第6課輻射の方程式 II - Institute of Astronomy, Univ

第６課：平衡
２００５年１１月２８日
授業の内容は下のHPに掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
今回のキーワード
サハの式 (Saha Equation)
Negative Hydrogen
前回５．２．に間違いがありました。
誤：合成軌道角運動量Ｌ＝∑ｌの名前は、
Ｌ＝
１
２
３
４
Ｓ
Ｐ
Ｄ
Ｆ
主量子数ｎと一緒にして２S 軌道などと言う。
正：合成軌道角運動量Ｌ＝∑ｌの名前は、
Ｌ＝
名前
０
１
２
３
Ｓ
Ｐ
Ｄ
Ｆ
主量子数ｎと一緒にして２S 軌道などと言う。
６．１．化学平衡
ａ1A1＋ａ2A2＋ａ3A3＋ ….＝ ΣａjＡj＝０
例
Ｈ２－２Ｈ＝０
ＨーＨ＋－ｅ＝０
水素の解離
水素の電離
ＣＯ－Ｃ－Ｏ＝０
一酸化炭素の形成
最初の例では、a1=1, A1=H2, a2=-2, A2=H である。
ｎｊ＝ｎ（Aj)=Ajの数密度を求める問題を考えよう。
孤立系（エネルギーＵ、体積Ｖ、粒子数Ｎが一定）では、エントロピー極大が平衡に対
応するが、温度Ｔ，圧力Ｐが一定の環境では、ギブスの自由エネルギー
G=U-TS+PV =ΣμjNj が極値をとる。（μｊはｊ-種粒子の化学ポテンシャル）
上の反応では、１回の反応でΔＮｊ＝ａｊの変化が起きるから、ｄＲ回では、
ｄＮj＝ａjｄＲ。そこで、Ｔ，Ｐ一定下での化学反応（Ｎｉが変化）を考えると、
ｄＧ＝－ＳｄＴ＋ＶｄＰ＋ΣμｊｄＮｊ＝ ΣμｊｄＮｊ＝（Σμｊａｊ）ｄＲ＝０
したがって化学平衡の条件は、
Σａｊμｊ＝０
一般に、気体の化学ポテンシャルμｊは、
 j  kT ln
nj
nQ , j Z in, j
ｎｊ＝Ｎｊ／Ｖ＝ Ajの数密度（個/ｃｍ３）、
ｎＱ、ｊ＝（2πmｊkT/ｈ２）３/２＝Ajの量子密度（個/ｃｍ３）、
Ｚin,j＝Σexp (－Ein,j/kT)=Ajの内部状態分配関数
である。
前節の平衡条件、
a   0
 a ln n   a ln n
j
j
nj
aj
j
j
j
  nQ j j Z in j
a
aj
Qj
Z in j
 K T 

に上のμｊの式を代入すると、
（質量作用の法則）
粒子の内部自由エネルギーＦin は、内部分配関数Ｚｉｎ
と
Ｆin＝－kT ｌｎＺin ＝－kT ｌｎ[Σexp (－Ein/kT)] で結ばれているから、
Πｎjａj＝Π[ｎＱjνj exp(-ａj Ｆinj/kT)] と書く場合もある。
例１：励起準位
Ａｉ－Ａｊ＝０
下図のような、ｊ準位とｉ準位の間の遷移を反応の一つと見なす。
ａｉ =1, Zi＝ｇi exp(－Ei/kT),
ａｊ =-1, Zj＝ｇj exp(－Ej/kT)
この場合、 Zi ,、 Zj の表式に∑記号がないことに注意。
さらに、ｎＱ＝（2πmkT/ｈ２）３/２＝共通なので、質量作用の法則を書き下すと、
Πｎjａj＝ｎi1ｎj－1
Π[ｎＱjａj Ｚinjａj ]= [ｎＱi1 Ｚini1 ] [ｎＱj－１Ｚinj－１ ] ＝Ｚini1 Ｚinj－１ ]
 E 
exp  i 
 Ei  E j
ni g i
kT  g i



exp 
E
nj g j
kT

 gj

exp  j 
 kT 
特にｊ＝０（基底状態）の時、
g 
 E 
ni  n0  i  exp   i 
 kT 
 g0 
=励起原子の数密度



統計重み数密度
ｇｉ
ｎi
ｇｊ
ｎj
ｇｏ
ｎ0
Ｅｉ
Ｅｊ
例２：水素の（第１励起／基底）比
n1 8
 10.15eV 
 exp 

no 2
kT 

5040
51156

10.15

 4  10 T
 4  10 T
ｇ１＝８
n１
E１＝１０．１５ｅＶ
 n1 
51156
log10   0.602 
T
 no 
n0
ｇ０＝２
log(n1/no)
０
T=１００００
Ｔ＜１００００Ｋ（Ａ０より晩期型星）
では、（ｎ１/ｎｏ）＜－５で大変小さ－２
いことが分かる。
T=４２０００
Ｔ＝８５０００Ｋでｎ１＝ｎｏとなり、－４
Ｏ５型
Ｔ∞ではｎ１/ｎｏ＝４に接近す－６
０
る。
Ａ０型
T=３００００
Ｂ０型
１
２
３
(５１１５６/T)
４
5
例３：ボルツマンの式 (Boltzmann’s formula)
ある原子の総数密度をｎとし、うち基底状態にｎｏ、第１励起状態にｎ１、第
２励起状態にｎ２，．．．あるとする。ｎ＝ｎｏ＋ｎ１＋ｎ２＋．．．である。
前節の例１で示したように
gi
 Ei 
ni  no
exp 

go
 kT 
なので
 E 
 E 
 E 
Z  go  g1 exp  1   g2 exp  2   g3 exp  3   ．．．
 kT 
 kT 
 kT 
n  no  n1  n2  ．．．
 n
n 
 E 
 E 
 o  go  g1 exp  1   g2 exp  2   ...  o Z
go 
 kT 
 kT 
 go
したがって、
 Ei 
exp 

kT 

ni  n  gi 
Z
とする
と、
ｇ２ E２
ｇ１ E１
ｇo E=0
例４：水素原子の電離
Ｈ＋＋ｅ－Ｈ＝０ (I=inization energy)
内部エネルギーの相対的な値の決め方には注意がいる。
自由電子と陽子の内部エネルギーをそれぞれ０とする。すると、中性水素
原子の内部エネルギーは ‐Ⅰ となる（基底状態のみ考えている）。Ⅰは電離
エネルギーで水素では１３．６ｅＶである。
電子のスピン上向き、下向きの２状態を考えるので、（原子核の方は無視）
電子とＨ原子のＺｉｎには２が入ってくる。
H
E ：
＋
+
e
0
0
g ：１
２
Zin ：１
２
ー
ｎＱ：（2πｍＨkT/ｈ２）３/２（2πｍekT/ｈ２）３/２
Ｈ
＝０
-I
２
２ｅｘｐ（Ｉ/ｋＴ）
（2πｍＨkT/ｈ２）３/２
nj
aj
  nQ j j Z in j
a
aj
 K T 
（質量作用の法則）を前頁の電離に適用する。
H（中性水素原子）を I 、 H＋（水素イオン）を II と表す。
ａII=1, ａ（ｅ）＝1, ａI＝‐１だから、質量作用の法則は、
nII  ne nQ, II  nQ, e Z in, II  Z in, e

nI
nQ, I
Z in, I
3
 2 mII kT   2 me kT 


 
2
2
h
  h


2
 2 mI kT 


2
 h

3
2
3
2

2 me kT  2
2
 I 


exp


3
I
h
 
 kT 
2  exp 
 kT 
nII  ne 2 me kT  2
 I 

exp  

3
nI
h
 kT 
3
3
：サハの電離式（Ｓａｈａｅｑｕａｔｉｏｎ）
例５：水素分子の解離２Ｈ－Ｈ２＝０
電離の時とは違って、今度は水素原子の内部エネルギーを０とする。すると、
水素分子基底状態の内部エネルギーは－Ｄである。Ｄは解離エネルギー
（ＤｉｓｏｃｉａｔｉｏｎＥｎｅｒｇｙ）で、水素ではＤ＝４．４７ｅＶである。
２H
ー
Ｈ
＝０
E ：
0
g ：
２
４（Ｓ＝０ ortho，１ para）
Zin ：
２
4 ｅｘｐ（D/ｋＴ）
ｎＱ：（2πｍＨkT/ｈ２）３/２
ａ（Ｈ）＝２、
-D（-4.476eV)
（2π2ｍＨkT/ｈ２）３/２
ａ（Ｈ２）＝－１であるから、質量作用の法則は、
ｎ（H)２/ｎ（H２)＝ [（2πｍＨkT/ｈ２）３ /(2π２ｍＨkT/ｈ２）３/２][ 22 / ４ｅｘｐ（Ｄ／ｋＴ）]
＝ (πｍＨkT/ｈ２）３/２ｅｘｐ（‐Ｄ／ｋＴ）
６．２．サハの式
（Ｓａｈａｅｑｕａｔｉｏｎ）
原子の電離度はサハの式によって決まる。
ｎｉ，０＝ｉ回電離イオン基底状態の数密度
ｎｉ＋１，０＝（ｉ＋１）回電離イオン基底状態の数密度
ｎｅ＝電子の数密度
Ｉｉ，０＝ｉ回電離イオン基底状態からの電離エネルギーとすると、
ni 1,0ne 22mekT 3 2 gi 1,0
 I 


 exp  i ,0 
ni ,0
gi ,0
 kT 
h3
ｎｉ＝ｉ回電離イオンの数密度（基底状態＋励起状態）
ｎｉ＋１＝（ｉ＋１）回電離イオンの数密度（基底状態＋励起状態）
に対しては、上式を少し変えた以下の式が成立する。
 Ii ,0 
ni 1ne 22mekT 3 2 Zi 1



 exp  
3
ni
Zi
 kT 
h
Ｚｉ＝Σｇｉ・ｅｘｐ（－Ｅ/ｋＴ）（＝ｉ回電離イオンの分配関数）は前出のＺｉｎと同じ
水素原子の電離に関しては、
nH ne
nH
32

2me kT 


 exp 
h3
I 


 kT 
ｎ（ｅ）が全てＨから供給されている必要はない。
実際、低温環境では電子はアルカリ金属（Ｎａ，Ｋ）の電離が主な
供給源である。
しかし、高温になると水素の電離で作られる電子が圧倒的となる。
すべての電子が水素から供給されている場合、ｎ（ H＋）＝ｎ（ｅ）なので、
ne  nH
1
3/ 4


2

m
kT

e
2
 exp 
h3 / 2
I 


2
kT


exp(‐I/２kT)の因子がボルツマン型のexp(‐I/kT)と異なることに注意。
例１：水素のみから成る星の大気
早期型星大気でのガス圧として、 log Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定する。
Saha eq. をガス圧 P=nkT で表して、
PII Pe / PI = [(2πme)3/2 (kT)5/2 / h3] [2 ZII(T) / ZI(T)] exp (－Ｅ / kT )
Z II  1
 10.15eV 
 12.09eV 
Z I  2  4 exp 
  9 exp 
  ．．．  2 (励起状態を無
kT 
kT 


視)
Pe=PII、Pg=PI+PII+Pe
を代入すると、
log10(PII2 / PI) = －13.6(5040/T) + 2.5 logT－0.48 + log [2 ×1 /2]
2
PII
68544
log10

 2.5 log10 T  0.48
Pg  2PII
T
B0
B0
T
A0
30500
PI
NII/NI
G0
K0
9500
7500
6300
5350
177.5
1.17
0.0137
1.07E-4
1600
590
60
6.6
0.58
0.0083
1980
3040
3150
3160
1.9×105
0.30
0.020
0.0021
1.8×10－4
1
0.2３
0.02
0.0021
1.8×10－4
PII2 / (Pg – ２×PII) 3.0E8
PII (erg/cm3)
F0
NII/(NI+NII)
0
-1
 N II
log10 
 N I  N II


 -2
B0
A0
K0
-3
-4
4.5
4.0
log T
3.5
例２バルマー線 (Balmer lines) 強度と星のスペクトル型
バルマー線は水素原子主量子数ｎ＝２ ｉへの吸収線である。
したがって、星のバルマー線強度はｎ１が
大きくなるほど強くなる。混乱しやすい慣
用法なので注意しておくが、ｎ１の１は第１
励起状態の１で、主量子数はｎ＝２であ
る。基底状態の数密度はｎｏ主量子数ｎ
＝１である。
Ｈα線
例１の結果は、最大の数密度を占める基
底状態ｎｏに対して、第１励起状態の数ｎ１
が高温の星ほど高くなることを示してい
る。例えば、Ｂ０型のｎ１/ｎｏはＡ０型の１０
００倍も高い。
n3
n2
Ｈβ線
n1
n0
では、バルマー線は高温度星ほど強いであろうか？
次ページに示すスペクトルの例から、Ｂ０型のバルマー線強度が本当にＡ０
型の１０００倍になるか調べてみよう。
バルマー線強度変化を考えてみることにしよう。
水素のみからなる大気を仮定する。
NI０＝基底状態（ｎ＝１）水素原子の数密度
NI１＝第１励起状態（ｎ＝２）水素原子の数密度
NI ＝ NI０ + NI１ + NI2 + ．．．＝水素原子の数密度
NII＝水素イオンの数密度
Ne=電子の数密度
NH＝ NI ＋ NII ＝水素（原子＋イオン）の数密度
Pg＝PI＋PII＋Pe＝ NI kT+ NII kT+ Ne kT=総ガス圧（erg/cm3）
バルマー線は n=2 から n= 3, 4,… へのジャンプで生じる吸収線である。し
たがって、（ NI１/ NH ）がバルマー線強度の指標として適当である。
（１）主系列星大気の総ガス圧を、log10Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定し、星の有効温度
を log10T（K) =３．５、３．６、．．．、４．５と変化させる。この時に、log10（NI１/NI ）、
log10（NI/NH）、 log10（ NI１/NH）がどう変わるか表とグラフに示せ。
（２）８．３例２に見るように、バルマー線の強度がA型星で最強となる理由を
定性的に説明せよ。
ＰＩ＝水素原子の分圧、ＰＩＩ＝水素イオン（陽子）の分圧とおくと、
Ｐｅ＝ＰＩＩであり、サハの式は以下のようになる。
2
PII
68544
log10

 2.5 log10 T  0.48  A
Pg  2PII
T
まず、Ｐｇ＝１０３．５に対し、上の式を解いてＰIIを求め、
次に、ＰI ＝ＰII ２・１０－Ａ
からＰI を決める。
次に、
NI１/NI ＝g1exp(-E1/kT) / [g0+ g1exp(-E1/kT) +…]
≒ ４・exp(-E1/kT) / [１+ ４・exp(-E1/kT)]
NI/NH＝ＰI/ＰH ＝ＰI/（Ｐｇ－ PII ）
NI１/NＨ＝（ NI１/NI ）・（ NI/NH ）
を計算して次ページの表を得る。
ｌｏｇＴ３．５
３．６
３．７
３．８
３．９
４．０
４．１
４．２
４．３
４．４
４．５
Ａ -13.405 -8.697 -4.906 -1.843 +0.640 2.665 4.325
5.695
6.834
7.791
8.602
1581
PII 1.11E-5 2.52E-3 0.198
6.72
113
832
1526
1578
ＰI
3149
2936
1498
110
5.02
3162
3162 3162
1581
1581
0.366 0.0404 6.25E-3
Log(NI１/NI )
-15.685 –12.380 –9.779 –7.737 -6.133 -4.871 -3.877 -3.092 -2.472 -1.981 -1.592
Log(NI/NH)
0.0
0.0
0.0
0.0
-0.016 -0.192 -1.172 -2.500 -3.635 -4.592 -5.403
Log(NI１/NH)
-15.685 -12.380 -9.779 -7.737 -6.149 -5.063 -5.049 -5.592 -6.107 -6.573 -6.995
水素（原子＋イオン）中の第１励起原子の割合
０
Log(NI/NH)
Log(NI１/NI )
－５
Log(NI１/NH)
－１０
スペクトル型
Ｍ
Ｋ
Ｇ
Ｆ
Ａ
Ｂ
－１５
３．５
ｌｏｇＴ
３．６
３．７
３．８
３．９
４．０
４．１
４．２
４．３
４．４
４．５
Ｈβ
Ｈβ
Ｈα
Ｈα
６．３．電子の供給源
恒星大気の温度が高い時には、大量に存在する水素の電離が自由電子の供給
源となる。しかし、低温になると水素の電離度が下がり、電子を供給できなくな
る。そうすると、存在比は水素より小さいが電離エネルギーが小さくて電離しやす
いアルカリ金属が電子供給の役割を担うようになる。
種族ＩＩの星のように低金属量の星では低温でも依然として水素の役割が大き
い。
高温大気
低温大気
水素イオン
水素原子
水素
電子
アルカリ
金属
アルカリ金属イオン
アルカリ金属、Li, Na, K, Sc,..、電離エネルギーが低い。
存在比は小さいが、電離しやすいので、Te < ５000 K (Ｋ型より晩期 ) では
ＫとNa が電子の主な供給源である。
電離エネルギー
30
He
電離エネルギー
25
Ne
20
Ar
15
H
10
B
5
Li
Na
Al
K
0
0
5
10
15
原子番号
20
25
30
そこで、簡単なモデルで大気中の電子がどのくらい存在するかを調べてみよう。下
図の実線は主系列星大気の典型的な（τ≒０．６）ガス圧である。
電子供給源として、水素ＨとナトリウムＮａのみを考え、それぞれが独立に電子を出
した時どこで役割が入れ替わるかを計算してみる。元素組成は、ＮＨ：ＮＨｅ：ＮＮａ＝
１：０.１：２×１０－６とする。
５
主系列星大気のガス圧 Pg の
表面温度 Te による変化
ｌｏｇ１０Ｐｇ
（erg/cm3）
４
３
３．６
３．８
４．０
４．２
ｌｏｇ１０Ｔｅ(K)
４．４
水素が電子供給源の場合
ＰＨ＝ＰＨＩＩ＋ＰＨＩとおくと、
ＰＨｅ＝０．１ＰＨ
Ｐｅ＝ＰＨＩＩ
Ｐｇ＝Ｐｅ＋１．１ＰＨ
なので、
したがって、ＰＨＩ＝ＰＨ－Ｐｅ＝（Ｐｇ－Ｐｅ）/１．１－Ｐｅ＝（Ｐｇ－２．１Ｐｅ）/１．１
圧力で書いたサハの式は、Ｐｇ＝Ｐｅ＋ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ＋ＰＨｅを用いると、
PePHII
1.1 Pe2
68534
log10
 log10

 2.5 log10 T  0.48  A
PHI
Pg  2.1Pe
T
前ページのグラフとＰｇ＝Ｐｅ＋ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ＋ＰＨｅから上の式を解くと、
温度
Ｐｇ(erg/cm3)
A
Ｐｅ (erg/cm3)
４０００
100000
2.450×１０－9
0.015
５０００
85000
1.144×１０－５
0.94
６０００
62000
3.478×１０－３
14.0
７５００
17000
1.170
134.4
１００００
1300
462.4
419.6
２５０００
1900
5.929×107
904.7
ＮＨＩ
電子がＮａから供給されるとき
Ｎａの電離エネルギーは５.１４ｅＶと低い。Ｎａ存在比が低いので、ＰｇへのＰｅの
影響は考えなくてよい。したがって、ＰＮａ＝ＰＮａＩ＋ＰＮａＩＩとし、
ＰＮａ＝Ｐｇ×２×１０－６/１.１
ＰＮａＩＩ＝Ｐｅ
ＰＮａＩ＝ＰＮａ－Ｐｅ
に注意して、サハの電離平衡の式をＮａに対して書くと、
PePNaII
Pe2
25905
log10
 log10

 2.5 log10 T  0.48  B
6
PNaI
1.8210 Pg  Pe
T
Pg(erg/cm3)
Ｂ
４０００
100000
111.9
0.182
0.182
５０００
85000
3858
0.155
0.155
６０００
62000
44450
0.113
0.113
７５００
17000
567100
0.031
0.031
１００００
1300
8.501×１０６ 0.0023
0.0023
２５０００
1900
3.011×10９
0.0034
T
ＰＮａ (erg/cm3)
0.0034
Pe (erg/cm3)
どの場合もＮａが完全電離としての解、Ｐｅ＝ＰＮａ＝Ｐｇ×２×１０－６/１.１
結局、Ｔ＜４５００ＫではＮａ
Ｔ＞４５００ＫではＨが電子の供給源となっていることが分かっ
た。
２
１
ｌｏｇ１０Ｐｅ
（erg/cm3）
０
－１
－２
Ｈ起源の
電子圧
－３
３．６
３．８
Ｎａ起源の電子圧
４．０
４．２
ｌｏｇ１０Ｔｅ(K)
４．４
６．４．一般の原子の電離
Ａ＋＋ｅ－Ａ＝０ (I=inization energy)
質量作用の法則まで戻ると、
ａ１＝１
ａ２＝１
ａ３＝－１
ｎ（Ａ＋）ｎ（ｅ）／ｎ（Ａ）＝[ｎＱ（Ａ＋）ｎＱ（ｅ）／ｎＱ（Ａ）][Ｚ（Ａ＋）Ｚ（ｅ）／Ｚ（Ａ）]
イオンと原子の質量はほぼ等しいので、ｎＱ（Ａ＋）＝ｎＱ（Ａ）
電子のスピン上向き、下向きの２状態を考えるので、Ｚ（ｅ）＝２。
自由電子とイオンの内部エネルギーをそれぞれ０とする。すると、中性原子
の内部エネルギーは ‐Ⅰ となる（基底状態のみ考えている）。Ⅰは電離
エネルギー。Ｚ（Ａ＋）＝ｕ（Ａ＋）、Ｚ（Ａ）＝ｕ（Ａ）exp(I/kT)
ｕ（Ａ＋）＝ｇ０＋ｇ１ｅｘｐ（－Ｅ１／ｋＴ）＋ｇ２ｅｘｐ（－Ｅ２／ｋＴ）+….
結局、
ｎ（Ａ＋）ｎ（ｅ）/ｎ(Ａ) ＝[u（Ａ＋）２／u（Ａ）]（2πｍekT/ｈ２）３/２ exp(‐I/kT)
天文ではＰｅ（電子圧）を与えて計算する例が多い。
Ｐｅ＝ｎ（ｅ）ｋＴを使い、数値を入れて
ｌｏｇ[ｎ（Ａ＋）/ｎ(Ａ) ]
＝ｌｏｇ［ u（Ａ＋）／u（Ａ）］+log 2 +(5/2) log T －ｌｏｇＰｅ－Ⅰ(eV)(5040/T)－0.48
（Ｐｅの単位は erg/cm3）
Negative Hydrogen H‐（水素負イオン）
Ｈ＋ｅ－ H－＝０
Wildt 1939. ApJ, 89, 295.”Electron affinity in Astrophysics”
水素負イオンはⅠ＝０．７５４ｅＶという非常に浅い準位を持つ。したがって、
高温の星の大気には存在しない。Ｇ型より晩期の星では非常に重要な
光の吸収源である。
水素負イオンの束縛状態は、二つの電子がスピン上向き、下向きの両方を
占めるので、総スピン＝０であり、統計重みｇ＝１である。
自由電子と中性水素の内部エネルギーをそれぞれ０とする。すると、Negative
Hydrogen H－（陰性水素とは言わない）イオンの内部エネルギーは ‐Ⅰ となる
（基底状態のみ考えている）。
６．５．解離平衡
分子雲や晩期型星大気では分子の形成を考慮する必要がある。
Ａ＋Ｂ ⇔ Ｃという分子形成を考えよう。注意すべきは、この反応式は実際
には起きていなくても構わないことである。
水素分子形成を例にとると、H+H＝H2 という反応は直接には起こらず、水素分
子は実際には星間ダストの上で形成されると考えられている。それでも、平衡を
考える際には A, B, C の持つエネルギーの高さだけが問題となる。
化学平衡での A, B, C の数密度ｎA, ｎB, ｎC は質量作用の法則で決まる。
nA  nB nQ, A  nQ, B Z in, A  Z in, B


nC
nQ, C
Z in, C
2 mA kT 
h3
3
2

2 mB kT  2

3
2 mC kT  2
h3
3

Z in, A  Z in, B
Z in, C
h3
数密度ｎから圧力 P ＝ｎｋTの表示に変える
と、 PA  PB nA kT  nB kT
 2 mA mB kT  3 2 Z in, A  Z in, B
PC

nC kT
 kT 

2
h mC
3
　

Z in, C
Z in, A  Z in, B
5
 2 M  2
2
  2   kT  
 K P (T )
Z in, C
 h 
宇宙標準組成比では原子数の比は、Ｈ：Ｃ：Ｏ＝１：０.３６ ×１０－３：０.８５×１０－３
したがって通常のＭ型星の大気中には、OがCの約２倍存在する。M型星大気の
温度は４０００K以下であり、このように低い温度ではCOが安定な分子種である。
COの乖離エネルギーはDCO=11.1eVと大きいことが原因である。
このため、ＣはＣＯとして消費されつくす。後に残るＯがＯＨやＨ２ＯのOが入った分
子を作る。
炭素星ではＣ：Ｏ比が逆転している。炭素星ではCOとして消費されつくすのはOで
残ったＣがＣ２やＣＨを作る。
このように、M型星とC型星では大気中に形成される分子の種類が異なり、それは
スペクトルの形に大きく影響している。
Ｈ，Ｃ，Ｏが全て原子であったと仮定した時の仮想圧力をＰHO、ＰCＯ、ＰOＯ、
とする。ＰCＯ、ＰOＯ＜＜ＰHＯである。
与えられた、ＰHＯ、ＰCＯ、ＰOＯとＴに対し、ＰＨ、ＰＣ、ＰＯ、ＰＨ２、……ＰＨ２Ｏを
決める問題を考えてみよう。
解くべき方程式は、
ＰＨ２＝ＰＨ２/ＫＨ２
ＰＯＨ＝ＰＨ＋２ＰＨ２＋ＰＯＨ＋ＰＣＨ＋２ＰＨ２Ｏ
ＰＯ２＝ＰＯ２/ＫＯ２
ＰＯＣ＝ＰＣ＋２ＰＣ２＋ＰＣＨ＋ＰＣＯ
ＰＣ２＝ＰＣ２/ＫＣ２
ＰＯＯ＝ＰＯ＋２ＰＯ２＋ＰＯＨ＋ＰＣＯ＋ＰＨ２Ｏ
ＰＯＨ＝ＰＯＰＨ/ＫＯＨ
ＰＣＨ＝ＰＣＰＨ/ＫＣＨ
ＰＣＯ＝ＰＣＰＯ/ＫＣＯ
ＰＨ２Ｏ＝ＰＯＨＰＨ/ＫＨ２Ｏ
求める未知数はＰＨ、ＰＯ、ＰＣ、ＰＨ２、ＰＯ２、ＰＣ２、ＰＯＨ、ＰＣＯ、ＰＣＨ、ＰＨ２Ｏの１０個
である。高温では原子優勢、低温ではＨ２とＣＯ、Ｈ２Ｏが大量にできる。
ｌｏｇ１０Ｋｐ（Ｔ）を下の表に示す。Ｋｐ（Ｔ）の単位はdyn/cm2である。
COに対するＫｐ（Ｔ）が小さいことに注意せよ。
Ｔ
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
4,000
5,000
6,000
Ｈ２
-11.09
-3.56
0.42
2.82
4.40
6.36
7.70
8.48
Ｏ２
-13.32 -4.79
-0.13
2.35
4.11
6.27
7.71
8.59
Ｃ２
-18.54 -8.48
-2.87
-0.04
2.04
4.61
6.31
7.29
ＯＨ
-11.05
-3.65
0.21
2.61
3.95
5.94
6.44
8.16
ＣＨ
-6.53
-0.67
2.26
4.31
5.55
7.06
8.14
8.76
ＣＯ
-42.98 -24.74 -14.33 -9.43
-5.67
-0.89
2.12
3.92
Ｈ２Ｏ
-13.61 -5.05
3.95
6.13
7.62
8.46
Ｃ
-0.53
2.17
問題６２００５年１１月２８日
提出６Aまたは６B １２月５日
６A．ビッグバン宇宙の初期には水素は完全電離の状態にあった。その時期、輻射
と物質とは自由電子の散乱を介して強い結合状態にあった。しかし、その後
温度が低下するにつれて、自由電子と陽子が水素原子になる反応が優勢と
なり、電離ガスの中性化が急速に進行した。これを水素の再結合と呼ぶ。
NI ＝ NI０ + NI１ + NI2 + ．．．＝水素原子の数密度
NII＝水素イオンの数密度
Ne=電子の数密度
NH＝ NI ＋ NII ＝水素（原子＋イオン）の数密度とする。
NHと温度Ｔは、現在の宇宙背景輻射の温度To, 水素原子数密度Noを、
To=2.7K,
No=５×１０－７ｃｍ－３
として、T=To/a、 NH ＝ No /a3 と表される。
宇宙の物質が水素のみで電子は全て水素原子の電離から供給されると仮定
５、
する。サハの式を解いて電離度Ｘ＝ NII /（ NI ＋ NII ）がＸ＝０．９９、０．９、０．
０．１、０．００１となる赤方偏移Ｚを求めよ。ａ＝１／（１＋Ｚ）である。
６B. 巨星大気の典型的な値として、
ＰＯＨ＝１０３ｄｙｎ/ｃｍ２、ＰＯＯ＝１ｄｙｎ/ｃｍ２、ＰＯＣ＝０.５ｄｙｎ/ｃｍ２を考える。
ＰＨ、ＰＯ、ＰＣ、ＰＨ２、ＰＯ２、ＰＣ２、ＰＯＨ、ＰＣＨ、ＰＣＯ、ＰＨ２Ｏ
をＴ＝６０００，５０００，４０００，３０００、２５００，２０００、１５００１０００Ｋ
に対し計算し、表とグラフで示せ。
グラフの縦軸は log P(dyn/cm3), 横軸はT（K) とする。
解法もレポートに書き込むこと。
６Bのヒント
Ｆ１＝ＰＨ２ーＰＨ２/ＫＨ２、F2＝ＰＯ２ーＰＯ２/ＫＯ２、…、
F10=ＰＯＯー（ＰＯ＋２ＰＯ２＋ＰＯＨ＋ＰＣＯ＋ＰＨ２Ｏ）とするとき、
ある温度Tで与えられたＫＨ２、ＫＯ２、…、ＰＯOに対して、
F1=0, F2=0, … F9=0, F10=0となるＰＨ、ＰＯ、ＰＣ、．．．ＰＣＨ、ＰＣＯ、ＰＨ２Ｏ
を求める問題である。
１０変数の連立式なので、一般には、
（１）適当な初期値からスタートして、
（２）ヤコビ行列の逆行列を作り、
（３）F1=0, F2=0, … F9=0, F10=0が満たされるまで、ＰＨ、ＰＯ、．．．ＰＨ２Ｏを
変えていくのだが、逆行列がうまく求まらない場合があるので注意が必要。
例えば、ＰＨ、ＰＯ、ＰＣのみを独立変数と考え、残りの分圧は平衡式から厳密
に求め、F8＝０, F9＝０, F10=0 を満たすＰＨ、ＰＯ、ＰＣを探す方法などもあ
る。

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