第2章確率と確率分布

第4章統計的検定
統計学 2007年度
Ⅰ 仮説検定の考え方
a) 仮説の設定
1) 検定仮説、対立仮説
2) 片側検定、両側検定
b) 2種類の誤り
c) 仮説検定の手順
Ⅱ 1つの標本にもとづく検定
a) 母平均の検定
1) 母分散が既知の場合
2) 母分散が未知の場合
b) 母比率の検定
Ⅲ 2つの標本にもとづく検定
a) 母平均の差の検定
b) 母比率の差の検定
Ⅰ 仮説検定の考え方
次のような問題を考える。
• 2007年のセンター試験、英語の平均点は131点であった。
• T高校では3年生全員がセンター試験を受験したが、受験生
の中から25人を選んで調査したところ、その平均点は145点
であった。
• T高校の生徒の英語の試験の成績は、全受験者平均より良
いといえるだろうか。
⇒ この疑問に対し、統計的に答える方法が統計的検定
a) 仮説の設定
1) 検定仮説、対立仮説
• この問題において、「T高校の生徒の英語の成績は全受験者
平均と変わらない」のか、「T高校の生徒の英語の成績は全受
験者平均より高い」のかが知りたいことである。
• T高校の受験生全体の英語の平均点をμとあらわすと、
H0: μ=131
H1: μ>131
という二者択一の仮説を考え、標本の情報によっていずれか
一方の仮説を採択する。
• 検定仮説（H0）検定したい状況を表したもの。否定される
ことを目的とした仮説の設定をおこなうことがあるので、帰無仮
説といわれることもある。（この場合、T高校としては「全受験者
平均より良い」という結論を出したいので、この仮説は否定して
ほしい）
• 対立仮説（H1）検定仮説と反対の状況をあらわしたもの。
検定仮説と対立仮説は、同時に成り立つことはなく、
その2つですべての状況をあらわしている。
2) 片側検定、両側検定
• この例では、T高校の受験生の平均点は「変わらない」か「高
い」の場合のみを考えた。（T高校の受験生の平均点が全受
験者平均より「低い」場合は考えなかった）
⇒ このように、対立仮説のとりうる範囲が検定仮説の片側
にくる検定を片側検定という。
H0: μ=131
H1: μ>131
※ この例の場合、検定仮説をH0: μ≦131として、「 T高校の生徒の英
語の成績は全受験者平均より高くない」のか「 T高校の生徒の英語の
成績は全受験者平均より高い」のかを検定することも可能である。しか
しこの場合も検定仮説は対立仮説に近い値であるH0: μ=131を用いる。
理由は後述する。
• 一方、ネジを作る工場において作られたネジが規格どおりか
どうかを判断する場合には、「規格どおり」か「大きいか、小さ
いか」という判断が必要となる。
⇒ この場合、対立仮説は検定仮説の両側の範囲をとる。こ
のような検定を両側検定という。
たとえば、ネジがの直径が5mmかどうかを検定するには、
H0: μ＝5
H1: μ≠5
という両側検定をおこなうことになる。
H1: μ<5
H0: μ=5
あわせてH1: μ≠5
H1: μ>5
b) 2種類の誤り
• 仮説検定には2種類の誤りがある。
H0を採択
(逮捕)
H1を採択
(不逮捕)
H0が真
（真犯人）
正
取り逃がし
（第1種の誤り）
H1が真
（無実）
誤逮捕
（第2種の誤り）
正
• 理想的な仮説検定は第1種の誤りと第2種の誤りがともに小さ
くなるような検定であるが、これらを同時に成り立たせることは
難しい。
• 通常は第1種の誤りを0.05などの一定の小さな値（有意水準
という）以下におさえた検定をおこなう。これはH0を否定(棄却)
する強い証拠がない限り、H0を採択するということである。
c) 仮説検定の手順
仮説検定は次のような手順をとる。
＜ステップ１＞
＜ステップ２＞
＜ステップ３＞
仮説の設定
仮説検定に適当な統計量を選ぶ
検定仮説の採択域と棄却域を設定する
統計量が
採択域
＜ステップ４＞
H0を採択
統計量が
棄却域
H1を採択
＜ステップ2＞仮説検定に適当な統計量
• T高校の例では、25人の標本平均 x の分布は中心極限定
理により、平均μ、分散  の正規分布にしたがう。
n
• これを標準化した
2
z
x
 n
は標準正規分布にしたがうので、これが仮説検定に適当な統
計量である。
x
t

（母分散が未知の場合は s n  1 が自由度n-1のt分布にし
たがうことを使う）
＜ステップ3＞採択域と棄却域の設定
• 仮説検定では、まず検定仮説が正しいと思ってみる。T高校
の例で、σ=40であったなら、 x は平均131、分散82の正規分
布にしたがう。
zの分布
x の分布
z
150
160
145 131 14

 1.75
となる。これは標本分布の95%の範囲内
40 5
8
（両側検定の場合）である。⇒ 検定仮説を採択
5
4
3
2
1
4.5
140
3.5
130
2.5
120
1.5
110
0.5
100
0
0
-0.5
0.01
-1
→
0.02
-1.5
0.03
-2
標準化
0.04
-2.5
0.05
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-3
0.06
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
zがここだったら検定仮
説を棄却し、対立仮説
を採択する。
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-2.5
• 片側検定の場合は、 zが0より
だいぶ大きい場合、検定仮説
を棄却して対立仮説を採択す
ることになるが、このようなｚの
値は、μ<131を仮定した分布
(たとえばμ=120)のすべてに
おいて、検定仮説が棄却され
る。
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-3
• もし、z=2.4という結果が出た
なら、どのように考えれば良い
のであろうか。
• この例の場合対立仮説を採択
し、他の母集団(たとえばμ＝
160)から得られた標本と考え
る。
zがここだったら検定仮
説を棄却し、対立仮説
を採択する。
• 採択域と棄却域は次のように設定される。
両側検定
棄却域
採択域
棄却域
片側検定
採択域
棄却域
• 判定の境界値はそれぞれの統計量の分布による。（統計量
の分布が標準正規分布で両側検定の場合は、-1.96と1.96
の間に入れば採択域、それ以外が棄却域となる）
• 片側検定において有意水準5%の検定をおこなう場合、標準
正規分布にしたがう変数であれば、
z  1.64 のとき検定仮説を採択し、 z  1.64 のとき対立仮説を採択する。
• t分布にしたがう変数であれば、α=.05の列から求める自由
度のものを探す。(ここでは、t0.90と表記する。)
Ⅱ 1つの標本にもとづく検定
a) 母平均の検定
1) 母分散が既知の場合
次のような問題を考える。
（例）ある工場では直径5mmのねじを標準偏差0.04mmにお
さまるような管理体制で製造している。製造機械の劣化に
よって、品質に変化が生じたかどうかを検討するために、9本
を標本として選んだところ、その平均が4.97mmであった。こ
れは品質管理上異常なしと考えて良いだろうか。
１．仮説の設定
この例の場合、「品質管理上異常がない」か、「品質管理上異常がある」
かを検定する。
検定仮説としては「品質管理上異常がない」という仮説を用いる。このと
き対立仮説は「品質管理上異常がある」という仮説となり、
H0: μ=5 vs. H1: μ≠5
と表すことができる。この場合、対立仮説は検定仮説の両側をとる（「異
常がある」には、大きすぎると小さすぎるの両方が含まれ、「異常がない」
という検定仮説の両側の範囲をとる）。
※１検定仮説と対立仮説を逆にし、 H0: μ≠5 vs. H1: μ =5 とすることも考えられ
る。しかし、採択域と棄却域を構成する場合、検定仮説が正しいとみなして構成
するため、検定仮説はある範囲(複合仮説)より、1つの数値(単純仮説)であること
の方が望ましい。
※2 「ねじがねじ穴に入るかどうか」を検定するなら、「ねじ穴に入る」という検定
仮説と、「ねじ穴に入らない」という対立仮説が考えられる。すなわち、 H0: μ≦5
vs. H1: μ > 5 とすることである。
２．検定統計量
この例では母分散が分かっているので、標本平均 x を用いて、
z
x
 n
を考えると、これは標準正規分布にしたがう。
３．採択域と棄却域
検定仮説が正しいと仮定する。このとき、標本平均をもとに計算したzが0
から大きく離れていたならばこの仮定は誤りだったと考える。
zがここだったら検
定仮説が正しいが
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
zがここだったら検定仮
説は誤りで、このような分布が正し
いと考える。
この場合、zは標準正規分布にしたがうので、有意水準5%†の仮説検定
をおこなうなら、
 1.96  z  1.96 のとき検定仮説を採択し、
z  1.96 または z  1.96 のとき対立仮説を採択する。
棄却域
-1.96
採択域
1.96
棄却域
† 検定仮説が正しいなら、z>1.96またはz<-1.96となるような x が選ばれる確率は
5%である。これは第1種の誤りの確率すなわち有意水準が5%であることを意味
している。
４．統計量の計算
検定仮説が正しいとみなして(μに5を入れて)統計量を計算すると
x
4.97  5
z

 2.25
 n 0.04 9
となる。よって z  1.96 なので棄却域に入り、検定仮説を棄却し、対立
仮説を採択する。
2) 母分散が未知の場合
母分散が未知の場合は、zの代わりに
t
x
s n 1
を考え、こ
れが自由度n-1のt分布にしたがうことを用いて仮説検定をお
こなう。
次のような問題を考える。
（例）ある科目の試験を、平均点70点となるように作成したい。
そこで、26人をサンプルとして選び、問題をといてもらったと
ころ、26人の平均点は60点、分散が625であった。試験の問
題作りは成功したといえるだろうか。
（解）
１．仮説の設定「平均点が70点である」という仮説を、「平均点が70点でな
い」という仮説に対して検定するので、 H0: μ=70 vs. H1: μ≠70 という仮
説を設定する。
２．検定統計量標本平均 x を用いて、
x
t
s n 1
を考えると、これは自由度n-1のt分布にしたがう。
３．採択域と棄却域検定仮説が正しいと仮定する。このとき、標本平均をも
とに計算したtが0から大きく離れていたならばこの仮定は誤りだったと考
える。tは自由度26-1=25のt分布にしたがうので、t0.95=2.060でる。有意
水準5%の仮説検定をおこなうなら、 2.060  t  2.060 のとき検定仮説
を採択し、t  2.060 または t  2.060 のとき対立仮説を採択する。
４．統計量の計算
x 
60  70
t

 2
s n  1 25 26  1
となる。  2.060  t  2.060 なので検定仮説を採択する。よって問題作
りは成功したといえる。
b) 母比率の検定
• 母比率の検定では、 z 
ことを利用する。
pˆ  p
が標準正規分布にしたがう
pq n
（例） 2007年5月30日(水)に放送された「藤原紀香・陣内智則
結婚披露宴」では、視聴率が24.7%(関東地区 600世帯を対
象)†であった。この結果から、20%を超えたといえるであろう
か。
† ちなみに関西地区では40.0%であった。
（解）
１．仮説の設定 H0: p=0.2 vs. H1: p＞0.2 という仮説を設定する。「20%を
超えない」という検定仮説に対し、「20%を超えた」という対立仮説を検定
するので、 H0: p≦0.2 vs. H1: p＞0.2 であるが、検定仮説は対立仮説に
最も近い1点を考えれば良い。(0.2で成り立てば、それより小さな値では
必ず成り立つ)
２．検定統計量標本比率 pˆ を用いて、
z
pˆ  p
pq n
を考えると、これは標準正規分布にしたがう。
３．採択域と棄却域 zは標準正規分布にしたがうので、有意水準5%の仮説
検定を片側検定でおこなうなら、 z  1.64 のとき検定仮説を採択し、z  1.64
のとき対立仮説を採択する。
４．統計量の計算
z
pˆ  p
0.247 0.2

 2.878
pq n
(0.2  0.8) 600
となる。 z  1.64 なので対立仮説を採択する。よってこの番組の視聴率
は20%を超えたといえる。
Ⅱ 2つの標本にもとづく検定
a) 母平均の差の検定
• 2つの母平均の差の検定は、2社のメーカーが作った電球の
寿命の差があるかどうかとか、試験の成績について男女間
で差があるかどうかなどを検定するときに用いられる。
• 母平均の差の検定は、母分散についての情報がどの程度あ
るかによって、次のように分類できる。
– 母分散がともに分かっている場合
– 母分散は分からないが、等しいとみなしてよい場合
– 母分散について全く分からない場合
• この3通りについて、それぞれ用いる検定統計量は異なる。ここでは、母
分散は分からないが、等しいとみなしてよい場合を考えてみる。
• 2つの標本から求められた分散を s12 , s22 とあらわすと、母分散の不偏
推定量は
n1s12  n2 s22
ˆ 
n1  n2  2
2
となり、これを用いて
t
( x1  x2 )  ( 1   2 )
1 1


n1 n2
を考えると、これは自由度 n1+ n2-2 のt分布にしたがう。
（例） A, B 2銘柄のタバコのニコチン含有量を調べたところ、銘
柄Aのタバコ10本は平均 27.0mg、標準偏差 1.7mg、銘柄
Bのタバコ7本は平均 29.3mg、標準偏差 1.9mgであった。こ
の2つの銘柄の間にニコチン含有量の差はあるであろうか。
（解）
１．仮説の設定銘柄Aのニコチン含有量をμ1、銘柄Bのニコチン含有量をμ2
とし、M=μ1 ｰ μ2とすると、
H0: M=0 vs. H1: M≠0
となる。
２．検定統計量標本平均 x1 , x2 を用いて、
( x  x )  ( 1   2 )
t 1 2
1 1


n1 n2
を考えると、これは自由度n1+n2-2のt分布にしたがう。
３．採択域と棄却域検定仮説が正しいと仮定する。このとき、標本平均をも
とに計算したtが0から大きく離れていたならばこの仮定は誤りだったと考
える。tは自由度10+7-2=15のt分布にしたがうので、t0.95=2.131である。
有意水準5%の仮説検定をおこなうなら、 2.131  t  2.131 のとき検定
仮説を採択し、t  2.131 または t  2.131 のとき対立仮説を採択する。
４．統計量の計算 σ2について不偏推定量
n1s12  n2 s22 10 (1.7) 2  7  (1.9) 2
ˆ 

 3.611
n1  n2  2
10  7  2
2
を用いると、
( x  x )  ( 1  2 )
(27.0  29.3)  0
 2.3
t 1 2


 2.457
1 1
 1 1  0.936


3.611   
n1 n2
 10 7 
よって t  2.131 なので棄却域に入り、検定仮説を棄却し、対立仮説を
採択する。
2銘柄のニコチン含有量には差があるといえる。
b) 母比率の差の検定
• 2つの母比率p1およびp2に差があるかどうかを検定する場合
は、
z
( pˆ 1  pˆ 2 )  ( p1  p2 )
1 1 
pq  
 n1 n 2 
が標準正規分布にしたがうことを利用する。
（例） 6月10日(日)に放送された「サンデーモーニング」の視聴
率は13.9%(関東地区 600世帯を対象)であった。この結果
は、同じ日に放送された「THEサンデー」の視聴率11.7%を
上回ったといえるかどうか。
（解）
１．仮説の設定「サンデーモーニング」の視聴率をp1、「THEサンデー」の視
聴率をp2とし、M= p1-p2とすると、H0: M=0 vs. H1: M>0$ となる。
２．検定統計量標本比率 pˆ1 , pˆ 2 を用いて、
z
( pˆ 1  pˆ 2 )  ( p1  p2 )
1 1 
pq  
 n1 n 2 
を考えると、これは標準正規分布にしたがう。
３．採択域と棄却域 zは標準正規分布にしたがうので、有意水準5%の仮説
検定をおこなうなら、 z  1.64 のとき検定仮説を採択し、z  1.64 のとき
対立仮説を採択する。
0.139  0.117
 0.128
４．統計量の計算 pの値が不明なので、プールした推定値
2
をもちいる。
z
( pˆ 1  pˆ 2 )  ( p1  p2 )
1 1 
pq  
 n1 n 2 

(0.139 0.117)  0
1 
 1
0.128 0.832 


600
600


より、z  1.64 なので検定仮説を棄却しない。

0.022
 1.14
0.019

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