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Human interface Section, P&I Lab, Titech
実時間物理シミュレーション技術
東京工業大学精密工学研究所
長谷川晶一
Human interface Section, P&I Lab, Titech
内容
物理シミュレーションの意義
なぜ，今物理シミュレーションなのか？
物理シミュレーションでできること
シミュレータの特徴と選び方
接触力計算法，高速化法
制御
シミュレータ内の物体の動かし方
デモ
我々が開発している物理シミュレータ付きVR開発環境
Springheadと力覚インタフェースSPIDARのデモ
なぜ物理シミュレーションが必要
か？
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入力に対する反応の多様さ
→ゲーム世界の多様さ・楽しさ
入力の進化
アナログパッド，画像，力覚 → 選択肢の増加
たくさんの反応を用意しなければならない
 従来の延長
 シミュレーション
場合分けの爆発
たくさんの手間と時間
自動的に多様でリアルな反応
従来の新技術と同じこと
 多量の2次元画像
 ストーリの分岐
→
→
３DCG
束構造に
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物理シミュレーションが役立つ例
動きの生成
例：歩行
シミュレーションなし：足の動きと体の動きを別々に計算
シミュレーションあり：足を動かすと自然と体が動く
当たり判定
なし：当たり判定専用計算
あり：ポリゴンモデルの接触位置が毎ステップ求まる
ダメージ計算
なし：当たったもの，当たり方毎に値を用意
あり：加わった力の大きさからダメージを計算
効果音
なし：イベントごとに音を用意
あり：加わった力，材質から自動的に音を発生
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物理シミュレーションの役割
ゲーム世界の物体が
現実世界と同様に自律的に動く
計測と制御
従来のゲームでも物理は使われていた？
従来は，特別に，物理法則を作りこんでいた．
物理シミュレータでは，物体はすべて
物理法則にしたがう．
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物理シミュレータを使うには
物理シミュレータの中身を知る
物理シミュレータの選定
自分のゲームでは何が大事か？
Havok， MathEngine? （商用）, Tokamak（無料）
Open Dynamics Engine, Springhead （オープンソース）
パフォーマンスを引き出す
スピードと精度のトレードオフ
精度同士のトレードオフ
ボトルネックの特定
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物理シミュレーションとは
物理法則(現実世界)は微分方程式で記述できる
たとえば
質点の運動
剛体の運動
流体の運動
f  mx
 
mv  f , Iω
シミュレーションは微分方程式の数値解の計算
f  mx
運動方程式：
f
m
f t
差分方程式にすると： x (t  t )  x (t ) 
m
x(t  t )  x(t )  x (t )t
順番に求めて行く：
x(t )  x (t )t  x(0)
x(2t )  ...
x(3t )  ......
x
…
x(0) x(t) x(2t)
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剛体運動のシミュレーション
剛体の運動の話だけにします．
剛体
硬いもの，変形しないもの
剛体だと考えてよいものが多い
積み木，ボール，ロボット，人体・・・
剛体でないもの
スポンジ，粘土，水・・・
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剛体の運動
v: 速度
ω:角速度
m: 質量
I: 慣性テンソル
f: 外力
(すべて絶対座標系)
運動方程式
mv  f
 τ
Iω
mv(t  t )  mv(t )  ft
I(t  t ) ω(t  t )  I(t ) ω(t )  τt
f  0, τ  0 ならば，速度一定・角運動量一定
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剛体に働く力
重力→ f=mg… 定数
バネ→ f=kx… 位置に比例
拘束力
mg
kx
力の大きさは不明
剛体同士の位置・速度関係が決まっている
 蝶番：2物体の相対位置が一定
 抗力：2物体が互いに侵入しない
 静止摩擦力：物体が滑らない
拘束力の計算が難しい
fn
ft
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拘束力の求め方
例：球関節の拘束．
２物体が点pAと点pBで繋がっている
拘束の式： pA = pB
A
pA
この式を満たすように，関節に働く力を求める
解析法：運動方程式と拘束の式を連立させて解く
 David Baraff 89-93など
 Havok，Tokamak, Open Dynamics Engine
ペナルティ法：拘束違反に応じた力を加える
 昔からいろいろな用途に使われてきた
 Springhead
 接触判定時に拘束違反の量（侵入量）を調べる必要がある
pB
B
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解析法１（関節）
B
f
A
rB
pA pB
 B  p
 A  0
拘束： p
(rA,  θ A  (p A  rA )  θ A  (p A  rA ))
 (r  θ  (p  r )  θ  (p  r ))  0
B,
rA
IA
mB
M
B
B
B
B
B
Br  b  0
運動方程式：
 mA






B
1
 rA  

  



 θ A    (p A  rA )  
 r   
f
1
 B  







I B  θ B   (p B  rB )  
r 
C f
Af  b  0
計算量はo(n3)
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解析法２（抗力）
 B  p
 A )  n  0
拘束： (p
B
pB
fn
運動方程式: Mr  Cfn
af  b  0
pA
A
(Br  b)  n  0
抗力は，反発だけ：
これを満たす f を見つける→
利点：
欠点：
0 -a/b
f 0
線形計画法,2次計画法・・・
物体同士が侵入しない．
遅い，跳ね返り係数を考慮していない．
f
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解析法３（摩擦力）
クーロンの摩擦モデル
f S  0 f N (静止摩擦)
f d   f N (動摩擦)
拘束：
B
fN
抗力は，反発力:
fS
A
運動方程式:
 B  p
 A )  n  0
(p
Mr  Cf
f n  0
摩擦力の条件： f  n / | f |  / 1   2
場合分けを無くすため 0   とすることが多い
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ペナルティ法（抗力）
 拘束を解かない．
Af  b  0
 拘束を侵した分だけ罰(ペナルティ)として力を加える．
.
侵入量 d，相対速度 d
f  Kd  Bd
バネダンパ
 繰り返すうちに拘束が満たされる．．．はず．
力が直接決まるので，計算量はo(n)
接触部にバネとダンパを入れたと考えられる
利点：
欠点：
高速，跳ね返り係数を考慮できる．
物体同士が多少侵入してしまう．
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ペナルティ法（摩擦力）
静止摩擦：ずれに比例した力を加える
接触の履歴を利用
クーロンの摩擦モデルをそのまま利用できる
f d   f N (動摩擦)
f S  0 f N (静止摩擦)
静止摩擦
動摩擦静止摩擦
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ペナルティ法（面接触）
面で接触する場合
力は接触部分全体から発生
正確な接触力の計算
分布バネダンパモデルを考える
発生する力を接触部全体について積分
意外と簡単な式になる
解析法に比べ，とくに摩擦力が正確
接触部分の形を求める必要
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計算量と高速化
ここまでで，物理の話は終わりです．
関節を持つ剛体
剛体同士の接触
のシミュレーションができるようになりました．
ここからは，リアルタイム動作に必要な，
計算量と高速化について話します．
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解析法の計算量と接触数
接触している
多物体が
場合多くの拘束が働く．
関節で繋がれる
f1n
f2n
Af  b  0
f 0
行列Aの次元＝抗力 fi の数
方程式を解くので，行列の次数nに対して，計算量はo(n3)
立方体の面接触１つ：４次元
１０個つむと：４０次元
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解析法の高速化
 Aを早く解く工夫
 ODEの場合
Af  b  0
f 0
 巨大な行列Aを作らず，
2物体単位で計算する
 繰り返し計算する
 繰り返し回数が少ないと精度が落ちる (ペナルティ法に近い）
巨大行列Aを解いた場合
２体単位で，繰り返し
解く場合
Open Dynamics Engineのドキュメントより
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構造を利用した，解析法の高速化
Articulated Body
多数の剛体を関節でつないだもの
動物や人間の体，ロボットなど
構造に特徴
剛体が輪になっていない→木構造
輪になっている例全部繋がっている例
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解析法で求めると．．．
3
2
B1
A
D
Aの運動方程式： M ArA  CA1 (f1 )
１の拘束の式： B1ArA  B1BrB  b1  0
Bの・・・・・・・・・・・・・・・・ここで， rやｆは６次元ベクトル
r  vx
v y
vz
 x
 y
 z T
並べてみると
MA





B
 1A



C A1
MB
CB1
MC
CC2
MD
B1B
B 2B
B 2C
B 3C
CB2
B 3D
 rA   0 
  

 rB   0 
CC3  rC   0 
  

C D3  rD    0 
 f    b 
 1   1 
 f 2    b 2 
  

f

b
 3   3 
0だらけ，すかすか，sparse行列
普通に解くより早い方法があるのでは？
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Featherstoneの方法
巨大行列を普通に解かない
根から葉に向かって１つずつ拘束力を求める
とても速い O(n)
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Featherstoneの方法
1. 全体を一つの剛体だと考え，加
速度を求める．
 剛体Aの加速度が求まる
3
2
D
B
1
A
2. AとBから先の2つの剛体と考え
1. 関節1に働く力を求める．
2. Bの加速度を求める
3
2
B
1
3. BとCから先〃
A
D
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Featherstoneの方法
先ほどのsparse行列で考えると，
3
2
B1
A
D
1. 葉から根に向かってMを合成
MA





B
 1A



C A1
MB
CB1
MC
CC2
MD
B1B
B 2B
B 2C
B 3C
CB2
B 3D
2.加速度rA を求める．
 rA   0 
  



r
0
 B  

CC3  rC   0 
  

C D3  rD    0 
 f    b  f 3を消去
 1   1 
 f 2    b 2 
  

f

b
 3   3  rDを消去
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Featherstoneの方法
3.根から葉に向かって，fi , r を求める
MA





B
 1A



C A1
MB
CB1
MC
CC2
MD
B1B
B 2B
B 2C
B 3C
CB2
B 3D
 rA   0 
  

 rB   0 
CC3  rC   0 
  

C D3  rD    0 
 f    b 
 1   1 
 f 2    b 2 
  

f

b
 3   3 
rAが求まったので，
f1を求める
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ペナルティ法は高速
バネダンパモデルから力が求まる
f   kx  bx
60
計算時間[ms]
50
ペナルティ法（Springhead）
解析法（Open Dynamics Engine）
40
30
20
10
0
0
5
10
ブロック数
15
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解析法とペナルティ法
解析法
1ステップで拘束と評価関数を満たす力を計算
ステップが大きく取れる．1ステップの計算は多い．
摩擦や跳ね返り係数などは難しい
→ 動きの精度低 or 評価関数化難，計算量増大
繰り返し計算による高速化：1ステップに何度も計算
ペナルティ法
バネダンパモデル→1ステップの計算は速い．
侵入量∝Δt なので，ステップ数が多くなる．
摩擦・跳ね返り係数なども簡単にモデル化できる．
シミュレーション法・高速化法の特性を考慮して，
シミュレータを選んでください．
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Springhead
我々が開発している物理シミュレータ
開発の動機
力覚インタフェースに使いたい
超高速更新(>300Hz)，安定性重視
シミュレータでロボット対戦（ロボコン）をやりたい
２台以上
フィールドに障害物
押し合い → 摩擦が重要
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Springheadの選択
接触力計算はペナルティ法
高速性，安定性
摩擦の精度
多少剛体同士が侵入するが，気にしない
ロボットなど関節を持つ物はFeatherstone法
構造が変化しないので非常に高速．
ループのある機構は少ない．
ペナルティ法とは簡単に組み合わせられる．
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ゲームの作成
シミュレータの限界
限界を見極めてモデリングする必要がある
安定性の限界
極端に重いものと軽いもの
• 衝突時に速度が大きくなりすぎる
質量と慣性モーメントの比率がおかしいもの
• 回転速度が極端に大きくなることがある
極端に大きさが異なるもの
• 衝突判定の精度が問題となる
計算速度の限界
物体数，ポリゴン数，時間刻み
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ゲームの作成
物理以外に必要なもの
ゲームのルール
• 物体の位置や速度で判定
ダメージの計算
• 接触力や関節に働く力の計測
物理シミュレーションを活かして作ると効果的
人物，動物，車などの動き
自然の動きではなく，意図を持った動き
→ コントロール＝制御が必要
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物体の制御
シミュレータ内の物体は，速度・慣性を持つ．
自動的に運動する
強制的に位置を指定
不自然な動き，非常に大きな力が発生
シミュレーションの意味がない
やわらかい動き
物理を無視せず，実世界と同じく力を加えて動かす．
＝制御をする
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PD制御
 目標位置に質点を持っていくには？
誤差に応じた力を加えてやる
例えば f=k(xg – x)では？
mx  k ( xg  x) 
m
x0
f
xg
初期位置目標位置
x  ( x0  xg ) cos( k / m t )  xg
運動方程式： f  mx
振動し続ける
誤差に比例:バネ
Proportional制御
 f  k ( xg  x)  b( x g  x ) では？
x  ( x0  xg ) e (b / 2)t cos( k / m t )  xg
減衰し，振動が止まる
微分に比例：ダンパ
Differential制御
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PD制御の性質と調節
 バネ係数kとダンパ係数bでPD制御の性質が決まる
 バネ・ダンパと考えられるので，
k
 バネ係数 k
 大きいほど早い．小さいほど柔らかい．
 ダンパ係数b
 負だと振動がどんどん大きくなる
 0だと振動が止まらない
 大きいほど振動しにくい
目標位置
m
b
x  ( x0  xg ) e(b / 2)t cos( k / m t )  xg
 b>0ならば，収束する（振動が収まる）．
 kが大きいほど早く動く．振動の周期は 2 k / m
 シミュレーションは時間が離散少なくとも周期＜2Δtは無理
Δt
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シミュレータ上でのPD制御
シミュレータ上でのPD制御
時間が離散
m
位置 x
速度 v
0
目標位置
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シミュレータ上でのPD制御
安定性の確認
行列A
An →0 ならば，このPD制御は安定になる
安定：そのうち目標位置でとまる
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シミュレータ上でのPD制御
安定性の確認（つづき）
|Aの固有値| < 1 ならば， An →0 なので，
Aの固有値を求めてみる
Aの固有値
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シミュレータ上でのPD制御
~~
安定な k,b の範囲，早く静止する k,b を求める
~
b
~ ~
b=k
2
実際に良く使うのはこの辺
~
k
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無次元化について

この数値は何？
この数値は質量m,ステップΔtに依らない？
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PD制御の実験
～～
いろいろな k, b での挙動をご覧ください
～
～～
b
b=k
2
1.5
～
0.5
2
k
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ペナルティ法とPD制御
ペナルティ法もバネ・ダンパモデル
.
侵入量 r，相対速度 r
f  Kr  Br  c
バネ・ダンパ係数は？
Springheadでは,
バネダンパ
では多物体が接触したときに安定しない．
を使用
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まとめ
物理シミュレータの役割
ゲーム世界の多様性，多様な反応の実現
シミュレータの中身と選定
解析法とペナルティ法
 私はペナルティ法が好きですが，目的次第です．
高速化法
 行列Aをいかに早く解くか（解かずに済ますか）
やわらかく動かすための制御
PD制御
バネ・ダンパ係数の決め方，無次元化
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謝辞
このような機会を与えて下さった，
星野准一先生，新清士様，IGDAの皆様
一緒に開発したSpringhead開発チーム
田崎勇一，岡田直樹，市川宙，白井暁彦，
藤井伸旭，田上信一郎
ご清聴ありがとうございました．
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参照
デモとすべてのソースはSpringheadのWebで公開
http://springhead.info/
この資料や参考文献リストもおく予定
ご意見，ご質問，お問い合わせを
[email protected]
[email protected]
WebのWiki・掲示板・バグトラッカー
でお待ちしております
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衝突
実世界の物体は
互いに侵入しない．
跳ね返る．
再現するためには
衝突検知
剛体間に働く力の決定
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階層化による高速化
Model Hierarchy:
各ノードが子ノードを含む Bounding Volume を持つ．
 Bouding Volume は，球，直方体などで表される．
階層構造の一番したのノード(葉)が多面体モデルを持
つ．
Bouding Volumeが球で子が2つの場合の例：
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階層化による高速化
上の階層から
順に判定
枝刈りできる
→高速
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衝突検知
衝突の検出
衝突しているかどうかすべての剛体について調
べる．
剛体の形状は，多面体で表現されている．
衝突検知を簡単にするため，凸形状に分割しておく
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凸形状
凸形状の便利な性質
凸形状距離が極小となる点が1点
凸形状
最近傍点が簡単に求まる
非凸形状
GJK algorithm
E. G. Gilbert, D. W. Johnson and S. S. Keerthi
A Fast Procedure for Computing the Distance between
Complex Objects in Three-Dimensional Space (1988)
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衝突検知（GJK）
凸形状A上の点から，
凸形状B上の点へのベ
クトルを
原点を始点に並べると
ベクトルの終点の集合
も凸形状になる
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衝突検知（GJK2）
１
V0 : 凸形状内の任意の点
Wi :OViとOWiの内積が最小の点
Vi :三角形Wi-2 Wi-1 Wi内の点で原点に
一番近い点
２
３
４
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接触解析
凸形状の便利な性質２
凸形状の交差部分も凸形状
交差部分の形状が簡単に求まる
Half space
representation
D. E. Muller and F.P.Preparata:
“Finding the intersection of two convex” (1978)
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接触解析
Finding the intersection of two convex
Preparation: Dual Transformation
Dual transformation transform a face into a vertex and a
vertex into a face.
Dual transformation’s dual transformation is original
facet.
Dual Transformation
O
n
O
1
n
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接触解析
Finding the intersection of two convex(2)
Half space
representation
Dual transform
Vertex of intersection
Dual transform
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接触量の積分
The intersection is convex polyhedron
Intersection = upper bound – lower bound
Intersection
＝
ー
Contact normal
We can integrate penalty by each face.
d+da
d
d+db
d+db
b
d+da
a
o
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力とトルクの計算
 Each point of intersection generates penalty and it’s moment.
 Penalty and its moment from a triangle can be represented by:
Penalty
Moment of penalty
The computations for the results are simple
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Featherstoneの方法
 リンクiとより葉側のリンク全体
の運動方程式が，
fi  Miri  Zi
のように，書ける．
Mi: リンクiとより葉側のリンクの
質量・慣性による項
Zi: 外力，重力，コリオリ力による項
Mi,Ziは加速度 r によらない
1. 葉のMiは既知なので，
葉から根に向かってMiを
計算する．
fi
2. 根ではfiは0なので，運動方程
式から加速度r を求める．
3. 根から葉に向かって，fi , r
を求める
リンクi
葉のリンク
ri
葉のリンク
リンクi とより葉側のリンク
根のリンク

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