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Human interface Section, P&I Lab, Titech
力覚インタラクションのための
物理ベースモデリング
東京工業大学長谷川晶一
田崎勇一
佐藤誠
Human interface Section, P&I Lab, Titech
背景
力覚提示＋物理ベースモデリング
物体モデルに触りたい
力覚インタフェースによる直接操作，力覚提示
物体モデルがリアルに動いてほしい
→ 物理法則に基づいて物体を動かす
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目的
自由物体と，関節をもつ物体（剛体）
技術展示
写真
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力覚のための物理シミュレータ
通常の剛体運動シミュレーション
映画用
 オフラインシミュレーション
 1ステップに数秒～数分かけてもよい．
ゲーム用
 10Hz～60Hz
シミュレーションの1ステップ Dt = 16ms～100ms
力覚のためのシミュレータ
力覚制御には高速更新が必要
 300Hz～1kHz .. Dt = 1ms～3ms
細かく，高速なシミュレーションが必要
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剛体運動のシミュレーション
運動方程式
dmv
f
dt
dIω

dt
運動がシミュレーション → 数値積分
力(f)とトルク(τ)が分かればよい
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剛体に働く力
重力→ f=mg… 定数
バネ→ f=kx… 位置に比例
拘束力
mg
kx
力の大きさは不明
剛体同士の位置・速度関係が決まっている
 蝶番：2物体の相対位置が一定
 抗力：2物体が互いに侵入しない
 静止摩擦力：物体が滑らない
拘束力の計算が難しい
fn
ft
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拘束力の計算法１
解析法
運動方程式と拘束条件式から，拘束力を解く
運動方程式：
1
 mA
 rA  


   

IA

 θ A    (p A  rA ) 

 r   
f
mB
1

 B  



I B  θB   (p B  rB )  

関節の拘束：
B  p
 A  0
p
f
pA
B
pB
A
抗力の拘束：
B  p
 A )  n  0
(p
pB B
A
fn
pA
これらを連立
1次式 or 線形計画問題を解く
計算量は，一般にはO(n3)で低速
 より早く計算できる場合もある
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拘束力の計算法２
ペナルティ法
拘束をバネダンパモデルに置き換える．
拘束力＝バネダンパモデルが発生する力と考える．
バネの伸びl，相対速度v
f=k l+bv
計算量はO(n)で高速
バネダンパモデルが収束しないことがある
Dtが十分小さくなければならない．
拘束が絡み合うと，バネ・ダンパ係数の調整が大変．
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計算量の比較
Average computation time[ms]
60
ペナルティ法
(我々のシミュレータ)
50
40
解析法
(Open Dynamics Engine)
30
20
10
0
0
5
10
Number of blocks
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提案するシミュレータの枠組み
抗力・摩擦力には，ペナルティ法
構造が頻繁に変わる
解析法では高速化が難しい．
→ペナルティ法（計算量O(n)）
関節の拘束力には，解析法
関節の構造はあまり変化しない
木構造であることが多い
動物，人間，ロボットアームなど
→Feather Stoneの方法（計算量O(n)）
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抗力・摩擦力の計算
接触体積に基づくペナルティ法
抗力
接触領域に分散する
バネダンパモデルを仮定
→ 面と面が接触する場合も安定に
抗力
摩擦力
接触領域の各点が
クーロン摩擦に従うと仮定
→ 回転摩擦の計算も可能に
摩擦力
前回の接触領域現在の接触領域
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関節の拘束力の計算
Featherstoneの方法
木構造のリンク用
リンクiの運動方程式が，
 fi 
 v i 
   I i    Zi
i
 ti 
ω
Ii: リンクIの慣性項
Zi: 外力，重力，コリオリ力による項
Ii,Ziは関節加速度によらない
のように，書ける．
fi , ti
根から順に拘束と
運動方程式を
解くことが出来る．
リンクi
vi , ωi
葉のリンク
葉のリンク
リンクi と，より葉側のリンク
根のリンク
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シミュレーション例
鎖（関節の例）
積み木の操作（抗力と摩擦力の例）
両者の統合
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結論
力覚インタラクションにはステップ（Dt）の小さ
なシミュレーションが必要．
計算が高速な（O(n)）ペナルティ法と
FeatherStone法を組み合わせ，
関節を持った物体との力覚インタラクションを
実現した．
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今後の課題
FeatherStone法とペナルティ法の計算量の評価
実際の計算時間を確かめたい
ペナルティ法の安定性の向上
完全に埋まった場合，衝突判定が不安定
木構造でないリンクの取り扱い
ループを持つリンク
解析法の高速化
ペナルティ法との組み合わせ
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