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経済原論IA 第12回
「ミクロ経済学で使う最適化理論(I)」
京都大学経済学部
依田高典
1
45分で学ぶ
中級ミクロ経済学で最低限必要な数学
2
1. 変化率
Definition:
y f (x  x)  f (x)

x
x
Exam ple:
if
y  x2
y (x  x) 2  x 2 2xx  (x) 2
then


 2x  x
x
x
x
3
2. 微分
Definition:
dy
f (x  x)  f (x)
 f '(x)  limx 0
dx
x
Exam ple:
if
y  x2
dy
then
 limx 0 2x  x  2x,
dx
d2y
sim ilarly
2
2
dx
4
3. 凹関数、凸関数
Definition:
f”(x)<0 → 凹関数
f”(x)>0 → 凸関数
Example:
if 需要関数：P=1-q, then 総収入TR=q-q2;
we see凹.
∵dTR/dq=1-2q, d2TR/dq2=-2
5
4. 導関数の規則
(1) if
y  f (x)  a, then f '(x)  0
(2) if
y  f (x)  x a , then f '(x)  ax a1
(3) if
y  f (x)  a x , then f '(x)  a x ln a
(4) if
(5) if
y  f (x)  e x , then f '(x)  e x
y  f (x)  ln[g(x)], then f '(x)  g'(x) /g(x)
(6) if
(7) if
y  f (x)  ln x, then f '(x)  1/ x
y  f (x)  g(x)  h(x), then f '(x)  g'(x)  h'(x)
(8) if
y  f (x)  g(x)  h(x), then f '(x)  g'(x)h(x)  g(x)h'(x)
g'(x)h(x)  g(x)h'(x)
(9) if y  f (x)  g(x) /h(x), then f '(x) 
[h(x)]2
(10) if y  g(z), z  h(x), then dy /dx  (dy /dz)(dz/dx)
6
5. 弾力性
Definition:
dy / y x dy
x df (x) d ln f (x)



dx / x y dx f (x) dx
d ln x
1
1 df (x) d ln f (x)
given that x 
,

d ln x /dx
f (x) dx
dx
7
6. 偏微分
Definition:
y  f (x1, x 2 )
f (x1, x 2 )
f (x  x1, x 2 )  f (x1, x 2 )
 f1  limx10
x1
x1
Exam ple:
if P  f (q1,q2 )  10  (q1  q2 )
then f1  P /q1  1,
sim ilarly f 2  P /q2  1
8
7. 2階偏微分
Definition:
 2 f (x)  f (x)
f1 j 

x1x j x j x1
Exam ple:
if f (x1, x 2 )  10  x1  x1 x 2
then f1  2x1  x 2 , f 2  x1
furtherm ore f11  2, f12  f 21  1,
2
f 22  0
9
8. 全微分
Definition:
dy  f1dx1  f 2 dx2
Exam ple:
if
P  f (q1,q2 )  10  (q1  q2 )
then dP  dq1  dq2
10
9. y=f(x)の最大・最小
1階の条件：
2階の条件：
f’(x*)=0
f”(x*)<0 → x*は極大点
f”(x*)>0 → x*は極小点
Example：
需要関数P=1-q、限界費用c
利潤関数Π(q)=(1-q)q-cq
Π’(q)=0 → q*=(1-c)/2
Π”(q)=-2 → q*は最大値
11
10. y=f(x1,x2)の最大・最小
1階の条件：
2階の条件：
f1(x*)=0, f2(x*)=0
省略(行列の知識が必要)
Example：
需要関数P=10-(q1+q2)、限界費用c
企業1利潤関数Π1(q1)=(10-(q1+q2))q1-cq1
∂Π1 /∂q1=0 → q1*=(10-c- q2)/2
12
11. 包絡線定理
関数y=f(x,a)をF(a)=f(x(a),a)とおく
x0=x(a0)として
dF(a)/da=[∂f(x,a0)/∂x][dx(a)/da]+[∂f(x,a0)/∂a]
x(a)は任意のaに対してf(x,a)を最大にするaで
あるので∂f(x,a)/∂x=0となり
dF(a)/da= ∂f(x,a0)/∂a
13
12. 制約条件付最大化
Definition:
Max f (x1, x 2 ) s.t. g(x1, x 2 )  k
Max L(x1, x 2 ,  )  f (x1, x 2 )  [g(x1, x 2 )  k]
FOC :
L /x1  f1  g1  0
L /x 2  f 2  g2  0
L /  k  g(x1, x 2 )  0
14
13. ラグランジュ乗数法の計算例
市場1需要P1=36-Q1、市場2需要P2=24-Q2
限界費用ゼロ、固定費用416
総収入=総費用の制約下、社会厚生を最大化
∂U1/∂Q1= P1=36-Q1、 ∂U2 /∂Q2 = P2=24-Q2
MAX L≡U1+ U2 +λ[P1Q1+ P2Q2-416]
FOC ∂L/∂Q1=0, ∂L/∂Q2=0, ∂L/∂λ=0,
以上よりQ1*=24, Q2*=16
15
中級ミクロ経済学で
覚えていた方が便利な需要と供給の性質
16


14. 効用関数と需要関数
(1)効用最大化問題：予算制約の下で、効用を最大化する消費量を選ぶ
n
Max x1 ,
,x n
U(x) s.t.
p x
i
i
Y
i1
(2)間接効用関数：価格ベクトルと所得の関数として得られる最大効用
V ( p1, , pn ,Y)  Max x1 ,
n
,x n
U(x) s.t.
(3)間接効用関数の性質
•
•
•
•
•
p x
i
i
Y
i1
p1,…, pnに関して非増加
Yに関して非減少
(p ,…, p ,Y)に関して0次同次
1
n
p1,…, pnに関して準凹
(p1,…, pn,Y)に関して連続
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(4)マーシャル需要関数：価格ベクトルと所得の関数として得られる第i財の
最適消費量は、ー間接効用関数の価格偏微分／間接効用関数の所得偏微
分で与えられる。(ロワの恒等式と呼ばれる)。
V ( p1, , pn ,Y )
x i ( p1, , pn ,Y)  
pi
V ( p1, , pn ,Y )
Y
(5)支出関数：価格ベクトルのもとで一定の効用水準を得るのに必要な最小支
出額

E( p1, , pn ,U)  Min
x1 , ,xn
p1x1 
 pn xn
s.t.U(x1, , xn )  U
(6)ヒックス需要関数：価格ベクトルのもとで一定の効用水準を得るのに必要
な支出額最小化を達成する最適消費量。

hi ( p1, , pn ,U)  x i ( p1, , pn , E( p1, , pn ,U))
(7)スルツキー方程式

x i ( p1, , pn ,Y) hi ( p1, , pn ,U)
x ( p , , pn ,Y)

 x j ( p1, , pn ,Y) i 1
p j
p j
Y 18

15. 生産関数と利潤関数
(1)費用最小化問題：技術制約の下で、費用を最小化する生産量を選ぶ
C(w1, ,wn , y)  Min
(2)費用関数の性質
•
•
•
•
n
x 1 , ,x n
w x
i
i
s.t. f (x1, , x n )  y
i1
w1,…, wnに関して非減少
w1,…, wnに関して1次同次
w1,…, wnに関して凹
w1,…, wnに関して連続
(3)制約付要素需要関数：
要素価格と生産水準の関数である費用を最小

化する要素投入量は、費用関数の要素価格による偏微分で表される。(シェ
パードの補題と呼ばれる)。
C(w1, ,w n , y)
 x i (w1, ,w n , y)
w i
19


(4)利潤最大化問題：技術制約の下で、利潤を最大化する生産量を選ぶ
( p,w1, ,wn )  Max y py  C(w1, ,wn , y)
(2)利潤関数の性質
•
•
•
•
pに関して増加
(p,w1,…, wn)に関して1次同次
(p,w1,…, wn)に関して凸
(p,w1,…, wn)に関して連続
(3)ホテリングの補題
( p,w1, ,w n )
 y( p,w1, ,w n )
 p
( p,w1, ,w n )
 x i ( p,w1, ,w n )
w i
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