相乗平均から対数の世界へ 相乗平均 ■ 平均倍率 例１ 株価の推移 １月２８日 １月２９日 １月３０日 １００円 １６０円 ２００円 ×１．６ ×１．２５ 平均何倍ずつ増えたのだろうか 相乗平均 １月２８日 １月２９日 １月３０日 １００円 １６０円 ２００円 ×１．６ １．６＋１．２５ ＝１．４２５ 倍 ２ ×１．２５ 両方とも１．４２５倍にしてみると・・・ １００円 １４２．５円 ×１．４２５ ２０３．０６２５円 ≠２００円 ×１．４２５ だいたい良いような気もするが・・・ちょうど２００円にならないか？ 相乗平均 そこで・・・ １月２８日 １月２９日 １月３０日 １００円 １６０円 ２００円 ×１．６ １００円 ×１．２５ １００円 × ２ × ２ １．６×１．２５＝ ２ １００円 × ２ × ２ ＝２００円 × ２ こちらの方が適当ではないだろうか。 １つの物の連続した２つの期間の倍率の平均は・・・かけ算＆√ １．６×１．２５ ・・・・・・ 相乗平均 という 相乗平均 例２ ねずみの家族 ある日 １ヶ月後 ２匹 ４匹 ×２ ２匹 ２ヶ月後 ３２匹 ×８ ３２匹 ８匹 ×４ ２×８＝４ ×４ ２匹 ×４×４ ＝３２匹 相乗平均 ということは・・・ 期間が３つの場合 a1 a2 ×R1 a3 ×R2 a4 ×R3 ・・・３つの積の３乗根が平均倍率 3 R1 R2 R3 期間がｎ個の場合 a1 a2 ×R1 a3 ・・・ ×R2 an ×Rn-1 ・・・ｎ個の積のｎ乗根が平均倍率 n an+1 ×Rn R1 R2 Rn 対数を使う ■ 倍率の内分 ２つの期間の倍率の平均 ･･････ 相乗平均 ×２ 相乗平均 ところで a3 a2 a1 ×１２８ 2128 28 24 16 平均 ＝中点 ･･･１：１に内分する点 と考えれば 別の比の内分も定義できる 対数を使う ２倍と１２８倍を１：２に内分する倍率は？ 直線的に考えれば （内分の復習） １２８倍 2 2 1128 ＝44 1 2 ４４倍 だが・・・・・・ ２倍 １ 相乗平均と同じように考えるとどうなるか？ ２ 対数を使う 相乗平均を分析してみよう ２倍と１２８倍の相乗平均を Rm とおくと Rm 2128 対数をとる log Rm log 2 128 log(2 128) 1 2 log 2 log128 2 log Rm は log 2 と log128 の相加平均 log Rm は log 2 と log128 を１：１に内分する点 対数を使う では・・・ ２倍と１２８倍を１：２に内分する倍率をRとすると logR は log2 と log128 を１：２に内分する点 だから logR = 2×log2＋ 1×log128 1+ 2 log2 128 log 23 log 8 2 1 3 R 8 ２倍と１２８倍を１：２に内分する倍率は ８倍 対数を使う １２８倍 直線補完 ４４倍 ８倍 ２倍 １ 対数補完 ２ このように、対数で内分して途中の値を補完する方法を対数補完という 複利での資産運用など、幾何級数的な変数を補完する 対数を使う 細かく対数補完しよう 倍率でなくても幾何級数的に増加する変数そのものに使えそう 今年部屋で発見したカメムシの数の推移 １月１日 １月６日 １月１１日 ２匹 ２０匹 ２００匹 内分して毎日の数を求める それぞれの期間を５等分して、直線と対数のそれぞれの方法で 各比で内分 １：４ ２：３ ３：２ ４：１ 対数を使う 250 ２００匹 200 150 100 50 ２０匹 ２匹 0 1 2 3 4 さらに・・・ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 内分 ＝２点の加重平均 たくさんの点の加重平均・・・期待値 対数の確率分布を考えてみよう おまけ 対数正規分布とは ある変数Ｓに対して Ｓ の関数 Ｘ を X=logS で定義する Ｘが正規分布に従うとき Ｓは対数正規分布に従うという 例 株価の分布 ・・・明日の株価はいくらになるだろうか？ ある株が明日Ｓ円になる f(logS) 正規分布 logS これを繰り返し観察する 正規分布に従う 株価Ｓは対数正規分布に従う logS ※実際には明日という日は１度しかなく、同じ条件で繰り返し観察するのは不可能だが・・・ ドラえもんにお願いすれば観察可能 （中心極限定理で証明） おまけ f(logS) 逆に、ある期待値と標準偏差の 正規分布が与えられれば、 正規分布 X f(logS) それらを前提とした 株価の対数正規分布が得られる X=logS だから 対数正規分布 S=ex 分布のイメージ ･･･ ０の壁で動きが制限される S おまけ ■ まめ知識 対数正規分布に従うもの 金利、為替など・・・値の範囲が ０～＋∞であるもの 様々な金融商品の価格が対数正規分布に従う ブラック＝ショールズモデル 金融派生商品（デリバティブ)の価格計算式 数学者の ブラック先生 と ショールズ先生 が発明し、 マートン先生 が証明 ショールズ先生とマートン先生はノーベル賞を受賞 ・・・１９９７年 ブラック先生は？ ところで、ノーベル数学賞？ １９９５年 ご逝去 ではなくて、 ない！ ノーベル経済学賞 まとめ ■ まとめ はが す 歪んだ壁に貼った 馬の絵 logs s 変数 平均、内分、分布を調べたい f 相乗平均 相加平均 対数補完 直線補完 対数正規分布 正規分布 シマウマに変えたい ef(X) f(X) 壁に貼 る 縞を描く 終わり
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