魔方陣講義第17回

魔方陣講義第１７回
素数次方陣と奇数次方陣
目次
素数次方陣
奇数次方陣
まとめ
素数次方陣とは？
方陣の一辺が素数になっている方陣
素数というのは、２，３，５，７，１１，１３，・・
のように自分自身と１でしか割りきれない
数。
ただし、ここでは５以上とする。
理由は、２方陣魔方陣は存在しないし、３
方陣魔方陣は完全方陣にならないので除
外。
完全方陣とは、対角線のみでなくすべての
斜め行の合計も同じになる魔方陣
素数次方陣の定義
したがって、素数次方陣の定義は一辺が５
以上の素数である方陣である。
１１方陣を作ってみよう。
方法はずらし法
偶数方陣とは違って、１行目には任意の順
列を入れることができる。
ここではいずれの場合も、
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10とする。
読者は別の順列で挑戦してください。
２行目以降は前行をＮ（２以上５以下の整数）
個ずらす。
Ｎは２以上５以下であれば任意であるがここで
はそれぞれ２と３とする。読者は別の数字で挑
戦しよう！
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奇数次方陣とは？
方陣の一辺が奇数になっているもの
奇数とは、２で割ったときあまりのでる数で
３，５，７，９・・・という数。
ただし素数は除く。素数次方陣の方が作り
やすく、より完全なものができるので、完全
度が低い奇数次の方法を適用することは
ないから
したがって、奇数次方陣とは３，９，１２，１
５，２１，・・・ということになる。３は素数であ
るが、３次魔方陣は完全でないので奇数
次魔方陣の仲間とする。
９方陣を作ってみよう
方法は素数次方陣と同じずらし法
ただし、１行目に入れる順列は１つ目の種
においては先頭に４、２つ目の種において
は一番最後に４を入れる。（４は０～８まで
の平均）
その他は任意に入れられる。
ずらし方は、１つ目の種は１ずらし、２つ目
の種は８ずらし（逆１ずらし）
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まとめ
素数次方陣と奇数次方陣の種の作り方は
２つ違いがある。
素数次方陣では１行目の順列は任意で
あったが、奇数次方陣では先頭または最
後に真ん中の数字を入れる必要がある。
素数次方陣ではずらし方は、２以上Ｎ以下
（素数を２Ｎ＋１とする。）の任意の異なる
二つであったが、奇数次では１ずらしまた
は逆１ずらしのみ。
したがって、２Ｎ＋１方陣について、
素数次方陣なら（２Ｎ＋１）！× （２Ｎ＋１）！×
Ｎ－１Ｃ２個の魔方陣ができる。
奇数次方陣なら（２Ｎ！）× （２Ｎ！）個の魔方
陣しかできない。
１１方陣を例にとると、１１！×１１！×５Ｃ２＝
15,933,509,222,400,000個約１京６０００兆
個
９方陣を例にとると、８！×８！＝
131,681,894,400個約１３００億個
つまり、５桁もできる個数が違う！
しかも、素数次は完全であったのに対して奇数
次は完全ではない。完全の意味は例えば緑の
合計も水色の合計も同じ６７１になる。つまり、
任意の斜め行の合計が同じになる。
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続く

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