Maximal likelihood法に基づくMatched filterについて

Maximal likelihood法に基づくMatched filterについて
Ref: Finn, PRD63, 102001 (2001)
Pai, Dhurandhar, Bose, PRD64, 042004 (2001)
Helstrom, “Statistical Theory of Signal Detection”, (Pergamon, 1968)
田越秀行（阪大理）
2004.4.22 LCGTコヒーレンス解析WG
2004.4.26 修正
Maximal likelihood法に基づくMatched filterについて
ガウス的時系列データ+信号のとき
Finn, PRD46, 5236
n(t )

(1992)
g (t )  
n(t )  s(t ;  ) ; s(t;  ) : signal，  :parameter
Likelihood ratio
P( g | s (  ))

P( g | 0)
P( g | s(  ))
P( g | 0)
:sが存在するとき，gを観測する確率
:sが存在しないとき，gを観測する確率
n(t )  g (t )  s(t ,  )より P( g | s( ))  P( g  s( ) | 0)と書ける
よって P( g | 0)を求めればよい．
ノイズ n(t) : 平均値=0のガウス過程とする
 1 gi2 
exp 

2
C
(0)
n


P( gi | 0) 
[2 Cn (0)]1/ 2
ノイズだけの時，個々の gi は
g  {gi ; i  1,
に従う
 1 N 1

exp    C jk g j g k 
2 j ,k 1
に従う


, N }は， P( g | 0) 
[(2 ) N det Cn,ij ]1/ 2
Cn ( ) : correlation function
Cn,ij  Cn [(i  j )t ]

g( f )g*( f )
lim  C g j g k  2  df
t  0
S n (| f |)

T  j , k 1
N
1
jk
連続極
限：

g ( f )h* ( f )
g , h  2  df
Sn (| f |)

とおくと，
P( g | s(  )) P( g  s(  ) | 0)
1




 exp  g , s(  )  s(  ), s(  ) 
P( g | 0)
P( g | 0)
2


未知パラメータを含むとき
ˆ ML : ( ) を最大にする 
Maximum-likelihood estimate: 
Maximum-likelihood 検定: max ( g ,  )  k のとき，検出とする

P0 [max ( g ,  )  k ]  
対応するfalse alarm 確率は
•信号の振幅


s(t , )   s(t )
1 2
ln ( g , )   g , s   s, s
2
これを最大にする  ML 
g, s
s, s
を代入すると
2
1 g, s  1 2 
ln ( g , ML ) 
  
2 s, s  2

S/N比： 2 
g, s
s, s
2 1
2
 g , sˆ , sˆ  s / s, s
2
と信号が表されている
1/ 2


g ( f )s * ( f ) 
   2  df

Sn (| f |) 


検出器が複数台ある時について
それぞれの検出器のノイズがお互いに独立ならば，
複数台の検出器があるときの，全体のlikelihood ratio 
個々の検出器のLRの積で書ける
g I (t )  nI (t )  s I (t )
N
ln    ln ( I )
I 1
 I I
  g , s
I 1 
N
1 I I
 s ,s
(I )
2

(I ) 

I

s (t )   s (t ) と，検出器によらない振幅を取り出す
I
N
ln    
I 1
ln 
1 2 N
g , s
   s I , s I
(I )
2 I 1N
I
を最大にする
I

は
 
(I )

g I , s I

s I , s I
I 1
N
I 1
(I )
(I )
は
このときのlnλは

I
I

g
,
s

1  I 1
ln  
N
2
I
I


s
,
s

N
I 1
2

(I ) 
  1 2
2
(I )
従って，検出器の感度に差があるとき，感度の悪い検出器か
らの寄与は，自動的に小さくなる．
これは平均値が
2 1
と規格化されたS/Nとなる
もしすべての検出器が同一ならば，
 N
I
g
, s

 2  2ln    I 1N
 s, s
I 1
となる．
2

(I ) 
 
(I )
1
 N
I
g
, s


N s, s  I 1

(I ) 

2
ある振幅Aをもつ信号を各検出器へ入射させる
g I  As(t )  nI (t )
すると，
2 
2
1
1




I
I





As

n
,
s

NA
s
,
s

n
,
s







N s, s  I 1
N
s
,
s
I 1



N
N


I

n
,
s



n I , s   I 1
N s, s
N
N
 NA2 s, s  2 A
I 1
平均値
  NA s, s  1,
2
2

2
I
I ,I 


n ,s n ,s 
s, s
I
2
2
一方，各検出器単独のS/Nは  one  A s, s  1
A
1
2
2
 one

N
S/Nは約
N
倍

2
S/Nの2乗和によるネットワークS/Nについて
Pai et al. (PRD64, 042004)：Inspiralの場合について，位相，偏極角，inclination角
について，解析的に最大化した．その結果，rhoは各検出器からのrhoの２乗和の
形となる．もし，各検出器からのrhoの２乗和を取ると，
N
2
2
qsum
  one
 NA2 s, s  N
I 1
2
N
A=0の時には，  qsum
2

つまり， qsum を規格化されたS/Nと解釈するためには
Nで割る必要がある．
2

Nで割ってしまうと，信号がある時の qsum の期待値は
2
2
2
１台の検出器の値と同じ．  qsum / N  A s, s  1   one
つまり，  にはS/Nのゲインが読みとれない．
より詳細には，確率分布関数を使い，false alarm rateを固定して検出効率を比較する必要
がある．
信号がないときには，カイ２乗分布の自由度を増やすことになるので，同じS/Nでのfalse
alarm rateは小さくなり，false alarm rateを固定すれば，S/Nの閾値が下がり，検出効率が
向上する．
しかし，2乗和によるネットワークS/Nの定義は，我々が期待する性質を持っておらず，注
意が必要．
少し疑問：解析的な最大化を取る前と後での検出効率の差はあるか？
参考： Matched filter の性質 (最大S/Nフィルター)
検出器出力：
g (t )  n(t )  h(t )
フィルター:
q (t )
フィル
ター
出力
c(t )  ( g q)(t ) 




'
'
'
'
dt
g
(
t
)
q
(
t

t
)
dt


2
*
2 ift
df
g
(
f
)
q
(
f
)
e



 h( f )
*
2 ift
2 ift 
, qe
  df h ( f )q ( f )e 
2


2
c
(
t
)
S
(
f
)
S
 
  n



 

2 ift
2 ift
qe
,
qe
c(t )  c(t ) 2 
N


2
df
S
(
f
)
|
q
(
f
)
|


 n

2

(a, b )   S n ( f )a( f )b * ( f )df
h 2 ift
(S / N )を最大にするのはq 
e
のときで，その時
Sn

2

g ( f )h* ( f )
S
| h( f ) |2
 
c(t )   df
    df
Sn ( f )
 N max 
Sn ( f )


Download Report