調和数に関する擬似概念と予想 東邦大学理学部情報科学科 指導教員 白柳 潔 5509062 田中 涼太 研究の背景 未解決問題 調和数・・・自然数のうち、全ての正の約数の調和 平均（逆数の平均の逆数）が整数値をとる数のこと である。 （例）6： 半調和数 4 1 1 1 1 + + + 1 2 3 6 =2 準調和数 調和数に関する擬似概念 目的 • 半調和数・・・調和平均が半整数になるもの。 （例）15： 4 1 1 1 1 + + + 1 3 5 15 ＝2.5 • 準調和数・・・調和平均が限りなく整数に近いも のに閾値を設定したもの。 （例）9（閾値0.1）: 3 1 1 1 + + 1 3 9 = 2.076923077 実験の方法 • 数式処理システムMaple14を用いて、調和数 と擬似概念を出力する。 • 数値を表にまとめグラフ化する。 • 時間短縮のため範囲を設定する。 調和数の結果 調和数 1 6 28 140 270 496 672 1638 2970 6200 8128 8190 18600 18620 27846 30240 32760 55860 105664 117800 167400 173600 237510 242060 調和平均 1 2 3 5 6 5 8 9 11 10 7 15 15 14 17 24 24 21 13 19 27 25 29 26 調和数 調和平均 332640 44 360360 44 539400 29 695520 46 726180 39 753480 46 950976 27 1089270 42 1421280 47 1539720 47 2178540 54 2229500 35 2290260 41 2457000 60 2845800 51 4358600 37 4713984 48 4754880 45 5772200 49 6051500 50 8506400 49 8872200 53 調和数の結果 半調和数の結果 半調和数 約数の数 調和平均 3 2 1.5 15 4 2.5 42 8 3.5 84 12 4.5 135 8 4.5 308 12 5.5 420 24 7.5 546 16 6.5 1428 24 8.5 1488 20 7.5 1890 32 10.5 2295 16 8.5 2660 24 9.5 3780 48 13.5 6210 32 11.5 7440 40 12.5 9424 20 9.5 12180 48 14.5 13392 40 13.5 18018 48 16.5 20832 48 15.5 24384 28 10.5 24570 64 19.5 半調和数 約数の数 調和平均 43152 40 14.5 43400 48 17.5 64260 96 25.5 66960 80 22.5 77490 64 20.5 90090 96 27.5 98420 48 18.5 121920 56 17.5 127710 64 21.5 155610 96 28.5 200340 96 26.5 204600 96 27.5 227664 80 25.5 316992 56 19.5 348688 40 18.5 353400 96 28.5 461776 60 24.5 483210 96 29.5 520800 144 37.5 544635 72 31.5 564200 96 32.5 半調和数の結果 右上がりの二次グラフにも見える。 調和数のグラフと類似している。 調和数と半調和数 準調和数の結果 準調和数の結果 閾値0.1の散布図 閾値0.01の散布図 準調和数の結果 閾値 最小値 0.1 9 0.01 199 0.001 1999 0.0001 20011 0.00001 0.000001 117649 2000003 0.0000001 19999999 この先閾値を狭めていくと最小値は大きくなっていくと予想できる。 考察 • 半調和数に関しては、564200という数字を境 に出力が途絶えてしまったこと。非常に不思 議で興味深い事実の発見。 • 準調和数に関しては、計算処理の時間により 0.0000001までしか調べることができなかった。 準調和数以外の散布図においては曲線を描 くものがほとんどだったが、準調和数はほぼ 直線になっていた。 • 準調和数の調和平均のほとんどが２となると いうことも不思議である。 今後の課題 • 半調和数については、なぜ564200で出力が 途絶えてしまったのか解明する。 • 準調和数については、調和平均が2に近い値 になったこと、さらに閾値を絞って解明してい く。 • 全体的に計算に時間がかかりすぎていたの で、プログラムを効率化する。
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