確率・統計学の基礎データの特性を表すパラメータとは？ 2つのデータの関係性を表す式の導出方法データとは  データとは，ある事項についてその値を集めたものである．都道府県別65歳以上の人口の割合（総務庁 1988） % GNPの実質成長率（経済企画庁 1988） % 北海道 10.5 東京 9.6 青森 11.1 神奈川 8.0 岩手 12.7 新潟 13.7 宮城 10.6 富山 13.6 秋田 13.6 石川 12.7 年度 53 54 55 56 成長率 5.5 5.3 4.0 3.3 (%) データの特性値生のデータそのままでは数値の羅列で，データの特徴が掴み難い  データの特徴を表す値  代表値：平均値 x 散布度：範囲，メディアン（中央値），モード（最頻値） 2  平均偏差，d 分散，標準偏差， 変動係数 CV などなどデータを評価するには？  次のデータを比較してみよう．どのような点が異なるだろうか？ C 14 14 12 12 10 10 人数人数 B 8 6 8 6 4 4 2 2 0 0 0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500 点数点数例）ある学校で，2つのクラス（一クラス50人）に500満点の試験を受けてもらった．各クラスの点数に対する人数をグラフにした．その特徴を説明しなさい平均値代表値で最も使われる値．  変量の和を総度数nで割った値  1 1 n 1 x  x0  x1  x2 .... xn 1    xi n n i 0 Excelでは，=average(セル：セル)で計算することができる．「グラフ表示」のページのデータにおいて，各項目ごとに平均値を求めよ．または=sum(セル：セル）/セル数でも可平均偏差偏差：観測値 xi と平均値 x との差 xi  x  平均偏差：偏差の絶対値を平均したもの  1 n 1 d   xi  ~ x n i 0 散らばりの程度を表す値．平均値から離れた値がたくさんあると， dの値は大きくなる．ただし絶対値の取り扱いが面倒である．分散  偏差の絶対値の代わりに平方を平均したもの  平均値からどれくらい散らばっているかを評価するために使われる n 1 1 表現の違い 2 2    xi  x  n i 0 n 1 n 1 1 n 1 2 1 1   xi  2 x xi  x 2   xi2  2 x  xi  x 2 n i 0 n i 0 n i 0 1 n 1 2   xi  x 2 表現の違い n i 0     標準偏差分散値は偏差を2乗しているため，データの単位が異なる．  分散値の正の平方根を取る  1 n 1 2 ~ xi  x    n i 0  1 n 1 2 ~ 2  xi  x  n i 0  分散と標準偏差は，最も重要な散布度である練習問題１データ１，データ２をダウンロードしなさい．  Excelにデータを取り込みなさい．  Frequency(セル：セル，セル：セル）を使用して度数分布表を作成しなさい  散布図を作成しなさい．  VARP(セル：セル)を使って分散値を求めよ．  STDEVP（セル：セル）を使って標準偏差を求めよ  手順 1. 2. 3. 指定されたデータをダウンロードする．テキストファイル中に数字のデータが入力されているのを確認する．テキストデータを開いてすべての数字を選択．コピー＆貼り付けでエクセルにデータを移す．または，エクセルより，「データ→外部データの取り込み→データの取り込み」の手順でデータを取り込む Frequencyの使い方．まず度数分布を作成するにあたり，区間配列を縦に記入する．０，１０，２０などと．そのすぐ横のセルをすべて選択した後，「=frequency(データがある範囲, 区間配列がある範囲」と入力し，その後, [Shift+Ctrl+Enter]を押す．手順２ 1.   区間と度数を選択後，「挿入→グラフ→散布図」を選択する． VARP(データの範囲を指定)を使って分散値を求める． STDEVP（データの範囲を指定）を使って標準偏差を求める二つのデータの関係を調べる例）身長と体重の関係基本的に身長が高いほど体重が重い例）勉強時間と成績の関係勉強時間が長いほど成績が高い例）販売価格と利益の関係販売価格を安くすると利益が小さくなる二つのデータには密接な関係があると予想される相関と回帰直線  正の相関負の相関などのグラフ 140 120 120 100 100 80 Y label y label 80 60 60 40 40 20 20 0 0 0 5 10 15 X label 正の相関 20 0 5 10 15 X label 負の相関 20 例例えば，慎重が高い人ほど体重が重いといった傾向が読み取れる 110 100 90 体重[kg]  80 70 60 50 40 145 150 155 160 165 170 身長[cm] 175 180 185 190 回帰直線   二つのデータの関係を直線で表すことが出来ないか？相関図よりデータの各点が一つの直線の周りに集まっている場合に，その直線を回帰直線という．とりあえず，y=ax+bとおこう．図より，各点と直線の距離dが最も小さくなるようにa,bを決定する． 80 d i 0 n 1 2 i 60   yi  axi  b  i 0 2 40 d y n 1 data y=ax+b 20 正と負があるので2乗和で評価する 0 0 2 4 6 x 8 10 回帰直線の続き n 1 d i 0 2 i  nb   y  ax  2   y  ny 2 i   xi yi  nx y    x  nx a  2 2    xi  nx   2 i 2   x y  nx y     x  nx 2 2 i i 2 i 2 その結果，上記の値が最も小さくなる条件は x y  nx y  a  x  nx i i 2 i b  y  ax 2 2 回帰直線の続き２     1 2 2 2 x  n x  x  x  n x  x  ns    i x n 1 1 s xy   xi  x  yi  y    xi yi  nx y 共分散 n n 2 i a 2 s xy s 2 x 2 i 2 , b  y  ax となり求める直線の式は s xy s xy y  2 x  y  ax  y  y  2  x  x  sx sx 回帰直線の続き３ 2 sx と sxyの関係 sx  2        1 2 2 x  x 1  i n xi  x  yi  y  s xy  n 2 1 xi  x  1 n  xi yi  nx y 1 n 2 2 x  2 x x  x  i i n 1 2 2 x   2 x x  n x  i  i n 1 2 2 x   2 n x x  n x  i n 1 2 2 x  n x 第2項をシグマの中に入れると一行目の式と同じになる  i n             宿題  回帰直線の係数aとbの導出を証明せよ n 1 d i 0 n 1 2 i   yi  axi  b  より yy 2 i 0 s xy s 2 x x  x  を導出すること（ちゃんと過程を書くこと）練習問題２   データ３をダウンロードしなさい身長と体重の回帰直線を求めなさい（手順） ①平均を求める ②身長と平均の差，体重と平均の差を求める ③ ②の合計をデータ数で割る ④ ③より回帰直線の傾き，y切片を求める ⑤ ④で求めた値を用いて，回帰直線のyの値を求める．元のデータと回帰直線のグラフを作成してみましょう ⑥ エクセルにある関数LINESTを用いて回帰直線の傾き，y切片を求める相関について  2種類の相関収入と支出。これは互いに非常に影響を与えあう変数である。収入が増えれば増えるほど支出額も増加する。また、年齢と体力。これは逆に年齢が増えれば増えるほど、体力は減るという関係にある。このように、２変数の関係には次の２つの種類がある。 ①. 「Aが増えればBも増え、Aが減るとBも減る。」 ②. 「Aが増えるとBは減り、Aが減るとBは増える。」今回の例なら、「収入と支出」は①の関係、「年齢と体力」は ②の関係になる正の相関負の相関 ②の傾向 ①の傾向 140 120 120 100 100 80 Y label y label 80 60 60 40 40 20 20 0 0 0 5 10 15 X label 正の相関 20 0 5 10 15 X label 負の相関 20 相関係数  直線的な傾向を示す2変量のデータに対して，その直線的傾向の度合いの｢強さ」を数量的に表現したい先の計算で出てきた共分散を使えばよい 1 s xy    xi  x  yi  y  n 直線に近ければ sxy の値は単調に増加するか減少する直線から離れると sxy の値は0に近づく負正正正 sxy i  0 sxy i  0 sxy i  0 sxy i  0 負負正負先ほどのsxyでは，測定の単位に関係するので，これをなくすため標準偏差sx，sy で割った値を用いる  相関係数  1 xi  x   yi  y  r   sx s y n sx sy sxy 範囲は  1  r  1 1に近くなるほど，右上がりの直線に－1に近くなるほど，右下がりの直線に 0の場合無相関な分布となるこの2つの関係は相関係数の符号に依って表現される。相関係数は -1・・0・・+1の間のいずれかになる。+は①の関係、-は②の関係である。また、相関係数の数値はその傾向の度合いを表している。絶対値が1に近づくほどはっきりした傾向であることを示しているのである。 0は関係が全くないことを表している。今上げた二つの例、「収入と支出」、「年齢と体力」はかなりはっきりした関係があるだろうから、＋1や－1に近い値が出るだろう。  相関係数=1であるというのはどういうことを示しているか考察せよ．