5．ファジー理論 5.1 ファジー集合とはＦｕｚｚｙ：はっきりしない、ぼやけた、ぼんやりした何らかの事象に対しての判定があいまいな場合に有効  高い、低い、中程度低い中程度もっともらしさ測定値高い（例）室内の温度と湿度によるエアコンの運転もし温度が高く湿度が高いときは、高速運転をする。もし温度が低く湿度が低いときは、低速運転をする。湿度が高い（集合の境界が明確に定義できない）湿度の変化範囲 0％～100％の中で 80％～100％但し、境界となる湿度が正確に80%ではなく、ほぼ80％程度を示す場合成立度(degree of membership)を示すメンバーシップ関数(Membership Function)の例 1.0 1.0 成立度成立度 0 0 湿度（％）滑らかな曲線による近似 100 湿度（％）区分線形関数による近似 100 言葉の定義(1) ファジー集合（Fuzzy Set）：集合の境界が明確に定義できない集合クリスプ集合（Crisp Set）：通常の集合ファジー集合で区分線形で表現した場合の傾きが垂直（無限大）のときに相当する。成立度（Degree of Membership）：全体集合（Universe of Discourse）をXとしたとき、X上で定義されるファジー集合に属する程度シングルトン（Singleton）：全体集合の１点を除いてメンバーシップ関数の値が０となるファジー集合 1  mA ( s)  0, s  X mA ( x)  0, x  s, x  X 言葉の定義(2) ファジーラベル（Fuzzy Label）：ファジー集合を表わす言葉（例）ファジー命題「湿度が高い」→ファジーラベル「高い」全体集合の名称「湿度」ファジー命題（Fuzzy Proposition）：全体集合の名称とファジーラベルで表現した命題。ファジー命題Pを式で表現すると、 P : x is A ここで、x : 全体集合の名前、A :ファジーラベル 5.2 ファジー集合の演算 (1) 全体集合が同一の場合和集合 A∪B⇔ｍA∪B（x）＝ｍA（x）∨ｍB（x）， ∀x∈X ∨ ：２つの値のうち大きい方の値をとる演算子積集合 A∩B⇔ｍA∩B（x）＝ｍA（x）∧ｍB（x）， ∀x∈X ∧ ：２つの値のうち小さい方の値をとる演算子補集合 Aｃ⇔ｍAｃ（x）＝１－ｍA（x）， ∀x∈X 全体集合が同じ場合の演算イメージ和集合中高積集合 1.0 中高 1.0 成立度成立度 0 0 湿度（％）湿度（％） 100 補集合中高 1.0 成立度 0 湿度 100 100 (2) 全体集合が異なる場合和集合 A∪B⇔ｍA∪B（x, y）＝ｍA（x）∨ｍB（y）, ∀x∈X, ∀y∈Y ∨ ：２つの値のうち大きい方の値をとる演算子積集合 A∩B⇔ｍA∩B（x, y）＝ｍA（x）∧ｍB（y）, ∀x∈X, ∀y∈Y ∧ ：２つの値のうち小さい方の値をとる演算子全体集合が異なる場合の和集合イメージ Aのメンバーシップ関数 Bのメンバーシップ関数 1.0 1.0 成立度成立度 0 0 1.0 x 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1.0 y 0.9-1 0.8-0.9 0.7-0.8 0.6-0.7 0.5-0.6 0.4-0.5 0.3-0.4 0.2-0.3 0.1-0.2 0-0.1 y=0.5のとき 1.0 成 y=0.5 立度 0 x 1.0 全体集合が異なる場合の積集合イメージ Aのメンバーシップ関数 Bのメンバーシップ関数 1.0 1.0 成立度成立度 0 0 1.0 x 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.95-1.05 0.85-0.95 0.75-0.85 0.65-0.75 0.55-0.65 0.45-0.55 0.35-0.45 0.25-0.35 0.15-0.25 0.05-0.15 -0.05-0.05 1.0 y y=0.5のとき 1.0 成立度 y=0.5 0 x 1.0 全体集合が異なる場合の演算の二次元的イメージ y D y D C∩D C x C∪D C x 述語修飾（やや、とても、でない） X is A X is M A １ややA 述語修飾の例 M : とても A ＝ A2 やや A ＝ A１／２ｎｏｔ A ＝１－A A とてもA x 5.3 ファジー推論 (1) マムダニ(Mamdani）の方法 If 前件部(Premise Part) then 後件部（Consequent Part) If x1 is Ai1 and x2 is Ai2 … xm is Aim then y is Bi, i = 1, …, U   m  mB ' ( y)    mAij ( x j )  mA'ij ( x j )   mBi ( y ) i 1  j 1  U 但し、ファジーシステムに対する入力はクリスプな値であるから入力値はシングルトンである。 1, xi  ai mA'i ( y)   0, xi  ai , xi  X (1) 前件部に対しては、Min演算を行ったあと、Max演算を行う。 ↓ Max-Min合成 (2) 後件部のファジー集合B’からクリスプな値を求める。 ↓ 重心（Center of gravity）法 n  y m  Y mB ' ( y ) ydy Y B' ( y )dy  離散形では y  m i 1 n B' m i 1 (ci )ci B' (ci ) マムダニの方法のイメージ b1 Min a1 温度(℃）湿度(％）重心高速運転 Max Min a2 推論出力 b2 温度(℃）湿度(％）温度入力湿度入力低速運転 If x1 is Ai1 and x2 is Ai2 … xm is Aim then y is Bi, i = 1, …, U   m  mB ' ( y)    mAij ( x j )  mA'ij ( x j )   mBi ( y ) i 1  j 1  U 但し、ファジーシステムに対する入力はクリスプな値であるから入力値はシングルトンである。 xi  ai xi  ai , xi  X 1, mA'i ( y)   0,   m   mB ' ( y )    mAij (a j )   mBi ( y ) i 1  j 1  U クリスプな値を求めるために、重心（Center of Gravity)法を使用 m ( y) ydy  yˆ   m ( y)dy B' Y Y B' 出力ｙがｎ個の区間に分割され、区間Iの中央値をｃiとして、離散形で近似すると n yˆ  m i 1 n B' m i 1 (ci )ci B' (ci ) (2) ワング(Wang)とメンデル（Mendel）の方法成立度mRi（a）として、最小値でなく積をとる後件部Biがｎ個の区間に分割されたｔ（i）番目の区間に対応するものとして、区間Iの中央値をｃｔ(i)とすると n yˆ  m i 1 Ri (ct (i ) )ct (i ) n m i 1 Ri (ct (i ) ) 積と最小値（いずれのｘiも増加すると値は増加する傾向にある）最小値 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 積 5.4 ファジー制御の例以下の例は、「ファジィ制御」菅野道夫著（日刊工業新聞社）からの引用である。（目標線に沿って直進する：簡単のため、速度は一定とする） Φ ：ハンドルの向き Θ ：車の向きｄ：目標線と車の中心線までの距離 Θ ファジールール If d = Left and Θ= Middle Then Φ=Right If d = Right and Θ= Middle Then Φ=Left If Θ = Left Then Φ=Right If Θ = Right Then Φ=Left ルールとメンバーシップ関数Ｌｅｆｔ Middle Right Θ ｉｓＲ１：ｄｉｓ－２００２０ｃｍ Φ ｉｓ－90° Right ０ 90° ２０ｃｍ 30° Φ ｉｓ Θ ｉｓ００ Left Middle Ｒ２：ｄｉｓ－２０－30° －90° ０－30° 90° Ｌｅｆｔ０ 30° Right Φ ｉｓＲ３：Θ ｉｓ－90° ０ 90° －30° ０ 30° Left Right Φ ｉｓＲ４：Θ ｉｓ－90° ０ 90° －30° ０ 30° 採用した推論方法     前件部は最小値をとる後件部は、Ｌｅｆｔ，Ｒｉｇｈｔ毎の最大値をとるＬｅｆｔ、Ｒｉｇｈｔ毎のハンドルの向き（Φ）を計算近似的にＬｅｆｔで得られたΦとＲｉｇｈｔで得られたΦの平均値を求める。シミュレーションによる評価   Ｌｔ＝Ｌｔ－１＋Ｖ・Ｓｉｎ（Θｔ－１）・Δｔ Θｔ＝Θｔ－１＋Φｔ－１シミュレーションの結果初期値Ｌｔ０＝１０ｃｍ, Θ０＝－１０°,Δｔ＝０．１秒, 速度Ｖ＝２ｃｍ/秒 -30 中心軸からの距離 -25 -20 中心軸との角度 -15 ハンドルの向き -10 -5 0 0 5 10 15 1 2 3 4 5 6 (3) 高木（Takagi）と菅野（Sugeno）の方法後件が入力変数の線形和で表現されるものとする Ri : If x1 is Ai1 and x2 is Ai2 … xm is Aim then y = Pi0 + Pi1 x1 + …+Pim xm , i = 1 , …, U 前件部はマムダニの方法と同じ m mRi (a)   mAij (a j ) j 1 yi = Pi0 + Pi1 a1 + …+Pim am n yˆ  m i 1 n Ri m i 1 ( y i ) yi Ri ( yi ) 特徴：入出力データがあれば最小自乗法によりPijを求めることができる演習目標速度に近づけるあらかじめ設定された目標速度で運転するためのファジールールを考案せよ。速度は、中速、低速、高速の3区間別に区切られていることを前提とし、最初は停止しているものとする。（１）簡単のため路線は直線であり、傾斜がなく、路面摩擦係数および空気抵抗係数も一定とする。（２）路面摩擦および空気抵抗は速度のみに比例するものとし、次の式が成り立つものとして、適当なプログラミング言語や表計算等を用いてシミュレーションし、考案したファジールールが適切であることを確認すること。但し、路面摩擦係数、空気抵抗係数は、次のようにまとめてシミュレーションして良い。Ｖｔ＝Ｖｔ－１＋（Ａｔ－１ー C・Ｖｔ－１）・ΔｔＡｔ－１：アクセルまたはブレーキによる加速度Ｃ：路面摩擦係数および空気抵抗係数をまとめた値レポートに記述する内容１．学籍番号、氏名２．本レポート課題名３．ファジールール４．各メンバーシップ関数５．推論方法６．シミュレーション方法とシミュレーションに用いたツール７．シミュレーションの前提とした各定数値と初期値８．シミュレーション結果（ハードコピーでよい）９．プログラム言語を用いた場合はソースリスト、表計算等を用いた場合は、ワークシートのハードコピーシミュレーション結果のヒント速度 100 目標速度 Accelerator Brake 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13