数理論理学第1回

数理論理学第1回
茨城大学工学部情報工学科
佐々木稔
講義の概要
 証明、論理展開
 自然言語文を記号を用いて形式的に表現
 記号操作による推論
 学習目標
 命題論理による推論、証明方法の理解と実践
 1階述語論理による推論、証明方法の理解と実践
教科書、参考書
 「情報の論理数学入門」
 小倉久和、高濱徹行著
 近代科学社
 2,700円+税
 「情報科学における論理｣
 小野寛晰著
 日本評論社
 3,300円+税
講義予定
第1回
第2回
第3回
第4回
第5回
第6回
第7回
第8回
命題
論理式
命題論理式の解釈
命題論理と公理系
命題論理と推論
三段論法と背理法
中間試験
述語論理とは
第9回述語、変数、量記号
第10回述語論理の論理式
第11回述語論理の解釈
第12回冠頭標準形
第13回スコーレム関数と
スコーレム標準形
第14回導出と推論
第15回エルブラン定理と
導出原理
講義資料
 講義資料の配布はしません
 講義資料のダウンロードは可能
 http://sas.cis.ibaraki.ac.jp/logic/
 次回の講義資料
 前の週の金曜日ごろにアップロード予定
評価方法
 以下の項目を総合的に評価





出席（毎時間出す確認問題）
中間試験
期末試験
小テスト
レポート
 中間試験と期末試験の比率
 例年１：３（変化することもあります）
論理学と数理論理学（１）
 論理学とは
 人間の思考をモデル化
 文の真偽のみを着目した表現方法
 問題解決（推論や証明）を行う
 何のために使うのか？
 実世界の現象を論理的な側面から問題解決
 「真偽の定まった複数の文から、関連する文の真偽を
判定する」
 他人の問題解決を理解、整理する
論理学と数理論理学（２）
 数理論理学とは
 論理学をより数学的な理論で確立
 推論の機械化を志向
 数学的扱いを可能にするため、表現規則が存在
 命題論理、述語論理
 命題論理はブール代数と等価
 何のために使うのか？
 論理学と同じ
高校数学「集合と論理」
 命題
 基本的に数式が対象




条件（必要条件、十分条件）
「すべて」と「ある」
否定
逆、裏、対偶
大学での「数理論理学」
 命題論理学
 自然言語文による論理
 三段論法、背理法、帰納的帰結、トートロジー
 述語論理学
 命題から述語へ
 述語論理式の解釈
 述語論理式による推論と導出原理
 より深い論理へと続く…
命題
 真か偽のいずれかの値をとる、自然言語で表
現された文
 命題以外の文は真にも偽にもならない
 命題論理
 命題の真偽の組合せパターンを体系化
命題の例






太陽は西に沈む
今日は晴天である
6は素数である
太陽は恒星である
円周率は実数である
モナ・リザはレオナルド・ダ・ヴィンチが描いた
命題でない例







太陽の沈む方向
今日の天気
最小の素数
太陽は東に沈むかもしれない
明日は雨が降るだろう
21世紀中に世界の人口は倍になる
第二次世界大戦は1939年に始まった
例題
 「日本の首都は東京である」
 「今日はいい天気だ」
基本命題
 命題としてこれ以上分解できない命題






「この花は朝顔である」
「この花は朝顔である」
「今日は木曜日である」
「今日は金曜日である」
「この授業はレポートで成績を付ける」
「この授業は試験で成績を付ける」
複合命題
 基本命題を組み合わせて構成される命題
 「この花は朝顔である。
または、この花は朝顔である。」
 「今日は木曜日か、金曜日である」
 「この授業はレポート、かつ、試験で成績を付け
る」
 「今日も明日も雨は降らない」
 「今日か明日、雨が降る」
命題変数
 命題を変数として表現
 命題の真理値のみを考える
 「真」の場合は “T” (True)
 「偽」の場合は “F” (False)
 基本命題変数
 p, q, r, …(小文字の記号)
 命題変数
 P, Q, R, …(大文字の記号)
 「太陽は西からのぼる」を命題 P とする
 P=F
 「円周率は実数である」を命題 Q とする
 Q=T
 「円周率は有理数である」を命題 R とする
 R=F
 命題 QR という表記は存在しない

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