第10回簡単な系の量子論

第１１回簡単な系の量子論
・時間に依存しないシュレーディンガー方程式
・無限に高い井戸型ポテンシャル
・１次元のシュレーディンガー方程式
・不合理な解と意味のある解
今日の目標
１．時間に依存しないシュレーディンガー方程式を書ける
２．無限に高い井戸型ポテンシャルを示せる
３．１次元のシュレーディンガー方程式を示せる
４．無限に高いポテンシャル障壁内の粒子に対する
シュレーディンガー方程式が解ける
2011
シュレーディンガー方程式
∂Ψ(r,t)
i h ∂t
= HΨ(r,t)
2
h
H=∇2 + V(r)
2m
∇2
=
∂2
∂x2
；系のエネルギーを表す演算子
∂2
+
∂y2
∂
∇= i
∂x
∂2
+
∂z2
∂
+j
∂y
∂
+k
∂z
：ラプラシアン（Laplacian）
：ナブラ（Nabla）
V(r) ：ポテンシャル>>>粒子の状態を決める
Ψ(r,t) = φ(r)e
iE
t
h
：波動関数
状態の情報を含んでいる
時間に依存しないシュレーディンガー方程式
波動関数
iE
t
h
Ψ(r,t) = φ(r)e
例：平面波； Ψ(r,t) = Ae i(k･r-ωt)
定常状態：エネルギーが時間に依存しない
∂Ψ(r,t)
i h ∂t
HΨ =
= Eφ(r) e
h2 2
2m ∇ + V(r)
h2 2
φ(r)
∇
+
V(r)
2m
Hφ(r) = Eφ(r)
演算子
固有値
iE
t
h
φ(r) e
iE
t
h
= Eφ(r)
固有関数
固有方程式
無限に高い井戸型ポテンシャル内の１次元粒子
V(x)
V(x) = 0 ;0≦ x ≦ a
V(x) = ∞ ;x＜0, x＞a
m
0
x
a
2
h
H=2m
2
h
H=2m
∂2
∂x2
∂2
∂x2
2
∂
+
∂y2
+ V(x)
2
∂
+
∂z2
+ V(r)
解 i) x＜0, x＞a の時
V(x) = ∞
φ(x) = 0
ii) 0≦ x ≦ a の時
V(x) = 0
h 2 d2 φ(x)
2m dx2
2
h
H=2m
粒子が存在できない
∂2
∂x2
= E φ(x)
1) E ＜0 の時
d2 φ(x)
dx2
=
2mE
φ(x)
2
h
2mE
= κ2 ＞0
h2
d2 φ(x)
dx2
= κ2 φ(x)
を解く
一般解
φ(x) = Aeκx + Be -κx
境界条件
φ(0) = A + B
=0
φ(a) = Aeκa + Be -κa
eκa = 0
∴ φ(x) = 0
=0
e -κa = 0
A=B=0
；粒子が存在しないことになる
不合理
2) E = 0 の時
d2 φ(x)
dx2
=0
を解く
φ(x) = Ax + B
境界条件
φ(0) = B
=0
φ(a) = A a + B
=0
a=0
∴ φ(x) = 0
A=0
；粒子が存在しないことになる
不合理
1) E ＞ 0 の時
d2 φ(x)
dx2
d2 φ(x)
dx2
一般解
=
2mE
φ(x)
2
h
= -α2 φ(x)
2mE
= α2 ＞0
h2
を解く
φ(x) = A sinαx + B cosαx
境界条件
φ(0) = 0 + B
=0
φ(a) = A sinαa + B cosαa
B=0
=0
A sinαa = 0
A sinαa = 0
αa = nπ (n = 1, 2, 3, …)
√2mEn
nπ
n：量子数
α=
=
a
h
2 π2
h
；固有エネルギー
En =
n2
2ma2
φ(x)
= A sin
nπ
x
a
；固有関数
nπ
A sin a
φn(x) =
x
規格化
a
∫0 φn* φndx = 1
∫
a
a
* φ dx
φ
0 n
n
A=
=
A2
∫0
sin2
nπx
a
dx
= a A2
2
=1
√ 2a
φn (x) =
√
2
a
En =
sin nπ x
a
h 2π2 n2
2ma2
； n = 1,2,3,…
基底エネルギー
n=1
E1 =
位置の不確定さ；
π2 h 2
2ma2
≠0
零点エネルギー
Δx ≒ a
h
Δx
運動量の不確定さ； Δp =
h
=
a
n=3
2h 2
π
2
E3 =
3
2ma2
0 φ3 (x) =
√
2
a
3π
sin a
x
n=2
2h 2
π
2
E2 =
2
2ma2
2h 2
π
2
E1 =
1
2ma2
0 φ2 (x) =
√
2
a
0 φ1 (x) =
√
2
a
n=1
0
a
2π
sin a
x
π
sin a
x
粒子の存在確率
無限に高い井戸型ポテンシャル内に束縛された粒子
2π2
h
En =
n2
；固有エネルギー
2
2ma
φn (x) = A sin nπ x ；固有関数
a
En
確率密度
n=3
π2 h 2 32
2ma2
0
2ma2
π2 h 2
2ma2
2
a
sin2
|φ2 (x)| 2=
2
a
sin2 2π x
|φ1 (x)|
2
a
sin2 π
|φ3 (x)|
φ3 (x)
n=2
π2 h 2
3π
a x
2=
22
n=1
0
φ2 (x)
12
0
0
a
2=
a
a
x
形式Ⅰ：波動関数
a)波動関数；粒子系の状態を表す
１粒子の場合； Ψ（x,y,z,t）
N粒子の場合； Ψ（q1,q2,q3, q4,q5,q6,・,・,・, q3N-2, q3N-1, q3N,t）
物理的制約 ①連続
②一価
③２乗積分可能
b)体積dq1dq2dq3・・・ dq3N（=dτ）の中に粒子を見いだす確率
p(q1,q2,q3, ・,・,・, q3N,t)は
p(q1,q2,q3, ・,・,・, q3N,t) ∝ Ψ*Ψdτ= |Ψ|2 dτ
p(q1,q2,q3, ・,・,・, q3N,t) =
|Ψ|2 dτ
∬∫全空間
|Ψ|2 dτ
∬∫ |Ψ|2 dτ=1 ；規格化
c)直交性
時間に依存しないシュレーディンガー方程式
Hφ＝Eφ
解： Hφn＝Enφn
例：無限に高い井戸型ポテンシャル内に束縛された粒子
2 π2
h
En =
n2
；固有エネルギー
2
2ma
φn (x) = A sin nπ x ；固有関数
a
∫ ∬φn*φmdτ=δnm
内積
=0 n≠m（状態が違う）
=1 n=m
直交
演習
１．ヘキサトリエンCH2=CH-CH=CH-CH=CH2が１次元の量子系として
１電子の運動を議論しなさい。但し、C-C結合は1.54Å、C=C結合
は1.35Åとする。
（１）基底エネルギーはいくらか。
（２）基底状態から第１励起状態に遷移するためにはどんな波長の
電磁波を吸収させるか。
（３）第３励起状態まで吸収していると、どんなスペクトルになるか、
ピークの位置だけ議論しなさい。
２．ニュートンの運動方程式とシュレーディンガー方程式の違いに
ついて、あなたが気付いたことを述べなさい。
レポート提出（手書き）
12月26日まで、数理科学研究室（5461、和田）
今日の用語
定常状態、時間に依存しないシュレーディンガー方程式、波動関数、
固有方程式、固有関数、固有値、量子数、固有エネルギー、
零点エネルギー、直交性
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