ゲームの理論とは No.1 ゼミナールⅢ・クラスE05 参考資料同時ゲームと基礎的概念   ゲームとは対決状況を表して，「対立した目的を追求する二人あるいはそれ以上のプレーヤー (player)と呼ばれる参加者が，互いに矛盾した目的を達成するために対決状況にある事態。」ゲームの参加者であるプレーヤーが選択する戦略が明らかになったとき，その選択された戦略の組み合わせをゲームの解という。戦略と利得    ゲームをする主体とか意思決定をするプレーヤーがいて，目的は相互に矛盾しており，同時に達成することはあり得ない。プレーヤーが選択する行動を戦略という。目的達成により，プレーヤーの誰かが勝ち，誰かは負ける。勝利プレーヤーは，勝利の対価として正の利得を得る。負けたプレーヤーは負の利得となる。これを，利得あるいはペイオフという。利得・サッカーのペイオフ   サッカーのゲーム目的は，キッカーは得点確率を上げる，キーパーはゴール阻止率を上げる(キッカーの得点確率を下げる)ことで，相反した目的を持っている。相反した目的について，結果はシュートが入ったか入らなかったかのいずれだから，得点確率と阻止率の合計は１となる。 (キッカーAのシュート確率，キーパーBのセーブ確率)         (AX,BX)：プレーヤーAが戦略X，プレーヤーBが戦略Xを選んだ時の利得キッカーは右に蹴り込み，ゴールキーパーは右に跳ぶ (AX,BY)：プレーヤーAが戦略X，プレーヤーBが戦略Yを選んだ時の利得キッカーは右に蹴り込み，ゴールキーパーは左に跳ぶ (AY,BX)：プレーヤーAが戦略Y，プレーヤーBが戦略Xを選んだ時の利得キッカーは左に蹴り込み，ゴールキーパーが右に跳ぶ (AY,BY)：プレーヤーAが戦略Y，プレーヤーBが戦略Yを選んだ時の利得キッカーが左に蹴り込み，ゴールキーパーが左に跳ぶじゃんけんの場合    AとBは，500円相当の入場券を目当てにゲームをしている。勝てば500円のチケット代金が相手から手に入る。負ければ、500円分、相手に買わねばならない。 Aの側からみて，Aがグーを出した場合，Bの戦略にはグー，チョキ，パーがある。グーとグーでは双方がゼロで，AがグーでBがチョキであればAの勝利で利得は500，Bの利得は-500となる。AがグーでBがパーであれば，逆にAの利得は-500となり，Bの利得は500となる。じゃんけんペイオフ   グーを出した場合，利得のすべての組み合わせは次のようになる。 ( 0 , 0 )，(500 , -500)，(-500 , 500)   同じように，AのチョキとパーにBのグー，チョキ，パーを対応させると，      (-500 , 500)，( 0 , 0 )，(500 , -500) ( 500 , -500)，(-500 , 500)，( 0 , 0 ) じゃんけんに勝つための必勝法は存在しない。   相手に自分の手の内を読まれないように，すべての手を1/3の配分ででたらめに出すことが最適な戦略となる。相手の手の内に対して，何かの変更をすることによって，より良い状態の余地が発生するような状況では，ゲームの解は存在しない。牛丼価格競争ゲーム   競争最前線として，集客競争をしている駅前の代表的な二店を考える。戦略はプレーヤー(店舗)が提示する価格で，牛丼「価格の据え置き」もしくは「値下げ」を選ぶことができる。利得は，価格の据え置きか競争によって実現する結果として，「増加もしくは減少した売り上げまたは利益」を考えることができる。牛丼戦争のペイオフ      (a)両店価格据え置きであれば，両店の売上げは8,000万円のままである。 (b)両店値下げをすると，共倒れとなって，収入は半減(4,000万円)する。 (c)どちらか1店のみ値下げをした場合。 c-1・値下げした店はシェアを奪って，1億円 (10,000万円)の売上げ。 c-2・値下げしなかった他店はシェアを奪われ， 2,000万円の売上げ。戦略の考え方１   はじめに，松屋の戦略として，吉野屋の価格の据え置きに対してCase-1，吉野屋の価格の値下げに対してCase-2がある。競争相手がその戦略のままであるとして，自分の戦略(ここでは松屋)を変更したら何が最適かを考える。Case1では吉野屋Sの価格据え置きに対する，松屋の二つの対応の利得が示されている。考え方2    吉野屋の据え置きと同じように松屋も据え置くと， (a)の場合として8,000万円の利得がある。吉野屋の据え置きに対して松屋が値下げをすれば， (c-1)の利得が得られるから10,0000万円を得ることができる。吉野屋の据え置き・・・（8,000 < 10,000）→ 松屋は値下げを選ぶこの結果，吉野屋の据え置きに対しては，松屋は価格を下げる戦略を選んだ方が利得は大きい。考え方3     Case1では吉野屋の価格値下げに対する，松屋の二つの対応と利得が示されている。吉野屋と反対に松屋が据え置くと，相手にシェアを奪われてc-2の場合として，利得は2,000万円となる。一方，吉野屋の値下げに対して松屋も値下げに応ずれば，共倒れの(b)のケースとして，利得は 2,0000万円となる。吉野屋の値下げ・・・（2,000 < 4,000） → 松屋は値下げを選ぶ考え方４    この結果，吉野屋の値下げに対しては，松屋も値下げで応じる戦略を選んだ方が利得は大きい。利得の大きな松屋の戦略は，相手が据え置き･値下げのどちらの場合でも値下げで応じた方が利得が大きい。つまり，自分たちの合理性のみを追求していけば，共倒れの恐れがあるにもかかわらず，値下げ競争に向かうことが最適行動となってる。同じように，松屋の据え置きと値下げに対する吉野屋の戦略と利得が比較できる。これは数値例が縦の比較となるから，表-1のCase3とCase4を見て，第2要素の大小関係を比較すればよい。ゲームの解    松屋の据え置き・・・（8,000 < 10,000）→ 吉野屋は値下げを選ぶ松屋の値下げ・・・・（2,000 < 4,000） → 吉野屋は値下げを選ぶお互いの戦略について，相手の戦略に対する最適な反応となっている組み合わせを表せば，両方とも値下げ戦略となる。非協力ゲームの一つの解    この例の利得行列と最適な戦略からは，お互い疲弊してどちらかが牛丼市場から退出するまで競争は続くことを示唆している。ゲームの理論は，このような，個のレベルでは合理的としても社会全体では不合理である例を明らかにできる。個の行動においては最適な選択であったにもかかわらず，全体もしくは双方の合計で評価する限り最悪の状態になることを囚人のジレンマという。