p))],  dp K ( B )  C[ f , f ( B ( p))]　 0 
   
 
(1)
(1)
 0    dp K ( B (1) )  C[ f , f ( B ( 0) ( p))],　 dp K ( B )  C[ f , f ( B ( p))]　 b1 

i
i
切断近似の収束性
散乱断面積の導出にカイラル摂動論の主要項を用いた時
b (0)
b (1)
b ( 2)
１次
460291.39
２次
573905.59
14100.260
３次
584025.97
13262.741
- 17.588780
（ T  20MeV）
１次
2次
3次
温度（ＭｅＶ）
カイラル摂動論の適用限界
衝突項 C[ f , f ] の中にある散乱振幅にカイラル摂動論が使われている。
df 
 C[ f  , f  ]
dt
L   dp (C[ f , f ] C[f , f ])
3
L( )
2 d p
(1 y )
 
f
(
1

f
)
p
0
3 0
B F [B ]
3T (2 )
T  120[MeV ]～140[ MeV ]
B p F [ B]
p 
B F [ B]
Weinberg流のカイラル摂動論
p
4f 
の展開。
適用限界
p  380～436[ MeV ]
標準偏差
  200[MeV ]
p  4f  1GeV
T  140 MeV までＯＫ！
Boltzman方程式を用いたずり粘性係数の見積もり
実験
カイラル摂動論
( p i p j )trl
f  f 0 (1  f 0 ) B ( p)
(iV j )trl  (iVi )  
T
B ( p)  p
y
bi B ( p)
(i )
i
直交条件
d3 p
p ( 2 y ) ( r ) ( s )
r ,s
f
(
1

f
)
B
B


 (2 )3 0 0 E  
( p i p j )trl
f N  f 0 N (1  f 0 N ) BN ( p)
(iV j )trl  (iVi )  
T
BN ( p)  p
bi BN ( p)
(i )
i
d p
p ( 2 y ) ( r ) ( s )
r ,s
f
(
1

f
)
B
B


 (2 )3 0 0 EN N N
3
直交条件
y
B ( p)と BN ( p)について解けばよい！
切断近似１次の場合
B ( p )  p b0 B
y
(0)
BN ( p )  p b0 BN
y
( p)
(0)
( p)
d3p
py  
( 0)
ˆ
ˆ
f
(
1

f
)
(
p
p
)
B
  dp K ( p)
0

0

trl
 (2 )3
T
d3 p
py  
( 0)
ˆ
ˆ
f
(
1

f
)
(
p
p
)
B
  dp K N ( p)
trl N
 (2 )3 0 N 0 N T
をボルツマン方程式
両辺にかけて解く
 b 
 L    dp K ( p)C[ f , f ]  C[f , f N ],  dp K ( p)C[ f , f N ]
 0 
   


 LN    dp K N ( p)C [ f N , f ],  dp K N ( p)C[f N , f N ]  C[ f N , f ]  b0 N 
2 d3p
( 2 y )
L  
f
(
1

f
)
p
0
3 0
3 (2 )
2 d3 p
( 2 y )
LN  
f
(
1

f
)
p
0N
3 0N
3 (2 )
散乱振幅　M
カイラルラグラジアン
 2  
 2g A 

L  N  2 t D(   t ) 
t D(  )  N
f 2
 f

Cs † 2

CT †  2
†
 N (i t 
)N  (N N )  
( N N )  
2M
2
2
†
1
D
1
| M N


2
f
2
g  1

2
g    A 
(2 2  2m  t ) 
2
f
4

2
f
  

2
2
   
 1   2    2   
 f   f 
1
2
|  ( E N  mN ) 2 2 g   p 4 sin  h 
2
2
2
| M NN
2
2

2
g  1
h   A 
 f  2
2
2


1 1 2
1 1

2
2
2
|  3(4mN )    r1 p  ip    r3 p  ip 
a 2
a3 2


 1

低エネルギー有効理論によるパイ中間子
と核子の系での
ずり粘性係数/エントロピー密度（η/ｓ）
η/ｓ
温度（ＭｅＶ）
化学ポテンシャル（ＭｅＶ）
温度（ＭｅＶ）
ボルツマン方程式の適応領域
ro  l
ボルツマン方程式が記述する系
平均自由行程
r0 : 相互作用長
1
l
(n : 粒子密度、  : 衝突断面積 )
n
r0  10 fm
  10[mb]  1[ fm2 ]
T  30MeV
  0～700[MeV ]
  750～800[MeV ]
  850[MeV ]
  900[MeV ]
5
3
4
3
3
3
n  10 [1/ fm ]
n  10 [1/ fm ]
n  10 [1/ fm ]
2
n  10 [1/ fm ]
3
l  10 fm
4
l  103 fm
l  102 fm
l  101 fm

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