结构方程模型简介

構造方程式ゼミナール
2012年11月14日-11月21日
構造方程式モデルの作成
主な内容
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モデルの設計
内生変数と外生変数
モデルの識別
モデルの推計
モデルの評価
モデルの修正
推計方法: 2段階最小2乗法,
3段階最小２乗法
経済理論
計量経済モデル
データ
モデル推計
定式化の検定と回帰診断
モデルは適切か？
NO
YES
仮説検定
予測や政策にモデルを使う
内生変数と外生変数
• 内生変数
経済モデルによって決定される変数
• 外生変数
外部から決定される変数
事例１
• 需要関数
• 供給関数
q  a1  b1 p  c1 y  1
（１）
q  a2  b2 p  c2 R   2
ｑ：数量ｐ：価格
1 ,  2：誤差
ｙ：所得
R: 雨量
内生変数：ｑｐ
外生変数：ｙ R
（１）式は最小２乗法では推計できないので、
間接最小２乗法を使う。
間接最小2乗法
•
ｙ, R について（１）の内生変数ｑ, ｐを解くと、次の式を得る
a1b2  a2 b1
c1b2
c2 b1
q

y
R  1
b2  b1
b2  b1
b2  b1
（２）
a1  a2
c1
c2
p

y
R  2
b2  b1 b2  b1
b2  b1
（2）は以下のように書き変える
q   1   2 y   3 R  1
（3）
p   4   5 y   6 R  2
（3）式は誘導型方程式、それらの式が経済体系の構造を表しているから構
造方程式という。この方法を間接最小2乗法。
識別問題（identification problem）
• 識別の必要な条件（order condition）：次数条件
ｇ：システムの中のすべての内生変数の数
ｋ：当該方程式に現れないすべての変数（外生変数
と内生変数）の数
• K=g-1,その方程式は丁度識別(just-identified)
• K>g-1,その方程式は過剰に識別(over-identified)
• K<g-1,その方程式は識別されない
(under-identified)
事例２
q  a1  b1 p  c1 y  1
q  a2  b2 p  c2 R   2
解答：ｇ＝2(連立方程式体系のすべて
の内生変数)
方程式1：ｋ＝1（R）, K=g-1, 丁度識別
方程式2：ｋ＝1（ｙ）, K=g-1, 丁度識別
q  a1  b1 p  c1 y  1
q  a2  b2 p  2
解答：ｇ＝2(連立方程式体系のすべての内生変数)
方程式1：ｋ＝0,
K < g-1, 識別されない
方程式2：ｋ＝1（ｙ）, K=g-1, 丁度識別
事例3
Y1  a0Y3  a1 X 1  a2 X 2  1
Y2   0Y1  1Y3   2 X 1   3 X 2   4 X 3   2
Y3   0Y2   1 X 2   2 X 3   3 X 4  3
事例3解答
Y1  a0Y3  a1 X 1  a2 X 2  1
Y2   0Y1  1Y3   2 X 1   3 X 2   4 X 3   2
Y3   0Y2   1 X 2   2 X 3   3 X 4  3
Ｇ＝３
① ｋ＝３ k > ｇ -1 ; 過剰識別
② ｋ＝１ k < ｇ-1 ; 識別されない
③ ｋ＝２ k = ｇ-1 ; 丁度識別
識別の必要十分条件
（rank condition）：階数条件
• 連立方程式を行列の形にして、その識別にしようとする方程
式がある行を取り除く。
• その行でゼロの要素をもつ列を取り出す。
• この列を並べたもので、すべての要素がゼロでない（g-1）
本の行と列があるならば、そしてどの行（または列）も他の行
（または列）と比例てきでないならば、その方程式は識別され
る。そうでない場合はその方程式は識別されない。
ただし、gはシステムの中に含まれる内生変数の数である。
事例4
• ３つの内生変数 y1 , y 2 , y3 と3つの外生変数
z1 , z 2 , z3 の場合を考えよう。
変数がある方程式に現れるとき×印を、現れないとき0をい
れることにする
方程式
1
2
3
y1
×
×
0
y2
0
0
×
y3
×
0
×
z1
×
×
×
z2
0
0
×
z3
×
×
0
事例４に関する次数条件の判断
• 方程式の数はg=3である。除かれている変数
の数は最初の方程式では2であり、2番目で
は３であり、3番目では２である。
• 従って、次数条件から1番目と3番目の方程
式は丁度識別であり、2番目の方程式は過剰
識別である。
事例4（解答1）
• 方程式1: g=3
1行目を取り除き、除かれている変数ｙ2とz2に対応
する列を取り出す、これらの列は次のとおりである
0 0
 
すべての要素がゼロでない行は１つだけであるので、
階数条件により、この方程式は識別されない。
事例4（解答2）
• 方程式2:
第2行を取り除き，第2行の要素がゼロとなる
y2,y3,z2に対応する列を取り出す。
0 
0
  
すべての要素がゼロでない行が２つあり、
g-1=2となっているので、方程式2は識別される。
事例4（解答3）
方程式３:
3行目を取り除き、ｙ1とｚ3に対応する列を取り出す。
 
 
すべての要素がゼロでない行が２つ（そして列も２つ）あり、
g-1=2となるので、階数条件によれば、方程式３は識別され
る。
次数条件と階数条件の関係
階数条件は同時方程式が識別されるどうかの
必要十分条件である。
次数条件は丁度識別、過剰識別、識別されな
いことを決める。必要条件。
次数条件が満たされないときには計算不能で
あるが、次数条件が満たされていれば、階数
条件が満たされなくてもパラメータの推定値
を得ることができるが、こういった場合の推定
値は意味はない。

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