授業展開＃10

授業展開＃１０
アルゴリズムと数式の表現
コンピュータの推論
数式の性質と解釈
 四則演算
例 12 + (34 + 56) x 78
・加算と乗算の結果は項の順序に依らない
（可換律）。減算、除算は可換ではない。
・２つ以上の演算を含む場合の演算順序は括
弧を使って表す。
・乗算と除算は、加算と減算に優先する。
・三つの項の加算と乗算には結合律が成立す
る。
１２３+（32+56）＝（123+32）+56
数式の性質と解釈
 四則演算（続き）
・減算と除算では結合律は成立しない。
68-（18-32）は、（68-18）-32と等しくない。
・同じ優先順位の演算は左から順に評価する
（数式の解釈規則）。
68-18-32は、（68-18）-32 を意味する。
数式の定義
 四則演算は、2項演算。
 項とは、○－○という場合の○の部分。
 数式の定義
１．最も簡単な数式は、１つの数値からなる。
２．数式を項とする２項演算式も数式である。
○、□を数式とすると、○＋□、 ○ー□、
○×□、 ○÷□も数式。
３．このような構造をもつものは、全て数式であり、
任意の数式はこのような構成をもつ。
数式の構文木（こうぶんぎ）
 数式の構造（演算の順序）を階層的に図示し
たもの
 12+(34+56)×78＋９×１０の構文木は、
＋
＋
12
78
＋
34 ＋ 56 =
56
9
×
＋
34
×
34
56
10
括弧のいらない数式表現法
前置記法：演算記号を前に書く記法（ポーランド法）
２項演算を表すのに、たとえば、３３＋６２を
＋３３６２と書く記法
 12+(34+56)×78＋９×１０は前置記法では
（＋（＋１２（×（＋３４５６）７８））（×9 10））
であり、すべての括弧を除くと、
＋＋１２ × ＋３４５６７８ × 9 10 となる。
 この数式は計算できる部分から順に計算を進めて
いけば、元の数式と同じ順序で計算される。
 コンピュータで容易に扱うことができる表現。

＋
＋１２ × ＋３４５６７８ × 9 10
＋
＋１２ × 90 ７８ × 9 10
＋
＋１２ 7020 × 9 10
＋
7032 × 9 10
＋
7032 90
 7122
 後置記法：演算記号を後に書く記法（逆ポーランド法）
２項演算を表すのに、たとえば、３３＋６２を
３３６２＋と書く記法
 12+(34+56)×78＋９×１０は後置記法では
（（１２（（３４５６＋）７８ ×）＋）（9 10×）＋）であ
り、
すべての括弧を除くと、
１２３４５６＋７８ × ＋ 9 10 × ＋となる。
 前置記法と同様、計算できる部分から順に計算を進
めていけば、元の数式と同じ順序で計算される。
 コンピュータでは、基本的な数式表現は後置記法。
 １２
３４５６＋７８ × ＋ 9 10 × ＋
 １２
90 ７８ × ＋ 9 10 × ＋
 １２
7020 ＋ 9 10 × ＋
 7032
 7032
 7122
9 10 × ＋
90 ＋
数式を計算するアルゴリズム
12+(34+56)×78を計算するアルゴリズムを考え
る。
 加算と乗算の基本演算を次の基本操作として表す。
加算 AとBを加えてCとする。
乗算 AとBを掛けてCとする。
 上の数式の計算アルゴリズムは次のようになる。
① ３４と５６を加えてｐとする。
② ｐと７８を掛けてｑとする。
③ １２とｑを加えてｒとする。

計算アルゴリズムと後置記法数式
12+(34+56)×78の後置記法数式は、
12 34 56 ＋ 78 × ＋
 この後置記法数式を左から見ていったとき、最初に
計算できる部分は、
34 56 ＋
 この結果をｐとすると、次に計算できるのは、
ｐ 78 ×
 この結果をｑとすると、次は、
12 ｑ＋
この計算手順は、計算アルゴリズムと完全に対応し
ている。

１２３４５６＋７８ × ＋


１２
３４５６＋７８ × ＋

１２３４
５６＋７８ × ＋

１２３４５６
＋７８ × ＋

１２ 90
７８ × ＋

１２ 90 ７８
×＋

１２ 7020
＋

7032
占星術と血液型性格判断
客観的に証明できない。判断の方法に問題
がある。科学的根拠が無い。
占星術：天球上の星の配置に基づく判断基準
（規則）と、生まれたときの星の配置（事実）を前
提に運勢や性格などの結論を導く。
血液型性格判断：血液型から決まる性格（規
則）と血液型（事実）より、その人の性格（結論）
を導く。
推論と推論のアルゴリズム
 推論：いくつかの前提から結論を導くこと。
 コンピュータの推論の方法は、前提であ
る入力文字列を結論の出力文字列に変
換するアルゴリズムである。
コンピュータは推論機械
推論の一般化と推論形式
 推論の枠組みの形式化。推論のアルゴリズム
 占星術による占いの一例
・金星が知性・才能室にある時に生まれた人は、
美や教養を求める。（判断基準）
・A氏の誕生時のホロスコープによれば、金星
が知性・才能室にあった。（データ）
・A氏は、雑誌の編集やルポライターの適正が
ある。（判断結果）
正しい推論形式
ある推論が正しいというためには、前提が正しいこ
とが主張できないとダメであり、推論形式が正しいこ
とが必要である。
 推論形式
前提１『 P 』ならば、『 Q 』である。
前提２『 P 』である。
結論よって、『 Q 』である。
P、Q データや命題が入る。
命題：真偽の判断ができる言明を述べた文章
 2つの前提が正しければ、結論も常に正しい。
 この推論形式をモダスポネンスと呼ぶ

推論形式


正しい推論形式
前提１勉強をしていれば、この試験は合格するはずだ。
前提２ Cさんは頑張って勉強したから、
結論 Cさんは合格したと思う。
正しくない推論形式
前提１長いスピーチは退屈であるが、
前提２ Dさんのスピーチは短かったから、
結論 Dさんのスピーチは退屈でなかった。
２つの前提が正しいとしても、短いスピーチが退屈でな
いとは限らないからこの結論は必ずしも正しくない。
命題の評価とあいまいな命題
推論形式が正しいかどうか判定するためには、個々
の推論の前提が正しいとした上で、その結論が正し
いかどうかを見る。
 また、推論形式が正しいとき、全ての前提が正しい
ことを示せば、結論の正当性は保証される。
 ある命題が正しいかどうか判断することを命題の評
価と呼ぶ。
 命題の評価は、二律背反の命題か、あいまいな命
題かといった命題の性格に依存する。
 あいまいな命題を対象に論理を組み立てると誤った
結論を導く

コンピュータの推論アルゴリズム
コンピュータの処理を推論とみたとき、その命題とし
ての性格は二律背反である。
 二律背反の推論形式の代表的なものは三段論法と
呼ばれているものである。
三段論法
前提１ P ならば、Q である。
前提２ Q ならば、R である。
結論よって、 P ならば、R である。
P,Q,Rは任意の二律背反的命題を表す変数

コンピュータの推論
推論形式を解釈することは、P、Q、Rの変数に適当な命題を
代入することである。
 モダスポネンスや三段論法などの推論形式は、P、Q、Rが二
律背反である限り、正しい推論形式であることが示せる。
 コンピュータによる「１ビットの加算」は、以下の推論形式であ
る。
前提１ (X,Y)=(0,0) ならば、(S,C)=(0,0) である。（規則1）
前提２ (X,Y)=(0,1) ならば、(S,C)=(1,0) である。（規則2）
前提３ (X,Y)=(1,0) ならば、(S,C)=(1,0) である。（規則3）
前提４ (X,Y)=(1,1) ならば、(S,C)=(0,1) である。（規則4）
前提５ (X,Y)=(1,0) である。（データ）
結論 (S,C)=(1,0) である。（結論）

推論形式の階層性
 ある推論の結果を前提に加えて、次の推論を
進めていくことで、多段の推論ができる。
あいまいな命題
 確率的あいまいさ
個々の事象については、二律背反的に正しい
か明確であるが、集合全体でみると二律背反
ではなく、ある割合で正しかったり、正しくな
かったりすること。
 ファジィ理論では、数学的に明確な性質をもっ
たあいまいさとして定義され、扱うことができ
る。
あいまいな命題の評価
重要な３つの視点
１．命題が正しいかどうか判断するに足りる質を有して
いること。
 「A薬品を投与するとB症は軽快する」という命題を
正しく評価するためは・・・
・薬剤を投与しなかった場合と比較する。
・プラセボ効果（薬を飲んでいるというだけで本来薬効
がないのに病気が軽快すること）を排除する。
・期待効果（検査結果を判断する人が期待される方を
有利に解釈してしまうこと）を排除する。

２．正しいと判断する基準と正しくないと判断す
る基準を明確にすること。
・二律背反でない命題では、互いに矛盾しない
基準がそれぞれに必要である。
３．それらの基準と解釈によって「あと知恵」と
しないこと。
・得られた結果にあうように基準を決めたりし
てはならない。
 これらの点について、占星術や血液型性格
判断は多くの問題がある。
占いの推論アルゴリズム
前提１ A型であるならば、社会正義派で保守的であ
る。
前提２ B氏はA型である。
結論よって、B氏は、社会正義派で保守的である。
前提２は正しいとしても、前提１は正しいとは限らな
い。
 前提１を二律背反な命題と考えるならば、前提１は
間違っているので、この推論はほとんど意味がない
ということになる。


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