数値相対論と重力波

数値相対論と重力波
国立天文台理論研究部
関口雄一郎
目次

§1. Introduction



§2. 数値相対論 primer
§3. 重力崩壊からの重力波


様々な重力波源
§4. 連星中性子星合体からの重力波


一般相対性理論の重要性
状態方程式を制限する
§5. 数値相対論の現状と展望
§１．Introduction


重力波
⇒ 質量エネルギーの時間変化に伴う重力場の変動
重力場の源となる物質場のダイナミクスに依存




重力場の非線形性が重要となる現象では、Newton理論と
一般相対性理論で大きな違い
⇒ 一般相対性理論を考慮に入れた計算が必要
⇒ 数値相対論
一般相対論的効果が物質場のダイナミクスに及ぼす
影響に注目
一般相対論の重要性①

ポリトロープ状態方程式での平衡天体の安定性



P  K
4




Newton 理論では
で安定
crit, N
3
一般相対論では
4
3
 crit,GR   2.78


P
4
GM
~

2
.
78
c 2
3
Rc2
中性子星 GM / Rc2 ~ 0.1 では    でも不安定
一般相対論的(強)重力の効果
一般相対性理論の重要性②

微視的物理過程と一般相対性理論




高密度物質の物理(強い相互作用、未知の部分が大きい)の
ダイナミクスへの影響
ニュートリノに関する物理(弱い相互作用、全てを考慮するの
が困難)のダイナミクスへの影響
いずれも精確な波形予測には重要
一般相対論と Newton 理論では大きく異なる
Shock velocity @ 300 km (1000km/s)
強い相互作用
van Riper (1988) ApJ 326, 235
超新星爆発
の計算
Incompressibility K(sym) (MeV)
Shock energy @ bounce (1052 erg)
弱い相互作用
Takahara & Sato (1984) PTP 72, 978

弱い相互作用の影響(電
子捕獲反応がどれだけ起こるか、
ニュートリノがどれだけ抜けるか)
超新星爆発
の計算

パラメータ d に集約


2
 Ylepton,bounce 
 : depends on weak rates
d ~
 Y

lepton,
init


d～崩壊前の圧力と崩壊時
の圧力の比
d～1：不安程度は小
⇒ Newton ではほぼ安定
⇒ 一般相対論では不安定
一般相対論の重要性③

一般相対論と回転

圧力項：
 P ~ 
1

1
1 
(  ) ~  1  1/ 3   ~    2 / 3
R
遠心力項
R ~ R( R ) ~ R ~ 
2

4
3
回転は  rot, eff ~ 5 / 3

Newton では安定
j  R 2 ~ const
 ~ R 2
回転重力崩壊での重力波
Dimmelmeier et al (2002) A&A 393, 523
GR
Newton



Rotation increases strongly during collapse
Newtonian : sub-nuclear bounce ⇒ Type II waveform
GR : stronger gravity super-nuclear bounce ⇒ Type I waveform
Strong qualitative difference in collapse dynamics and thus in waveforms
§２．数値相対論 primer
拘束条件式を
解く
現実的初期条件の
設定
メインループ
アインシュタイン方程式を解く
座標条件を解く
ブラックホール形成判定
地平面の決定
ブラックホール特異点に対応
物質場の方程式を解く
重力波を時空の
歪みから抽出
初期値問題としての定式化①

一般相対性理論



アインシュタイン方程式



時間と空間が融合した「時空」における理論
特別な観測者がいない ⇒ 一般共変性, 座標自由度
方程式中に時間微分と空間微分が混在して出現
どの型の偏微分方程式系なのか良くわからない
初期値問題として時間方向への発展を記述する
ように定式化
初期値問題としての定式化②

共変 Maxwell 方程式

時間方向成分



空間方向成分



ガウスの法則, モノポール無し条件 (楕円型)
時間微分を含まない ⇒ 時間一定面で満たすべき拘束条件
ファラデーの法則, アンペールの法則
電磁場の発展方程式 (双曲型)
アインシュタイン方程式の分解
 時間を含む方向


Hamiltonian 拘束条件, Momentum 拘束条件 (楕円型)
空間方向
 時間一定面の重力場の発展方程式 (双曲型)
安定な定式化

拘束条件式


時間微分を含まない
複雑な(非線形)楕円型偏微分方程式



解くのに計算量を要する
初期に満たされれば常に満たされることが数学的には保証
数値的には拘束条件の破れが単調増加


アインシュタイン方程式
⇒ 拘束条件式 + 発展方程式
シミュレーションの破綻を招く
発展方程式の安定な定式化


長時間安定にシミュレーションが可能
日本の研究者の大きな貢献

中村卓史教授(京大), 柴田大教授(京大) ら
§２．数値相対論 primer
拘束条件式を
解く
現実的初期条件の
設定
メインループ
アインシュタイン方程式を解く
座標条件を解く
ブラックホール形成判定
地平面の決定
ブラックホール特異点に対応
物質場の方程式を解く
重力波を時空の
歪みから抽出
座標軸の導入

絶対時間・空間がない！

時間方向と空間方向を計算者が指定することが必要

時間一定空間の各点での時間の進ませ方の自由度



ニュートン理論では時間の進み方は一様
特異点付近で時間の進みを遅くする
時間軸を空間方向に曲げる自由度


ニュートン理論では時間軸は時間一定面に垂直
慣性系の引きずりの効果を解消する
座標の導入

時間ベクトルの導入
t a   na   a ,



na  a  0
α: lapse function
 時間の進め方の自由度
β: shift vector
 空間座標の選び方の自由度
ニュートン理論では t = n

α= 1, β= 0
§３．重力崩壊と重力波

良い点


重力波が観測可能な距離のイベントに対しては、
よる観測で発生時刻の制限が可能
電磁波に
悪い点

対称性が高いので重力波振幅が小さい

何とか高振幅の重力波は放射されないものか？

理論計算



ほとんどが Newton 理論での計算
数値相対論での計算は遅れている
GR計算(青)、NR計算(赤)
重力波源

核密度を越えると状態方程式が硬くなる ⇒ core bounce
⇒ Gravitational waves from Rotational core bounce

衝撃波のstall ⇒ neutrino burst / heating ⇒ 対流, SASI / AAC
⇒ GWs from PNS /ν -driven convection, SASI/AAC

NR
g-mode oscillation of PNS
⇒ GWs from PNS g-mode oscillation

GR(PNS対流)
/NR
非球対称 neutrino 放射
⇒ GWs from anisotropic neutrino radiation

GR/NR
Proto-neutron star の非軸対称変形
⇒ GWs from triaxial deformation of PNS
NR
GR/NR
重力波振幅

四重極公式 :

2
2G 1 d Qij
h 4
c D dt 2
Bulk motion of mass :

rotational core bounce, non-axial instabilities of core
2





10kpc
M
R
f






nonsphe
~ 1020 





0.1
D
1.4
M





  10km   1kHz 

Rapid motion of envelope (near proto NS) :
 Convection, other non radial instabilities
2
2

C




2GM R  v 
10kpc
R
v






nonsphe
omp
20
~  nonsphe 2


  ~ 10 



c R D c
 0.1   0.3   D   10km   0.1c 

Anisotropic neutrino emission :
(ni n j )TT dL
4G
 10kpc  , aniso   L   t 
 
 52
hij  4  dt d
~ 1020 

c D
1  cos d
 D  0.1  10 erg/s  1s 
GWs from rotating core bounce

詳しく調べられている
Zwerger & Mueller (1997) A&A 320, 209;
Dimmelmeier et al. (2002) A&A 393, 523;
Kotake et al. (2003) PRD 68, 044023;
Ott et al. (2004) ApJ. 600, 834;
Shibata & YS (2004) PRD 69, 084024;
YS & Shibata (2005) PRD 71, 084013
Infall
bounce
ringdown

状態方程式と回転則により3 type
(Zwerger & Mueller (1997))



近似的 EOS
振幅～10-20 @ 10 kpc
周波数 : Type-I, -III ～1kHz
Type-II ～ 100Hz
Type-I waveform
PNS の
準
周期的振動
3-Types of Waveforms
Zwerger & Mueller (1997) A&A 320, 209; Dimmelmeier et al. (2002) A&A 393, 523;
長周期振動(~10ms ⇒ f～100Hz)
強い遠心力により
中心すら核密度以下
Bounce core mass 小
振幅は1桁小さい
3-Types of Waveforms
Zwerger & Mueller (1997) A&A 320, 209; Dimmelmeier et al. (2002) A&A 393, 523;
Mass増大, GR の効果
Type-II
Type-I
Type-III
黒：GR、赤：Newton
Realistic GR simulation
Dimmelmeier et al. astro-ph/0705.2675 , GR
Realistic
現実的状態方程式 + 電子捕獲反応では、
Type-II, Type-III waveform がきわめておこりにくい
GWs form convection andν-emission
Mueller et al (2004) ApJ. 603, 221 , NR




GW burst with memory
bounce + neutrino-driven convection + anisotropic ν-emission
GWs from the convection is small < 10-22
GWs from neutrino dominate in low frequency (h < 10-22 )
neutrino
bounce
νconvection
Total
GWs form anisotropic ν-emission



 aniso
Why amplitude is so small ?
δis very small as ～ 0.01
 Ott (2007) PhD
<Lν> is small ~ 1051 erg/s
 10kpc   , aniso
h ~ 10 22 

D

 0.01
 10kpc   , aniso
~ 10 22 

 D  0.01
  L   t 

 51

10
erg/s

 1s 
  L   t 

 52

10
erg/s
100
ms




GWs form PNS convection

YS (2009) , GR
現時点で最も進ん
だ数値相対論シ
ミュレーション





現実的状態方程式
電子捕獲反応
ニュートリノ生成
ニュートリノ冷却
ニュートリノ加熱は
考慮されていない

ニュートリノ加熱に
よる対流からの重力
波の計算はされて
いない
GWs from PNS g-mode
Ott et al. (2006) PRL 96, 201102 , NR



GW emission from l=2 mode
周波数: f ～ 600－1000 Hz
振幅: h ～ 10-18 @ 10kpc (detectable out to Mpc)
Acoustic SN mechanism



SASI/AAC turbulence excites fundamental (l=1) g-mode of PNS
g-mode damps by emission of acoustic wave, depositing energy
the energy deposition dominates the neutrino heating
 conversion more efficient than neutrino heating
 Shock revival by acoustic power
Entropy/vortex
perturbation
Acoustic
wave
g-mode
PNS
Shock
surface
GWs from triaxial deformation

ダイナミカル不安定性

T/W > 0.27を超えるような場合に起こる
Chandrasekhar (1969) “Ellipsoidal figures of equilibrium”

重力崩壊では
初期に高速回転かつ差動回転 (Ω回転軸/Ω表面＞100) が必要不可欠
圧力減少の度合いが大きいことも必要


Shibata & YS (2005) PRD 71, 024014 , GR
差動回転が強い場合に (T/W < 0.1でも) 起こる
Shibata et al. (2002) MNRAS 334, L27;
Watts et al. (2005) ApJL. 618, 37; Saijo & Yoshida (2006) MNRAS 368, 1429

Corotation resonance instability (possible mechanism)
Shibata & YS (2005) PRD 71, 024014 , GR
T / W |init  0.0127
M  2.5M
Dynamical instabilities (T/W>0.27)
Shibata & YS (2005) PRD 71, 024014 , GR
~ 1 kHz
Gauge inv.
Quadrupole
formula
hnonaxi ～ 10-19 ～ 10haxi @ 10kpc, f ～ 1kHz
R ,   10kpc 
19 
h  3 10 
 D 
0.01km



1/ 2
dE / df 
19 
heff  2 10  47

10
erg/Hz


 10kpc 


D


Dynamical instabilities (low T/W)
Ott et al. (2007) CQG 24, S139 , NR
~ 1 kHz

f ～ 1kHz に新たなピーク
Dynamical instabilities (low T/W)
Ott et al. (2007) CQG 24, S139 , NR
軸対称
軸対称 + 非軸対称
重力波－まとめ－





GW at core bounce

Burst emission, 3 characteristic types

hbounce ～ 10-21～10-20 @10kpc, fbounce ～ 500－1000 Hz
GW from convection

h PNS < 10-20 @ 10 kpc, fPNS ～ 100－1000 Hz

hνdriven ～ 10-22 @ 10kpc, fνdirven ～ 10－100 Hz
GW from anisotropic neutrino emission

hν～ 10-22 @ 10 kpc, fν< 100 Hz
GW from PNS g-mode
-18 @ 10 kpc, f
 hg-mode ～ 10
g-mode ～ 1000 Hz
GW due to non-axisymmetric deformation
 hhighT/W ～ 10-19 @ 10 kpc,
fhighT/W ～ 1000 Hz
 hlowT/W ～ several ×10-20 @ 10 kpc, flowT/W ～ 1000 Hz
g-mode
@ 10 kpc
high T/W
low T/W
bounce
PNS
convection
neutrino
νconvection
§４．連星中性子星合体からの重力波

数値相対論のメインターゲット


合体重力波波形から高密度物理に制限
チャープ重力波からNS質量がわかることが重要

連星の質量比、総質量による合体過程の違い


状態方程式（EOS）に対する合体の依存性


Kiuchi, YS et al, (2009), Kiuchi, YS et al. in prep.
YS, Kiuchi et al. in prep.
現実的シミュレーション

任意の状態方程式テーブルが利用可能


状態方程式の理論計算の不定性に依存
逆にいろいろな状態方程式モデルで計算をして制限可能
（単独の）中性子星から状態方程式を制限する①

中性子星の最大質量


観測された中性子星の
最大質量よりも
軽い最大質量を予言する状態
方程式（EOS）は棄却
そんなに重い中性子星は精度
よく観測されていない
（単独の）中性子星から状態方程式を制限する②

中性子星の半径（コンパク
トさ）



EOSが予言する質量‐半
径関係との整合性
高精度の見積もりが必要
半径（M/R）(と質量の同時)
の見積もりは困難
 Pulse profile (モデル依存)
 Redshift (モデル依存)
 QPO (モデル依存)
 慣性モーメント
連星中性子星から状態方程式を制限する①

Quasi-circular orbit
GNH3
APR
APR
GNH3
BPAL12
BPAL12
Bejiger et al. (2005)
連星中性子星から状態方程式を制限する①

Quasi-circular orbit
GNH3
APR
Bejiger et al. (2005)
BPAL12
数値相対論シミュレーションではISCOでの
これほどの急激な変化は見られない
連星中性子星から状態方程式を制限する②





合体⇒中性子星
現実的状態方程式を用いた計算
(Newton SPH)
S: (Shen et al. 1998)
 相対論的平均場
 相対的に硬く、半径~14km
A: (Akmal et al. 1998)
 3体力を考慮
 柔：核密度以下、硬：以上
 半径~11km (コンパクト)
LS: (Lattimer & Swesty 1991)
NR計算。円軌道にある準平衡形状から
 液滴模型に基づく
シミュレーションしていないので、定性的な結果
 相対的に柔らかく、半径~12km
Oechslin & Janka (2007)
中性子星連星の運命
連星の総質量と状態方程式で支えられる最大質量の
兼ね合いで決まる(EOS依存)
連星の合体後に（一時的に）出来る星が、
ブラックホール
重い中性子星
しかし、合体後の星は一般に強く早く差動回転
⇒遠心力は星の自己重力を支える要因
⇒支えられる最大質量が底上げ
Shibata & Taniguchi (2006); Kiuchi, YS et al. arXive:0904.4551
大質量中性子星形成

APR1414
重力波波形（ＡＰＲ1.4－1.4（HMNS））
インスパイラル
マージング
重い中性子星
（MHNS）の振動
チャープシグナル
個々の中性子星の
質量が決定できる Akmal-Pandhalipande-Ravenhall (APR) EOS
ブラックホール形成

APR1515
重力波波形（ＡＰＲ1.5－1.5（BH））
インスパイラル
ＢＨの
マージング固有振動
BH準固有振動（ＡＰＲ1.5－1.5）
角運動量保存則、見かけの地平面の特性、
BH準固有振動のからえられたBHのスピンパラメータ：
モデル依存性は低く a~0.78－0.8
重力波スペクトル（ＡＰＲ1.45（BH）＆1.4（MHNS））
BHが形成されるか重たい中性子星（HMNS）が
形成されるかで重力波スペクトルは大きく異なる
⇒ 状態方程式に制限
重力波スペクトル（総質量・質量比、EOS）
BHが形成される場合でも重力波スペクトルは
総質量・質量比、状態方程式によって異なる
⇒ 状態方程式に制限
状態方程式の特性

EOS : hybrid type : P  Pcold  Pth


Pcold : APR (Akmal et al. 1998) , FPS (Pandalipande-Ravenhall) ,
Sly (Douchin & Haensel 2001)
Pth : Ideal gas with gamma=2.0
FPS EOS is relatively soft
SLy EOS is relatively stiff
APR EOS is stiff at high densities
BH形成での重力波スペクトル

軽いNS連星でない場合、BHが形成される可能性


BH形成の場合でも状態方程式を制限できるか？
スペクトルの “universal feature”
 ‘ cutoff ’ frequency fcut , HMNS形成ではNS振動モードに隠れる
 hump with peak amplitude hpeak and width σ
M tot  2.8M solar
hpeak
M tot  3.0M solar
 f 1/ 6
f cut

Cutoff frequency


質点近似からの(潮汐変形による)ずれと関連
NSの構造、特にコンパクトさ、状態方程式の硬さの情報を含む



For fixed Mtot, fcut is higher for softer EOS (more compact configuration)
For fixed EOS, fcut is higher for larger mass model
1/ 6
h
f
Fitting function
0
h 
eff
exp[( f  f cut ) / f ]
M tot  2.8M solar
SLy14M tot  2.8M solar
Hump peak amplitudes


合体時に形成される‘ spiral arm ’ に関連
NSの構造、状態方程式の硬さの情報を含む
 For fixed Mtot , hpeak is smaller for softer EOS (smaller Mcrit)
 For Mtot ~ Mcrit model, hpeak is larger for softer EOS
 Gaussian Fitting
M tot  2.8M solar
SLy14
Spiral arm and Hump

SLy14 : Spiral arms are excited at the final moment
Spiral arm と状態方程式
Possible reason



バウンスは状態方程式が柔らかいほうが大きい
1
F  k ( x  x0 ), E  k ( x  x0 ) 2 ~ k 1
2
BH形成時にも圧力波として
エネルギーの一部が
運ばれる
APR145 Mcrit
Shock velocity @ 300 km [104 km/s]

van Riper 1988
SLy14 Mcrit
Summary


チャープ波形から総質量、質量比 ⇒ 状態方程式に制限
BH 形成




重力波スペクトルの “universal feature”
Cutoff frequency
 質点近似からのずれに関連 ⇒ コンパクトさ、EOSの硬さ
Hump の peak amplitude
 Spiral arm の強さに関連
⇒ 状態方程式の硬さ
大質量NS形成


hpeak
形成されたNSの振動モードの解析により状態方程式の情報
を取り出すことが可能
f cut
Discussion
P
P3

Parameter study も必要

現実的状態方程式モデル：

4パラメータポリトロープで記述可能
(Read et al. 2008)


NS構造はそれぞれのパラメータに
異なる依存性 (Ozel & Psaltis (2009))
例えば cutoff frequency はNSの中
心構造よりも表面付近の構造に敏
感で、hump peak は中心領域の状
態方程式の硬さに敏感ということは
ありうる
P2
P1
0

§５．数値相対論の現状と展望

何ができるか





一般相対論的磁気流体
テーブル化された一般の状態方程式
弱い相互作用(電子捕獲反応、ニュートリノ生成)
ニュートリノ放射(GR neutrino leakage)
何ができないか

ニュートリノ輸送


ニュートリノ加熱
やればできそうなこと

スカラーテンソル理論での重力崩壊
数値相対論のベクトル

大質量星の重力崩壊

高エネルギー天体現象の中心動力源(特にGRB)の解明
中性子星磁場の起源

どちらかというと astrophysics


連星中性子星の合体

重力波カタログ



パラメータ化された状態方程式を利用
重力波による状態方程式(強い相互作用)の制限可能性
Short GRB, あるいは他の高エネルギー天体現象との関連
展望

技術的側面


大質量星の重力崩壊



一般相対論的(ニュートリノ)輻射輸送
ブラックホール形成
GRB
連星中性子星の合体


パラメータ状態方程式で物理を抑える
数値シミュレーションに使いやすい状態方程式



原子核分野との共同研究
Short GRB
その他

スカラーテンソル理論、高次元理論

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