スライド 1

B：黒体輻射
２００６年１０月１６日
単位名
学部 :天体輻射論I
大学院：恒星物理学特論IV
教官名
中田好一
授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。
成績は「レポート＋出欠」でつけます。
授業の内容は下のHPに掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
1
B．１．黒体輻射の式の導出
温度Tの熱平衡にある、大きさL３＝Vの箱を考え、この箱の中の熱平衡輻射の
強度 B（ν、T）を決めたい。νは光子の振動数である。
ｎ（ν, Ω）＝周波数ν、進行方向Ωの光子の数密度、つまり、
ｎ（ν, Ω）ｄνｄΩｄV＝体積ｄV,周波数ｄν、方向ｄΩ（立体角）
の範囲にある光子の数とすると、
B(ν,T)＝ｃ・ｈν・ｎ（ν, Ω）である。
光子密度ｎは、量子状態の密度Dと各量子状
態にある光子数ｓ（ｐ）の掛け算で決まる。
ｎ（ν、Ω）ｄνｄΩｄV
ΔＰ
＝D（ν、Ω）ｄνｄΩｄV・<s(p)>＝光子数
ΔＸ
Ｐ
Ｘ
以下では、まず<s(p)>、次にD（ｐ、Ω）を調べる。
フォトンの量子状態はΔp3Δx 3= h3
毎に2（偏光）である。
2
＜ｓ（ｐ）＞
まず、与えられた量子状態に存在する光子の数<s>を調べよう。
ｃ・ｐ＝ｈ・ν ：運動量ｐの光子一つのエネルギー
Es=ｓ・ｈ・ν：光子ｓ個のエネルギー
Ps ：その量子状態に光子がｓ個存在する確率
すると、<ｓ>=∑ｓ・Pｓ
熱平衡のギブス分布は、Pｓ∝ exp(-Es/kT)=exp (ーｓ・ｈ・ν/kT)
となるので、ΣPn=1の規格化を課すと、
 sh 
exp 

 kT 
Ps 


 h   2h 
1  exp  kT     kT   

 





 h 
 2h 
 3h 
1
exp


2
exp


3
exp











kT
kT
kT







s   s  Ps  


 h 
 2h 
 3h 
3 
1  exp  kT   exp  kT   exp  kT   








この式を計算するため、ｘ＝exp(-hν/kT) とおく。 exp(-ｎhν/kT)＝ｘｎなので、
x  2 x 2  3x 3  ...
x
1
s   s  PS 



2
1
1  x  x  ...
1  x x 1
1
 h 
exp
 1
 kT 
（計算には下の二式を使った）
1
x  x  x  ... 
(1  x)
x  2 x 2  3 x 3  ...
2
 x  x 2  x 3  x 4  ...
3
 x 2  x 3  x 4  ...
 x 3  x 4  ...
 ...
 x  x 2  x 3  ...  x( x  x 2  x 3  ...)  x 2 ( x  2 x 2  3 x 3  ...)  ...
 (1  x  x 2  x 3  ...)(x  x 2  x 3  ...)
x
 x(1  x  x  x  ...) 
(1  x) 2
2
3
2
4
こうして、振動数νの光子の量子状態１つに存在する光子数の平均、
<ｓ> ＝ 1／ [ exp (ｈν/kT)－１]
であることが分かった。
D（ν、Ω）
次に、大きさL３＝Vの箱の中の光子の量子状態密度 D(ｐ, Ω)を考えよう。
一辺Lの箱の中の定常波と考えると、量子状態はΔ（L/λｘ）（L/λy）（L/λz）＝１
毎に２つ（光子の偏光があるため）存在する。
したがって、箱の中の量子状態の数は、
ΔN=２・Δ｛（L/λｘ）（L/λy）（L/λz）｝
＝（２L３Δ｛（１/λｘ）（１/λy）（１/λz）｝
＝（２V/ｃ３）・Δ｛（ｃ/λｘ）（ｃ/λy）（ｃ/λz）｝
＝（２V/ｃ３）（Δν）３＝（２V/ｃ３）ν２dΩｄν
D(ν、Ω)＝ΔN/（V・Δν・ΔΩ）＝２ν２/ｃ３
5
B（ν、T）
D(ν、Ω)と＜ｓ（ν、T）＞が求まったので、
B(ν、Ω、T)＝ｃ・ｈν・ｎ(ν、Ω、T) ＝ｃ・ｈν・ D(ν、Ω)・＜ｓ（ν、T）＞
を計算すると、
B ( , T )  c  h  D ( , )  s  , T 
2 2
 ch 3
c
1
 h 
exp
 1
 kT 
2 h 3
1
 2
c
 h 
exp
 1
 kT 
第１課 I（ν、Ω）のところでやったように、黒体輻射強度（Intensity）B（ν、T）は、
温度Tの熱平衡輻射が、単位面積を通って、その法線方向に単位立体角、単
位時間、単位振動数当たりに流れるエネルギー量という言い方もする。
6
B．２．黒体輻射の表示法
周波数表示Bν（ν、T)と波長表示Bλ（λ、T)
ｄB=Bν（ν、T)ｄν＝Bλ（λ、T)ｄλで、 Bλ（λ、T)を定義する。
Bν（ν、T)・ν（ｄν/ν）＝ Bλ（λ、T)・λ（ｄλ/λ）であるが、ν・λ＝ｃなので、
（ｄν/ν）＝（ｄλ/λ）
Bν（ν、T)・ν＝ Bλ（λ、T)・λ
したがって、
Bλ（λ、T)＝Bν（ν、T)・ν/λ＝（ｃ/λ２）Bν（ν、T) なので、
c 2h 3
B ( , T )  2
 c2
1
 h 
exp
 1
 kT 
c 2h c 3
 2 2 3
 c 
1
 hc 
exp
 1
 kT 

2hc2
5
1
 hc 
exp
 1
 kT 
7
対称表示 Bν（ν、T)・ν＝ Bλ（λ、T)・λ
対称表示はνとλが対称に扱える。
（BlackbodyＢ(ν,T)に限らず Intensity 一般に通用するのでＩで話す）
Ｉ（λ）＝（ｃ/λ２）Ｉｏ
例：Ｉ（ν）＝Ｉｏ＝一定
Ｉ(ν)
Ｉ(λ)
Ｉｏ
ν
λ
Ｉ(ν)ν＝Ｉ(λ)λ 表示では
λＩ（λ）
νＩ(ν)
ν
λ
8
表示法により、エネルギー分布の見掛けはかなり変わる。下の４つのグラフは
全て同じスペクトルを表している。ただし、logλ－Ｉ(λ)の図だけは曲線の下の
面積がエネルギー量に対応していない点に注意。
3
30
Ｉ(λ)
2 .5
2
20
I（ｋ）
I（λ）
Ｉ(ν)
25
1 .5
15
1
10
0 .5
5
0
0
2
4
6
8
0
10
10
8
6
λ
4
2
0
k=1/λ
3
4
Ｉ(λ)
2.5
3.5
3
I（λ）・λ
I（λ）
2
1.5
1
λ・Ｉ(λ)
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
0
0
-1
- 0 .5
0
logλ
0 .5
1
-1
- 0 .5
0
logλ
0 .5
1
9
黒体輻射の規格化表示
 h 


2h 3
1
2k 3 3  kT 
BT ,   2
 2 2T
h

c
ch


 h 
exp

1
exp


 1
 kT 
 kT 
3
 h 


BT ,  2k 3
kT 

 2 2
3
T
ch
 h 
exp
 1
 kT 
そこで、
3
この時、
1.6
1.4
1.2
1
F
 c 2 h 2  BT , 
h


F  3 
x
3
kT
 2k  T
とおいて、Ｆとｘの関係を図示す
ると右のようになる。
F=x^3/[exp(x)-1]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
x
2k 3 3
B , T   2 2  T  F ( x)  1.33381019  T 3  F ( x) ( W  m-2  Hz-1  K -3 )10
ch
8
log B(T,ν）とlogν の形で書き直すと、
  h 3 
 


3
 2k 
kT 


log BT ,   log 2 2   3  logT  log 
 h  
c h 
 exp
  1 

 kT  

log B(T,ν）＝3・logT+F(logν－logT) の形をしているので、
Ｂν（ν、Ｔ）のグラフが左
図のようであるとき
log Bν
logＴ+Δ logＴのBν（ν、Ｔ）のグ
ラフは右図のように左図の曲
線を平行移動したものである
。
log Bν
３Δ logＴ
Δ logＴ
logν
logν
このように、log-log 表示では黒体輻射は同じ形になる
11
全輻射強度Ｂ(T)=∫Bν(T,ν)dν= ∫Bλ(T,λ)dλ
B (T )   B ( , T )d
2 h 3
 2
c
1
d
h



exp
 1
 kT 
1
 kT  2h  h 
 h 
   2 
d


 h  c  kT  exp h   1  kT 


kT


4
3
σ = 2π5k4/15h3c2
＝5.6696 10 ー8 W/m2/K4
= ステファンボルツマン係数
2k 4 4
x 3 dx
2k 4 4 

 3 2T 
 3 2T
 T4
hc
exp x  1 h c
15 
4
全輻射強度Ｂ(Ｔ）を黒体表面からの全輻射フラックスＦ(T)と混同しない
ように。
Intensity = (σ/π)T4
Flux = σT4
12
B．３．黒体輻射のその他の性質
黒体輻射のエネルギー密度 U（Ｔ）
エネルギー密度 u（ν）は、
u ( , T )  h   n( , )d
右式では、Ｂ．１．の最後で導いた
ｎ(ν、Ω、T)
＝ D(ν、Ω)・＜ｓ（ν、T）＞
を使った。
2 2
 h 3
c
8h 3

c3
4
 h 
exp
 1
 kT 
1
 h 
exp
 1
 kT 
なお、
u ( , T )  h   n( , )d  4  h  n( , )
B , T   c  h  n( , )
であったから、
c
B  , T  
 u ( , T )
4
である。
13
したがって、黒体輻射の全エネルギー密度Ｕ（Ｔ）は、
U (T )   u ( , T ) d
4

  B  , T  d
c
4  4

 T
c 
4 4

T
c
 a T 4
4 8 5 k 4
16
a


7
.
5659

10
c 15c 3h3
J  m-3  K -4
は、輻射密度定数（radiation density constant）と呼ばれる。
14
レーリー・ジーンズ近似（ｈν/ｋＴ＜＜１）
x
h
hc 1.4388


 1
kT kT mT4


T 
 m 
, T4  4 
1m
10 K 

つまり、λ（μｍ）＞＞15,000/T(K) の時は、
Ｂ（Ｔ，ν）が下のような形で近似される。
2h3
1
2h3 kT
 2 2kT
BT ,   2
 2
 2kT 2  2
c exp h   1
c h
c

 kT 
2hc2
1
2hc2 kT 2ckT
BT ,   5
 5
 4
ch
 exp ch   1


 kT 
15
下のグラフは黒体輻射のｘ３/(exｐｘ－１）をレーリージーンズ近似ｘ２
と比べたものである。両者の差はｘ＝０．４ではまだ２０％あり、ｘ＝０．３
で１５％以下となる。ｘ＝０．３に対応する波長を見ると、
レーリージーンズ近似
x^2
x^3/(exp x -1)
ｘ＾２　or x^3/(exp x -1)
1
λ(μ）＞５０,０００/Ｔ（Ｋ）
0 .8
Ｔ（Ｋ）
λ（μｍ）
0 .6
100
500
0 .4
3,000
20
0 .2
10,000
5
30,000
2
0
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
x
16
ウイーン近似
（ｈν/ｋＴ＞＞１）
2h3
 h 
BT ,   2 exp 

 kT 
c
BT ,  
2hc2
 ch 
exp


5
 kT 

17
18
19
黒体輻射のピーク
黒体輻射のピーク位置は、表現法で変わる。
B(ν)＝ [B(λ)λ/ν]＝ [B(λ)λ２/ｃ]なので、
B(ν)
B(λ)
図に見えるように、ピーク位置波長
はＢ（ν）が一番長い。
Ｂ（λ）が短く、Ｂ（λ）λが中間。
B(λ)λ
＝[B(ν)ν]
logλ
  B ( , T )    B ( , T )
2k 4 4
x4
 2 3T
ch
expx   1
ピーク波長を求めるため、輻射強
度をｘ＝hν/ｋT で表す。
2k 3 3
x3
B( , T )  2 2 T
ch
expx   1
2k 5 5
x5
B ( , T )  4 3 T
hc
expx   1
20
ピーク波長（振動数）は、
（ｎ＝３，４，５）
の極大に対応する。数値的に極値を探した結果は以下のようになる。
dFn(x)
nxn1
x n exp(x)


dx
exp(x)  1 [exp(x)  1]2
x
1  exp( x)
nxn1[exp(x)  1]  x n exp(x)

[exp(x)  1]2
n[exp(x)  1]  x exp(x)
 x n1
0
2
[exp(x)  1]
x
n
1  exp( x)
ｘ
T4λμ
３
２
１
の解がピーク位置を与える
B(T,λ)
Fn(x)
４
ｘ5/[exp(ｘ)-1]
4.965
0.290
νB(T,ν) ＝ B(λ)λ
ｘ4/[exp(ｘ)-1]
3.92
0.367
０
０
１
２
３
Ｘ
４
５
B(T,ν)
ｘ３/[exp(ｘ)-1]
2.82
0.510
21
B．４．黒体輻射の数値表現
h=6.626×10-34 Js,
x
k=1.381×10-23 J/K,
h
hc 1.4388


kT kT mT4
B ( , T )

2h
c2
3


T 
 m 
, T4  4 
1m
10 K 

B ( , T )
1
 h 
exp
 1
kT


x3
 1.33510 T
exp x   1
19
3
 1.33510 7 T 3

ｃ＝2.998×108 m/s
7
3.97310
m
2hc2

5
W/m2 /Hz
3
x
exp x   1
1
Jy
W/m2 /Hz
 1.4388
 1
exp

 mT4 
3.9731019
1

Jy
3


m
1.4388
exp
 1

T
 m 4 
3
1
 ch   1

kT



exp 
8
1.191 10

5
m
1
 1.4388
 1
exp 
 T 
 m 4 
W/m
2
/m
22
黒体輻射
25
レーリージーンズ領域
傾き一定、
log Ｂ（ν、Ｔ）　[Ｊｙ]
20
T=30000
T=10000
T=3000
T=1000
T=300
T=100
T=30
T=10
T=3
T=1
強さはＴに比例
15
10
ウィーン領域
傾きと強さが
5
大きく変化する
0
-2
-1
0
1
log λ(μ)
2
3
4
23
B(T,ν)ν＝ B(T,λ)λ もよく使われる。
  B ( , T )    B ( , T )
2 h 4
 2
c
1
2hc2
1
 4

 h 
 hc 
exp
exp
 1
 1
 kT 
 kT 
1
 kT  2h  h 
  2 

 h  c  kT  exp h   1


 kT 
2k 4 4
x4
 2 3T
c h
exp x   1
4
4
4
9
 2.782 10 T K 
x
4
exp x   1
8
1.191 10
1

4
 1.4388 
m
 1
exp 
 mT4 


W/m
W/m
2
2
24
B．５．熱輻射
壁の輻射吸収率A、反射率 R と放射率 K
左図で、輻射が壁と熱平衡と
なった場合を考える。RとKに
は変化がない。
K・B(λ,T）＝放射光
温度T
熱平衡なので、壁の表面で、
入射光＝反射光＋放射光
I(λ）＝B(λ,T）
R・I(λ）＝反射光
である。したがって、
B(λ）＝R・B(λ）＋K・B(λ）
A・I(λ）
I(λ）＝入射光
＝吸収光
つまり、
R+K=1
である。
A・I(λ）＋R・I(λ）＝I(λ）
A+R=1
したがって、A=K=(1-R)
25
(a) 黒体
R=0 の表面はA=1であり、入射光を完全に吸収する。K=1な
ので表面からはB(λ、T)の輻射が放射される。
K＞１の表面は存在しない。すなわち、熱的な放射としては物
体の表面から黒体輻射以上の放射は起こらない。
（ｂ）鏡面
R=１の表面はK=０となるので、表面からの放射＝０である。
（ｃ）色の付いた物体
常温で赤い物体は0.6μｍより長い波長で反射率Ｒ（赤）が高く、
それより短い、典型的には青い、波長で反射率Ｒ（青）が低い。
したがって、赤い物体は放射率Ｋ（赤）は低く、Ｋ（青）が高い。つまり
赤い物体自身が出す放射光は青いのである。
26
問題2
出題平成18年10月16日
提出平成18年10月23日
A. 地球から見る太陽は直径θ＝３２′のほぼ一様に輝く円盤に見える。スペ
クトルの観測から、その表面輻射は温度T=5800度の等方的な黒体輻射
に近いと考えられる。地球が受ける太陽のフラックス(太陽定数)を観測す
ると F=１．３９５ kW/m2 である。
以上の数値を用いて太陽から地球までの距離を求めよ。
B. 反射率＝R（λ）、放射率＝E（λ）の、青い壁の部屋を考える。前章で説
明したようにＲ（青）＝大、Ｅ（赤）＝大である。この部屋の中を青い光、
Ｉ（青）＝強、Ｉ（赤）＝弱、で満たしておく。その状態で部屋を閉め切る。
壁の温度Ｔはどこも一定として、部屋の中の輻射はどうなるだろうか。
簡単のため、図で右向きと左向きの光のみを考える。
１）左向きのIo（λ）の光が壁に当ると、
反射光＝R（λ）・Io（λ）、
I
壁の熱放射＝E（λ）・B（λ,T）
R・I
E（λ）+R（λ）=1
E・B
右向きの光Ｉ１＝R・Io＋E・B
27
２）この光が又壁にぶつかると、
反射光＝R・（R・Io＋E・B）、
熱放射＝E・B
結局、第二回目の左向き光
Ｉ２（λ）＝R（λ）・（R（λ）・Io（λ）＋E（λ）・B（λ））＋E（λ）・B（λ）
閉じた部屋の中は、上のプロセスを無限に繰り返したときのＩ∞（λ）で
満たされるであろう。
Ｉ∞（λ）は最初に部屋の中に入れた輻射Ｉ０（λ）、壁の色にどう影響されるか？
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